6 - Superfície de Resposta

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Introdução a modelos de superfície de resposta

As técnicas de superfície de resposta são ferramentas matemáticas muito úteis quando estamos interessados na otimização de um processo em que temos a influência de vários fatores em uma variável resposta, ou seja, os modelos de superfície de resposta podem ser explorados para determinar condições ótimas para se trabalhar ou a sensibilidade da variável resposta a mudanças dos níveis dos fatores de interesse.

Basicamente, as diretrizes para se trabalhar com um modelo de superfície de resposta são:

  • Amostragem;
  • Modelagem;
  • Otimização.
  1. Amostragem: definimos o número de ensaios que vamos executar, já pensando nos modelos que iremos implementar.
  2. Modelagem e Testes de Hipóteses: ajustamos os modelos e analisamos os ajustes obtidos.
  3. Otimização: obtemos a configuração ótima dos níveis dos fatores de interesse, entre os intervalos considerados, e verificamos a necessidade de realizar novamente o experimento considerando novos níveis para os fatores.

Podemos dividir os modelos de Planejamento de Experimentos, em geral, em dois tipos:

Amostragem:$ \left\{\begin{array}{l}\bullet\mbox{Modelos de Ordem 1}\left\{\begin{array}{l}\bullet\mbox{Fatoriais}\\\bullet\mbox{Fatoriais Fracionados}\\\bullet\mbox{Blocos}\\\end{array}\right.\\\\\bullet\mbox{Modelos de Ordem 2}\left\{\begin{array}{l}\bullet\mbox{Delineamento Composto Central}(\ast)\\\bullet\mbox{Delineamentos de Box-Behnken}(\ast)\\\bullet\mbox{Delineamentos Ótimos}\\\end{array}\right.\end{array}\right. $

Neste capítulo iremos considerar os modelos marcados com $ (\ast) $, que são os modelos de superfície de resposta. Para a modelagem/análise dos modelos de superfície de resposta podem ser utilizadas as seguintes técnicas:

Modelagem/Testes de Hipóteses:$ \left\{\begin{array}{l}\bullet \mbox{ Modelos de Regressão}\\\bullet \mbox{ Estimação dos Parâmetros (MQ)}\\\bullet \mbox{ Técnicas de Inferência Estatística }\\\bullet \mbox{ ANOVA }\\\bullet\mbox{ Falta de Ajuste}\\\end{array}\right. $

E para a otimização do modelo ajustado podem ser utilizadas as técnicas:

Otimização: $ \left\{\begin{array}{l}\bullet\mbox{ Cálculo de Máximo ou Mínimo de funções}\\\bullet\mbox{ Curvas de Nível}\\\bullet\mbox{ Visualização Gráfica }\\\bullet\mbox{ Métodos Numéricos}\\\bullet\mbox{\emph{ Steepest Ascent} ou \emph{ Descent}}\\\bullet\mbox{ Simulação de Monte Carlo}\\\end{array}\right. $

Para a fase de otimização, é importante ressaltar que a visualização gráfica da superfície de resposta é possível quando temos até 2 fatores. Para um problema com mais fatores essa visualização não é mais possível e é necessário utilizar técnicas numéricas. As técnicas de Steepest Ascent e Descent são utilizadas quando ainda não foi atingida a configuração ótima dentro dos intervalos considerados e é necessário extrapolar para outros níveis na direção mais interessante. As técnicas de simulações são utilizadas para verificar um possível comportamento quando considerarmos situações que não foram observadas.

É importante ressaltar que ao considerar modelos quadráticos é essencial a inclusão de réplicas no experimento, devido à necessidade de detectar o grau de curvatura do modelo. Portanto, sempre que possível inclua réplicas no experimento.

A ideia básica das técnicas de superfície de resposta é considerar que existe uma relação entre as variáveis $ x_1, \ldots,x_k $ e $ y $ 

$$y=f(x_1, \ldots,x_k,\beta)$$

que é desconhecida, mas que podemos aproximar esta função por uma relação polinomial, por exemplo, do tipo 

$$y= \beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\ldots+\beta_kx_k+\beta_{11}x_1^2+\ldots+\beta_{kk}x_k^2+\beta_{12}x_1 x_2+\beta_{13}x_1 x_3+\ldots+\beta_{(k-1)k}x_{k-1}x_k+\varepsilon.~~~~(1.5.1)$$

Assim chamaremos de superfície de resposta a curva dada pela relação 

$$E(y)=f(x_1, \ldots,x_k, \beta).$$

A expressão (5.1) é denominada modelo de segunda ordem de superfície de resposta (os termos têm, no máximo, ordem 2). O termo $ \varepsilon $ é o erro aleatório envolvido no modelo, e tem suposições de distribuição de acordo com cada problema. Os $ \beta $'s são os coeficientes do modelo de regressão.Esse modelo é interessante e muito útil para descrever dados experimentais nos quais a curvatura é abundante. Mas isto não implica que em todos os sistemas contendo curvatura este modelo tem bom ajuste. Existem vários casos em que é necessário um modelo mais complexo, e em alguns casos raros pode até ser necessário utilizar termos cúbicos, para alcançar um ajuste adequado. Em outros casos a curvatura pode ser facilmente manuseada utilizando uma transformação logaritmo na resposta, por exemplo, com $ k=2 $  

$$\ln y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\beta_{12} x_1 x_2.$$

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