1.1 - Manipulação de eventos

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Os eventos são estudados do ponto de vista de sua "ocorrência"  ou "não ocorrência". Por exemplo, o evento impossível de ocorrer é o evento vazio, enquanto que o evento certo de ocorrer é o espaço amostral. Neste módulo, vamos estabelecer uma estratégia para manipularmos os eventos. Como interpretamos os eventos como sentenças que formulamos a respeito dos resultados do experimento (subconjuntos do espaço amostral), podemos utilizar relações lógicas para manipular os eventos. As três operações básicas são:

  • União ($ \cup $): A união de dois conjuntos quaisquer A e B conterá todos os elementos de A e de B, incluindo os elementos que são e os que não são comuns aos dois conjuntos. Um elemento $ w \in A\cup B $ se, e só se, $ w \in A $ e/ou $ w \in B $.

Os círculos em amarelo é o conjunto $ A\cup B $.

Podemos generalizar a definição de união para uma sequência de conjuntos A1, A2, ... . Generalizamos tal definição da seguinte forma:


 w\in A_n \ \hbox{para algum n}\}.\]

  • Interseção ($ \cap $): A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B conterá os elementos comuns a A e B. Um elemento $ w \in A \cap B $ se, e só se, $ w \in A $ e $ w \in B $.

A região pintada em vermelho é o conjunto $ A\cap B $.

Analogamente, generalizamos esta definição para uma sequência de conjuntos A1, A2, ... da seguinte forma:


 w\in A_n \ \hbox{para todo n} \ \in\mathbb{N}\}.\]

  • Complementar ($ A^c $): O evento complementar ao evento A é o conjunto dos elementos do espaço amostral que não pertencem a A. Um elemento $ w \in A^c $ se, e só se, $ w \notin A $ e $ w \in S $.

O círculo em branco é o conjunto A e a região em verde é o conjunto Complementar de A ($ A^c $).

Consideremos os seguinte eventos, associados ao lançamento de um dado: A = {sair número par} = {2, 4, 6}, B = {sair número ímpar} = {1, 3, 5} e C = {sair número maior que 3} = {4, 5, 6}. Com isso temos que

a) $ A\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

b) $ A\cap B = \emptyset $.

c) $ A\cup C = \{2, 4, 5, 6\} $ e $ A\cap C = \{4, 6\} $.

d) $ C^c = \{1, 2, 3\} $.

Observação:

Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o conjunto composto por nenhum elemento, que denotaremos por Ø. Este conjunto está contido em qualquer outro evento do espaço amostral.

Definição 1.1.1:

Eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Ou seja, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos se $ A \cap B $ = Ø.

A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares das operações de união, interseção e complementar:

a) $ A\cup S = S $.

b) $ A\cap S = A $.

c) $ A\cup (B\cup C) = (A\cup B) \cup C $.

d) $ A\cap (B\cap C) = (A\cap B) \cap C $.

e) $ A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C) $.

f) $ A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C) $.

Considere $ A_1, A_2, \cdots $ uma família enumerável de eventos. Assim, as leis de De Morgan são dadas por:


$$ \left( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right)^c = \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}^c$$

e


$$ \left( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \right)^c = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}^c .$$

 

As leis de De Morgan são simples de serem demonstradas (exercício), porém serão bastante utilizadas durante nosso curso de probabilidade.

A partir das operações básicas (união, intersecção e complementar), podemos desenvolver novas operações com conjuntos. Considere A e B eventos, definimos a diferença entre estes eventos por $ A-B = A \cap B^c $.

O conjunto em laranja representa a diferença entre dois conjuntos (A-B).

De forma similar, definimos a diferença simétrica entre dois eventos por $ A \triangle B = (A-B) \cup (B-A) $.

Diferença simétrica

O conjunto em vermelho representa a diferença simétrica ($ A \triangle B $).

A estrutura que definimos sobre a classe de eventos é denominada álgebra booleana.

Exercício:

Dado uma família finita de eventos $ A_1 , \cdots , A_n $, mostre que $ \cup_{i=1}^n A_i = \cup_{i=1}^n B_i  $ no qual $ B_i = A_i - \cup_{j=1}^{i-1} A_j $ são disjuntos dois a dois.

O evento $ A $ implica no evento $ B $, denotado por $ A \subset B $ se $ A = A \cap B $ ou, equivalentemente, se $ B= A \cup B $. Assim, dois eventos $ A $ e $ B $ tais que $ A \subset B $ e $ B \subset A $ são denominados iguais $ (A=B) $. Estas relações apresentam as seguintes propriedades:

1) $ A \subset A $: reflexiva;

2) $ A \subset B $ e $ B \subset A $ implicam que $ A=B $: simétrica;

3) $ A \subset B $ e $ B \subset C $ implicam que $ A \subset C $: transitiva.

Exercício:

A partir das definições e axiomas definidos neste módulo, mostre que as relações abaixo são válidas para quaisquer eventos $ A,B,C $ e $ D $:

1) $ A \subset B $ implica que $ B^c \subset A^c $;

2) $ A-B = A - (A \cap B) = (A \cup B) - B $;

3) $ (A - B) \cap (C-D) = (A \cap C) - (B \cup D) $;

4) $ A-(B \cup C) = (A-B) \cap (A-C) $

5) $ A-(B \cap C)= (A-B) \cup (A=C) $

Exercício:

Considere o experimento de lançamento de dois dados:

1) Definir o espaço amostral e a classe de eventos;

2) Dados os eventos $ A= $"soma das faces é número par" e o evento $ B= $ "a soma das faces é maior que 9". Calcule $ A \cap B $.

Neste curso de probabilidade também precisamos da união e intersecção de classes de conjuntos. Se temos um número finito de conjuntos, basta aplicarmos as operações de união e intersecção diversas vezes. Entretanto, suponha que temos uma coleção infinita de conjuntos $ \{ A_1 , A_2 , \cdots \} $. Assim, definimos


 x \in A_i ~~\text{para todo}~~ i \in \mathbb{N} \} \]

Probabilidades

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