10.1 Exercícios de modelos probabilísticos contínuos

Exercício 9.4.1: 

Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial e parâmetros $\lambda_1$ e $\lambda_2$ respectivamente. Calcule $\mathbb{P}[X< Y].$

Exercício 9.4.2: (Valor Extremo) 

Suponha que $X_i\overset{\text{indep.}}{\sim}\text{Exp}(\alpha),$ para $i=1,\dots,n.$ Mostre que $$n\displaystyle\min_{1\leq i\leq n}\{X_i\}\sim\text{Exp}(\alpha).$$

Exercício 9.4.3: (Perda de memória) 

O tempo de vida residual $(X-t)|X> t$ tem a mesma distribuição de X, isto é, $X\sim\text{Exp}(\alpha).$ Mostre que para todo x, t≥0 $$\mathbb{P}[X> x+t|X> t]=\mathbb{P}[X> x].$$

Exercício 9.4.4: 

Mostre que

1. $\Gamma(t)=(t-1)\Gamma(t-1), t > 1;$
2. $\Gamma(n)=(n-1)!,\quad n\geq 1.$

Exercício 9.4.5: 

Seja $X\sim\text{Gama}(\alpha,\beta).$ Mostre que para qualquer número real $r> \alpha$ temos $$\mathbb{E}[X^r]=\frac{\Gamma(\alpha+r)}{\Gamma(\alpha)\beta^r}$$

Exercício 9.4.6: 

Seja $X_i\overset{\text{indep.}}{\sim}\text{Gamma}(\alpha,\beta_i),$ para $i=1,\dots,n.$ Mostre que $$Y=X_1+\dots+X_n\sim\text{Gama}\left(\alpha,\displaystyle\sum^n_{i=1}\beta_i\right).$$

Exercício 9.4.7:

Denotamos $G(x)$ e FDA que satisfaz $$[G(x)]^N=G(a_nx+b_n)$$

Para $a_n=1$ , $b_n=\sigma \text{log}[N]$ e $\sigma$ constante. $$N(-\text{log}[G(x)]=-\text{log}[G(x+\sigma log[N])]$$ $$\text{log}[N]+\text{log}[-\text{log}[G(x)]]=\text{log}[-\text{log}[G(x+\sigma \text{log}[N])]]~~ \text{(1)}$$ 

Utilizando a expressão dada por (1) e denotando $h(x)=\text{log}[-\text{log}[G(x)]]$ , então para $\sigma> 0$ , mostre que  $$-\text{log}[G(x)]=\text{exp}\left\{\frac{-(x-\sigma h(0))}{\sigma}\right\}$$

Exercício 9.4.8:

Suponha que $T\sim VE(\mu,\sigma)$ do tipo I (Gumbel). Seja $Z=\text{exp}\left\{\frac{-(T-\mu)}{\sigma}\right\}$ , determine a distribuição de $Z$.

Exercício 9.4.9:

Seja $T$ v.a. contínua com distribuição logística com parâmetros $\mu$ e $\sigma^2$, ou seja, $T\sim L(\mu,\sigma^2)$. Calcule $\text{Var}(T)$.

Exercício 9.4.10:

Seja $X$ v.a. com fdp $f_x(x)$. Demonstre que a v.a. $Y=-\text{ln}\left\{\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right\}$ é v.a. com distribuição logística se, e somente se, $X\sim\text{exp}(1)$.