7.1.3 - Modelo Final

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Conforme analisado na seção ajuste do modelo completo observamos que as variáveis APS D50 e APS D90 tem correlação superior a 0,9. Desta forma, vamos eliminar a covariável do APS D50 do modelo. Após avaliarmos a colinearidade entre as covariáveis envolvidas, a observação 66 é um ponto influente pois os seus valores de $ D_i $ (Distância de Cook) é maior que 1. Assim, vamos retirar esta observação do modelo.

Portanto, o modelo final é dado por:

x_{4}~~~(7.1.3.1)$$

em que

  • Y: é a peneira de 45 μm;
  • β0: é o intercepto;
  • x1 : é a variável damper;
  • x2 : é a variável drenagem;
  • x3 : é a variável corrente;
  • x4 : é a variável APS D90;
  • βi : são os coeficientes do modelo para as variáveis x1, x2, x3 , x4 e as interações dois a dois, três a três etc entre estas variáveis, para i=1,...,32.

  

A seguir, vamos apresentar os resultados obtidos pelo software Action.

Tabela 7.1.3.1: Tabela da ANOVA.

No ajuste do modelo com as variáveis Damper, Drenagem, Corrente, APS D90 e todas as interações como variáveis explicativas da variável Peneira 45 μm, observamos que o modelo é significativo ao nível de significância de 5%. Fato visto também na tabela 7.1.3.2 na tabela com teste individual dos parâmetros.

Tabela 7.1.3.2: Tabela com a estimativa dos parâmetros do modelo.

 O $ R^2 $ é uma medida descritiva da qualidade do ajuste obtido. Em geral referimo-nos ao $ R^2 $ como a quantidade de variabilidade nos dados que é explicada pelo modelo de regressão ajustado.  Neste caso obtemos $ R^2 $=0,97.  

Tabela 7.1.3.3: Tabela com o desvio padrão dos resíduos, graus de liberdade e medidas de associação $ R^2 $ e $ R^2 $ ajustado.

Um valor grande de $ R^2 $ não significa uma reta mais inclinada, além do mais, ele não leva em consideração a falta de ajuste do modelo. O $ R^2 $ poderá ser grande, mesmo que y e x estejam não linearmente relacionados. Dessa forma, temos que $ R^2 $ não deve ser observado sozinho, mas sempre aliado a outros diagnósticos do modelo. Logo, para reforçar o ajuste do modelo, vamos analisar a falta de ajuste do modelo 7.1.3.1.

Agora, vamos testar a seguinte hipótese:

 E(Y_i) \neq \beta_0+\beta_i~x_i ~~\mbox{modelo linear inadequado}\\\quad \quad i=1,\dots,32.\end{array}\right.$$

Temos inicialmente

$$ (y_{ij}-\hat{y}_i)=(y_{ij}-\bar{y}_{i.})-(\bar{y}_{i.}-\hat{y}_{i}).$$

Disto, calculamos a soma de quadrados separadamente para o Falta de Ajuste.

$$SQE=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\overline{y}_{i.})^2 +\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{n_i}(\hat{y}_{ij}-\overline{y}_{i})^2$$

$$=0,00135+0,01448771=0,01583771.$$

$$QM_{LOF}=\frac{SQ_{LOF}}{m-p-1}=\frac{0,01448771}{48}= 0,000301827.$$

$$QM_{PE}=\frac{SQ_{PE}}{n-m}=\frac{0,00135}{10} =0,000135.$$

Podemos então, calcular a estatística F, com base nos quadrados médios, sabendo que neste exemplo os valores de m=122 e n=132.

$$F_0=\frac{QM_{LOF}}{QM_{PE}} = \frac{0,000301827}{0,000135}= 2,2357.$$

Se $ H_0 $ é verdadeiro, obtemos que $ F_0 \sim F_{(48;10)}. $

Com isso, rejeitamos $ H_0 $ se $ F_0\textgreater F_{(48; 10)} $. Como $ F_{(48;10)}=2,64, $ então temos $ F_0\textless F_{(48;10)}. $ Assim, não temos evidências de rejeitar $ H_0. $ A seguir, vamos calcular o p-valor.

$$\text{P-valor}=P[F_{(48; 10)}\textgreater F_0]= 0,08512.$$

Temos a seguir a Tabela ANOVA com o Falta de Ajuste dos dados com réplicas.

Tabela 7.1.3.4: Tabela do teste de falta de ajuste (Lack of Fit).

Portanto, não rejeitamos a hipótese de que o modelo linear é adequado, isto é, o modelo linear é adequado.

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

A seguir apresentamos alguns diagnósticos do modelo final como o diagnóstico de outliers e pontos influentes.

Figura 5.3.3.1: Gráfico do diagnóstico de outliers.

Figura 7.1.3.2: Gráfico do diagnóstico de pontos influentes.

 Agora, vamos avaliar a homocedasticidade (variância constante dos erros εi) do modelo. A partir da tabela 5.3.3.5, obtemos que a variável APS D90  é a responsável pela heteroscedasticidade do modelo (p-valor desprezível). Assim, não podemos mais dizer que os Estimadores de Mínimos Quadrados são os melhores estimadores de variância mínima variância para $ \beta, $ embora ainda possam ser não viciados.


Tabela 7.1.3.5: Tabela do diagnóstico de homocedasticidade.

A seguir, como não obtemos estimadores de mínimos quadrados com variância mínima, vamos na próxima seção fazer a previsão do modelo ajustado e alguns gráficos de otimização do modelo final.

 

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