1.5.1 - Medida de Lebesgue no intervalo (0,1]

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Nesta seção estamos interessados em estudar o experimento de selecionar um ponto ao acaso no intervalo $ (0,1] $. Para este experimento, o espaço amostral é dado por $ \Omega = (0,1] $, que  não é enumerável. Assim, a construção da classe de eventos e a construção da probabilidade sobre esta classe deve ser realizada com cuidado. A classe de eventos, denominada $ \sigma $-álgebra de Borel, será construída a partir de intervalos do espaço amostral juntamente com as operações de união, intersecção e complementar. Paralelamente, utilizaremos a estratégia de construção de números reais para  construirmos uma probabilidade (ou medida de Lebesgue, ou  distribuição uniforme) sobre a classe de eventos, que representa a probabilidade do ponto selecionado pertencer aos eventos da $ \sigma $-álgebra de Borel.

Vamos construir a classe de eventos a partir intervalos abertos à esquerda e fechados à direita,  na forma $ I = (a, b] $ com $ 0 \ \textless \ a \ \textless \ b \leq 1 $. Denotamos por $ \mathfrak{I}_0 $ a classe de subconjuntos de $ \Omega $ dada por:
 0 \ \textless \ a \ \textless \ b \leq 1. \}\]
Com isso, definimos a função de conjunto \mathfrak{I}_0\to [0,1] $ como
\[|I| =|b-a| = b-a \ \ \ \text{se} \ \ \ I \in\mathfrak{I}_0,\]

que representa o "tamanho" do intervalo. Observe que estamos definindo nossa função de conjunto $ | \cdot | $ de forma intuitiva, pois o termo "ao acaso" nos diz que a "chance" do ponto selecionado pertencer ao intervalo é diretamente proporcional ao seu tamanho.  Para estudarmos propriedades desta classe de eventos, introduzimos o conceito de semi-álgebra.

Definição 1.5.1.1(Semi-Álgebra):

Uma classe $ \mathcal{X} $ de subconjuntos de $ \Omega $ é denominada semi-álgebra se esta satisfaz as seguintes condições:
  • $ \emptyset, \Omega \in \mathcal{X} $
  • Se $ A, B \in \mathcal{X} $ então $ A \cap B \in \mathcal{X} $
  • Se $ A \in \mathcal{X} $ então existe $ \{B_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{X}_0 $ tal que $ A^c = \bigcup_{i=1}^nB_i $ com $ B_i \cap B_j = \emptyset $ para $ i\neq j $.
A seguir, vamos mostrar que a classe $ \mathfrak{I}_0 $ é uma semi-álgebra.

Proposição 1.5.1.1:

A classe de eventos $ \mathfrak{I}_0 $ é uma semi-algebra.

Prova:

Por definição de $ \mathfrak{I}_0  $, $ \emptyset \in \mathfrak{I}_0 $ e $ \Omega\in\mathfrak{I}_0 $, o que mostra que o item 1 está satisfeito. Para mostrar que o item 2 é satisfeito,  considere $ A_1 = (a_1, b_1], e A_2 = (a_2, b_2] \in \mathfrak{I}_0 $. Se $ A_1 \cap A_2 = \emptyset $, então $ A_1\cap A_2 \in\mathfrak{I}_0 $. Se $ A_1\cap A_2\neq \emptyset $, três casos podem ocorrer. O primeiro consiste de $ A_1 $ estar inteiramente contido em $ A_2 $. Neste caso, $ A_1\cap A_2 = A_1\in\mathfrak{I}_0 $. O segundo caso consiste de $ A_2 $ estar inteiramente contido em $ A_1 $ e, neste caso, $ A_1\cap A_2 = A_2\in\mathfrak{I}_0 $ e o terceiro caso, consiste na inclusão não estrita. Neste caso, podemos supor, sem perda de generalidade, que $ a_1 \leq a_2 \ \textless b_1\leq b_2 $ e, desta forma,
\[A_1 \cap A_2 = (a_2,b_1] \in \mathfrak{I}_0.\]

 Para verificar o item 3, seja $ A = (a, b] \in \mathfrak{I}_0  $ então $ A^c = (0, a] \cup (b, 1] $ e, apesar de $ A^c \notin \mathfrak{I}_0 $, obtemos que $ A^c  $ é união disjunta de elementos de $ \mathfrak{I}_0 $, já que $ (0,a] $ e $ (b,1] $ pertencem a $ \mathfrak{I}_0 $.  Com isso, concluímos a proposição.

Com objetivo de estendermos a classe de eventos $ \mathfrak{I}_0 $ de tal forma que esta acomode as operações de união finita e complementar,  tomamos a classe de conjunto $ \mathcal{A}  $ formada por uniões finitas disjuntas de elementos de $ \mathfrak{I}_0 $, na forma
 A = B_1\cup B_2\cup \dots \cup B_n; B_i \in \mathfrak{I}_0 \ \text{e} \ B_i \cap B_j = \emptyset\}.\]

Com isso, aumentamos a classe de conjuntos $ \mathfrak{I}_0  $ com novos eventos formado por operações de união finita disjunta de elementos elementares em $ \mathfrak{I}_0 $. Para estudarmos propriedades da classe de eventos $ \mathcal{A} $ introduzimos o conceito de álgebra.

Definição 1.5.1.2(Álgebra):

Dizemos que uma classe de conjunto $ \mathcal{X} $ é uma álgebra, se satisfaz as seguintes condições:
  • $ \emptyset \in \mathcal{X} $
  • Se $ A, B \in \mathcal{X} $ então $ A \cap B \in \mathcal{X} $
  • Se $ A \in \mathcal{X} $ então $ A^c \in \mathcal{X} $
Na sequência, apresentamos algumas propriedades da álgebra de eventos que deixaremos como exercício.

Exercício:  

Considere $ S $ um conjunto qualquer e $ \mathcal{E} $ uma classe de eventos. Mostre que:
a) Se $ S \in \mathcal{E} $ e para todo $ A,B \in \mathcal{E} $, temos que $ A-B=A\cap B^c \in \mathcal{E} $. Então, obtemos que $ \mathcal{E} $ é uma álgebra;
b) Suponha que $ S \in \mathcal{E} $ e que $ \mathcal{E} $ é fechada para operação de complementar e união finita disjunta. Mostre que $ \mathcal{E} $ não necessariamente é uma álgebra.
c) Sejam $ \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2, \cdots $ classes de subconjuntos de $ S $.  Suponha que $ \mathcal{E}_n $são álgebras tais qe $ \athcal{E}_i \subset \mathcal{E}_{i+1} $. Mostre que $ \cup_{i=1}^n \mathcal{E}_i $ é uma álgebra.

Exercício:

Dado $ S $ um conjunto qualquer e $ \mathcal{E} $ uma classe formada por subconjuntos de $ S $. A álgebra $ a(\mathcal{E}) $ gerada por $ \mathcal{E} $ é definida como a intersecção de todas as álgebras em $ S $ que contém $ \mathcal{E} $.  Mostre que $ a(\mathcal{E}) $ é uma algebra tal que $ \mathcal{E} \subset a(\mathcal{E}) $ e que $ a(\mathcal{E}) $ é minimal no seguinte sentido: se $ \mathcal{G} $ é outra álgebra que contém $ \mathcal{E} $, então $ a(\mathcal{E}) \subset \mathcal{G} $.
A seguir, vamos mostrar que a classe de eventos $ \mathcal{A} $ satisfaz as propriedades de álgebra. Assim, obtemos que esta classe é fechada por operações de união e intersecção finita de conjuntos e também é fechada por operação de complementar.

Proposição 1.5.1.2:

A classe de conjuntos $ \mathcal{A} $ é uma álgebra

Prova:

Por construção da classe de conjuntos $ \mathcal{A} $, temos que $ \emptyset\in\mathcal{A} $
Sejam, $ A $ e $ B $ conjuntos de $ \mathcal{A} $, então $ A = A_1\cup \dots \cup A_n $ e $ B = B_1 \cup \dots \cup B_m $ disjuntos. Definimos $ C_{ij} = A_i \cap B_j $. Como $ A_i $ e $ B_j $ pertencem a $ \mathfrak{I}_0 $, que é uma semi álgebra, temos que $ A_i\cap B_j \in \mathfrac{I}_0 $. Observe que $ A\cap B = \cup^n_{i=1} \cup^m_{j=1} C_{ij} $ e então, $ A \cap B $ é união finita de elementos de $ \mathfrak{I}_0 $. Portanto, concluímos que $ A \cap B $ pertence a $ \mathcal{A} $.   
Agora, nos resta mostrar a terceira propriedade de álgebra. Se $ A\in \mathcal{A} $, então $ A = A_1\cup \dots \cup A_n $ disjuntos. Ao aplicarmos a lei de De' Morgan, obtemos que
\[A^c = (\bigcup^n_{i=1}A_i)^c = \bigcap^n_{i=1} A^c_i.\]

Assim, $ A^c $ é interseção finita disjunta de elementos de $ \mathcal{A} $ e portanto pertence à classe de conjuntos $ \mathcal{A} $. Com isso, provamos que a classe $ \mathcal{A} $ é uma álgebra.

Na sequência, vamos estender a função de conjunto $ |\cdot| $, que está definida na semi-álgebra $ \mathfrak{I}_0 $, para uma função de conjunto  \mathcal{A}\to[0,1] $ definida na álgebra $ \mathcal{A} $, de forma que para um intervalo $ A\in\mathfrak{I}_0 $ , $ |A| = \lambda (A) $. Assim, a restrição de $ \lambda $ sobre $ \mathfrak{I}_0 $ é igual a $ |\cdot| $. Neste sentido, dado um conjunto $ A\in \mathcal{A} $, sabemos que $ A=B_1\cup \cdots \cup B_n $ tal que $ B_i \in \mathfrak{I}_0 $, $ B_i \cap B_j = \emptyset $ para $ i\neq j $, então definimos
\[ \lambda(A) = \sum_{i=1}^n | B_i|.\]

Podemos mostrar que, apesar de $ A $ ter várias representações na álgebra de eventos $ \mathcal{A} $, a definição da função de conjunto $ \lambda $ é independente da representação. De fato, se tomarmos $ A=\cup_{\ell=1}^n I_{\ell}=\cup_{i=1}^m J_i $ no qual $ \{I_{\ell}\} $ e $ \{J_{i}\} $ são representações para $ A $, obtemos que

\[ \sum_{\ell=1}^n I_{\ell}=\sum_{\ell=1}^n \sum_{i=1}^m |I_{\ell}\cap J_{i}|=\sum_{i=1}^m |J_i|.\]

Assim, obtemos que a definição da função de conjunto $ \lambda $ é consistente.

Dizemos que uma função de conjunto $ \mu $ é $ \sigma $-aditiva na álgebra $ \mathcal{A} $ se, para toda sequência $ A_1 , A_2 , \cdots $ de elementos de $ \mathcal{A} $ disjuntos $ (A_i \cap A_j = \emptyset, ~i \neq j) $ tal que $  \bigcup A_i \in \mathcal{A} $, temos que
\[ \mu (\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i). \]

A seguir, vamos mostrar que a função de conjunto $ \lambda $ satisfaz a propriedade de $ \sigma $-aditividade na álgebra. 

Teorema 1.5.1.1:

A função de conjunto $ \lambda $ é $ \sigma $-aditiva sobre a álgebra de eventos $ \mathcal{A} $
A prova do Teorema 1.5.1 será dada através de dois lemas.

Lema 1.5.1.1:

Se $ \bigcup_k (a_k, b_k] \subset (a, b] $ é uma sequência disjunta, finita ou infinita de intervalos $ (a_k, b_k] $, então
\[\sum_k (b_k - a_k) \leq (b - a)\]

Prova:

Suponha que exista um número finito de intervalos, digamos n.
É claro que, para $ n = 1 $, a condição é satisfeita. Suponha que a hipótese seja válida para $ n-1 $ intervalos, vamos mostrar que esta também permanece satisfeita para $ n $ intervalos. Como os intervalos são disjuntos e a reta real é totalmente ordenada, podemos considerar o intervalo $ (a_n,b_n] $ de forma que $ a_n $ seja o máximo valor entre $ a_1, a_2, \dots , a_n $ e, desta forma, $ \bigcup^{n-1}_{k=1} (a_k, b_k] \subset (a, a_n] $
Então $ \sum^{n-1}_{k=1} (b_k - a_k) \leq (a_n - a) $ pela hipótese de indução e por isso,
\[\sum^n_{k=1} (b_k - a_k) \leq (a_n - a) + (b_n - a_n) \leq b - a.\]
Se existem infinitos intervalos, cada subcoleção finita de intervalos satisfaz a hipótese do Lema 1.5.1.1 e assim $ \sum^n_{k=1} (b_k - a_k) \leq (b - a) $  pelo caso tratado. Mas como $ n $ é arbitrário, o resultado segue.

Lema 1.5.1.2:

Se $ (a, b] \subset \bigcup_k (a_k, b_k] $ para uma sequência finita ou infinita de intervalos (não necessariamente disjuntos), então $ b - a \leq \sum_{k} (b_k - a_k) $
Prova: Está claro que para $ n = 1 $ a condição é satisfeita. Suponha que o resultado seja válido para $ n-1 $ e que $ (a, b] \subset \bigcup^n_{k=1} (a_k, b_k] $. Suponha que $ a_n \ \textless \ b \leq b_n $. Se $ a_n \leq a  $ o resultado segue imediatamente. Caso contrário, se $ (a,a_n] \subset \bigcup^{n-1}_{k=1} (a_k, b_k] $ então
\[\sum^{n-1}_{k=1} (b_k - a_k) \ge (a_n - a),\]

pela hipótese de indução. Logo,

\[\sum^n_{k=1} (b_k - a_k) \ge (a_n - a) + (b_n - a_n) \ge (b - a).\]

 Portanto, o caso finito segue por indução.

Agora suponha que $ (a, b] \subset \bigcup^{\infty}_{k=1} (a_k, b_k]. $ Se $  0 \textless \varepsilon \textless b - a $ os intervalos abertos $ (a_k, b_k + \varepsilon 2^{-k}) $ formam uma cobertura do intervalo fechado $ [a + \varepsilon , b] $. Como consequência do Teorema de Heine - Borel  obtemos que $ (a + \varepsilon , b] \subset [a + \varepsilon , b] \subset \bigcup^n_{k=1} (a_k, b_k + \varepsilon 2^{-k}) $ para algun n. Desta forma, concluímos que $ (a + \varepsilon , b] \subset \bigcup^{n}_{k=1} (a_k , b_k + \varepsilon 2^{-k}] $. Assim, ao aplicarmos o caso finito, temos que
\[b - (a + \varepsilon ) \leq \sum^n_{k=1} (b_k + \varepsilon 2^{-k} - a_k) \leq \sum^n_{k=1} (b_k - a_k) + \varepsilon .\]

Como $ \varepsilon $ é arbitrário segue o resultado.

Estes dois lemas apresentam os ingrediente básicos para demonstrarmos o Teorema 1.5.1.1. Para isto, tomamos $ A=\cup_k A_k $, no qual $ A $ e os $ \{ A_k\} $ são elementos da álgebra de eventos $ \mathcal{A} $, no qual $ A_i \cap A_j = \emptyset $ para todo $ i\neq j $. Desta forma, obtemos que $ A= \cup_{\ell=1}^{n} I_{\ell} $ e $ A_k = \cup_{i=1}^{m_k} J_{k,i} $ são uniões finitas disjuntas de elementos de $ \mathfrak{I}_0 $. Assim, a partir dos lemas e da definição da função de conjunto $ \lambda $, temos que
\[ \lambda(A)=\sum_{\ell=1}^n |I_{\ell}|=\sum_{\ell=1}^n \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{m_k} |I_{\ell}\cap J_{k,i}|=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{m_k} |J_{k,i}|=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(A_k).\]
Com isso, obtemos que a função de conjunto $ \lambda $ é $ \sigma $-aditiva na álgebra de eventos $ \mathcal{A} $. Se $ A = \bigcup I_n \in \mathcal{A} $ é união enumerável disjunta de elementos de $ \mathcal{A} $, obtemos que
\[\lambda (A) = \sum^{\infty}_{n=1} \lambda (I_n).\]
O teorema 1.5.1 é o ponto de partida para a construção da medida de Lebesgue. O caso finito dos lemas 1.5.1 e 1.5.2 é uma aplicação do princípio da indução. No lema 1.5.1 a passagem do caso finito para infinito é simples. Entretanto, a passagem do caso finito para o caso infinito no lema 1.5.2 envolve o conceito de compacidade (Teorema de Heine-Borel). 
Para a maioria das aplicações, os eventos dados pela álgebra são suficientes para descrever o experimento e seus objetivos. Entretanto, em alguns casos, precisamos lidar com operações enumeráveis de eventos, o que não é coberto pela álgebra $ \mathcal{A} $. Por exemplo, ao avaliarmos convergência de variáveis aleatórias lidamos com operações enumeráveis de conjuntos.  Assim, precisamos estender a função de conjunto $ \lambda $ sobre uma classe de conjuntos que acomode operações enumeráveis com eventos. A seguir, vamos estender a função de conjunto $ \lambda $ definida sobre a álgebra $ \mathcal{A} $ para uma classe maior de eventos denominada $ \sigma $-álgebra de Borel. Para isto, começamos relembrando o conceito de $ \sigma $-álgebra.  

Definição 1.5.1.3:

Uma $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{E} $ é uma coleção de subconjuntos do espaço amostral $ \Omega $ que satisfaz as seguintes condições:
  •  $ \Omega \in \mathcal{E} $.
  •  Se $ A \in \mathcal{E} $ então $ A^{c} \in \mathcal{E} $.
  •  Se $ (A_j)_{j \in \mathbb{N}} $ é uma sequência de elementos de $ \mathcal{E} $ então $ \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{E} $.
Na sequência, apresentamos dois exemplos elementares de $ \sigma $-álgebras.

Exemplo 1.5.1.1:

Seja $ \Omega $ um conjunto qualquer. O conjunto das partes de $ \Omega $, denotado por $ 2^{\Omega} $ é uma $ \sigma $-álgebra. A demonstração deste fato é imediata, uma vez que $ \Omega\in 2^{\Omega} $, se $ A\in 2^{\Omega} $, então $ A^c=\Omega-A\in 2^{\Omega} $ e se $ (A_j)_{j\in\mathbb{N}}\in 2^{\Omega} $ então $ \bigcup_{j=1}^\infty A_j\in 2^{\Omega} $. Esta $ \sigma $-álgebra é denominada $ \sigma $-álgebra maximal do conjunto $ \Omega $.

Exemplo 1.5.1.2:

Seja $ \Omega $ um conjunto não enumerável e considere a classe $ \mathcal{E} $ dada por
 A \ \text{é enumerável ou} \ A^c \ \text{é enumerável}\}.\]

Então $ \mathcal{E} $ é uma $ \sigma $-álgebra. De fato, temos que  $ \Omega \in \mathcal{E}  $ pois $ \Omega^c = \emptyset  $ é um conjunto enumerável. Se $ A \in \mathcal{E} $ então ou $ A  $ é enumerável ou $ A^c  $ é enumerável, mas então ou $ A^c  $ é enumerável ou $ (A^c)^c = A  $ é enumerável, logo $ A^c \in \mathcal{E}  $. Seja $ \{A_j \}_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} $ e considere $ \cup A_j $. Neste caso, duas coisas podem ocorrer:

 
1) Todos os elementos de $ \{A_j\} $ são enumeráveis. Neste caso $ \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j $ é uma união enumerável de conjuntos enumeráveis, que é um conjunto enumerável, logo $ \cup_{j \in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{E} $.
2) Por outro lado, suponha que ao menos um elemento $ A_{j_0}  $ seja não enumerável, neste caso obtemos que $ A^c_{j_0}  $ é enumerável. Desta forma, concluímos que
\[\left(\bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j\right)^c = \bigcap_{j \in N} A^c_j \subset A^c_{j_0}.\]

Logo $ \left(\bigcup_{j\in\mathbb{N}}A_j\right)^c $ é enumerável e assim $ \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{E} $. Assim, obtemos que $ \mathcal{E} $ é uma $ \sigma $-álgebra.

 
Dado um conjunto qualquer $ S $ e $ \mathcal{G} $ uma classe não vazia de subconjuntos de $ S $. A $ \sigma $-álgebra gerada por $ \mathcal{G} $, que será denotada por$ \sigma(\mathcal{G}) $, é a menor $ \sigma $-álgebra que contém a classe de eventos $ \mathcal{G} $. Obviamente, precisamos checar se tal "menor" $ \sigma $-álgebra existe. Para isto, basta mostrarmos o seguinte fato. Dado $ \mathbb{X} $ uma coleção não vazia de $ \sigma $-álgebras de subconjuntos $ S $, a intersecção $ \cap \mathbb{X} $ das $ \sigma $-álgebras também é uma $ \sigma $-álgebra. Aqui, tomamos
A \in \mathcal{F},~ ~\text{para toda}~~\mathcal{F}\in \mathbb{X}\}.\]

Este fato, de fácil demonstração será deixado para o leitor verificar.  Dado uma classe não vazia $ \mathcal{G} $ de subconjuntos de $ S $, denotamos por $ \mathbb{X}_{\mathcal{G}} $ a coleção de todas as $ \sigma $-álgebras que contém a classe $ \mathcal{G} $. Desde que o conjunto das partes $ 2^{S}\in \mathbb{X}_{\mathcal{G}} $, concluímos que $ \mathbb{X}_{\mathcal{G}} $ é não vazio.  Assim, a classe de conjuntos $ \cap \mathbb{X}_{\mathcal{G}} $ é a menor $ \sigma $-álgebra que contém $ \mathcal{G} $, no qual "menor" significa que para qualquer $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $ tal que $ \mathcal{G}\subset \mathcal{F} $, temos que $ \cap\mathbb{X}_{\mathcal{G}} \subset \mathcal{F} $. Portanto, concluímos que $ \cap \mathbb{X}_{\mathcal{G}}=\sigma(\mathcal{G}). $ Obviamente, se $ \mathcal{G} $ é uma $ \sigma $-álgebra obtemos que $ \sigma(\mathcal{G}) = \mathcal{G}. $ 

 
A $ \sigma $-álgebra de Borel dos subconjuntos do intervalo $ (0,1] $, que será denotada por $ \beta((0,1]) $, é a menor $ \sigma $-álgebra que contém a álgebra de eventos $ \mathcal{A} $. Obviamente que esta classe contém conjuntos na forma: $ [1/2,2/3];\{1/2\} $. Para provarmos este fato, basta observarmos que intervalos fechado podem ser gerados a partir de intersecções enumeráveis de intervalos aberto (e, vice versa).  Por exemplo, temos que
\[(a,b)=\cup_{i=1}^{\infty} (a,b-\frac{1}{n}],\quad [a,b)=\cap_{i=1}^{\infty} (a-\frac{1}{n},b),\quad \{a\}=\cap_{i=1}^{\infty} [a,a+\frac{1}{n})\quad \text{e} \quad [a,b]=[a,b)\cup \{b\}.\]

Desde que, todo subconjunto aberto do intervalo $ (0,1] $ é a união enumerável de intervalos aberto disjuntos, concluímos que os conjuntos aberto são elementos da $ \sigma $-álgebra de Borel $ \beta((0,1]) $

Exercício:

Mostre que a $ \sigma $-álgebra de Borel do intervalo $ (0,1] $ é a menor $ \sigma $-álgebra que contém:
  • os intervalos abertos, na forma: $ (a,b) $ tal que $ 0\textless a\textless b\leq 1 $; ou
  • os intervalos fechados, na forma:$ [a,b] $ tal que $ 0\textless a\textless b\leq 1 $; ou
  • os conjuntos abertos; ou
  • os conjuntos fechados; ou
  • os conjuntos compactos.

Exercício: 

Mostre que existe uma sequência de conjuntos $ \mathcal{D}=\{D_1,D_2, \cdots \} $ que gera a $ \sigma $-álgebra de Borel. 

O teorema 1.5.1.1 nos garante que a função de conjunto $ \lambda $ é $ \sigma $-aditiva sobre álgebra de eventos $ \mathcal{A} $.  A extensão da função de conjunto $ \lambda $ para a $ \sigma $-álgebra gerada por $ \mathcal{A} $  será denotada por $ \mathbb{P} $ e denominada medida de Lebesgue ou probabilidade uniforme. Esta construção segue do teorema de extensão de Caratheodory.

Probabilidades

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