6.1.1 Experimento Composto Central

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Os experimentos composto central são os mais populares dentre os planejamentos de experimentos de segunda ordem. Basicamente, estes experimentos são compostos de um ponto central, que será executado com réplicas e dará uma estimativa interna do erro puro e de pontos axiais, que irão determinar os termos quadráticos. Esses experimentos são de dois níveis totais ou  fatoriais fracionados que foram aumentados com um pequeno número de tratamentos, cuidadosamente escolhidos, para permitir a estimativa do modelo de superfície de resposta de segunda ordem.

Na  figura 6.1.1.1(a) temos um exemplo de experimento fatorial $ 2^2 $, já na figura 6.1.1.1(b) temos um experimento composto central que obtemos somando um ponto único ao centro e quatro pontos da estrela (também chamados de pontos axiais). Um ponto de estrela é aquela em que todos os fatores são fixados em suas médias dos níveis. As coordenadas dos quatro pontos da estrela na Figura 6.1.1.1(b) são (-1,0), (1,0), (0,-1), e (0,1). Resumindo, os quatro pontos da estrela estão localizados nos centros de cada uma das quatro arestas da região experimental.  

Figura 6.1.1.1: (a) Experimento fatorial $ 2^2 $, (b) Experimento composto central com $ \alpha=1 $, (c) Experimento de composição central com $ \alpha=\sqrt{2}. $

A distância entre um ponto de estrela e o ponto central em unidades é $ \alpha. $  Note que, na figura 6.1.1.1(b) os pontos da estrela estão a uma distância de uma unidade à partir do centro, ou seja, $ \alpha=1. $ As vezes, é possível colocar os pontos da estrela para além da região experimental definida pelos limites superiores e inferiores originais dos fatores, como é mostrado na Figura 6.1.1.1(c) em que apresentamos um experimento composto central em que os pontos da estrela estão localizados a uma distância $ \alpha=\sqrt{2} $ à partir do centro. Como pode ser visto , cada fator é executado em mais de cinco níveis distintos quando $ \alpha $ é maior do que 1, enquanto o uso de $ \alpha $ é composto de apenas três níveis distintos para cada fator, como mostrado na Figura 6.1.1.1(b). Uma vantagem de fixar $ \alpha $ maior do que 1, portanto, é que os testes para efeitos de curvatura cúbicos e quadráticos poderão ser conduzidos.

Agora, definimos alguns componetes importantes para os experimentos de composição central:

1.  $ 2^{k-f} $ pontos de vértice: a base de qualquer experimento composto central é um experimento fatorial completo de 2 níveis ou experimento fatorial fracionado de resolução V ou maior, em que k é o número de fatores e f é o número de níveis de fração de um experimento fatorial $ 2^2. $ Este componente é fornecido por estimação dos efeitos principais lineares e todos os efeitos de interação dois a dois. Geralmente, usamos para os pontos de vértices os níveis $ (\pm 1, \dots, \pm 1). $

2.  $ 2 k $ pontos de estrela: a combinação destes níveis do fator permite a estimativa de todos efeitos quadráticos principais. Quando temos $ \alpha\textgreater 1, $ podemos conduzir testes de significância para ordens grandes de efeitos de curvatura. Geralmente, usamos para os pontos de estrela os níveis $ (\pm \alpha, \dots, 0),~(0,\pm\alpha,\dots,0) $ etc.

3.  $ n_0 $ pontos de centro: se $ n_0\textgreater 1, $ uma estimação do erro puro para $ \sigma^2 $ pode ser avaliada e um teste de falta de ajuste é possível. As coordenadas dos pontos de centro são $ (0,\dots,0). $

Com as definições feitas até o momento, o termo experimento composto central refere-se à família de planejamentos de experimentos de segunda ordem. Porém, podemos ter diversos delineamentos dependendo dos pontos de vértice $ \alpha $ e nas extensões das repetições. Nesses experimentos, podemos ter repetições no ponto central, nos pontos de vértices e pontos de estrela. Assim, temos que $ n_c $ é o número de réplicas em cada ponto de vértice e $ n_s $ o número de réplicas em cada ponto da estrela. Agora, definimos o número de corridas experimentais como:

  1.  $ número de corridas experimentais dos pontos de vértice;
  2.  $ número de corridas experimentais dos pontos da estrela;
  3.  $ número de corridas do experimento.

Na tabela 6.1.1.1, temos alguns experimentos de composição central usuais.

Número de fatores 2 3 4 5 6 7 8
Experimento fatorial (base) $ 2^2 $ $ 2^3 $ $ 2^4 $ $ 2^{5-1}_V $ $ 2^{6-1}_V $ $ 2^{7-1}_V $ $ 2^{8-2}_V $
Pontos de estrela 4 6 8 10 12 14 16
Pontos de centro 1 1 1 1 1 1 1
$ \alpha~~(n_c=n_s=1) $ 1,414214 1,6818 2 2 2,3784 2,8284 3,3636
Total de corridas $ (n_c=n_s=1,n_0=4) $ 12 18 28 30 48 82 84

Tabela 6.1.1.1: Experimentos de composição central usuais.

Agora, mostramos algumas diretrizes para a construção de um experimento de composição central:

  • Determinar o número de réplicas do ponto central;
  • Determinar os pontos axiais do modelo; e
  • Construção da matriz de planejamento.

Exemplo 6.1.1.1

(Montgomery, 1985) Na análise de um processo químico vamos desenvolver um modelo de superfície de resposta de ordem 2 para relacionar o tempo de reação e a temperatura em relação ao rendimento do produto. Na tabela 6.1.1.1.1, temos os dados originais antes do planejamento de composição central.

 

Tempo Temperatura Produto (rendimento %)
80 170 76,5
80 180 77
90 170 78
90 180 79,5
85 175 79,9
85 175 80,3
85 175 80
85 175 79,7
85 175 79,8
92,07 175 78,4
77,93 175 75,6
85 182,07 78,5
85 167,93 77

Tabela 6.1.1.1.1: Dados do processo químico.

A seguir, montaremos um experimento de composição central como na tabela 6.1.1.1.2. Na figura 6.1.1.1.1 temos a ilustração do planejamento.

 

Figura 6.1.1.1.1: Planejamento de composição central com $ \alpha=\sqrt{2}. $

 

x1 x2 Produto (rendimento %)
-1 -1 76,5
-1 1 77
1 -1 78
1 1 79,5
0 0 79,9
0 0 80,3
0 0 80
0 0 79,7
0 0 79,8
$ \sqrt{2} $ 0 78,4
$ -\sqrt{2} $ 0 75,6
0 $ \sqrt{2} $ 78,5
0 $ -\sqrt{2} $  77

Tabela 6.1.1.1.2: Tabela do Planejamento de composição central com $ \alpha=\sqrt{2}. $

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Assim, modelamos os dados da seguinte forma: 

$$Y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\beta_{11} x^2_1+\beta_{22} x^2_2+\beta_{12}x_1 x_2+\varepsilon_{12}$$

em que

  • Y representa o produto que é o rendimento do produto em %;
  • $ x_1 $ representa a variável explicativa tempo em segundos;
  • $ x_2 $ representa a variável explicativa temperatura em ºC;
  • $ \varepsilon_{12} $ é a variável aleatória que representa o erro experimental;
  • $ \beta_0 $, $ \beta_1 $, $ \beta_2 $, $ \beta_{11} $, $ \beta_{22} $ e $ \beta_{12} $ são os parâmetros do modelo, que são estimados, e que definem a regressão polinomial de segunda ordem.

Usando o Software Action obtemos os seguintes resultados:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o  manual do usuário.

 

Exemplo 6.1.1.2

(Montgomery, 1985) Suponha que estamos interessados em desenvolver um modelo de superfície de resposta para relacionar o rendimento de uma reação (%) contra temperatura e tempo de reação.

Os dados estão na tabela abaixo:

Temperatura (ºC) 111 115 125 135 139
Tempo (s) 258 270 300 330 342

Podemos padronizar as medidas, para facilitar a interpretação, transformando-as em valores no intervalo [-1, 1]. A equação para a transformação é: 

\[x_{i} = \frac{\xi_{i} - \frac{[\max(\xi_{i}) + \min(\xi_{i})]}{2}}{\frac{[\max(\xi_{i}) - \min(\xi_{i})]}{2}}.\]

Denominando a variável Temperatura $ (x_1) $ e o Tempo $ (x_2), $ temos: 

\[x_1=\displaystyle\frac{\mbox{Temperatura}-125}{14}\]

\[x_2=\displaystyle\frac{\mbox{Tempo}-300}{42}\]

Os valores, transformados, de x1 e x2 são:

x1 x2 y
-0,714 -0,714 88,55
-0,714 0,714 86,29
0,714 -0,714 85,8
0,714 0,714 80,44
-1 0 85,5
1 0 85,39
0 -1 86,22
0 1 85,7
0 0 90,21
0 0 90,85
0 0 91,31

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 Neste caso, podemos ilustrar o experimento com ponto central como mostra a Figura 6.1.1.2.1, em que cada ponto representa uma corrida. Note que temos 3 pontos centrais.

Figura 6.1.1.2.1: Descrição do experimento com ponto central, para este exemplo.

Poderíamos tentar ajustar um modelo de primeira ordem, mas como mostra a Figura 6.1.1.2.2, isto não seria uma boa alternativa.

Figura 6.1.1.2.2: Ajuste linear para os dados.

Uma alternativa mais adequada seria o ajuste quadrático, como mostra a Figura 6.1.1.2.3.

Figura 6.1.1.2.3: Ajuste quadrático para os dados.

Neste caso, o modelo será do tipo 

$$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\beta_3 x_1^2+\beta_4 x_2^2 +\beta_5x_1 x_2, \mbox{ em que }$$

$ x_1 $ $ x_2 $ $ x^2_1 $ $ x^2_2 $ x2 $
-0,714 -0,714 0,51 0,51 0,51
-0,714 0,714 0,51 0,51 -0,51
0,714 -0,714 0,51 0,51 -0,51
0,714 0,714 0,51 0,51 0,51
-1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
0 -1 0 1 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Note que as três últimas linhas correspondem ao ponto central $ (x_1=x_2=0) $, então podemos considerar a regressão linear

$ Y= X\beta+\varepsilon, $ com 

$${X}=\left(\begin{tabular}{rrrrrr}1~~~-0,714~~~-0,714~~~~0,51~~~~0,51~~~~0,51 \\1~~~-0,714~~~~0,714~~~~0,51~~~~0,51~~~-0,51 \\1~~~~0,714~~~-0,714~~~~0,51~~~~0,51~~~-0,51 \\1~~~~0,714~~~~0,714~~~~0,51~~~~0,51~~~~0,51 \\1~~~~~~~-1~~~~~~~~~0~~~~~~~~~1~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0\\1~~~~~~~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~~1~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0\\1~~~~~~~~~0~~~~~~~-1~~~~~~~~~0~~~~~~~~~1~~~~~~~~~2 \\1~~~~~~~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~~0~~~~~~~~~1~~~~~~~~~2\\1~~~~~~~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0\\1~~~~~~~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0\\1~~~~~~~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0~~~~~~~~~0\\\end{tabular}\right)$$

$$\beta=\left(\begin{tabular}{r}\beta_0\\\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\\\beta_4\\\beta_5 \\\end{tabular}\right), \y=\left(\begin{tabular}{r}88,55 \\86,29 \\85,80 \\80,44 \\85,50\\85,39 \\86,22 \\85,70 \\90,21 \\90,85 \\91,31 \\\end{tabular}\right) \ \mbox{ e } \ \varepsilon=\left(\begin{tabular}{r}\varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\\varepsilon_3 \\\varepsilon_4 \\\varepsilon_5 \\\varepsilon_6 \\\varepsilon_7 \\\varepsilon_8 \\\varepsilon_9 \\\varepsilon_{10} \\\varepsilon_{11} \\\end{tabular}\right)$$

Podemos estimar o vetor de parâmetros $ \beta $ fazendo 

$$\widehat{\beta}=(X'X)^{-1}X'y=\left(\begin{tabular}{r}90,794380\\-1,547424\\-1,475657\\-5,513639\\-4,998639\\-1,519\\\end{tabular}\right),$$

 

e assim, o modelo ajustado será dado por 

$$\widehat{y}=90,794 - 1,547 x_1 - 1,476 x_2 - 5,514 x_2^2- 1,519 x_1 x_2.$$

 

Figura 6.1.1.2.4: Superfície ajustada.

Figura 6.1.1.2.5: Curvas de contorno para a superfície ajustada.

Nas Figuras 6.1.1.2.4 e 6.1.1.2.5 podemos observar a superfície ajustada, e as curvas de contorno, respectivamente.

Para encontrar a resposta máxima, podemos igualar as derivadas da função $ \widehat{y}, $ em relação às variáveis $ x_1 $ e $ x_2, $ a 0. Ou seja, calculamos 

$$\frac{\partial \widehat{y}}{\partial x_1}=\beta_1+2\,\beta_3 x_1+\beta_5 x_2=0$$

$$\frac{\partial \widehat{y}}{\partial x_2}=\beta_2+2 \,\beta_4 x_1+\beta_5 x_1=0$$

$$\frac{\partial \widehat{y}}{\partial x_1}=-1,547-2 \times 5,514 x_1 - 1,519 x_2 = 0$$

$$\frac{\partial \widehat{y}}{\partial x_2}=-1,476- 2 \times 4,999 x_2 - 1,519 x_1=0$$

e para resolver o sistema 

$$\left\{\begin{array}{l}-1,547-2 \times 5,514 x_1 - 1,519 x_2 = 0\\-1,476- 2 \times 4,999 x_2 - 1,519 x_1=0\end{array}\right.$$

que é equivalente a 

$$\left\{\begin{array}{l}11,028 x_1 - 1,519 x_2=-1,547\\1,519 x_1 + 9,998 x_2= -1,476\end{array}\right..$$

Esse sistema pode ser escrito na forma matricial: 

$$\left(\begin{array}{c}11,028~~~1,519\\1,519~~~9,998\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1,547\\-1,476\end{array}\right)$$

e obtemos $ x_1 $ e $ x_2 $ que maximizam a resposta fazendo 

$$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11,028~~~1,519\\1,519~~~9,998\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}-1,547\\-1,476\end{array}\right),$$

então 

$$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0,123\\-0,129\end{array}\right),$$

ou seja, os valores de $ x_1 $ e $ x_2 $ que maximizam a resposta são respectivamente $ -0,123 $ e $ -0,129 $, e o rendimento máximo da reação é $ \widehat{y}=90,98\%. $

Nas variáveis originais, obteríamos

$ Temperatura_{ótima}=123,28 $ºC e $ tempo_{ótimo}=294,58 $

ou de forma aproximada,

Temperatura = 123 ºC e Tempo = 294 segundos.

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