3.2.4 - Tabela da ANOVA

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Outra forma de analisar os efeitos dos fatores e das interações é por meio da tabela da ANOVA.

Em um experimento fatorial $ 2^3 $, a forma geral desta tabela é obtida considerando $ y_{ijkl} $ a l-ésima observação no nível i de A, j de B e k de C. Em geral, i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1, ..., c; l = 1, ..., r; onde a, b e c são o número de níveis de A, B e C, respectivamente e r é o número de réplicas do experimento.

Para o caso do experimento $ 2^3 $ temos 2 níveis para cada fator, desta forma, a = b = c = 2.

Além disso, devemos considerar que:

  • $ y_{i\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl} $ é a soma de todas as observações no nível i de A e $ \overline{y}_{i\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{i\cdot\cdot\cdot}}{bcr} $ é a média destas observações, para $ i=1,\ldots,a $

Analogamente,

  • $ y_{\cdot j\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl} $ e $ \overline{y}_{\cdot j\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{\displaystyle y_{\cdot j\cdot\cdot}}{acr} $, para $ j=1,\ldots,b $
  • $ y_{\cdot \cdot k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl} $ e $ \overline{y}_{\cdot \cdot k\cdot}=\displaystyle\cfrac{\displaystyle y_{\cdot \cdot k\cdot}}{abr} $, para $ k=1,\ldots,c $
  • $ y_{ij\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl} $ é a soma de todas as observações que têm nível i de A e j de B (ao mesmo tempo) e $ \overline{y}_{i\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{i j \cdot\cdot}}{cr} $ é a média destas observações, para $ i=1,\ldots,a;j=1,\ldots,b $

Analogamente,

  • $ y_{i \cdot k\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl} $ e  $ \overline{y}_{i \cdot k\cdot}\displaystyle\cfrac{y_{i \cdot k \cdot}}{br} $, para $ i=1,\ldots,a;k=1,\ldots,c $
  • $ y_{\cdot j k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a} \sum_{l=1}^{r} y_{ijkl} $ e $ \overline{y}_{\cdot j k\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{\cdot j k\cdot}}{ar} $, para $ j=1,\ldots,b;k=1,\ldots,c $
  • $ y_{i j k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} y_{ijkl} $ é a soma de todas as observações que têm nível $ i $ de $ A $,  $ j $ de $ B $ e $ k $ de $ C $ (ao mesmo tempo) e $ \overline{y}_{i j k\cdot}=\displaystyle\frac{y_{i j k\cdot}}{abc} $ é a média destas observações, para $ i=1,\ldots,a;j=1,\ldots,b;k=1,\ldots,c $
  • $ y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} \sum_{l=1}^{r} y_{ijkl} $ é a soma de todas as observações e $ \overline{Y}_{\cdot\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}}{abcr} $ é a média geral das observações.

Desta forma, tem-se as somas de quadrados dos efeitos principais 

\[SQ_A=\displaystyle\cfrac{1}{bcr}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}y_{i\cdot\cdot\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

 

\[SQ_B=\displaystyle\cfrac{1}{acr}\displaystyle\sum_{j=1}^{b}y_{\cdot j\cdot\cdot}^2- \cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

 

\[SQ_C=\displaystyle\cfrac{1}{abr}\displaystyle\sum_{k=1}^{c}y_{\cdot\cdotk\cdot}^2- \cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

As somas de quadrados dos efeitos das interações  

\[SQ_{AB}=\displaystyle\cfrac{1}{cr}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{ij\cdot\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_B\]

 

\[SQ_{AC}=\displaystyle\cfrac{1}{br}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}y_{i\cdot k\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_C\]

\[SQ_{BC}=\displaystyle\cfrac{1}{ar}\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{\cdot j k\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_B-SQ_C\]

\[SQ_{ABC}=\displaystyle\cfrac{1}{r}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{ijk\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_B-SQ_C-SQ_{AB}-SQ_{AC}-SQ_{BC}\]

A Soma de Quadrados Total é dada por 

\[SQ_{T}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{i j k l}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

e, finalmente, a Soma de Quadrados dos Erros 

\[SQ_{E}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{i j k l}^2-\cfrac{1}{r} \displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{i j k \cdot}^2.\]

Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios Estatística F
$ A $ $ SQ_A $ $ a-1 $ $ QM_A=\displaystyle\frac{SQ_A}{a-1} $ $ \displaystyle\frac{QM_A}{QM_E} $
$ B $ $ SQ_B $ $ b-1 $ $ QM_B=\displaystyle\frac{SQ_B}{b-1} $ $ \displaystyle\frac{QM_B}{QM_E} $
$ C $ $ SQ_C $ $ c-1 $ $ QM_C=\displaystyle\frac{SQ_C}{c-1} $ $ \displaystyle\frac{QM_C}{QM_E} $
$ AB $ $ SQ_{AB} $ $ (a-1)(b-1) $ $ QM_{AB}=\displaystyle\frac{SQ_{AB}}{(a-1)(b-1)} $ $ \displaystyle\frac{QM_{AB}}{QM_E} $
$ AC $ $ SQ_{AC} $ $ (a-1)(c-1) $ $ QM_{AC}=\displaystyle\frac{SQ_{AC}}{(a-1)(c-1)} $ $ \displaystyle\frac{QM_{AC}}{QM_E} $
$ BC $ $ SQ_{BC} $ $ (b-1)(c-1) $ $ QM_{BC}=\displaystyle\frac{SQ_{BC}}{(b-1)(c-1)} $ $ \displaystyle\frac{QM_{BC}}{QM_E} $
$ ABC $ $ SQ_{ABC} $ $ (a-1)(b-1)(c-1) $ $ QM_{ABC}=\displaystyle\frac{SQ_{ABC}}{(a-1)(b-1)(c-1)} $ $ \displaystyle\frac{QM_{ABC}}{QM_E} $
$ Erro $ $ SQ_{E} $ $ abc(r-1) $ $ QM_{E}=\displaystyle\frac{SQ_{E}}{abc(r-1)} $  
$ Total $ $ SQ_{T} $ $ abcr-1 $    

Tabela 3.2.4.1: Tabela de Análise de Variância para Experimentos Fatoriais do tipo $ 2^3 $.

Para maiores informações, consulte o módulo ANOVA.

Exemplo 3.2.4.1 

Fazer a análise de variância e cálculos dos testes estatísticos para

Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio Estatística F P-valor
A 1164,52 1 1164,52 303,21 0,000
B 11,73 1 11,73 3,05 0,119
C 266,51 1 266,51 69,39 0,000
AB 239,48 1 239,48 62,35 0,000
AC 0,68 1 0,68 0,18 0,685
BC 1,63 1 1,63 0,42 0,534
ABC 0,18 1 0,18 0,05 0,834
Erro 30,72 8 3,84    
Total 1715,44 15      

Relembrando: A é o tipo de cola, B é o material da base, C é o tempo de cura.

Como os valores de p para A, C e AB são menores que α = 5% esses fatores são significativos, porém o fator B não é significativo, como notou-se nos gráficos de efeitos principais.

Calcula-se os valores dos testes para os parâmetros β1, β2, β3, β12, β13, β23, β123, obtidos no Exemplo 3.2.1.

Termo Efeito Coeficiente
da Regressão		 Desvio
Padrão		 T P-valor
Média Geral 95,3438 0,4899 194,6 0
A 17,0625 8,5312 0,4899 17,41 0
B 1,7125 0,8562 0,4899 1,75 0,119
C 8,1625 4,0812 0,4899 8,33 0
AB 7,7375 3,8687 0,4899 7,9 0
AC -0,4125 -0,2062 0,4899 -0,42 0,685
BC 0,6375 0,3188 0,4899 0,65 0,534
ABC 0,2125 0,1062 0,4899 0,22 0,834

Conclusões:

  •   Os fatores A, C  e AB são significativos, mas B não;
  •   O coeficiente de regressão de A é maior, em módulo, que o de AB, então podemos olhar apenas para os níveis de A e C;
  •   Como os coeficientes da regressão de ambos são positivos, concluímos que A e C são melhores no nível +1; e
  •   Como B não é significativo, é melhor conservar o nível atual -1. Portanto a melhor configuração seria A+, B-, C+.

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