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Em muitas situações temos interesse em avaliar as relações existentes entre os principais fatores que compõem um processo e uma variável resposta de interesse. Nestas situações, temos como objetivo, determinar qual é a condição de operação do processo que levará à obtenção de um valor ótimo para a variável resposta. De modo geral, podemos representar o relacionamento existente entre uma variável resposta de interesse ($Y$) e $k$ fatores do processo (w1, w2, ..., wk) por uma expressão do tipo \[$Y$= f(w_1, w_2,\ldots, w_k) + \varepsilon\]
em que $\varepsilon$ representa um componente de erro aleatório, que leva em consideração a variação observada na variável resposta que não é explicada pelos fatores w1, w2, ..., wk. Dizemos que a função $f$ define uma superfície de resposta.
Observe que à partir da forma matemática da função $f$ é possível encontrar qual condição de operação que leva ao ponto ótimo (máximo, mínimo ou alvo) da variável resposta. No entanto, na maioria das situações práticas, a forma matemática da função $f$ não é conhecida, sendo então, necessário estimá-la por meio do emprego de dados amostrais. Como usualmente é difícil encontrar uma função que seja adequada para descrever a relação existente entre w1, w2, ..., wk e $Y$, em todas as possíveis condições de operação do processo. Concentramos, nesse capítulo, a atenção em faixas estreitas de valores das variáveis w1, w2, ..., wk, de forma que seja possível ajustar equações simples, tais como polinômios de primeira e segunda ordem, que forneçam informações sobre como devemos conduzir o processo para encontrar a região ótima de operação. É importante destacar que na maioria das situações, a determinação de $f$ não constitui o interesse principal do estudo, sendo apenas uma etapa necessária para a obtenção da condição ótima na qual o processo deve ser operado.
Realizamos um experimento para verificar o tempo de reação (min), devido a concentração de reagente (A), nos níveis 10% e 20% e da temperatura (B), nos níveis 80°C e 90°C. O experimento foi realizado com 3 réplicas e os dados coletados estão na tabela a seguir.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Tratamento | A | B | Y1 | Y2 | Y3 | Média (Y) |
(o) | -1 | -1 | 26,6(1) | 22,0(7) | 22,8(10) | 23,8 |
a | 1 | -1 | 40,9(4) | 36,4(9) | 36,7(12) | 38 |
b | -1 | 1 | 11,8(3) | 15,9(8) | 14,3(11) | 14 |
ab | 1 | 1 | 34,0(2) | 29,0(5) | 33,6(6) | 32,2 |
Na tabela, os valores entre parênteses indicam a ordem (sequência) de realização dos tratamentos.
No ajuste do modelo encontramos os seguintes resultados:
Tabela 6.2.1: Resultados obtidos para o ajuste do modelo linear.
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
No ajuste do modelo tem-se que a interação AB não é significativa, portanto o melhor modelo para representar os dados não inclui a interação \[y = 27 + 8,1 A - 3,9 B\]
Uma superfície de resposta para o modelo 5.2 é apresentada a seguir.
Figura 6.2.2: Superfície de resposta para o modelo
Nesta figura, f(A,B) é representada graficamente em função dos níveis de A e B. A variável resposta $Y$ é então obtida como uma superfície no espaço tridimensional.
Para a superfície de resposta mostrada acima, se forem fixados alguns valores de interesse para a variável resposta $Y$ obtemos, no plano, curvas denominadas curvas de nível ou curvas de contorno.
Figura 6.2.3: Superfície de resposta para o modelo
Na Figura 6.2.3 os valores da legenda, a direita, são os valores fixados para a variável resposta $Y$. Nesta figura cada curva de nível corresponde a uma altura particular da superfície de resposta.
De modo geral, quando estão envolvidos $k$ fatores x1, x2, ..., xk é usual construir as curvas de nível considerando pares de fatores de interesse (x1, x2). Assim, uma curva de nível identifica os valores dos fatores para os quais a variável resposta é constante.
Conforme já mencionado, usualmente a forma da relação existente entre a variável resposta e os fatores do processo é desconhecida. Portanto, a primeira etapa do método de superfície de resposta consiste na determinação de uma equação que represente, de forma aproximada, o relacionamento existente entre as variáveis do experimento. Frequentemente, quando se tem interesse em considerar uma pequena região da superfície de resposta, afastada do ponto ótimo, que é o ponto que maximiza ou minimiza a variável resposta, quase não existe curvatura na superfície. Neste caso, podemos empregar o modelo de primeira ordem apresentado abaixo para representar o relacionamento entre as variáveis: \[y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\ldots+\beta_k x_k+\varepsilon\]
Nas proximidades do ponto ótimo, mesmo para pequenas regiões da superfície, na maioria das vezes a curvatura é mais acentuada, sendo então necessário utilizar um polinômio de ordem mais elevada para representar o relacionamento entre $Y$ e x1, x2, ..., xk. Usualmente, um modelo de segunda ordem é empregado.
É importante destacar que o método de superfície de resposta é um procedimento sequencial. Apresentaremos a seguir, de forma resumida, uma visão geral das etapas para a determinação da condição ótima de operação de um processo, por meio do emprego do método de superfície de resposta.
Realizou-se um experimento fatorial 22; com os resultados descritos na tabela a seguir.
Tempo | Temperatura | x1 | x2 | Pureza |
30 | 150 | -1 | -1 | 39,3 |
30 | 160 | -1 | 1 | 40 |
40 | 150 | 1 | -1 | 40,9 |
40 | 160 | 1 | 1 | 41,5 |
35 | 155 | 0 | 0 | 40,3 |
35 | 155 | 0 | 0 | 40,5 |
35 | 155 | 0 | 0 | 40,7 |
35 | 155 | 0 | 0 | 40,2 |
35 | 155 | 0 | 0 | 40,6 |
Tabela 6.2.2: Resultados obtidos para o ajuste do modelo linear.
Plotar gráficos de contorno e superfície
Figura 6.2.4: Gráfico de Contorno (Linhas).
Figura 6.2.5: Gráfico de Contorno (Áreas).
O Gráfico de Superfície 3D abre em uma nova janela e o usuário consegue rotacionar a superfície para analisar melhor o gráfico.
Figura 6.2.6: Gráfico de Superfície (Estática).
A Região Factível é a parte branca do gráfico.
Figura 6.2.7: Gráfico da Região Factível.
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