5.2.1 - Um quarto de fração de um planejamento 2^k

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Para um número grande de fatores, pequenas frações de um planejamento fatorial fracionado podem ser úteis. Considere neste caso uma fração de um quarto de um planejamento $ 2^k $. Este planejamento contém $ 2^{k-2} $ corridas e é frequentemente considerado um planejamento fatorial fracionado do tipo $ 2^{k-2} $. Um planejamento deste tipo pode ser construído simplesmente escrevendo um experimento fatorial completo com $ (k-2) $ fatores e então associando as duas colunas com os geradores, isto é, escolher as interações que envolvem os primeiros $ (k-2) $ fatores. Portanto um quarto do experimento terá dois geradores. Se escolhermos como os geradores $ P $ e $ Q $, então $ I=P $ e $ I=Q $ são chamadas relações geradoras para o experimento. Seus sinais (+ ou -) definem que parte dos quartos de fração será produzida. Lembramos também que todos os quartos definidos por $ \pm P $ e $ \pm Q $ fazem parte da mesma família, e ainda, podemos assumir que quando temos os dois geradores positivos temos o quarto principal.

Considere um planejamento $ 2^{6-2} $, suponha que escolhamos

$$I=ABCE~~~\mbox{ e }~~~I=BCDF$$

como os geradores. Matricialmente podemos descrever o experimento como mostra a Tabela 5.2.1.1.

Corridas A B C D E=ABC F=BCD
1 - - - - - -
2 + - - - + -
3 - + - - + +
4 + + - - - +
5 - - + - + +
6 + - + - - +
7 - + + - - -
8 + + + - + -
9 - - - + - +
10 + - - + + +
11 - + - + + -
12 + + - + - -
13 - - + + + -
14 + - + + - -
15 - + + + - +
16 + + + + + +

Tabela 5.2.1.1: Experimento fatorial fracionado $ 2^{6-2} $.

Uma outra forma de obter um quarto da fração é gerar o experimento $ 2^6 $ e dividi-lo em 4 blocos, conforme já tratado no capítulo anterior. Isso resultará em um experimento fatorial fracionado $ 2^{6-2}, $ com geradores ABCF e CDEF (conforme Tabela 4.1.3.3) Quando considerarmos o bloco onde ambos os geradores são positivos a fração será chamada fração principal.

A interação entre os geradores $ ABCE $ e $ BCDF $ é $ ADEF $, portanto a relação completa para o experimento é

$$I=ABCE=BCDF=ADEF.$$

Por exemplo, para encontrar os aliases de $ A $ podemos fazer:

  • $ A*ABCE=AABCE=BCE $, pois  $ AA=1 $ sempre ($ A $ só assume os valores +1 ou -1),
  • $ A* BCDF=ABCDF, $ e
  • $ A*ADEF=AADEF=DEF $, novamente pois $ AA=1 $.

Assim, vemos que quando estimarmos $ A $, estaremos estimando $ A+BCE+DEF+ABCDF $. Na Tabela 5.2.1.2 mostramos a estrutura completa de aliases para este caso.

$ A = BCE = DEF = ABCDF $ $ AD = EF = ABCF = BCDE $
$ B = ACE = CDF = ABDEF $ $ AE = BC = DF = ABCDEF $
$ C = ABE = BDF = ACDEF $ $ AF = DE = ABCD = BCEF $
$ D = AEF = BCF = ABCDE $ $ BD = CF = ABEF = ACDE $
$ E = ABC = ADF = BCDEF $ $ BF = CD = ABDE = ACEF $
$ F = ADE = BCD = ABCEF $ $ ABD = ACF = BEF = CDE $
$ AB = CE = ACDF = BDEF $ $ ABF = ACD = BDE = CEF $
$ AC = BE = ABDF = CDEF $  

Tabela 5.2.1.2: Estrutura de aliases para o experimento com $ I=ABCE=BCDF=ADEF $.
 

 Exemplo 5.2.1.1 

 

(Montgomery, 1997) Algumas peças manufaturadas em um processo de moldagem por injeção têm mostrado encolhimento excessivo. Uma equipe de qualidade decidiu então utilizar um experimento para reduzir este encolhimento. Foram investigados seis fatores, cada um com dois níveis:

[A - ] temperatura do molde,

[B - ] velocidade do parafuso,

[C - ] duração do processo,

[D - ] templo de ciclo,

[E - ] tamanho da porta,  e

[F - ] pressão.

O objetivo é estudar como cada fator afeta o encolhimento das peças, e ainda verificar quais fatores interagem entre si.

A equipe decidiu usar um experimento fatorial fracionado (um quarto da fração), isto é equivalente a fazer um experimento com 16 corridas. O experimento está representado na tabela a seguir.

 Corridas Fatores Básicos  E=ABC  F=BCD  Encolhimento($ \times 10^{10} $)
A B C D
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 6
2 1 -1 -1 -1 1 -1 10
3 -1 1 -1 -1 1 1 32
4 1 1 -1 -1 -1 1 60
5 -1 -1 1 -1 1 1 4
6 1 -1 1 -1 -1 1 15
7 -1 1 1 -1 -1 -1 26
8 1 1 1 -1 1 -1 60
9 -1 -1 -1 1 -1 1 8
10 1 -1 -1 1 1 1 12
11 -1 1 -1 1 1 -1 34
12 1 1 -1 1 -1 -1 60
13 -1 -1 1 1 1 -1 16
14 1 -1 1 1 -1 -1 5
15 -1 1 1 1 -1 1 37
16 1 1 1 1 1 1 52

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Calculando os efeitos principais, temos que:

A = 13,875, B = 35,625, C = -0,875, D = 1,375, E = 0,375, F = 0,375, AB = 11,875, AC = -1,625, AD = -5,375, AE = -1,875, AF = 0,625, BC = -1,875, BD = -0,125, BE = -1,625, BF = -0,125, CD = -0,125, CE = 11,875, CF = -0,125, DE = 0,625,
DF = -1,875 e EF = -5,375.

 Os maiores efeitos principais foram obtidos em A, B e na interação AB, portanto esses fatores são os mais importantes para o modelo. O modelo ajustado para esses parâmetros é:

$$Encolhimento=27,31+6,94\,A+17,81\,B + 5,94\,AB.$$

Os desvios padrão e algumas estatísticas referentes ao modelo estão na tabela a seguir.

Preditor Estimativa Desvio Padrão Estat. T P-Valor
Intercepto 27,3125 1,138232365 23,99554 1,65E+11
A 6,9375 1,138232365 6,094977 5,38E+05
B 17,8125 1,138232365 15,64927 2,39E+09
A:B 5,9375 1,138232365 5,216422 0,000216

Resultados obtidos pelo software Action

 

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

 

Número de fatores (k) Fração Número de Corridas Geradores do Planejamento
3 $ 2^{3-1}_{III} $ 4 $ C = \pm {\it AB} $
4 $ 2^{4-1}_{IV} $ 8 $ D = \pm {\it ABC} $
5 $ 2^{5-1}_{V} $ 16 $ E = \pm {\it ABCD} $
  $ 2^{5-2}_{III} $ 8 $ D = \pm {\it AB} $
      $ E = \pm {\it AC} $
6 $ 2^{6-1}_{IV} $ 32 $ F = \pm {\it ABCDE} $
  $ 2^{6-2}_{IV} $ 16 $ E = \pm {\it ABC} $
      $ F = \pm {\it BCD} $
  $ 2^{6-3}_{III} $ 8 $ D = \pm {\it AB} $
      $ E = \pm {\it AC} $
      $ F = \pm {\it BC} $ 
7 $ 2^{7-1}_{VII} $ 64 $ G = \pm {\it ABCDEF} $
  $ 2^{7-2}_{IV} $ 32 $ E = \pm {\it ABC} $
      $ G = \pm {\it ABDE} $
  $ 2^{7-3}_{IV} $ 16 $ E = \pm {\it ABC} $
      $ F = \pm {\it BCD} $ 
      $ G = \pm {\it ACD} $ 
  $ 2^{7-4}_{III} $ 8 $ D = \pm {\it AB} $
      $ E = \pm {\it AC} $ 
      $ F = \pm {\it BC} $
      $ G = \pm {\it ACD} $
8 $ 2^{8-2}_{V} $ 64 $ G = \pm {\it ABCD} $
      $ H = \pm {\it ABEF} $
  $ 2^{8-3}_{IV} $ 32 $ F = \pm {\it ABC} $
      $ G = \pm {\it ABD} $
      $ H = \pm {\it BCDE} $
  $ 2^{8-4}_{IV} $ 16 $ E = \pm {\it BCD} $
      $ F = \pm {\it ACD} $
      $ G = \pm {\it ABC} $
      $ H = \pm {\it ABD} $ 

 

 

 

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