3.2.4 - Tabela da ANOVA

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Outra forma de analisar os efeitos dos fatores e das interações é por meio da tabela da ANOVA.

Em um experimento fatorial $2^3$, a forma geral desta tabela é obtida considerando $y_{ijkl}$ a l-ésima observação no nível i de A, j de B e k de C. Em geral, i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1, ..., c; l = 1, ..., r; onde a, b e c são o número de níveis de A, B e C, respectivamente e r é o número de réplicas do experimento.

Para o caso do experimento $2^3$ temos 2 níveis para cada fator, desta forma, a = b = c = 2.

Além disso, devemos considerar que:

  • $y_{i\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ é a soma de todas as observações no nível i de A e $\overline{y}_{i\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{i\cdot\cdot\cdot}}{bcr}$ é a média destas observações, para $i=1,\ldots,a$

Analogamente,

  • $y_{\cdot j\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ e $\overline{y}_{\cdot j\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{\displaystyle y_{\cdot j\cdot\cdot}}{acr}$, para $j=1,\ldots,b$
  • $y_{\cdot \cdot k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ e $\overline{y}_{\cdot \cdot k\cdot}=\displaystyle\cfrac{\displaystyle y_{\cdot \cdot k\cdot}}{abr}$, para $k=1,\ldots,c$
  • $y_{ij\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ é a soma de todas as observações que têm nível i de A e j de B (ao mesmo tempo) e $\overline{y}_{i\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{i j \cdot\cdot}}{cr}$ é a média destas observações, para $i=1,\ldots,a;j=1,\ldots,b$

Analogamente,

  • $y_{i \cdot k\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{r}y_{ijkl}$ e  $\overline{y}_{i \cdot k\cdot}\displaystyle\cfrac{y_{i \cdot k \cdot}}{br}$, para $i=1,\ldots,a;k=1,\ldots,c$
  • $y_{\cdot j k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a} \sum_{l=1}^{r} y_{ijkl}$ e $\overline{y}_{\cdot j k\cdot}=\displaystyle\cfrac{y_{\cdot j k\cdot}}{ar}$, para $j=1,\ldots,b;k=1,\ldots,c$
  • $y_{i j k\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} y_{ijkl}$ é a soma de todas as observações que têm nível $i$ de $A$,  $j$ de $B$ e $k$ de $C$ (ao mesmo tempo) e $\overline{y}_{i j k\cdot}=\displaystyle\frac{y_{i j k\cdot}}{abc}$ é a média destas observações, para $i=1,\ldots,a;j=1,\ldots,b;k=1,\ldots,c$
  • $y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} \sum_{l=1}^{r} y_{ijkl}$ é a soma de todas as observações e $\overline{Y}_{\cdot\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\cfrac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}}{abcr}$ é a média geral das observações.

Desta forma, tem-se as somas de quadrados dos efeitos principais \[SQ_A=\displaystyle\cfrac{1}{bcr}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}y_{i\cdot\cdot\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

 \[SQ_B=\displaystyle\cfrac{1}{acr}\displaystyle\sum_{j=1}^{b}y_{\cdot j\cdot\cdot}^2- \cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

 \[SQ_C=\displaystyle\cfrac{1}{abr}\displaystyle\sum_{k=1}^{c}y_{\cdot\cdotk\cdot}^2- \cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

As somas de quadrados dos efeitos das interações  \[SQ_{AB}=\displaystyle\cfrac{1}{cr}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{ij\cdot\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_B\] 

\[SQ_{AC}=\displaystyle\cfrac{1}{br}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}y_{i\cdot k\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_C\]

\[SQ_{BC}=\displaystyle\cfrac{1}{ar}\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{\cdot j k\cdot}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_B-SQ_C\]

\[SQ_{ABC}=\displaystyle\cfrac{1}{r}\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{ijk\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}-SQ_A-SQ_B-SQ_C-SQ_{AB}-SQ_{AC}-SQ_{BC}\]

A Soma de Quadrados Total é dada por \[SQ_{T}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{i j k l}^2-\displaystyle\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{abcr}\]

e, finalmente, a Soma de Quadrados dos Erros \[SQ_{E}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{r}y_{i j k l}^2-\cfrac{1}{r} \displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}y_{i j k \cdot}^2.\]

Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios Estatística F
$A$ $SQ_A$ $a-1$ $QM_A=\displaystyle\frac{SQ_A}{a-1}$ $\displaystyle\frac{QM_A}{QM_E}$
$B$ $SQ_B$ $b-1$ $QM_B=\displaystyle\frac{SQ_B}{b-1}$ $\displaystyle\frac{QM_B}{QM_E}$
$C$ $SQ_C$ $c-1$ $QM_C=\displaystyle\frac{SQ_C}{c-1}$ $\displaystyle\frac{QM_C}{QM_E}$
$AB$ $SQ_{AB}$ $(a-1)(b-1)$ $QM_{AB}=\displaystyle\frac{SQ_{AB}}{(a-1)(b-1)}$ $\displaystyle\frac{QM_{AB}}{QM_E}$
$AC$ $SQ_{AC}$ $(a-1)(c-1)$ $QM_{AC}=\displaystyle\frac{SQ_{AC}}{(a-1)(c-1)}$ $\displaystyle\frac{QM_{AC}}{QM_E}$
$BC$ $SQ_{BC}$ $(b-1)(c-1)$ $QM_{BC}=\displaystyle\frac{SQ_{BC}}{(b-1)(c-1)}$ $\displaystyle\frac{QM_{BC}}{QM_E}$
$ABC$ $SQ_{ABC}$ $(a-1)(b-1)(c-1)$ $QM_{ABC}=\displaystyle\frac{SQ_{ABC}}{(a-1)(b-1)(c-1)}$ $\displaystyle\frac{QM_{ABC}}{QM_E}$
$Erro$ $SQ_{E}$ $abc(r-1)$ $QM_{E}=\displaystyle\frac{SQ_{E}}{abc(r-1)}$  
$Total$ $SQ_{T}$ $abcr-1$    

Tabela 3.2.4.1: Tabela de Análise de Variância para Experimentos Fatoriais do tipo $2^3$.

Para maiores informações, consulte o módulo ANOVA.

Exemplo 3.2.4.1 

Fazer a análise de variância e cálculos dos testes estatísticos para

Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio Estatística F P-valor
A 1164,52 1 1164,52 303,21 0,000
B 11,73 1 11,73 3,05 0,119
C 266,51 1 266,51 69,39 0,000
AB 239,48 1 239,48 62,35 0,000
AC 0,68 1 0,68 0,18 0,685
BC 1,63 1 1,63 0,42 0,534
ABC 0,18 1 0,18 0,05 0,834
Erro 30,72 8 3,84    
Total 1715,44 15      

Relembrando: A é o tipo de cola, B é o material da base, C é o tempo de cura.

Como os valores de p para A, C e AB são menores que α = 5% esses fatores são significativos, porém o fator B não é significativo, como notou-se nos gráficos de efeitos principais.

Calcula-se os valores dos testes para os parâmetros β1, β2, β3, β12, β13, β23, β123, obtidos no Exemplo 3.2.1.

Termo Efeito Coeficiente
da Regressão
Desvio
Padrão
T P-valor
Média Geral 95,3438 0,4899 194,6 0
A 17,0625 8,5312 0,4899 17,41 0
B 1,7125 0,8562 0,4899 1,75 0,119
C 8,1625 4,0812 0,4899 8,33 0
AB 7,7375 3,8687 0,4899 7,9 0
AC -0,4125 -0,2062 0,4899 -0,42 0,685
BC 0,6375 0,3188 0,4899 0,65 0,534
ABC 0,2125 0,1062 0,4899 0,22 0,834

Conclusões:

  •   Os fatores A, C  e AB são significativos, mas B não;
  •   O coeficiente de regressão de A é maior, em módulo, que o de AB, então podemos olhar apenas para os níveis de A e C;
  •   Como os coeficientes da regressão de ambos são positivos, concluímos que A e C são melhores no nível +1; e
  •   Como B não é significativo, é melhor conservar o nível atual -1. Portanto a melhor configuração seria A+, B-, C+.

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