4.1.2 - Quatro ou mais blocos

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Além dos delineamentos já discutidos  é possível construir um experimento fatorial do tipo $ 2^k $ dividido em quatro blocos com $ \frac{2^k}{4}=2^{k-2} $ observações em cada bloco. Este delineamento é útil quando o número de fatores é grande (k ≥ 4) e o tamanho dos blocos é pequeno.

Como um exemplo, considere um experimento fatorial $ 2^5 $. Cada bloco é composto por 8 corridas, resultando assim em 4 blocos. Considerando, por exemplo, os efeitos de ABC e CDE para serem confundidos com os blocos, o delineamento do experimento é dado de acordo com a Tabela 4.1.2.1.

  A B C D E ABC CDE Blocos
0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
(a) 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 3
(b) -1 1 -1 -1 -1 1 -1 3
(ab) 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1
(c) -1 -1 1 -1 -1 1 1 4
(ac) 1 -1 1 -1 -1 -1 1 2
(bc) -1 1 1 -1 -1 -1 1 2
(abc) 1 1 1 -1 -1 1 1 4
(d) -1 -1 -1 1 -1 -1 1 2
(ad) 1 -1 -1 1 -1 1 1 4
(bd) -1 1 -1 1 -1 1 1 4
(abd) 1 1 -1 1 -1 -1 1 2
(cd) -1 -1 1 1 -1 1 -1 3
(acd) 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1
(bcd) -1 1 1 1 -1 -1 -1 1
(abcd) 1 1 1 1 -1 1 -1 3
(e) -1 -1 -1 -1 1 -1 1 2
(ae) 1 -1 -1 -1 1 1 1 4
(be) -1 1 -1 -1 1 1 1 4
(abe) 1 1 -1 -1 1 -1 1 2
(ce) -1 -1 1 -1 1 1 -1 3
(ace) 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
(bce) -1 1 1 -1 1 -1 -1 1
(abce) 1 1 1 -1 1 1 -1 3
(de) -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
(ade) 1 -1 -1 1 1 1 -1 3
(bde) -1 1 -1 1 1 1 -1 3
(abde) 1 1 -1 1 1 -1 -1 1
(cde) -1 -1 1 1 1 1 1 4
(acde) 1 -1 1 1 1 -1 1 2
(bcde) -1 1 1 1 1 -1 1 2
(abcde) 1 1 1 1 1 1 1 4

Tabela 4.1.2.1: Delineamento do experimento fatorial $ 2^5 $ em 4 blocos.

Observamos que a forma como o experimento foi delineado resultou em exatamente quatro combinações de sinais diferentes, para as 32 observações, que correspondem aos 4 blocos do experimento. Para compor os blocos consideramos todas as corridas que estão em (-,-) no bloco 1, (-,+) no bloco 2, (+,-) no bloco 3  e por fim, (+,+) no bloco 4, conforme a Tabela 4.1.2.2. Neste caso, qualquer interação adicionada a ABC e CDE serão confundidas com os blocos, já que existem quatro blocos com 3 graus de liberdade e também ABC e CDE tem 1 grau de liberdade. O efeito geral de ABC e CDE é definido como o produto entre eles, da seguinte forma: 

\[(ABC)(CDE)=ABC^2DE=ABDE, \mbox{(pois }~ C^2=1, \mbox{ sempre)}\]

assim, o efeito de ABDE também é confundido com os blocos.

  Bloco1 Bloco2 Bloco3 Bloco4
ADE - + - +
BCE - - + +
  0 abc a bc b abce e abcde
ad ace d abde abd ae ade bd
bc cde abc ce c bcde bce ac
abcd bde bcd acde acd de ab cd

Tabela 4.1.2.2: Resumo do delineamento do experimento fatorial $ 2^5 $ em 4 blocos.

O procedimento geral para construir um delineamento $ 2^k $ em quatro blocos consiste em escolher dois efeitos para gerar os blocos, assim, temos automaticamente um terceiro efeito confundido com os dois primeiros. Os efeitos escolhidos para serem confundidos devem ser cuidadosamente selecionados, para não escolher efeitos que realmente são importantes para o experimento.

Este procedimento pode ser estendido para um número maior de blocos. É possível construir um delineamento fatorial de $ 2^k $ em p blocos, onde p < k, de $ 2^k-p $ combinações cada bloco. Para isso, basta escolher p efeitos independentes para confundir com blocos (independentes significa que nenhum efeito principal está generalizado com as interações). A seguir verifica-se alguns exemplos de efeitos que podem ser confundidos. 

\[(ABEF)(ABCD)=A^2B^2CDEF = CDEF\]

\[(ABEF)(ACE)= A^2BCE^2F=BCF\]

\[(ABCD)(ACE) = A^2BC^2ED=BDE\]

\[(ABEF)(ABCD)(ACE) = A^3B^2C^2DE^2F=ADF\]

Existem muitos procedimentos para construção e análise de delineamentos fatoriais com k fatores e dois níveis. A Tabela 4.1.2.3 mostra a estrutura de blocos para Experimentos Fatoriais $ 2^k $.

Nº de fatores k Nº de blocos 2p Tam. do bloco  2k-p Efeito escolhido Interações  Confundidas
3 2 4 ABC ABC
  4 2 AB,AC AB,AC,BC
4 2 8 ABCD ABCD
  4 4 ABC,ACD ABC,ACD,BD
  8 2 AB,BC,CD AB,BC,CD,AC,BD,AD,ABCD
5 2 16 ABCDE ABCDE
  4 8 ABC,CDE ABC,CDE,ABDE
  8 4 ABE,BCE,CDE ABE,BCE,CDE,AC,ABCD,BD,ADE
  16 2 AB,AC,CD,DE Todos os fatores de 2º grau, 4º grau (15 interações)
6 2 32 ABCDEF ABCDEF
  4 16 ABCF,CDEF ABCF,CDEF,ABDE
  8 8 ABEF,ABCD,ACE ABEF,ABCD,ACE,BCF,BDE,CDEF,ADF
  16 4 ABF,ACF,BDF,DEF ABE,ACF,BDF,DEF,BC,ABCD,ABDE,AD,ACDE, CE,BDF,BCDEF,ABCEF,AEF,BE
  32 2 AB,BC,CD,DE,EF Todos os fatores de 2º grau, 4º grau, 6º grau (31 interações)
7 2 64 ABCDEFG ABCDEFG
  4 32 ABCFG,CDEFG ABCFG,CDEFG,ABDE
  8 16 ABC,DEF,AFG ABC,DEF,AFG,ABCDEF,DCFG,ADEG,BCDEFG
  16 8 ABD,EFG,CDE,ADG ABCD,EFG,CDE,ADG,ABCDEFG,ABE,ACG, CDFG,ADEF,ACEG,ABFG,BCEF,BDEG,ACF,BDF
  32 4 ABG,BCG,CDG,DEG,EFG ABG,BCG,CDG,DEG,EFG,AC,BC,DE,DF,AE,BE,ABCD, ABDE,ABEF,BCDE,BCEF,CDEF,ABCEDFG,ADG,ACDEG,ACEFG, ABDFG,ABCEG,BEG,BDEFG,CFG,ADEF,ACDF,ABCF,AFG
  64 2 AB,BC,CD,DE,EF,FG Todos os fatores de 2º grau, 4º grau, 6º grau (63 interações)

Tabela 4.1.2.3: Estrutura de Blocos para Experimentos Fatoriais 2k.

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