10.1 Exercícios de modelos probabilísticos contínuos

Você está aqui

Exercício 9.4.1: 

Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial e parâmetros $ \lambda_1 $ e $ \lambda_2 $ respectivamente. Calcule $ \mathbb{P}[X\textless Y]. $

Exercício 9.4.2: (Valor Extremo) 

Suponha que $ X_i\overset{\text{indep.}}{\sim}\text{Exp}(\alpha), $ para $ i=1,\dots,n. $ Mostre que 

$$n\displaystyle\min_{1\leq i\leq n}\{X_i\}\sim\text{Exp}(\alpha).$$

Exercício 9.4.3: (Perda de memória) 

O tempo de vida residual $ (X-t)|X\textgreater t $ tem a mesma distribuição de X, isto é, $ X\sim\text{Exp}(\alpha). $ Mostre que para todo x, t≥0 

$$\mathbb{P}[X\textgreater x+t|X\textgreater t]=\mathbb{P}[X\textgreater x].$$

Exercício 9.4.4: 

Mostre que

  1. $ \Gamma(t)=(t-1)\Gamma(t-1),\quadt\textgreater 1; $
  2. $ \Gamma(n)=(n-1)!,\quad n\geq 1. $

Exercício 9.4.5: 

Seja $ X\sim\text{Gama}(\alpha,\beta). $ Mostre que para qualquer número real $ r\textgreater \alpha $ temos 

$$\mathbb{E}[X^r]=\frac{\Gamma(\alpha+r)}{\Gamma(\alpha)\beta^r}$$

Exercício 9.4.6: 

Seja $ X_i\overset{\text{indep.}}{\sim}\text{Gamma}(\alpha,\beta_i), $ para $ i=1,\dots,n. $ Mostre que 

$$Y=X_1+\dots+X_n\sim\text{Gama}\left(\alpha,\displaystyle\sum^n_{i=1}\beta_i\right).$$

Exercício 9.4.7:

Denotamos $ G(x) $ e FDA que satisfaz 

$$[G(x)]^N=G(a_nx+b_n)$$

Para $ a_n=1 $ , $ b_n=\sigma \text{log}[N] $ e $ \sigma $ constante. 

$$N(-\text{log}[G(x)]=-\text{log}[G(x+\sigma log[N])]$$

 

$$\text{log}[N]+\text{log}[-\text{log}[G(x)]]=\text{log}[-\text{log}[G(x+\sigma \text{log}[N])]]~~ \text{(1)}$$

 

Utilizando a expressão dada por (1) e denotando $ h(x)=\text{log}[-\text{log}[G(x)]] $ , então para $ \sigma\textgreater 0 $ , mostre que  

$$-\text{log}[G(x)]=\text{exp}\left\{\frac{-(x-\sigma h(0))}{\sigma}\right\}$$

Exercício 9.4.8:

Suponha que $ T\sim VE(\mu,\sigma) $ do tipo I (Gumbel). Seja $ Z=\text{exp}\left\{\frac{-(T-\mu)}{\sigma}\right\} $ , determine a distribuição de $ Z $.

Exercício 9.4.9:

Seja $ T $ v.a. contínua com distribuição logística com parâmetros $ \mu $ e $ \sigma^2 $, ou seja, $ T\sim L(\mu,\sigma^2) $. Calcule $ \text{Var}(T) $.

Exercício 9.4.10:

Seja $ X $ v.a. com fdp $ f_x(x) $. Demonstre que a v.a. $ Y=-\text{ln}\left\{\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right\} $ é v.a. com distribuição logística se, e somente se, $ X\sim\text{exp}(1) $.

Probabilidades

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]