1.1 - Manipulação de eventos

Os eventos são estudados do ponto de vista de sua "ocorrência"  ou "não ocorrência". Por exemplo, o evento impossível de ocorrer é o evento vazio, enquanto que o evento certo de ocorrer é o espaço amostral. Neste módulo, vamos estabelecer uma estratégia para manipularmos os eventos. Como interpretamos os eventos como sentenças que formulamos a respeito dos resultados do experimento (subconjuntos do espaço amostral), podemos utilizar relações lógicas para manipular os eventos. As três operações básicas são:

• União (): A união de dois conjuntos quaisquer A e B conterá todos os elementos de A e de B, incluindo os elementos que são e os que não são comuns aos dois conjuntos. Um elemento se, e só se, e/ou .

Os círculos em amarelo é o conjunto .

Podemos generalizar a definição de união para uma sequência de conjuntos A1, A2, ... . Generalizamos tal definição da seguinte forma:

• Interseção (): A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B conterá os elementos comuns a A e B. Um elemento se, e só se, e .

A região pintada em vermelho é o conjunto .

Analogamente, generalizamos esta definição para uma sequência de conjuntos A1, A2, ... da seguinte forma:

• Complementar (): O evento complementar ao evento A é o conjunto dos elementos do espaço amostral que não pertencem a A. Um elemento se, e só se, e .

O círculo em branco é o conjunto A e a região em verde é o conjunto Complementar de A ().

Consideremos os seguinte eventos, associados ao lançamento de um dado: A = {sair número par} = {2, 4, 6}, B = {sair número ímpar} = {1, 3, 5} e C = {sair número maior que 3} = {4, 5, 6}. Com isso temos que

a) .

b) .

c) e .

d) .

Observação:

Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o conjunto composto por nenhum elemento, que denotaremos por Ø. Este conjunto está contido em qualquer outro evento do espaço amostral.

Definição 1.1.1:

Eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Ou seja, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos se = Ø.

A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares das operações de união, interseção e complementar:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

f) .

Considere uma família enumerável de eventos. Assim, as leis de De Morgan são dadas por:

e

 

As leis de De Morgan são simples de serem demonstradas (exercício), porém serão bastante utilizadas durante nosso curso de probabilidade.

A partir das operações básicas (união, intersecção e complementar), podemos desenvolver novas operações com conjuntos. Considere A e B eventos, definimos a diferença entre estes eventos por .

O conjunto em laranja representa a diferença entre dois conjuntos (A-B).

De forma similar, definimos a diferença simétrica entre dois eventos por .

O conjunto em vermelho representa a diferença simétrica ().

A estrutura que definimos sobre a classe de eventos é denominada álgebra booleana.

Exercício:

Dado uma família finita de eventos , mostre que no qual são disjuntos dois a dois.

O evento implica no evento , denotado por se ou, equivalentemente, se . Assim, dois eventos e tais que e são denominados iguais . Estas relações apresentam as seguintes propriedades:

1) : reflexiva;

2) e implicam que : simétrica;

3) e implicam que : transitiva.

Exercício:

A partir das definições e axiomas definidos neste módulo, mostre que as relações abaixo são válidas para quaisquer eventos e :

1) implica que ;

2) ;

3) ;

4)

5)

Exercício:

Considere o experimento de lançamento de dois dados:

1) Definir o espaço amostral e a classe de eventos;

2) Dados os eventos "soma das faces é número par" e o evento "a soma das faces é maior que 9". Calcule .

Neste curso de probabilidade também precisamos da união e intersecção de classes de conjuntos. Se temos um número finito de conjuntos, basta aplicarmos as operações de união e intersecção diversas vezes. Entretanto, suponha que temos uma coleção infinita de conjuntos . Assim, definimos