6.2.2 - Método da máxima inclinação ascendente (descendente)

Nesta seção será detalhado as etapas 4 e 5 do procedimento para a determinação da condição ótima de operação de um processo por meio do método de superfície de resposta.

Usualmente, o ponto de início da experimentação está distante da condição ótima de operação do processo a qual desejamos conhecer. Nesta situação, o objetivo será aproximar do ótimo de forma mais rápida e econômica possível.

Um procedimento que permite o alcance deste objetivo é o método da máxima inclinação ascendente (descendente), quando o objetivo é o de maximização (minimização) da resposta. Este método parte do pressuposto que, caminharemos sequencialmente ao longo da direção de máxima inclinação ascendente, isto é, na direção e no sentido em que ocorre o aumento máximo da variável resposta. Por outro lado, se o objetivo é o de minimização da resposta, caminharemos sequencialmente ao longo da direção de máxima inclinação descendente, ou seja, na direção e no sentido em que acontece a máxima diminuição da variável resposta. O método da máxima inclinação ascendente (descendente) é constituído pelas etapas apresentadas a seguir.

Etapas do Método de Máxima Inclinação Ascendente (Descendente):

1. Realizamos um experimento com o objetivo de ajustar um modelo de primeira ordem em uma pequena região de interesse definida pelas variáveis $x_1,x_2,\ldots, x_k$. Geralmente esta região engloba a condição usual de operação do processo, que na maioria das situações está longe do ótimo. Nesta região é comum que a superfície de resposta apresente apenas uma leve curvatura, sendo então ajustado por um modelo de primeira ordem. O modelo de primeira ordem ajustado nessa região de interesse é dado pela equação
    
   $$\begin{equation*}\displaystyle\widehat{y} = \widehat{\beta_0} + \sum_{i=1}^{k} \widehat{\beta_i} x_i\end{equation*}$$

   Para esta superfície, as curvas de nível são uma série de retas paralelas (primeira ordem), conforme está apresentado na Figura (6.2.2.1).

2. Utilizamos a informação obtida na etapa 1 para determinar a direção de máxima inclinação ascendente (descendente). A direção de máxima inclinação ascendente (descendente) é a direção na qual $y$ aumenta (diminui) mais rapidamente. Esta direção é perpendicular às curvas de nível e é tomada a partir do centro da região de interesse.
3. Conduzimos uma série de experimentos ao longo da direção de máxima inclinação ascendente (descendente) até que seja encontrada uma região onde não é observado nenhum aumento (decréscimo) na variável resposta.
4. Repetimos as etapas 1, 2 e 3 a partir da nova região determinada na etapa 3. Esta repetição deve ser realizada enquanto não for detectada a falta de ajuste do modelo de primeira ordem.
5. Quando for detectada a falta de ajuste do modelo de primeira ordem, realizamos experimentos adicionais para obter uma estimação mais precisa da condição ótima de operação do processo. Esta estimação, na maioria das vezes, envolverá o ajuste de um modelo de segunda ordem.

$$\begin{equation*}\displaystyle\widehat{y}=\beta_0 + \sum_{i=1}^k \widehat{\beta}_i x_i +\sum_{i=1}^k \widehat{\beta}_{i} x_i^2 + \sum_{i=1}^k \sum_{j=i+1}^k \widehat{\beta}_{ij} x_i x_j + \varepsilon\end{equation*}$$

Figura 6.2.2.1: Superfície de resposta de primeira ordem e direção da inclinação ascendente.

A necessidade de ajuste de um modelo de segunda ordem, geralmente, é uma indicação em que as vizinhanças do ponto ótimo foram alcançadas.

As etapas 1 a 4 do método da máxima inclinação ascendente (descendente) são ilustradas no exemplo a seguir e a etapa 5 é descrita na próxima seção.

 

Exemplo 6.2.2.1

Um engenheiro químico está interessado em determinar as condições de operação que maximize o rendimento de um processo. Duas variáveis de controle afetam a resposta:

• tempo da reação química (w1)
• temperatura (w2).

O processo está operando com um tempo de reação de 35 minutos e uma temperatura de 155°F, com um rendimento em torno de 40%. O experimentador decidiu avaliar o processo na região de (30, 40) minutos e (150, 160)°F. Para simplificar a interpretação as variáveis foram transformadas, utilizando:

\[x_i = \frac{w_i + \displaystyle\frac{\text{máx}(w_i) - \text{mín}(w_i)}{2}}{\displaystyle\frac{\text{máx}(w_i) - \text{mín}(w_i)}{2}}\]

Realizamos um experimento fatorial 2², com os resultados descritos na tabela a seguir.

 

Tempo	Temperatura	x1	x2	Pureza
30	150	-1	-1	39,3
30	160	-1	1	40
40	150	1	-1	40,9
40	160	1	1	41,5
35	155	0	0	40,3
35	155	0	0	40,5
35	155	0	0	40,7
35	155	0	0	40,2
35	155	0	0	40,6

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

 

Fatores	G.L.	Soma de Quadrados	Quadrado Médio	Estat. F	P-valor
x1	1	2,4025	2,4025	68,75199	0,000417
x2	1	0,4225	0,4225	12,09062	0,017713
x1:x2	1	0,0025	0,0025	0,071542	0,799787
Residuals	5	0,174722	0,034944

Tabela 6.2.2.1:Análise de variância.

Na tabela da ANOVA, notamos que a interação entre as duas variáveis não é significativa, pois o p-valor está muito acima do nível de significância $\alpha=0,05,$ portanto o melhor modelo não inclui a interação.

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o  manual do usuário.

Portanto o modelo que mais se adéqua aos dados é

\[y = 40,45 + 0,775 x_1 + 0,325 x_2.\]

Para o teste de significância foi obtido p-valor muito pequeno o que indicou que o rendimento está relacionado com o tempo da reação química e a temperatura. Abaixo, apresentamos uma análise dos parâmetros do modelo

A direção de máxima inclinação ascendente é a direção na qual o rendimento da reação química aumenta mais rapidamente. Esta direção é perpendicular às curvas de nível e é tomada a partir do centro da região na qual foi ajustado o modelo na etapa anterior. É possível mostrar que os passos que devem ser dados ao longo da direção de máxima inclinação ascendente são obtidos por meio da promoção dos fatores do processo, de acréscimos proporcionais dos coeficientes de regressão $j.$

O detalhamento do procedimento pode ser encontrado abaixo:

a) Escolher o valor da alteração que será sofrida por um dos fatores w₁, ..., w_k à partir do centro do intervalo de variação deste fator.

Esta alteração irá gerar uma nova condição de operação do processo, em relação a este fator, na qual será coletada uma nova observação da variável resposta. O fator considerado (w_i) deverá ser aquele cujo efeito sobre a variável resposta é mais conhecido pelo responsável, pelo experimento e/ou àquele que possuí coeficiente de regressão de maior valor absoluto. A magnitude de variação que será sofrida por este fator (w_i) deve ser tal que não implique em um afastamento muito grande de onde foi ajustado o modelo e ao mesmo tempo, devemos provocar uma variação significativa na variável resposta. O sinal de w_i deve ser escolhido de acordo com os critérios:

i) Se o ponto ótimo é máximo, $\Delta w_i$ tem o mesmo sinal de b_i.
ii)Se o ponto ótimo é mínimo, $\Delta w_i$ tem o sinal oposto ao de b_i.

b) Expressar o acréscimo $\Delta w_i$ sob a forma codificada

\[x_i = \frac{2 (w_i - C_i)}{A_i},\]

sendo que:

• Ci: centro do intervalo de variação do fator considerado; e
• Ai: amplitude do intervalo de variação do fator considerado.

Assim, o acréscimo $\Delta x_i$ é calculado por

\[\Delta x_i = \frac{2 \Delta w_i}{A_i}\]

c) Calcular o valor da variação que será sofrida pelos outros fatores, sob a forma codificada.

\[\Delta x_j = \frac{b_{j+1}}{\frac{b_j}{\Delta x_j }}, \quad \forall j \neq i.\]

Estas alterações devem definir a nova condição de operação do processo na qual será coletada as observações da resposta.

d) Converter os $\Delta x_j$ dos fatores sob a forma codificada para as alterações $\Delta w_j$ dos fatores sob a forma original.

\[\Delta w_i = \Delta x_i \frac{A_j}{2}.\]

e) Obter a nova condição de operação do processo: (C₁ + w₁, ..., C_k + w_k);

f) Obter valores de resposta do processo para a nova condição de operação do processo e comparar com os valores obtido na condição anterior em (C₁, ..., C_k):

i) Ponto de Máximo:

Se o valor da resposta do processo para a nova condição de operação do processo (C₁ + w₁, ..., C_k + w_k) for maior ou igual à resposta média obtida em (C₁, ..., C_k), retornar à etapa a) anterior com a nova especificação do processo.

Vale a pena destacar que é usual considerar os mesmos valores x_j determinados na primeira interação do método, o que torna desnecessário a realização dos passos b), c) e d).

Se o valor da variável resposta obtido para a nova condição de operação for menor que a resposta média obtida em (C₁, ..., C_k), encerre a experimentação ao longo desta direção de máxima inclinação ascendente.

ii) Ponto de mínimo (vale as mesmas considerações) que para  o ponto de máximo.

Voltando ao exemplo, temos:

a) Escolher o valor da alteração que será sofrida pelo fator tempo da reação (w1), a partir do centro do intervalo de variação deste fator.

\[\Delta w_1 = 5 \, \mbox{minutos};\]

b)Expressar o acréscimo $\Delta w_1$ de forma codificada

\[\Delta x_1 = \frac{2 \Delta w_1}{A_1} = \frac{2 \times 5}{10}=1.\]

c) Calcular o valor da alteração, sob a forma codificada, que será sofrida pelo fator temperatura (x₂), a partir do centro do intervalo de variação deste fator (155° F).

\[\Delta x_1 = \frac{b_2}{\frac{b_1}{\Delta x_1}} = \frac{0,325}{0,775}=0,42.\]

d) Converter a nova condição de operação do processo na qual será coletada a observação do rendimento

\[\Delta w_2 = \Delta x_2 \frac{A_2}{2} = 0,42 \frac{10}{2}=2,1.\]

e) Nova condição de operação

\[(C_1 + w_1, \ldots, C_k + w_k) = ( 35 + 5 ; 155 + 2) = (40 , 157)\]

f) Comparar o valor da variável resposta obtido para a nova condição de operação definida no item anterior com a resposta média obtida em (C₁ , C₂).

Resultado obtido para otimização do processo

 

Passos	Codificadas		Naturais		Rendimento
	$x_1$	$x_2$	$w_1$	$w_2$
Origem	0	0	35	155
$\Delta$	1	0,42	5	2
$Origem+\Delta$	1	0,42	40	157	41
$Origem+2\Delta$	2	0,84	45	159	42,9
$Origem+3\Delta$	3	1,26	50	161	47,1
$Origem+4\Delta$	4	1,68	55	163	49,7
$Origem+5\Delta$	5	2,1	60	165	53,8
$Origem+6\Delta$	6	2,52	65	167	59,9
$Origem+7\Delta$	7	2,94	70	169	65
$Origem+8\Delta$	8	3,36	75	171	70,4
$Origem+9\Delta$	9	3,78	80	173	77,6
$Origem+10\Delta$	10	4,2	85	175	80,3
$Origem+11\Delta$	11	4,62	90	177	76,2
$Origem+12\Delta$	12	5,04	95	179	75,1