6.2 - Método de Superfície de Resposta

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Em muitas situações temos interesse em avaliar as relações existentes entre os principais fatores que compõem um processo e uma variável resposta de interesse. Nestas situações, temos como objetivo, determinar qual é a condição de operação do processo que levará à obtenção de um valor ótimo para a variável resposta. De modo geral, podemos representar o relacionamento existente entre uma variável resposta de interesse ($ Y $) e $ k $ fatores do processo (w1, w2, ..., wk) por uma expressão do tipo 

\[$Y$= f(w_1, w_2,\ldots, w_k) + \varepsilon\]

em que $ \varepsilon $ representa um componente de erro aleatório, que leva em consideração a variação observada na variável resposta que não é explicada pelos fatores w1, w2, ..., wk. Dizemos que a função $ f $ define uma superfície de resposta. 

  • Uma superfície de resposta é a figura obtida quando uma variável resposta é representada graficamente em função de um ou mais fatores do processo.

Observe que à partir da forma matemática da função $ f $ é possível encontrar qual condição de operação que leva ao ponto ótimo (máximo, mínimo ou alvo) da variável resposta. No entanto, na maioria das situações práticas, a forma matemática da função $ f $ não é conhecida, sendo então, necessário estimá-la por meio do emprego de dados amostrais. Como usualmente é difícil encontrar uma função que seja adequada para descrever a relação existente entre w1, w2, ..., wk e $ Y $, em todas as possíveis condições de operação do processo. Concentramos, nesse capítulo, a atenção em faixas estreitas de valores das variáveis w1, w2, ..., wk, de forma que seja possível ajustar equações simples, tais como polinômios de primeira e segunda ordem, que forneçam informações sobre como devemos conduzir o processo para encontrar a região ótima de operação. É importante destacar que na maioria das situações, a determinação de $ f $ não constitui o interesse principal do estudo, sendo apenas uma etapa necessária para a obtenção da condição ótima na qual o processo deve ser operado.

Exemplo 6.2.1

Realizamos um experimento para verificar o tempo de reação (min), devido a concentração de reagente (A), nos níveis 10% e 20% e da temperatura (B), nos níveis 80°C e 90°C. O experimento foi realizado com 3 réplicas e os dados coletados estão na tabela a seguir.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Tratamento A B Y1 Y2 Y3 Média (Y)
(o) -1 -1 26,6(1) 22,0(7) 22,8(10) 23,8
a 1 -1 40,9(4) 36,4(9) 36,7(12) 38
b -1 1 11,8(3) 15,9(8) 14,3(11) 14
ab 1 1 34,0(2) 29,0(5) 33,6(6) 32,2

Na tabela, os valores entre parênteses indicam a ordem (sequência) de realização dos tratamentos.

No ajuste do modelo encontramos os seguintes resultados:

Tabela 6.2.1: Resultados obtidos para o ajuste do modelo linear.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o  manual do usuário.

No ajuste do modelo tem-se que a interação AB não é significativa, portanto o melhor modelo para representar os dados não inclui a interação 

\[y = 27 + 8,1 A - 3,9 B\]

Uma superfície de resposta para o modelo 5.2 é apresentada a seguir.

 

Figura 6.2.2: Superfície de resposta para o modelo

Nesta figura, f(A,B) é representada graficamente em função dos níveis de A e B. A variável resposta $ Y $ é então obtida como uma superfície no espaço tridimensional.

Para a superfície de resposta mostrada acima, se forem fixados alguns valores de interesse para a variável resposta $ Y $ obtemos, no plano, curvas denominadas curvas de nível ou curvas de contorno.

Figura 6.2.3: Superfície de resposta para o modelo

Na Figura 6.2.3 os valores da legenda, a direita, são os valores fixados para a variável resposta $ Y $. Nesta figura cada curva de nível corresponde a uma altura particular da superfície de resposta.

De modo geral, quando estão envolvidos $ k $ fatores x1, x2, ..., xk é usual construir as curvas de nível considerando pares de fatores de interesse (x1, x2). Assim, uma curva de nível identifica os valores dos fatores para os quais a variável resposta é constante.

Conforme já mencionado, usualmente a forma da relação existente entre a variável resposta e os fatores do processo é desconhecida. Portanto, a primeira etapa do método de superfície de resposta consiste na determinação de uma equação que represente, de forma aproximada, o relacionamento existente entre as variáveis do experimento. Frequentemente, quando se tem interesse em considerar uma pequena região da superfície de resposta, afastada do ponto ótimo, que é o ponto que maximiza ou minimiza a variável resposta, quase não existe curvatura na superfície. Neste caso, podemos empregar o modelo de primeira ordem apresentado abaixo para representar o relacionamento entre as variáveis: 

\[y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\ldots+\beta_k x_k+\varepsilon\]

Nas proximidades do ponto ótimo, mesmo para pequenas regiões da superfície, na maioria das vezes a curvatura é mais acentuada, sendo então necessário utilizar um polinômio de ordem mais elevada para representar o relacionamento entre $ Y $ e x1, x2, ..., xk. Usualmente, um modelo de segunda ordem é empregado.

É importante destacar que o método de superfície de resposta é um procedimento sequencial. Apresentaremos a seguir, de forma resumida, uma visão geral das etapas para a determinação da condição ótima de operação de um processo, por meio do emprego do método de superfície de resposta.

Realizou-se um experimento fatorial 22; com os resultados descritos na tabela a seguir.

Tempo Temperatura x1 x2 Pureza
30 150 -1 -1 39,3
30 160 -1 1 40
40 150 1 -1 40,9
40 160 1 1 41,5
35 155 0 0 40,3
35 155 0 0 40,5
35 155 0 0 40,7
35 155 0 0 40,2
35 155 0 0 40,6

Tabela 6.2.2: Resultados obtidos para o ajuste do modelo linear.

Plotar gráficos de contorno e superfície

Figura 6.2.4: Gráfico de Contorno (Linhas).

  

Figura 6.2.5: Gráfico de Contorno (Áreas).

O Gráfico de Superfície 3D abre em uma nova janela e o usuário consegue rotacionar a superfície para analisar melhor o gráfico.

Figura 6.2.6: Gráfico de Superfície (Estática).

A Região Factível é a parte branca do gráfico.

Figura 6.2.7: Gráfico da Região Factível.

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