1.2 - Noções fundamentais de probabilidade

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A probabilidade é o ato de atribuirmos pesos aos eventos. Entretanto, para que cada um não defina probabilidade de sua forma, vamos exigir que esta função peso tenha algumas propriedades intuitivas. Quando lançamos uma moeda não hesitamos em associar probabilidade $ 1/2 $ para o evento "cara" e também $ 1/2 $ para o evento "coroa". Da mesma forma, quando lançamos uma moeda $ n $ vezes todos os $  2^n $ possíveis resultados deste experimento tem a mesma probabilidade.

Dado um experimento com espaço amostral $ \Omega $, a classe de eventos associada será denotada por $ \mathcal{A} $ e deve satisfazer algumas propriedades:

i) $ \emptyset \in \mathcal{A} $;

ii) Se $ A \in \mathcal{A} $, então $ A^c \in \mathcal{A} $;

iii) Se $ A_1 , A_2 , \cdots \in \mathcal{A} $, então $ \displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\in \mathcal{A} $.

A classe de eventos $ \mathcal{A} $ satisfazendo estas propriedades é denominada $ \sigma $-álgebra. Ao utilizarmos De Morgan, concluímos que a $ \sigma $-álgebra também é fechada por intersecção enumerável, isto é, se $ A_1 , A_2, \cdots \in \mathcal{A} $ então $ \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{A} $. A seguir, vamos introduzir o conceito de probabilidade segundo Kolmogorov.

Definição 1.2.1(Probabilidade):

Para um experimento com espaço amostral $ \Omega $ e classe de eventos $ \mathcal{A} $, a probabilidade, que denotaremos por $ \mathbb{P} $, é uma função que tem domínio na classe de eventos $ (\mathcal{A}) $ e tem como imagem valores numéricos (pesos) entre 0 e 1. Além disso, a probabilidade deve satisfazer os seguintes axiomas:

i) $ \mathbb{P}(\Omega)=1 $ e $ \mathbb{P}(\emptyset)=0 $.

ii) $ 0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1 $, para todo evento $ A $.

iii) Para qualquer sequência de eventos mutuamente exclusivos $ A_1,A_2,\ldots $, isto é, eventos para os quais $ A_i\displaystyle\bigcap A_j=\emptyset $  quando $ i \neq j $, temos que


\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_i).\]

Qualquer função $ \mathbb{P} $ que atribua pesos a eventos associados a um espaço amostral e que satisfaça as propriedades (1), (2) e (3) acima será denominada probabilidade. 

Propriedades da probabilidade

A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares da probabilidade que são obtidas diretamente da definição.

P1. Se $ A^c $ for o evento complementar de $ A $, então $ \mathbb{P}(A) = 1 - \mathbb{P}(A^c) $.

De fato, sendo $ \Omega $ o espaço amostral, temos que


\[\Omega=A\cup A^c\]

onde esta união é disjunta, uma vez que $ A\cap A^c=\emptyset $. Utilizando o axioma 3 da definição de probabilidade segue que


\[\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^c)\Rightarrow \mathbb{P}(A^c)=\mathbb{P}(\Omega)-\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(A)\]

como queríamos.

Uma propriedade importante para calcularmos a probabilidade de ocorrência de eventos associados ao experimento é a regra da soma, que nos dá a probabilidade da união de dois eventos quaisquer.

P2. A probabilidade da união de dois eventos $ A $ e $ B $ é calculada como


\[\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B).\]

De fato, temos que $ A\cup B=A\cup (B- A) $ e $ A\cap(B - A)=\emptyset $, portanto


\[\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B - A).\]

Também temos que $ B=(B- A)\cup(A\cap B) $ com $ (B - A)\cap(A\cap B)=\emptyset $, então


\[\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B - A)+\mathbb{P}(A\cap B).\]

Então, combinando estes dois resultados, temos que


\[\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\]

como queríamos demonstrar.

P3. Se $ A $, $ B $ e $ C $ são três eventos quaisquer, então


\[\mathbb{P}(A\cup B\cup C) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A\cap B)-\mathbb{P}(A\cap C)-\mathbb{P}(B\cap C)+\mathbb{P}(A\cap B\cap C).\]

De fato, temos que


\[A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=(A\cup B)\cup (C - (A\cup B))\]

sendo esta união disjunta. Então pelo axioma 3 da definição de probabilidade, temos que


\[\mathbb{P}(A\cup B\cup C)=\mathbb{P}(A\cup B)+\mathbb{P}(C - (A\cup B)) \qquad (1)\]

e utilizando a propriedade P2 na equação (1) temos


\[\mathbb{P}(A\cup B\cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(C - (A\cup B)).\]

Mas $ C=(C - (A\cup B))\cup(C\cap(A\cup B)) $, sendo que esta união é disjunta, portanto


\[\mathbb{P}(C - (A\cup B))=\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(C\cap(A\cup B)) \qquad (2)\]

Também temos que $ C\cap (A\cup B)=(C\cap A)\cup (C\cap(B-A)) $, e esta união é disjunta. Daí


\[\mathbb{P}(C\cap (A\cup B))=\mathbb{P}(A\cap C)+\mathbb{P}(C\cap(B- A)) \qquad (3)\]

Finalmente, $ C\cap B = (A\cap B\cap C)\cup (C\cap(B- A)) $, o que implica que


\[\mathbb{P}(C\cap(B- A))=\mathbb{P}(B\cap C)-\mathbb{P}(A\cap B\cap C) \qquad (4)\]

já que a união é disjunta.

Então, combinando as equações (1), (2), (3) e (4), concluímos que


\[\mathbb{P}(A\cup B\cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A\cap B)-\mathbb{P}(A\cap C)-\mathbb{P}(B\cap C)+\mathbb{P}(A\cap B\cap C)\]

como queríamos demonstrar.

P4. Se A $ \subset $ B, então $ \mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B) $.

De fato, temos que se $ A\subset B $ então $ B = A\cup (B - A) $, sendo que esta união é disjunta. Portanto, utilizando o axioma 3 da definição de probabilidade, segue que


\[\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B- A).\]

Como $ \mathbb{P}(B- A)\geq 0 $, temos então que $ \mathbb{P}(B)\geq \mathbb{P}(A) $, como queríamos demonstrar.

P5. Se $ A\subset B \Rightarrow \mathbb{P}(B-A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A) $

De fato observe que $ B=A\cup (B-A) $, e ainda que $ A\cap (B-A)=\emptyset $. Assim podemos utilizar o axioma 3


\[\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A\cup (B-A))=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B-A)\Rightarrow \mathbb{P}(B-A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A).\]

P6. Sejam $ A_1,A_2, \cdots  $ eventos aleatórios tais que $ A_n \downarrow \emptyset $, ou seja, $ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots $ e ainda o $ \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}A_n=\emptyset $, então $ P(A_n)\rightarrow 0 $.

Como $ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots $ então


\[A_1=(A_1-A_2)\cup (A_2 - A_3)\cup \cdots = \displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i-A_{i+1}).\]

Isto é ilustrado através do diagrama:

Diagrama de uma sequencia encaixada

Observe que cada $ A_i - A_{i+1} $ são conjuntos disjuntos, pois a sequência é uma sequência decrescente. Pelo axioma 3 temos então que


\[\mathbb{P}(A_1)=\mathbb{P}\left(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i-A_{i+1})\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_i-A_{i+1}).\]

Logo por P5 $ \mathbb{P}(A_i-A_{i+1})=\mathnbb{P}(A_i)-\mathbb{P}(A_{i+1}) $, e portanto


\[\mathbb{P}(A_1)=\lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum _{i=1}^{n-1}\mathbb{P}(A_i-A_{i+1}).\]

Note que os termos da somatória vão se cancelando restando apenas o primeiro e o último, assim


\[\mathbb{P}(A_1)= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(A_1) - \mathbb{P}(A_n)=\mathbb{P}(A_1) - \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(A_n) \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb{P}(A_n)=0.\]

Portanto $ \mathbb{P}(A_n)\rightarrow 0 $.

P7. Sejam $ A_1, A_2, \cdots , A_n $ uma sequência de eventos aleatórios, então


\[\mathbb{P}\left(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i).\]

Vamos mostrar essa propriedade por indução finita, para isto mostremos primeiramente que $ \mathbb{P}(A_1\cup A_2)\leq \mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2) $, de fato por P2


\[\mathbb{P}(A_1\cup A_2)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)-\mathbb{P}(A_1\cap A_2)\Rightarrow \mathbb{P}(A_1\cup A_2)\leq \mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2),\]

 pois $ \mathbb{P}(A_1 \cap A_2)\geq 0 $.  Agora vamos supor que esta propriedade seja válida para $ n-1 $, ou seja, que


\[\mathbb{P}\left(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i\right)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} P(A_i)\]

e mostremos que é válida para $ n $. Note que


\[\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i \cup A_n\right)=\mathbb{P}(C \cup A_n)=\mathbb{P}(C)+\mathbb{P}(A_n)-\mathbb{P}(C\cap A_n)\leq \mathbb{P}(C)+\mathbb{P}(A_n),\]

no qual $ C=\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i  $, e pela nossa hipótese de indução temos que


\[\mathbb{P}(C)+\mathbb{P}(A_n)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \mathbb{P}(A_i) + \mathbb{P}(A_n)= \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i).\]

e, portanto, concluímos nossa demonstração.

P8. (Continuidade da Probabilidade). Se $ A_n\uparrow A $, então


\[\mathbb{P}(A_n)\uparrow \mathbb{P}(A).\]

Similarmente se $ A_n\downarrow A $ então


\[\mathbb{P}(A_n)\downarrow \mathbb{P}(A).\]

Primeiramente vamos considerar o caso em que $ A_n\downarrow A $, ou seja, $ A_{n+1}\subset A_n $ para qualquer $ n\in\mathbb{N} $ e $ \displaystyle \bigcap_{n\geq 1}A_n=A $. Assim sendo, por P4 temos que $ \mathbb{P}(A_{n+1})\leq \mathbb{P}(A_n) $, pois $ A_{n+1}\subset A_n $.

Além disso, por propriedades de conjunto temos que $ A_n-A\downarrow \emptyset $, o que implica por P6 que


$$\mathbb{P}(A_n-A)\rightarrow 0.$$

Por P5 temos que


$$\mathbb{P}(A_n - A)=\mathbb{P}(A_n)-\mathbb{P}(A)\Rightarrow \mathbb{P}(A_n)-\mathbb{P}(A)\rightarrow 0\Rightarrow \mathbb{P}(A_n)\rightarrow \mathbb{P}(A)$$

mas a sequência $ \{\mathbb{P}(A_n)\}_{n\in\mathbb{N}} $ é descrescente por P4, logo $ \mathbb{P}(A_n)\downarrow \mathbb{P}(A) $

Agora se $ A_n\uparrow A $, ou seja $ A_n\subset A_{n+1} $ com $ \displaystyle \bigcup_{n\geq 1}{A_n}=A $, então $ A_n^c\downarrow A^c $. Portanto pelo que foi demonstrado acima temos que


$$\mathbb{P}(A_n^c)\downarrow \mathbb{P}(A^c)$$

ou seja, 


$$1-\mathbb{P}(A_n)\downarrow 1-\mathbb{P}(A)\Rightarrow \mathbb{P}(A_n)\uparrow \mathbb{P}(A)$$

P9. Sejam $ A_1, A_2, \cdots $ uma sequência de eventos aleatórios, então


\[\mathbb{P}\left(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i).\]

Observemos que se definirmos $ C_n=\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}A_i  $, temos então que $ C_n $ é uma sequência monótona crescente, ou seja, $ C_n\uparrow C $, no qual C é definido como $ C=\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i  $. Mas a probabilidade é uma função contínua em uma sequência monótona crescente como podemos ver em P8, assim sendo temos que $ \mathbb{P}(C_n)\uparrow P(C) $.

Mas por P7 temos que


\[\mathbb{P}(C_n)= \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\leq\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i),\]

por outro lado


\[\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)= \mathbb{P}(C)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(C_n)\leq\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i)= \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i),\]

ou seja


\[\mathbb{P}\left(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i).\]

P10. $ \mathbb{P}\left(\displaystyle \bigcap_{k=1}^{n} A_k\right)\geq 1- \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}^{C}) $.

Por De Morgan temos que $ \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n}A_k^{C}=\left(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}A_k\right)^{C} $. Assim


\[1-\mathbb{P}\left(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}A_k\right) = \mathbb{P}\left[\left(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}A_k\right)^{C}\right] = \mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_k^C\right)\Rightarrow \mathbb{P}\left(\displaystyle \bigcap_{k=1}^{n} A_k\right)\geq 1- \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}^{C}).\]

P11. $ \mathbb{P}\left(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k\right)\geq 1- \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{k}^{C}) $.

Tomemos $ C_n=\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n} A_k  $, observe que $ C_n \supset C_{n+1} $, logo $ C_n\downarrow C $, no qual $ C=\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k  $. Assim como a função de probabilidade é continua em uma sequência monótona temos que $ \mathbb{P}(C_n)\downarrow \mathbb{P}(C) $, portanto temos que


\[\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k\right)=\mathbb{P}(C)= \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(C_n)\geq 1-\lim_{n\rightarrow \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i^{C})= 1- \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i^{C}).\]

P12. Se $ \mathbb{P}(A_n)=0 $, para $ n=1,2,\cdots $, então


\[\mathbb{P}\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=0.\]

Por P9 e pela primeiro axioma temos que


\[0\leq \mathbb{P}\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i)=0\Rightarrow \mathbb{P}(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n)=0.\]

P13. Se $ \mathbb{P}(A_n)=1 $, para $ n=1,2,\cdots $, então


\[\mathbb{P}\left(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)=1.\]

Por P11 e pelo primeiro axioma temos que


\[1\geq \mathbb{P}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right) \geq 1- \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i^{C})=1 \Rightarrow \mathbb{P}\left(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)=1.\]

P14. Se $ A_1,A_2, \cdots $ e $ B_1,B_2,\cdots $ são eventos aleatórios, tais que $ \mathbb{P}(A_n)\rightarrow 1 $ e $ \mathbb{P}(B_n)\rightarrow p $, quando $ n \rightarrow \infty $, então $ \mathbb{P}(A_n \cap B_n) \rightarrow p $.

Observemos primeiramente que por P2 $ \mathbb{P}(A_n \cap B_n) = \mathbb{P}(A_n)+\mathbb{P}(B_n) - \mathbb{P}(A_n \cup B_n) $, mas $ \mathbb{P}(A_n)\rightarrow 1 $ e $ \mathbb{P}(B_n)\rightarrow p $ e $ \mathbb{P}(A_n)\leq \mathbb{P}(A_n\cup B_n)\leq 1 $, pois $ A_n \subset (A_n \cup B_n) $, e assim temos que


\[\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(A_n)=1\leq \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(A_n \cup B_n)\leq1 \Rightarrow \mathbb{P}(A_n \cup B_n)\rightarrow 1.\]

Logo, como $ \mathbb{P}(A_n \cap B_n) - \mathbb{P}(B_n)=\mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_n \cup B_n) $, temos então que $ \mathbb{P}(A_n \cap B_n) - \mathbb{P}(B_n)\rightarrow 0 $, e portanto $ \mathbb{P}(A_n \cap B_n) \rightarrow p $.

Exemplo 1.2.1:

Considerando o evento A={sair número par} e o evento C={sair número maior que 3} no lançamento de um dado, temos que


\[\mathbb{P}(A\cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A\cap C)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{2}{6} = \frac{4}{6}.\]

Exemplo 1.2.2:

Consideremos o experimento de lançarmos 3 moedas honestas simultaneamente, e observamos a face voltada para cima. Qual é a probabilidade de obtermos 3 caras? Neste mesmo experimento qual seria a probabilidade de obtermos pelo menos 2 caras?

Primeiramente vamos construir nosso espaço amostral, denotaremos por C=cara e K=coroa.


\[\Omega =\ {(C,C,C);(C,C,K);(C,K,C);(K,C,C);(K,K,C);(K,C,K);(C,K,K);(K,K,K)\}\]

Logo temos que $ \Omega $ tem 8 elementos; o evento A={Obter 3 caras}={(C,C,C)}.

Assim como as moedas são honestas temos que existe igual probabilidade para cada elemento do espaço amostral $ \Omega $

Sendo assim:


\[\mathbb{P}(A)=\frac{\mbox{Número de elementos favoráveis a A}}{\mbox{Número de elementos do espaço amostral}}=\frac{1}{8}\]

Agora vamos analisar a probabilidade de obtermos pelo menos 2 caras. Seja B={obter pelo menos 2 caras}={(C,C,C);(C,C,K);(C,K,C);(K,C,C)}, então


\[\mathbb{P}(B)=\frac{\mbox{Número de elementos favoráveis a B}}{\mbox{Número de elementos do espaço amostral}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.\]

 

Exemplo 1.2.3 - Sejam $ A_1, A_2, \dots $ eventos aleatórios em uma espaço de probabilidade $ (\Omega,\mathbb{A},\mathbb{P}) $, e definam-se

 

$$\limsup_{n\rightarrow \infty} A_n=\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k,$$

 

$$\liminf_{n\rightarrow \infty} A_n=\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k,$$

  Se
 

$$\limsup_{n\rightarrow \infty} A_n=\liminf_{n\rightarrow \infty} A_n=A,$$

  chamamos o evento A de $ \lim_{n\rightarrow \infty} A_n $ (limite de $ A_n $). Demonstre que se $ A=\lim A_n $ então $ \mathbb{P}(A_n)\rightarrow \mathbb{P}(A) $
  quando $ n\rightarrow \infty $.
Dem:
  Fazendo $ B_n=\bigcap_{k=1}^n \bigcup_{j=k}^\infty A_j $ então $ B_1\supseteq B_2 \supseteq \dots $. Então, $ B_n\downarrow \limsup A_n=A $ então pela propriedade
  P8  temos que $ \mathbb{P}(B_n)\downarrow \mathbb{P}(A) $.

  Analogamente $ C_n \uparrow \limsup A_n=A $ então pela propriedade P8 temos que $ \mathbb{P}(C_n)\uparrow \mathbb{P}(A) $

  Agora $ A_n \subset \bigcap_{k=1}^n\bigcup_{j=k}^\infty A_j $ e $ A_n\supseteq \bigcup_{k=1}^n \bigcap_{j=k}^\infty A_j $ e então $ C_n\subset A_n \subset B_n $
  então pela propriedade
 

$$\mathbb{P}(C_n)\leq \mathbb{P}(A_n)\leq \mathbb{P}(B_n)$$

  Então, temos que $ \mathbb{P}(A_n)\rightarrow \mathbb{P}(A). $


 

Proposição 1.2.1:(Desigualdades de Bonferroni) 

As seguintes desigualdades de Bonferroni são válidas

   (i)

$$\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)\leq \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq$$

   

$$\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)+\sum_{1\leq i\textless k\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j\cap A_k)$$

   (ii)Se $ k $ é ímpar, $ k\leq n $, então
   

$$\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i_1\textless i_2\leq n}\mathbb{P}(A_{i_1}\cap A_{i_2})+\dots$$

   

$$+(-1)^{k-1}\sum_{i\leq i_1\textless \dots \textless i_k\leq n}\mathbb{P}(A_{i_1}\cap \dots \cap A_{i_k})$$

   se k é par, $ k\leq n $ vale $ \geq $ nesta última desigualdade.

   Demonstração:

(i) Primeiramente vamos mostrar que
   

$$\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_k)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)\leq \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)$$

   Vamos mostrar por indução, sabemos que $ n=2 $ vale pois $ \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A\cup B). $
   Agora suponhamos que vale para n, então
   

$$\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\right)=\mathbb{P}\left(A_{n+1}\bigcup\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\right)=\mathbb{P}(A_{n+1})+\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)-\mathbb{P}\left(A_{n+1}\bigcap\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\right)$$

   

$$\geq \mathbb{P}(A_{n+1})+\left[\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)\right]-\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n (A_{n+1}\cap A_i)\right)$$

   

$$\geq \sum_{i=1}^{n+1}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n+1} \mathbb{P}(A_i\cap A_j)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n+1} \mathbb{P}(A_i\cap A_j)$$

   Com

$$\left[\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)\right]$$

sendo a hipótese de indução.
   Então, temos que
   

$$\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_k)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)\leq \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)$$

   Agora vamos mostrar que também por indução que
   

$$\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right)\leq \sum_{i=1}^{n+1}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n} \mathbb{P}(A_i\cap A_j)+\sum_{1\leq i\textless j\textless k\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j\cap A_k)$$

   Assim, $ n=3 $ vale a desigualdade pois pela propriedade P3
   Agora suponhamos que vale para $ n $ provamos que vale para $ n+1 $
   

$$\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right)=\mathbb{P}\left(A_{n+1}\cup\left(\bigcup A_i\right)\right)=\mathbb{P}(A_{n+1})+\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\right)-\mathbb{P}\left(A_{n+1}\cap \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\right)$$

   

$$\leq \mathbb{P}(A_{n+1})+\left[\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i\textless j\leq n}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)+\sum_{1\leq i\textless j\textless k \leq n}\mathbb{P}\left(A_i\cap A_j\cap A_k\right)\right]-\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n (A_{n+1}\cap A_i)\right)$$

   Pela desigualdade anterior temos que
   

$$\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{n+1}\cap A_i\right)\geq \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_{n+1}\cap A_i)-\sum_{1\leq i\textless j \leq n}\mathbb{P}(A_{n+1}\cap A_i \cap A_j)$$

   Então, temos que
   

$$\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right)\leq \sum_{i=1}^{n+1}\mathbb{P}(A_i)-\sum_{1\leq i\textless j \leq n+1}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)+ \sum_{1\leq i\textless j \textless k\leq n+1}\mathbb{P}(A_i\cap A_j\cap A_k)$$

   ii) Definimos
   

$$S_1=\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)$$

   

$$S_2=\sum_{1\leq i_1\textless i_2\leq n} \mathbb{P}(A_{i_1}\cap A_{i_2} )$$

   

$$\vdots$$

   

$$S_n=\sum_{1\leq i_1\textless i_2\textless\dots \textless i_n\leq n} \mathbb{P}(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\dots \cap A_{i_n} )$$

   Então por $ (i) $ temos
   

$$\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}S_i \quad \quad \quad \quad (I)$$

   Agora, vamos introduzir a seguinte notação:
   $ P_m= $[ é a probabilidadede que ocorram pelo menos m dos eventos $ A_1, A_2, \dots, A_n $]
   $ P_{\lceil m\rceil}= $[ é a probabilidade de que ocorram exatamente m dos eventos $ A_1, A_2, \dots, A_n $]
   então
   

$$P_m=P_{\lceil m\rceil}+P_{\lceil m+1\rceil}+\dots+P_{\lceil n\rceil}\quad \quad \quad \quad (II)$$

   Agora observe que
   

$$P_{m+1}=P_{m}-P_{\lceil m\rceil}$$

   usando a equação (I), podemos exprimir $ P_m $ em termos de $ S_m,S_{m+1},\dots, S_n $. Assim, temos que
   

$$P_m=S_m-\binom{m}{m-1}S_{m+1}+\binom{m+1}{m-1}S_{m+2}+\dots \pm \binom{n-1}{m-1}S_n\quad \quad \quad \quad (III)$$

   Porém, podemos expressar $ S_v $ em temos de $ P_{\lceil k\rceil} $ da seguinte forma
   

$$S_v=\sum_{k=v}^n \binom{k}{v}P_{\lceil k\rceil}  \quad \quad \quad \quad (IV)$$

   Então, provar a desigualdade de Bonferroni é equivalente a provar para $ m=1 $ que se conservam-se apenas os termos $ S_1, S_2, \dots, S_v $ e podemos
   descartar os termos $ S_{v+1}, S_{v+2}, \dots, S_n $. Então, o erro tem o sinal do primeiro termo omitido (a saber $ (-1)^v $) e é menor em valor absoluto o
   que através de $ (III) $ se verifica quando:
   

$$\sum_{v=t}^n (-1)^{v-t}\binom{v}{1}S_v \geq 0 \quad \quad \quad \quad (V)$$

   para todo $ t=1,2,\dots, n $. Agora de $ (IV) $ em $ (V) $ o que implica que
   

$$\sum_{v=t}^n (-1)^{v-t}\binom{v}{1}\sum_{k=v}^n \binom{n}{v}P_{\lceil k\rceil}$$

   Agora, isto é uma combinação linear dos $ P_{\lceil k\rceil} $, no qual para $ t\leq k\textless n $ o coeficiente de $ P_{\lceil k\rceil} $ é igual a
   

$$\sum_{v=t}^k (-1)^{v-t}\binom{v}{1}\binom{k}{v}=\binom{k}{1}\sum_{v=t}^{k}(-1)^{v-t}\binom{k-1}{v-1}=\binom{k}{1}\binom{k-2}{t-2}\geq 0.$$

   Portanto, (V) é satisfeita e o resultado segue.

 

Probabilidades

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