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Os eventos são estudados do ponto de vista de sua "ocorrência" ou "não ocorrência". Por exemplo, o evento impossível de ocorrer é o evento vazio, enquanto que o evento certo de ocorrer é o espaço amostral. Neste módulo, vamos estabelecer uma estratégia para manipularmos os eventos. Como interpretamos os eventos como sentenças que formulamos a respeito dos resultados do experimento (subconjuntos do espaço amostral), podemos utilizar relações lógicas para manipular os eventos. As três operações básicas são:
Os círculos em amarelo é o conjunto $A\cup B$.
Podemos generalizar a definição de união para uma sequência de conjuntos A1, A2, ... . Generalizamos tal definição da seguinte forma:
\[\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i = A_1\cup A_2\cup\ldots = \{w: w\in A_n \ \hbox{para algum n}\}.\]
A região pintada em vermelho é o conjunto $A\cap B$.
Analogamente, generalizamos esta definição para uma sequência de conjuntos A1, A2, ... da seguinte forma:
\[\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i = A_1\cap A_2\cap\ldots = \{w: w\in A_n \ \hbox{para todo n} \ \in\mathbb{N}\}.\]
O círculo em branco é o conjunto A e a região em verde é o conjunto Complementar de A ($A^c$).
Consideremos os seguinte eventos, associados ao lançamento de um dado: A = {sair número par} = {2, 4, 6}, B = {sair número ímpar} = {1, 3, 5} e C = {sair número maior que 3} = {4, 5, 6}. Com isso temos que
a) $A\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
b) $A\cap B = \emptyset$.
c) $A\cup C = \{2, 4, 5, 6\}$ e $A\cap C = \{4, 6\}$.
d) $C^c = \{1, 2, 3\}$.
Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o conjunto composto por nenhum elemento, que denotaremos por Ø. Este conjunto está contido em qualquer outro evento do espaço amostral.
Eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Ou seja, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos se $A \cap B$ = Ø.
A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares das operações de união, interseção e complementar:
a) $A\cup S = S$.
b) $A\cap S = A$.
c) $A\cup (B\cup C) = (A\cup B) \cup C$.
d) $A\cap (B\cap C) = (A\cap B) \cap C$.
e) $A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)$.
f) $A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)$.
Considere $A_1, A_2, \cdots$ uma família enumerável de eventos. Assim, as leis de De Morgan são dadas por:
$$ \left( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right)^c = \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}^c$$
e
$$ \left( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \right)^c = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}^c .$$
As leis de De Morgan são simples de serem demonstradas (exercício), porém serão bastante utilizadas durante nosso curso de probabilidade.
A partir das operações básicas (união, intersecção e complementar), podemos desenvolver novas operações com conjuntos. Considere A e B eventos, definimos a diferença entre estes eventos por $A-B = A \cap B^c$.
O conjunto em laranja representa a diferença entre dois conjuntos (A-B).
De forma similar, definimos a diferença simétrica entre dois eventos por $A \triangle B = (A-B) \cup (B-A)$.
O conjunto em vermelho representa a diferença simétrica ($A \triangle B$).
A estrutura que definimos sobre a classe de eventos é denominada álgebra booleana.
Dado uma família finita de eventos $A_1 , \cdots , A_n$, mostre que $\cup_{i=1}^n A_i = \cup_{i=1}^n B_i $ no qual $B_i = A_i - \cup_{j=1}^{i-1} A_j$ são disjuntos dois a dois.
O evento $A$ implica no evento $B$, denotado por $A \subset B$ se $A = A \cap B$ ou, equivalentemente, se $B= A \cup B$. Assim, dois eventos $A$ e $B$ tais que $A \subset B$ e $B \subset A$ são denominados iguais $(A=B)$. Estas relações apresentam as seguintes propriedades:
1) $A \subset A$: reflexiva;
2) $A \subset B$ e $B \subset A$ implicam que $A=B$: simétrica;
3) $A \subset B$ e $B \subset C$ implicam que $A \subset C$: transitiva.
A partir das definições e axiomas definidos neste módulo, mostre que as relações abaixo são válidas para quaisquer eventos $A,B,C$ e $D$:
1) $A \subset B$ implica que $B^c \subset A^c$;
2) $A-B = A - (A \cap B) = (A \cup B) - B$;
3) $(A - B) \cap (C-D) = (A \cap C) - (B \cup D)$;
4) $A-(B \cup C) = (A-B) \cap (A-C)$
5) $A-(B \cap C)= (A-B) \cup (A=C)$
Considere o experimento de lançamento de dois dados:
1) Definir o espaço amostral e a classe de eventos;
2) Dados os eventos $A=$"soma das faces é número par" e o evento $B=$ "a soma das faces é maior que 9". Calcule $A \cap B$.
Neste curso de probabilidade também precisamos da união e intersecção de classes de conjuntos. Se temos um número finito de conjuntos, basta aplicarmos as operações de união e intersecção diversas vezes. Entretanto, suponha que temos uma coleção infinita de conjuntos $\{ A_1 , A_2 , \cdots \}$. Assim, definimos
\[ \cup_{i=1}^{\infty} A_i = \{ x : x \in A_i ~ ~ \text{para algum} ~ ~ i \in \mathbb{N} \} \quad\text{e} \quad \cap_{i=1}^{\infty} A_i = \{ x : x \in A_i ~~\text{para todo}~~ i \in \mathbb{N} \} \]
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