5.1 - Meia fração de um experimento fatorial fracionado

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  • Temos um experimento com três fatores com dois níveis cada;
  • Serão executados metade dos 8 tratamentos;

Considere a situação onde temos um experimento com três fatores com dois níveis cada, mas por questões de custo somente metade dos 8 tratamentos serão executados.

A Tabela 4.1.1 representa um delineamento do tipo $ 2^3 $.

Suponha que neste caso selecionemos quatro tratamentos a, b, c e abc como nossa meia fração. Note que neste caso temos ainda as interações de segunda ordem, mas escolhemos definir como a meia fração os termos que tem sinal positivo na coluna ABC.

Combinação do Tratamento Efeito Fatorial
  I A B C AB AC BC ABC
a + + - - - - + +
b + - + - - + - +
c + - - + + - - +
abc + + + + + + + +
ab + + + - + - - -
ac + + - + - - - -
bc + - + + - + + -
(0) + - - - + + + -

Tabela 5.1.1: Fatorial Fracionado 23.

As combinações do tratamento no delineamento fatorial 23-1 rendem três graus de liberdade para estimar os efeitos principais. Que podem ser definidos como: 

\[A=\frac{1}{2}(a-b-c+abc)\]

\[B=\frac{1}{2}(-a+b-c+abc)\]

\[C=\frac{1}{2}(-a-b+c+abc)\]

Para saber se o fator A está confundido com algum outro fator, podemos fazer o cálculo 

\[A=A*I=A*ABC=A^2*BC\]

\[(A^2 \mbox{ é sempre 1 })\]

\[A=BC\]

de onde concluímos que A está confundido com BC. De forma análoga, mostramos que B está confundido com AC e que C está confundindo com AB. Os efeitos das interações de 2ª ordem são dados por 

\[{BC}=\frac{1}{2}(a-b-c+abc).\]

\[{AC}=\frac{1}{2}(-a+b-c+abc).\]

\[{AB}=\frac{1}{2}(-a-b+c+abc).\]

ou seja, é impossível diferenciar entre A e Bc, B e AC, e C e AB. Quando estimamos A, B e C, estamos na verdade estimando A + BC, B + AC e C + AB. Quando dois ou mais efeitos tem essa propriedade são chamados de aliases. Neste caso A e BC são aliases, B e AC são aliases e C e AB são aliases. Indicamos as aliases pelas notações IA → A + BC, IB → B + AC e IC → C + AB 

A meia fração I=+ABC é chamada de fração principal.

Se selecionarmos a outra meia fração, isto é, I' = -ABC, os tratamentos associados com o sinal menos na coluna ABC as aliases (ou fatores confundidos) seriam neste caso 

\[{A}=A*-ABC=-BC\]

\[{B}=B*-ABC=-AC\]

\[{C}=C*-ABC=-AB\]

Ou seja, estaremos estimando na verdade A - BC, B - AC e C - AB. E as aliases são indicadas por I'A = A - BC, I'B = B - AC, I'C = C - AB

Se efetuarmos as corridas de ambas as meias frações, todas as 8 corridas associadas com o experimento experimento completo 23 estarão disponíveis. Desta forma, podemos obter as estimativas de todos os efeitos analisando as 8 corridas como um experimento completo 23 em dois blocos de quatro corridas cada. Isto implica que, considerando IA → A + BC e I'A → A - BC 

\[\frac{1}{2}(I_A + I'_A) = \frac{1}{2}(A+BC+A-BC) \rightarrow A\]

e também

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Portanto, todas as três partes das combinações lineares são demonstradas da seguinte maneira:

X $ \frac{1}{2}(I_A + I'_A) $ $ \frac{1}{2}(I_A - I'_A) $
A A BC
B B AC
C C AB

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