6.1 - Experimentos para Superfície de Resposta de segunda ordem

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A importância de utilizarmos delineamentos do tipo superfície de resposta está no fato de possibilitar conclusões mais gerais do que os experimentos fatoriais. Quando executamos um experimento fatorial, definimos alguns níveis dos fatores para trabalhar e verificamos qual é a melhor configuração dentre os níveis dos fatores considerados. Já as técnicas de superfície de resposta nos possibilitam verificar qual é a melhor configuração para os níveis em todo o intervalo considerado. Isso se deve à possível curvatura que o modelo incorpora. Além disso, podemos também verificar se a configuração ótima faz parte do intervalo considerado ou se há necessidade de executar um novo experimento considerando novos níveis dos fatores. Muitas vezes após ajustarmos um modelo fatorial do tipo $ 2^k $, percebemos que nenhuma das configurações está razoável ou percebemos uma falta de ajuste no modelo. Neste caso, poderíamos acrescentar novos níveis nos fatores propondo um experimento fatorial do tipo $ 3^k $ ou $ 4^k $, por exemplo. Porém o custo seria muito mais elevado e poderíamos novamente não chegar a boas conclusões.

Uma boa alternativa, neste caso, seria propor um modelo com curvatura que teria um custo muito mais baixo do que um experimento fatorial, com vários níveis de fatores e que ainda facilitaria a conclusão com respeito à níveis que otimizam a resposta.

É desejável que um experimento de superfície de resposta tenha algumas boas características, entre elas: 

  • Bom ajuste aos dados;
  • Forneça informação suficiente para realizar um teste de falta de ajuste (lack of fit) e para estimar o erro puro;
  • Permita fácil ampliação dos dados;
  • Seja robusto à presença de outliers nos dados e no controle de níveis dos fatores;
  • Tenha um custo razoável;
  • Permita que os experimentos sejam realizados em blocos; e
  • Tenha variância de predição constante.

Considerando que existe uma relação entre as variáveis $ x_1, ... , x_k $ e $ Y=f(x_1, ... , x_k, β) $ que é desconhecida, mas que podemos aproximá-la utilizando uma relação linear quadrática ou de ordem superior de acordo com as necessidades de cada problema.

Nos experimentos para superfície de resposta quando um estudo fatorial envolve fatores quantitativos, geralmente, aproximamos por um modelo de regressão polinomial de segunda ordem. A justificativa é que os efeitos principais e efeitos de segunda ordem, geralmente captam a "essência" da função de resposta, pois os efeitos de terceira ordem e superiores são geralmente sem importância. Assim, temos que para o nível $ X_j $ do j-ésimo fator quantitativo é: 

$$E[Y]=\beta_0+\beta_1X_1+\dots+\beta_kX_k+\beta_{11}X^2_1+\dots+\beta_{kk}X^2_{k}+\beta_{12}X_1~X_2+\dots+\beta_{k-1,k}X_{k-1}X_k~~~(6.2.1)$$

em que o nível $ X_j $ do j-ésimo fator é: 

$$X_j=\frac{\mbox{nível atual}-\frac{\mbox{maior nível} + \mbox{menor nível}}{2}}{\frac{\mbox{maior nível} -\mbox{menor nível}}{2}}$$

 Ao planejarmos um experimento de superfície de resposta, uma exigência mínima é que o experimento seja capaz de proporcionar estimativas de $ p=\frac{(k+1)(k+2)}{2} $ parâmetros no modelo (6.2.1). Por exemplo, com $ k $=2 temos $ p=\frac{(2+1)(2+2)}{2}=6. $ Assim, temos que:

$$Y=\beta_0+\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+\beta_{11}X^2_{1}+\beta_{22}X^2_{2}+\beta_{12}X_{1}X_{2}$$

Um experimento fatorial fracionado de resolução V ou superior, em um estudo de dois níveis fatoriais, irá fornecer estimativas lineares para os efeitos principais. Todos os efeitos de dois fatores e de interação são confundidos apenas com efeitos de ordem superior. No entanto, pelo menos três níveis de cada fator devem estar presentes para obtermos estimativas quadráticas de $ k $ efeitos principais. 

Um tipo de experimento que fornece estimativas de todos os parâmetros no modelo regressão (6.2.1) é o planejamento fatorial completo com cada fator em três níveis, ou seja, $ 3^k $ em que $ k $ denota o número de fatores no estudo. Um certo número de limitações práticas estão associados aos experimentos fatoriais completos $ 3^k $. Uma das principais, é que o número de tratamentos necessários para um experimento $ 3^k $ cresce rapidamente com o número de fatores. Outra desvantagem é que cada um dos fatores aparece em exatamente três níveis, não sendo possível testar a presença de efeitos principais  cúbicos ou de ordem superior.

Nos modelos de superfície de resposta foram desenvolvidos estimativas com base no modelo de segunda ordem (6.2.1) que superam as limitações de modelos $ 3^k $, como por exemplo, Experimentos de Composição Central que são experimentos de usos gerais amplamente utilizados na prática.

Para executar a análise dos modelos de superfície de resposta, podemos recorrer a diferentes técnicas, dependendo do que está sendo analisado. A visualização da superfície de resposta para uma primeira análise só é possível quando temos no máximo 2 fatores. Quando temos até 3 fatores podemos utilizar curvas de nível. Entretanto, para modelos de ordem maior são necessárias técnicas numéricas e a visualização gráfica não é possível. Para quatro ou mais fatores, podemos utilizar técnicas que não são descritas neste conteúdo.

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