4.1.1 - Dois blocos

Supondo um experimento fatorial $ 2^2 $ com uma única réplica tem-se quatro possíveis combinações. Muitas vezes, os recursos disponíveis, como por exemplo, a matéria prima não é suficiente para realizar as quatro combinações, mas apenas  duas delas. Neste caso, pode-se considerar  cada tipo de matéria prima como um bloco, o que permite alocar duas combinações para cada bloco.

Verifica-se na Figura 4.1.1.1 uma maneira de alocar as combinações possíveis em blocos diferentes. No bloco 1 observa-se as combinações [(0), ab] e no bloco 2 as combinações [a,b], sendo que a ordem das corridas é aleatória.

Figura 4.1.1.1: Um delineamento $ 2^2 $ em dois blocos. forma geométrica (superior) e quatro corridas em dois blocos (inferior).

 

Cálculo dos efeitos

Os procedimentos para estimar os efeitos principais de A e B são os mesmos usados para estimativas em experimentos que não são delineados em blocos. 

\[A=\frac{1}{2}\left[ab+a-b-(0)\right]\]

\[B=\frac{1}{2}\left[ab+b-a-(0)\right]\]

Nota-se que os dois efeitos principais não são afetados pelos blocos, pois para cada estimativa existe uma combinação de tratamento mais e outra menos em cada bloco. Ou seja, qualquer combinação entre os blocos 1 e 2 será cancelada.

A estimativa do efeito da interação é dada por: 

\[AB=\frac{1}{2}\left[ab+(0)-a-b\right]\]

Como os dois tratamentos com sinal positivo [ab e (0)] estão no bloco 1 e os dois com o sinal negativo [a e b] estão no bloco 2, o efeito da interação é idêntico nos blocos. Portanto AB está confundida com os blocos.

De maneira geral, se a interação for assinalada com sinal positivo considera-se o bloco 1 e quando for assinalada com sinal negativo, o bloco 2 desta forma, a interação fica confundida com os  blocos. Na prática determina-se que as interações de maior ordem sejam confundidas com os blocos, de acordo com a Tabela 4.1.1.1.

Tratamento Efeitos
fatoriais
  I A B AB Bloco
(0) + - - + 1
a + + - - 2
b + - + - 2
ab + + + + 1

Tabela 4.1.1.1: Planejamento Fatorial 22 em dois blocos

O caso mostrado na Tabela 4.1.1.1 é o mais simples para experimentos fatoriais $ 2^k $ com dois blocos. A seguir verificamos um exemplo de um experimento $ 2^4 $ em dois blocos.

Exemplo 4.1.1.1 

Uma empresa fabricante de bolos quer reduzir as reclamações relacionadas a dureza de sua massa. Para isso delineou um experimento $ 2^3 $, com duas réplicas, com os fatores definidos da seguinte forma:

  • A - Açúcar;
  • B - Leite;
  • C - Fermento.

Para realizar este experimento foram produzidos bolos com variações de 2 níveis de fatores. Entretanto, os bolos foram assados em um forno com 2 divisões que permitem somente 4 bolos cada, desta forma, o forno caracteriza um novo fator de influência. Por isso, o forno foi considerado um bloco, de acordo com a sua posição. o experimento e os dados coletados são mostrados na tabela a seguir.

Réplica Bloco A B C Leveza
1 1 -1 -1 -1 0,539
1 1 1 1 -1 0,446
1 1 1 -1 1 0,306
1 1 -1 1 1 0,371
1 2 1 -1 -1 0,411
1 2 -1 1 -1 0,602
1 2 -1 -1 1 0,369
1 2 1 1 1 0,295
2 1 -1 -1 -1 0,459
2 2 -1 -1 1 0,430
2 1 1 1 -1 0,372
2 2 1 1 1 0,246
2 2 1 -1 -1 0,354
2 2 -1 1 -1 0,622
2 1 1 -1 1 0,357
2 1 -1 1 1 0,310

 

Exemplo 4.1.1.2 

As lâmpadas fluorescentes são equipamentos que utilizam descargas elétricas para produzir energia luminosa. Para o seu funcionamento necessitam de equipamentos auxiliares, os reatores, que visam controlar e estabilizar a corrente elétrica. O tempo de vida das lâmpadas e a quantidade de luz que elas produzem dependem do rendimento dos reatores. O reator é um produto composto, basicamente, de chapas de aço, fio esmaltado, resina (para encapsulamento) e capacitores (quando necessário).

Uma indústria fabricante de reatores quer melhorar o rendimento de seu produto em 10 %.

Para chegar as alternativas para a melhoria do produto, decidiram fazer um experimento fatorial levando em conta os fatores:

  • A - Peso do Núcleo de Aço,
  • B - Peso do Fio de Cobre,
  • C - Temperatura de Cura da Resina e
  • D - Tipo de Capacitor.

Cada fator foi estudado em dois níveis e os dados obtidos em dois dias diferentes com 8 tratamentos em cada dia. Portanto temos um experimento $ 2^4 $ em dois blocos com o confundimento da interação ABCD.

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A B C D ABCD Bloco Rendimento
-1 -1 -1 -1 1 2 3,6
1 -1 -1 -1 -1 1 4,9
-1 1 -1 -1 -1 1 3,4
1 1 -1 -1 1 2 5,4
-1 -1 1 -1 -1 1 6
1 -1 1 -1 1 2 4,9
-1 1 1 -1 1 2 5,1
1 1 1 1- -1 1 4,5
-1 -1 -1 1 -1 1 3,4
1 -1 -1 1 1 2 7,9
-1 1 -1 1 1 2 3,2
1 1 -1 1 -1 1 7,6
-1 -1 1 1 1 2 5,3
1 -1 1 1 -1 1 7,3
-1 1 1 1 -1 1 5,7
1 1 1 1 1 2 6,5

 

Figura 4.1.1.2: Gráfico de média para o Exemplo 4.1.1.2.

Verificamos a seguir os gráficos da representação geométrica, dos efeitos principais e da interação, para os dados de rendimento dos reatores, respectivamente.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

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Tabela 4.1.1.2: Tabela dos Efeitos Principais.

Verificamos na Figura 4.1.1.2 a representação geométrica do experimento e os valores de cada combinação, pois o experimento foi realizado sem réplicas.

As estimativas dos efeitos principais e das interações obtidas pelo modelo de regressão são mostrados na Tabela 4.1.1.2.

Figura 4.1.1.3: Gráfico dos Efeitos principais para o  Exemplo 4.1.2.1.

De acordo com a análise gráfica da Figura 4.1.1.3 verificamos indícios de que a mudança do nível -1 para o nível 1 dos fatores A (Peso de núcleo de aço), C (Temperatura de cura da resina) e D (Tipo de Capacitor) aumentam o rendimento dos reatores.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

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Figura 4.1.1.4: Gráfico de Interações para o Exemplo 4.1.2.1.

Verificamos na Figura 4.1.1.4 indícios da existência das interações AC e AD.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

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Obtemos então os efeitos dos fatores e das interações através de modelo de regressão:

Termo Efeito Coef. Regressão
Média Geral   5,2938
Bloco   -0,0562
Peso núcleo 1,6625 0,8313
Peso fio -0,2375 -0,1188
Temperatura 0,7375 0,3687
Capacitor 1,1375 0,5688
Peso nucleo*Peso fio -0,0125 -0,0062
Peso nucleo*Temperatura -1,3875 -0,6938
Peso nucleo*Capacitor 1,2625 0,6312
Peso fio*Temperatura -0,1875 -0,0937
Peso fio*Capacitor 0,0125 0,0063
Temperatura*Capacitor -0,0625 -0,0312
Peso nucleo*Peso fio*Temperatura -0,1625 -0,0812
Peso nucleo*Peso fio*Capacitor -0,3125 -0,1563
Peso nucleo*Temperatura*Capacitor -0,1375 -0,0688
Peso fio*Temperatura*Capacitor 0,2125 0,1063

Neste caso, como não temos réplicas, não existe soma de quadrados do erro (estamos estimando 16 coeficientes com 16 equações).

Uma saída neste caso é aplicar o método de Lenth para decidir que efeitos são significativos, como mostra a Figura 4.1.1.5.

Figura 4.1.1.5: Método de Lenth para os Efeitos do  Exemplo 4.1.1.2.

Figura 4.1.1.6: Daniel Plot para o  Exemplo 4.1.1.2.

De acordo com as análises gráficas notamos que os fatores A, C e D e as interações AC e AD influenciam no rendimento dos reatores. Desta forma, podemos ajustar um novo modelo linear para estimar os seus efeitos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Os termos significativos de acordo com a Figura 4.1.1.5 são A, C, D, AC e AD.  Ajustamos então um novo modelo linear e estimamos os efeitos de cada fator e das interações significativas:

Termo Efeito Coeficiente da Regressão Desvio Padrão T P
Média Geral   5,2938 0,0888 59,61 0
Bloco   0,0562 0,0888 0,63 0,542
A 1,6625 0,8313 0,0888 9,36 0
C 0,7375 0,3688 0,0888 4,15 0,002
D 1,1375 0,5687 0,0888 6,4 0
AC -1,3875 -0,6938 0,0888 -7,81 0
AD 1,2625 0,6312 0,0888 7,11 0

Tabela 4.1.1.3: Tabela de coeficientes de regressão e efeitos para o Exemplo 4.1.1.2.

Na sequência construímos a Tabela ANOVA, utilizando também como fonte de variação o bloco considerado.

Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios Estatística F P-valor
Bloco 0,05 1 0,05 0,4 0,54
A 11,06 1 11,06 87,62 0
C 2,18 1 2,18 17,24 0
D 5,18 1 5,18 41,02 0
AC 7,7 1 7,7 61,03 0
AD 6,38 1 6,38 50,53 0
Erro 1,14 9 0,13    
Total 33,67 15      

Tabela 4.1.1.4: Tabela da ANOVA para o Exemplo 4.1.1.2.

 Olhando para os coeficientes obtidos pela regressão na Tabela 4.1.1.4 vemos que os fatores e as interações consideradas realmente são significativos.

Resultados obtidos pelo software Action

 

Tabela 4.1.1.7 resultados da Tabela da ANOVA obtidos no Action.

Os resultados mostrados na Tabela 4.1.1.7 confirmam os indícios verificados na análise gráfica, que os fatores A, C e D e as interações AC e AD são significativas ao nível α = 0,05, ou seja, eles influenciam no rendimento do reator. Portanto, a melhor configuração para aumentar o rendimento dos reatores é manter o nível do fator "B" e fixar os níveis dos fatores A, C e D no nível 1.

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