3.2.4 - Tabela da ANOVA

Outra forma de analisar os efeitos dos fatores e das interações é por meio da tabela da ANOVA.

Em um experimento fatorial $2^3$, a forma geral desta tabela é obtida considerando $y_{ijkl}$ a l-ésima observação no nível i de A, j de B e k de C. Em geral, i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1, ..., c; l = 1, ..., r; onde a, b e c são o número de níveis de A, B e C, respectivamente e r é o número de réplicas do experimento.

Para o caso do experimento $2^3$ temos 2 níveis para cada fator, desta forma, a = b = c = 2.

Além disso, devemos considerar que:

• $y_{i\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ é a soma de todas as observações no nível i de A e $\overline{y}_{i\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{i\cdot\cdot\cdot}}{bcr}$ é a média destas observações, para $i=1,\ldots,a$

Analogamente,

• $y_{\cdot j\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ e $\overline{y}_{\cdot j\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{\displaystyle y_{\cdot j\cdot\cdot}}{acr}$, para $j=1,\ldots,b$
• $y_{\cdot \cdot k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ e $\overline{y}_{\cdot \cdot k\cdot}=\displaystyle\cfrac{\displaystyle y_{\cdot \cdot k\cdot}}{abr}$, para $k=1,\ldots,c$
• $y_{ij\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ é a soma de todas as observações que têm nível i de A e j de B (ao mesmo tempo) e $\overline{y}_{i\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{i j \cdot\cdot}}{cr}$ é a média destas observações, para $i=1,\ldots,a;j=1,\ldots,b$

Analogamente,

• $y_{i \cdot k\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ e  $\overline{y}_{i \cdot k\cdot}\displaystyle\cfrac{y_{i \cdot k \cdot}}{br}$, para $i=1,\ldots,a;k=1,\ldots,c$
• $y_{\cdot j k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a} \sum_{l=1}^{r} y_{ijkl}$ e $\overline{y}_{\cdot j k\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{\cdot j k\cdot}}{ar}$, para $j=1,\ldots,b;k=1,\ldots,c$
• $y_{i j k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} y_{ijkl}$ é a soma de todas as observações que têm nível $i$ de $A$,  $j$ de $B$ e $k$ de $C$ (ao mesmo tempo) e $\overline{y}_{i j k\cdot}=\displaystyle\frac{y_{i j k\cdot}}{abc}$ é a média destas observações, para $i=1,\ldots,a;j=1,\ldots,b;k=1,\ldots,c$
• $y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} \sum_{l=1}^{r} y_{ijkl}$ é a soma de todas as observações e $\overline{Y}_{\cdot\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}}{abcr}$ é a média geral das observações.

Desta forma, tem-se as somas de quadrados dos efeitos principais \[SQ_A=\displaystyle\cfrac{1}{bcr}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}y_{i\cdot\cdot\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

 \[SQ_B=\displaystyle\cfrac{1}{acr}\displaystyle\sum_{j=1}^{b}y_{\cdot j\cdot\cdot}^2- \cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

 \[SQ_C=\displaystyle\cfrac{1}{abr}\displaystyle\sum_{k=1}^{c}y_{\cdot\cdotk\cdot}^2- \cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

As somas de quadrados dos efeitos das interações  \[SQ_{AB}=\displaystyle\cfrac{1}{cr}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{ij\cdot\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_B\] 

\[SQ_{AC}=\displaystyle\cfrac{1}{br}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}y_{i\cdot k\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_C\]

\[SQ_{BC}=\displaystyle\cfrac{1}{ar}\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{\cdot j k\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_B-SQ_C\]

\[SQ_{ABC}=\displaystyle\cfrac{1}{r}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{ijk\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_B-SQ_C-SQ_{AB}-SQ_{AC}-SQ_{BC}\]

A Soma de Quadrados Total é dada por \[SQ_{T}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{i j k l}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

e, finalmente, a Soma de Quadrados dos Erros \[SQ_{E}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{i j k l}^2-\cfrac{1}{r} \displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{i j k \cdot}^2.\]

Tabela 3.2.4.1: Tabela de Análise de Variância para Experimentos Fatoriais do tipo $2^3$.

Para maiores informações, consulte o módulo ANOVA.

Exemplo 3.2.4.1 

Fazer a análise de variância e cálculos dos testes estatísticos para

Relembrando: A é o tipo de cola, B é o material da base, C é o tempo de cura.

Como os valores de p para A, C e AB são menores que α = 5% esses fatores são significativos, porém o fator B não é significativo, como notou-se nos gráficos de efeitos principais.

Calcula-se os valores dos testes para os parâmetros β₁, β₂, β₃, β₁₂, β₁₃, β₂₃, β₁₂₃, obtidos no Exemplo 3.2.1.

Conclusões:

•   Os fatores A, C  e AB são significativos, mas B não;
•   O coeficiente de regressão de A é maior, em módulo, que o de AB, então podemos olhar apenas para os níveis de A e C;
•   Como os coeficientes da regressão de ambos são positivos, concluímos que A e C são melhores no nível +1; e
•   Como B não é significativo, é melhor conservar o nível atual -1. Portanto a melhor configuração seria A₊, B_-, C₊.

Resultados obtidos pelo software Action

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