6.1.2 Experimento de Box-Behnken

Planejamentos de composição central são os mais utilizados no que diz respeito a planejamentos de superfície de resposta de ordem 2, entretanto existem outros tipos de modelos. Box-Behnken (1960) desenvolveu uma família de planejamentos de 3 níveis eficientes para modelar superfície de resposta de ordem 2.

Os planejamentos de Box-Behnken diferem dos planejamentos de composição central de duas maneiras. Em primeiro lugar, apenas 3 níveis para cada fator são empregados. Em segundo lugar, os planejamentos Box-Behnken não têm pontos de vértices, sendo assim, algumas vezes, preferidos ao invés de planejamentos de composição central, pois quando há restrições físicas ou econômicas, eles impedem a utilização de pontos de vértices, ou seja, quando todos os níveis dos fatores estão em um extremo. 

Os experimentos de Box-Behnken são caracterizados por planejamento de experimentos com 3 níveis dos fatores e por modelos de segunda ordem. Este planejamento está baseado em experimentos com blocos incompletos balanceados. Basicamente, fixamos uma das variáveis em zero e um fatorial $ 2^2 $ é executado com as outras duas variáveis.   

Quando utilizar um experimento de Box-Behnken: Em alguns experimentos de superfície de resposta,  necessitamos utilizar fatores com 3 níveis (baixo, médio e alto), neste caso os experimentos de Box-Behnken são uma boa alternativa para o experimentos de composição central. Além disto, existe informação suficiente para realizarmos um teste de falta de ajuste (lack of fit). Uma outra característica interessante neste tipo de experimento é a simetria da disposição dos pontos no cubo. Um experimento de Box-Behnken com k = 3 pode ser dado por:

x1 x2 x3
-1 -1 0
-1 1 0
1 -1 0
1 1 0
-1 0 -1
-1 0 1
1 0 -1
1 0 1
0 -1 -1
0 -1 1
0 1 -1
0 1 1
0 0 0

e representado como na Figura 6.1.2.1

Figura 6.1.2.1: Experimento de Box-Behnken com k=3.

 

Exemplo 6.1.2.1

Um passo importante na produção de uma resina de poliamida é adição de aminas. Foi imaginado que a maneira de adição tem um profundo efeito na distribuição do peso molecular da resina. Três variáveis foram então consideradas: temperatura da amina (x1, ºC), agitação (x2, RPM) e a taxa de adição (x3, 1/min). Como é difícil determinar os níveis de adição e agitação, 3 níveis foram considerados e um experimento de Box-Behnken foi proposto como abaixo.

Nível Temperatura Agitação Taxa x1 x2 x3
Alto 200 10 25 1 1 1
Médio 175 7,5 20 0 0 0
Baixo 150 5 15 -1 -1 -1

O experimento foi realizado e foram obtidas as seguintes respostas:

x1 x2 x3 y
-1 -1 0 53
1 -1 0 58
-1 1 0 59
1 1 0 56
-1 0 -1 64
1 0 -1 45
-1 0 1 35
1 0 1 60
0 -1 -1 59
0 1 -1 64
0 -1 1 53
0 1 1 65
0 0 0 65
0 0 0 59
0 0 0 62

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 Os coeficientes da regressão, os respectivos desvios padrão e os valores observados da estatística T e o P-valor do modelo quadrático são dados na tabela 6.1.2.1:

Tabela 6.1.2.1: Tabela da ANOVA e das estimativas dos parâmetros do modelo polinomial de 2º ordem.

 

Tabela 6.1.2.2: Tabela do Teste de Falta de Ajuste e dos resíduos.

Figura 6.1.2.2: Gráficos da análise de resíduos, papel de probabilidade etc.

Figura 6.1.2.3: Gráfico de Contorno (curvas de nível).

Figura 6.1.2.4: Gráfico de contorno (Áreas).

Figura 6.1.2.5: Gráfico de superfície.

Figura 6.1.2.6: Gráfico da região factível.

Figura 6.1.2.7: Gráfico de Otimização.

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o  manual do usuário.

 

 

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