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Outra forma de analisar os efeitos dos fatores e das interações é por meio da tabela da ANOVA.
Em um experimento fatorial $2^3$, a forma geral desta tabela é obtida considerando $y_{ijkl}$ a l-ésima observação no nível i de A, j de B e k de C. Em geral, i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1, ..., c; l = 1, ..., r; onde a, b e c são o número de níveis de A, B e C, respectivamente e r é o número de réplicas do experimento.
Para o caso do experimento $2^3$ temos 2 níveis para cada fator, desta forma, a = b = c = 2.
Além disso, devemos considerar que:
Analogamente,
Analogamente,
Desta forma, tem-se as somas de quadrados dos efeitos principais \[SQ_A=\displaystyle\cfrac{1}{bcr}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}y_{i\cdot\cdot\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]
\[SQ_B=\displaystyle\cfrac{1}{acr}\displaystyle\sum_{j=1}^{b}y_{\cdot j\cdot\cdot}^2- \cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]
\[SQ_C=\displaystyle\cfrac{1}{abr}\displaystyle\sum_{k=1}^{c}y_{\cdot\cdotk\cdot}^2- \cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]
As somas de quadrados dos efeitos das interações \[SQ_{AB}=\displaystyle\cfrac{1}{cr}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{ij\cdot\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_B\]
\[SQ_{AC}=\displaystyle\cfrac{1}{br}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}y_{i\cdot k\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_C\]
\[SQ_{BC}=\displaystyle\cfrac{1}{ar}\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{\cdot j k\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_B-SQ_C\]
\[SQ_{ABC}=\displaystyle\cfrac{1}{r}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{ijk\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_B-SQ_C-SQ_{AB}-SQ_{AC}-SQ_{BC}\]
A Soma de Quadrados Total é dada por \[SQ_{T}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{i j k l}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]
e, finalmente, a Soma de Quadrados dos Erros \[SQ_{E}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{i j k l}^2-\cfrac{1}{r} \displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{i j k \cdot}^2.\]
Fonte de Variação | Soma de Quadrados | Graus de Liberdade | Quadrados Médios | Estatística F |
$A$ | $SQ_A$ | $a-1$ | $QM_A=\displaystyle\frac{SQ_A}{a-1}$ | $\displaystyle\frac{QM_A}{QM_E}$ |
$B$ | $SQ_B$ | $b-1$ | $QM_B=\displaystyle\frac{SQ_B}{b-1}$ | $\displaystyle\frac{QM_B}{QM_E}$ |
$C$ | $SQ_C$ | $c-1$ | $QM_C=\displaystyle\frac{SQ_C}{c-1}$ | $\displaystyle\frac{QM_C}{QM_E}$ |
$AB$ | $SQ_{AB}$ | $(a-1)(b-1)$ | $QM_{AB}=\displaystyle\frac{SQ_{AB}}{(a-1)(b-1)}$ | $\displaystyle\frac{QM_{AB}}{QM_E}$ |
$AC$ | $SQ_{AC}$ | $(a-1)(c-1)$ | $QM_{AC}=\displaystyle\frac{SQ_{AC}}{(a-1)(c-1)}$ | $\displaystyle\frac{QM_{AC}}{QM_E}$ |
$BC$ | $SQ_{BC}$ | $(b-1)(c-1)$ | $QM_{BC}=\displaystyle\frac{SQ_{BC}}{(b-1)(c-1)}$ | $\displaystyle\frac{QM_{BC}}{QM_E}$ |
$ABC$ | $SQ_{ABC}$ | $(a-1)(b-1)(c-1)$ | $QM_{ABC}=\displaystyle\frac{SQ_{ABC}}{(a-1)(b-1)(c-1)}$ | $\displaystyle\frac{QM_{ABC}}{QM_E}$ |
$Erro$ | $SQ_{E}$ | $abc(r-1)$ | $QM_{E}=\displaystyle\frac{SQ_{E}}{abc(r-1)}$ | |
$Total$ | $SQ_{T}$ | $abcr-1$ |
Tabela 3.2.4.1: Tabela de Análise de Variância para Experimentos Fatoriais do tipo $2^3$.
Para maiores informações, consulte o módulo ANOVA.
Fazer a análise de variância e cálculos dos testes estatísticos para
Fonte de Variação | Soma de Quadrados | Graus de Liberdade | Quadrado Médio | Estatística F | P-valor |
A | 1164,52 | 1 | 1164,52 | 303,21 | 0,000 |
B | 11,73 | 1 | 11,73 | 3,05 | 0,119 |
C | 266,51 | 1 | 266,51 | 69,39 | 0,000 |
AB | 239,48 | 1 | 239,48 | 62,35 | 0,000 |
AC | 0,68 | 1 | 0,68 | 0,18 | 0,685 |
BC | 1,63 | 1 | 1,63 | 0,42 | 0,534 |
ABC | 0,18 | 1 | 0,18 | 0,05 | 0,834 |
Erro | 30,72 | 8 | 3,84 | ||
Total | 1715,44 | 15 |
Relembrando: A é o tipo de cola, B é o material da base, C é o tempo de cura.
Como os valores de p para A, C e AB são menores que α = 5% esses fatores são significativos, porém o fator B não é significativo, como notou-se nos gráficos de efeitos principais.
Calcula-se os valores dos testes para os parâmetros β1, β2, β3, β12, β13, β23, β123, obtidos no Exemplo 3.2.1.
Termo | Efeito | Coeficiente da Regressão |
Desvio Padrão |
T | P-valor |
Média Geral | 95,3438 | 0,4899 | 194,6 | 0 | |
A | 17,0625 | 8,5312 | 0,4899 | 17,41 | 0 |
B | 1,7125 | 0,8562 | 0,4899 | 1,75 | 0,119 |
C | 8,1625 | 4,0812 | 0,4899 | 8,33 | 0 |
AB | 7,7375 | 3,8687 | 0,4899 | 7,9 | 0 |
AC | -0,4125 | -0,2062 | 0,4899 | -0,42 | 0,685 |
BC | 0,6375 | 0,3188 | 0,4899 | 0,65 | 0,534 |
ABC | 0,2125 | 0,1062 | 0,4899 | 0,22 | 0,834 |
Conclusões:
Resultados obtidos pelo software Action
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