1.1 - Manipulação de eventos

Os eventos são estudados do ponto de vista de sua "ocorrência"  ou "não ocorrência". Por exemplo, o evento impossível de ocorrer é o evento vazio, enquanto que o evento certo de ocorrer é o espaço amostral. Neste módulo, vamos estabelecer uma estratégia para manipularmos os eventos. Como interpretamos os eventos como sentenças que formulamos a respeito dos resultados do experimento (subconjuntos do espaço amostral), podemos utilizar relações lógicas para manipular os eventos. As três operações básicas são:

• União ($\cup$): A união de dois conjuntos quaisquer A e B conterá todos os elementos de A e de B, incluindo os elementos que são e os que não são comuns aos dois conjuntos. Um elemento $w \in A\cup B$ se, e só se, $w \in A$ e/ou $w \in B$.

Os círculos em amarelo é o conjunto $A\cup B$.

Podemos generalizar a definição de união para uma sequência de conjuntos A1, A2, ... . Generalizamos tal definição da seguinte forma:

\[\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i = A_1\cup A_2\cup\ldots = \{w: w\in A_n \ \hbox{para algum n}\}.\]

• Interseção ($\cap$): A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B conterá os elementos comuns a A e B. Um elemento $w \in A \cap B$ se, e só se, $w \in A$ e $w \in B$.

A região pintada em vermelho é o conjunto $A\cap B$.

Analogamente, generalizamos esta definição para uma sequência de conjuntos A1, A2, ... da seguinte forma:

\[\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i = A_1\cap A_2\cap\ldots = \{w: w\in A_n \ \hbox{para todo n} \ \in\mathbb{N}\}.\]

• Complementar ($A^c$): O evento complementar ao evento A é o conjunto dos elementos do espaço amostral que não pertencem a A. Um elemento $w \in A^c$ se, e só se, $w \notin A$ e $w \in S$.

O círculo em branco é o conjunto A e a região em verde é o conjunto Complementar de A ($A^c$).

Consideremos os seguinte eventos, associados ao lançamento de um dado: A = {sair número par} = {2, 4, 6}, B = {sair número ímpar} = {1, 3, 5} e C = {sair número maior que 3} = {4, 5, 6}. Com isso temos que

a) $A\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

b) $A\cap B = \emptyset$.

c) $A\cup C = \{2, 4, 5, 6\}$ e $A\cap C = \{4, 6\}$.

d) $C^c = \{1, 2, 3\}$.

Observação:

Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o conjunto composto por nenhum elemento, que denotaremos por Ø. Este conjunto está contido em qualquer outro evento do espaço amostral.

Definição 1.1.1:

Eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Ou seja, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos se $A \cap B$ = Ø.

A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares das operações de união, interseção e complementar:

a) $A\cup S = S$.

b) $A\cap S = A$.

c) $A\cup (B\cup C) = (A\cup B) \cup C$.

d) $A\cap (B\cap C) = (A\cap B) \cap C$.

e) $A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)$.

f) $A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)$.

Considere $A_1, A_2, \cdots$ uma família enumerável de eventos. Assim, as leis de De Morgan são dadas por:

$$ \left( \displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right)^c = \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}^c$$

e

$$ \left( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \right)^c = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}^c .$$

As leis de De Morgan são simples de serem demonstradas (exercício), porém serão bastante utilizadas durante nosso curso de probabilidade.

A partir das operações básicas (união, intersecção e complementar), podemos desenvolver novas operações com conjuntos. Considere A e B eventos, definimos a diferença entre estes eventos por $A-B = A \cap B^c$.

O conjunto em laranja representa a diferença entre dois conjuntos (A-B).

De forma similar, definimos a diferença simétrica entre dois eventos por $A \triangle B = (A-B) \cup (B-A)$.

O conjunto em vermelho representa a diferença simétrica ($A \triangle B$).

A estrutura que definimos sobre a classe de eventos é denominada álgebra booleana.

Exercício:

Dado uma família finita de eventos $A_1 , \cdots , A_n$, mostre que $\cup_{i=1}^n A_i = \cup_{i=1}^n B_i $ no qual $B_i = A_i - \cup_{j=1}^{i-1} A_j$ são disjuntos dois a dois.

O evento $A$ implica no evento $B$, denotado por $A \subset B$ se $A = A \cap B$ ou, equivalentemente, se $B= A \cup B$. Assim, dois eventos $A$ e $B$ tais que $A \subset B$ e $B \subset A$ são denominados iguais $(A=B)$. Estas relações apresentam as seguintes propriedades:

1) $A \subset A$: reflexiva;

2) $A \subset B$ e $B \subset A$ implicam que $A=B$: simétrica;

3) $A \subset B$ e $B \subset C$ implicam que $A \subset C$: transitiva.

Exercício:

A partir das definições e axiomas definidos neste módulo, mostre que as relações abaixo são válidas para quaisquer eventos $A,B,C$ e $D$:

1) $A \subset B$ implica que $B^c \subset A^c$;

2) $A-B = A - (A \cap B) = (A \cup B) - B$;

3) $(A - B) \cap (C-D) = (A \cap C) - (B \cup D)$;

4) $A-(B \cup C) = (A-B) \cap (A-C)$

5) $A-(B \cap C)= (A-B) \cup (A=C)$

Exercício:

Considere o experimento de lançamento de dois dados:

1) Definir o espaço amostral e a classe de eventos;

2) Dados os eventos $A=$"soma das faces é número par" e o evento $B=$ "a soma das faces é maior que 9". Calcule $A \cap B$.

Neste curso de probabilidade também precisamos da união e intersecção de classes de conjuntos. Se temos um número finito de conjuntos, basta aplicarmos as operações de união e intersecção diversas vezes. Entretanto, suponha que temos uma coleção infinita de conjuntos $\{ A_1 , A_2 , \cdots \}$. Assim, definimos

\[ \cup_{i=1}^{\infty} A_i = \{ x : x \in A_i ~ ~ \text{para algum} ~ ~ i \in \mathbb{N} \} \quad\text{e} \quad \cap_{i=1}^{\infty} A_i = \{ x : x \in A_i ~~\text{para todo}~~ i \in \mathbb{N} \} \]