1.5.1 - Medida de Lebesgue no intervalo (0,1]

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Nesta seção estamos interessados em estudar o experimento de selecionar um ponto ao acaso no intervalo $(0,1]$. Para este experimento, o espaço amostral é dado por $\Omega = (0,1]$, que  não é enumerável. Assim, a construção da classe de eventos e a construção da probabilidade sobre esta classe deve ser realizada com cuidado. A classe de eventos, denominada $\sigma$-álgebra de Borel, será construída a partir de intervalos do espaço amostral juntamente com as operações de união, intersecção e complementar. Paralelamente, utilizaremos a estratégia de construção de números reais para  construirmos uma probabilidade (ou medida de Lebesgue, ou  distribuição uniforme) sobre a classe de eventos, que representa a probabilidade do ponto selecionado pertencer aos eventos da $\sigma$-álgebra de Borel.

Vamos construir a classe de eventos a partir intervalos abertos à esquerda e fechados à direita,  na forma $I = (a, b]$ com $0 \ < \ a \ < \ b \leq 1$. Denotamos por $\mathfrak{I}_0$ a classe de subconjuntos de $\Omega$ dada por:
\[\mathfrak{I}_0 = \{\emptyset; \Omega; (a, b] : 0 \ < \ a \ < \ b \leq 1. \}\]
Com isso, definimos a função de conjunto $|\cdot|:\mathfrak{I}_0\to [0,1]$ como
\[|I| =|b-a| = b-a \ \ \ \text{se} \ \ \ I \in\mathfrak{I}_0,\] que representa o "tamanho" do intervalo. Observe que estamos definindo nossa função de conjunto $| \cdot |$ de forma intuitiva, pois o termo "ao acaso" nos diz que a "chance" do ponto selecionado pertencer ao intervalo é diretamente proporcional ao seu tamanho.  Para estudarmos propriedades desta classe de eventos, introduzimos o conceito de semi-álgebra.

Definição 1.5.1.1(Semi-Álgebra):

Uma classe $\mathcal{X}$ de subconjuntos de $\Omega$ é denominada semi-álgebra se esta satisfaz as seguintes condições:
  • $\emptyset, \Omega \in \mathcal{X}$
  • Se $A, B \in \mathcal{X}$ então $A \cap B \in \mathcal{X}$
  • Se $A \in \mathcal{X}$ então existe $\{B_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{X}_0$ tal que $A^c = \bigcup_{i=1}^nB_i$ com $B_i \cap B_j = \emptyset$ para $i\neq j$.
A seguir, vamos mostrar que a classe $\mathfrak{I}_0$ é uma semi-álgebra.

Proposição 1.5.1.1:

A classe de eventos $\mathfrak{I}_0$ é uma semi-algebra.

Prova:

Por definição de $\mathfrak{I}_0 $, $\emptyset \in \mathfrak{I}_0$ e $\Omega\in\mathfrak{I}_0$, o que mostra que o item 1 está satisfeito. Para mostrar que o item 2 é satisfeito,  considere $A_1 = (a_1, b_1], e A_2 = (a_2, b_2] \in \mathfrak{I}_0$. Se $A_1 \cap A_2 = \emptyset$, então $A_1\cap A_2 \in\mathfrak{I}_0$. Se $A_1\cap A_2\neq \emptyset$, três casos podem ocorrer. O primeiro consiste de $A_1$ estar inteiramente contido em $A_2$. Neste caso, $A_1\cap A_2 = A_1\in\mathfrak{I}_0$. O segundo caso consiste de $A_2$ estar inteiramente contido em $A_1$ e, neste caso, $A_1\cap A_2 = A_2\in\mathfrak{I}_0$ e o terceiro caso, consiste na inclusão não estrita. Neste caso, podemos supor, sem perda de generalidade, que $a_1 \leq a_2 \ < b_1\leq b_2$ e, desta forma, \[A_1 \cap A_2 = (a_2,b_1] \in \mathfrak{I}_0.\]  Para verificar o item 3, seja $A = (a, b] \in \mathfrak{I}_0 $ então $A^c = (0, a] \cup (b, 1]$ e, apesar de $A^c \notin \mathfrak{I}_0$, obtemos que $A^c $ é união disjunta de elementos de $\mathfrak{I}_0$, já que $(0,a]$ e $(b,1]$ pertencem a $\mathfrak{I}_0$.  Com isso, concluímos a proposição.
Com objetivo de estendermos a classe de eventos $\mathfrak{I}_0$ de tal forma que esta acomode as operações de união finita e complementar,  tomamos a classe de conjunto $\mathcal{A} $ formada por uniões finitas disjuntas de elementos de $\mathfrak{I}_0$, na forma \[\mathcal{A} = \{A\subset(0, 1]: A = B_1\cup B_2\cup \dots \cup B_n; B_i \in \mathfrak{I}_0 \ \text{e} \ B_i \cap B_j = \emptyset\}.\] Com isso, aumentamos a classe de conjuntos $\mathfrak{I}_0 $ com novos eventos formado por operações de união finita disjunta de elementos elementares em $\mathfrak{I}_0$. Para estudarmos propriedades da classe de eventos $\mathcal{A}$ introduzimos o conceito de álgebra.

Definição 1.5.1.2(Álgebra):

Dizemos que uma classe de conjunto $\mathcal{X}$ é uma álgebra, se satisfaz as seguintes condições:
  • $\emptyset \in \mathcal{X}$
  • Se $A, B \in \mathcal{X}$ então $A \cap B \in \mathcal{X}$
  • Se $A \in \mathcal{X}$ então $A^c \in \mathcal{X}$
Na sequência, apresentamos algumas propriedades da álgebra de eventos que deixaremos como exercício.

Exercício:  

Considere $S$ um conjunto qualquer e $\mathcal{E}$ uma classe de eventos. Mostre que:
a) Se $S \in \mathcal{E}$ e para todo $A,B \in \mathcal{E}$, temos que $A-B=A\cap B^c \in \mathcal{E}$. Então, obtemos que $\mathcal{E}$ é uma álgebra;
b) Suponha que $S \in \mathcal{E}$ e que $\mathcal{E}$ é fechada para operação de complementar e união finita disjunta. Mostre que $\mathcal{E}$ não necessariamente é uma álgebra.
c) Sejam $\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2, \cdots$ classes de subconjuntos de $S$.  Suponha que $\mathcal{E}_n$são álgebras tais qe $\mathcal{E}_i \subset \mathcal{E}_{i+1}$. Mostre que $\cup_{i=1}^n \mathcal{E}_i$ é uma álgebra.

Exercício:

Dado $S$ um conjunto qualquer e $\mathcal{E}$ uma classe formada por subconjuntos de $S$. A álgebra $a(\mathcal{E})$ gerada por $\mathcal{E}$ é definida como a intersecção de todas as álgebras em $S$ que contém $\mathcal{E}$.  Mostre que $a(\mathcal{E})$ é uma algebra tal que $\mathcal{E} \subset a(\mathcal{E})$ e que $a(\mathcal{E})$ é minimal no seguinte sentido: se $\mathcal{G}$ é outra álgebra que contém $\mathcal{E}$, então $a(\mathcal{E}) \subset \mathcal{G}$.
A seguir, vamos mostrar que a classe de eventos $\mathcal{A}$ satisfaz as propriedades de álgebra. Assim, obtemos que esta classe é fechada por operações de união e intersecção finita de conjuntos e também é fechada por operação de complementar.

Proposição 1.5.1.2:

A classe de conjuntos $\mathcal{A}$ é uma álgebra

Prova:

Por construção da classe de conjuntos $\mathcal{A}$, temos que $\emptyset\in\mathcal{A}$. 
Sejam, $A$ e $B$ conjuntos de $\mathcal{A}$, então $A = A_1\cup \dots \cup A_n$ e $B = B_1 \cup \dots \cup B_m$ disjuntos. Definimos $C_{ij} = A_i \cap B_j$. Como $A_i$ e $B_j$ pertencem a $\mathfrak{I}_0$, que é uma semi álgebra, temos que $A_i\cap B_j \in \mathfrak{I}_0$. Observe que $A\cap B = \cup^n_{i=1} \cup^m_{j=1} C_{ij}$ e então, $A \cap B$ é união finita de elementos de $\mathfrak{I}_0$. Portanto, concluímos que $A \cap B$ pertence a $\mathcal{A}$.   
Agora, nos resta mostrar a terceira propriedade de álgebra. Se $A\in \mathcal{A}$, então $A = A_1\cup \dots \cup A_n$ disjuntos. Ao aplicarmos a lei de De' Morgan, obtemos que \[A^c = (\bigcup^n_{i=1}A_i)^c = \bigcap^n_{i=1} A^c_i.\] Assim, $A^c$ é interseção finita disjunta de elementos de $\mathcal{A}$ e portanto pertence à classe de conjuntos $\mathcal{A}$. Com isso, provamos que a classe $\mathcal{A}$ é uma álgebra.
Na sequência, vamos estender a função de conjunto $|\cdot|$, que está definida na semi-álgebra $\mathfrak{I}_0$, para uma função de conjunto $\lambda: \mathcal{A}\to[0,1]$ definida na álgebra $\mathcal{A}$, de forma que para um intervalo $A\in\mathfrak{I}_0$ , $|A| = \lambda (A)$. Assim, a restrição de $\lambda$ sobre $\mathfrak{I}_0$ é igual a $|\cdot|$. Neste sentido, dado um conjunto $A\in \mathcal{A}$, sabemos que $A=B_1\cup \cdots \cup B_n$ tal que $B_i \in \mathfrak{I}_0$, $B_i \cap B_j = \emptyset$ para $i\neq j$, então definimos \[ \lambda(A) = \sum_{i=1}^n | B_i|.\] Podemos mostrar que, apesar de $A$ ter várias representações na álgebra de eventos $\mathcal{A}$, a definição da função de conjunto $\lambda$ é independente da representação. De fato, se tomarmos $A=\cup_{\ell=1}^n I_{\ell}=\cup_{i=1}^m J_i$ no qual $\{I_{\ell}\}$ e $\{J_{i}\}$ são representações para $A$, obtemos que \[ \sum_{\ell=1}^n I_{\ell}=\sum_{\ell=1}^n \sum_{i=1}^m |I_{\ell}\cap J_{i}|=\sum_{i=1}^m |J_i|.\] Assim, obtemos que a definição da função de conjunto $\lambda$ é consistente.
Dizemos que uma função de conjunto $\mu$ é $\sigma$-aditiva na álgebra $\mathcal{A}$ se, para toda sequência $A_1 , A_2 , \cdots$ de elementos de $\mathcal{A}$ disjuntos $(A_i \cap A_j = \emptyset, ~i \neq j)$ tal que $ \bigcup A_i \in \mathcal{A}$, temos que \[ \mu (\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i). \] A seguir, vamos mostrar que a função de conjunto $\lambda$ satisfaz a propriedade de $\sigma$-aditividade na álgebra. 

Teorema 1.5.1.1:

A função de conjunto $\lambda$ é $\sigma$-aditiva sobre a álgebra de eventos $\mathcal{A}$. 
A prova do Teorema 1.5.1 será dada através de dois lemas.

Lema 1.5.1.1:

Se $\bigcup_k (a_k, b_k] \subset (a, b]$ é uma sequência disjunta, finita ou infinita de intervalos $(a_k, b_k]$, então
\[\sum_k (b_k - a_k) \leq (b - a)\]

Prova:

Suponha que exista um número finito de intervalos, digamos n.
É claro que, para $n = 1$, a condição é satisfeita. Suponha que a hipótese seja válida para $n-1$ intervalos, vamos mostrar que esta também permanece satisfeita para $n$ intervalos. Como os intervalos são disjuntos e a reta real é totalmente ordenada, podemos considerar o intervalo $(a_n,b_n]$ de forma que $a_n$ seja o máximo valor entre $a_1, a_2, \dots , a_n$ e, desta forma, $\bigcup^{n-1}_{k=1} (a_k, b_k] \subset (a, a_n]$
Então $\sum^{n-1}_{k=1} (b_k - a_k) \leq (a_n - a)$ pela hipótese de indução e por isso,\[\sum^n_{k=1} (b_k - a_k) \leq (a_n - a) + (b_n - a_n) \leq b - a.\]
Se existem infinitos intervalos, cada subcoleção finita de intervalos satisfaz a hipótese do Lema 1.5.1.1 e assim $\sum^n_{k=1} (b_k - a_k) \leq (b - a)$  pelo caso tratado. Mas como $n$ é arbitrário, o resultado segue.

Lema 1.5.1.2:

Se $(a, b] \subset \bigcup_k (a_k, b_k]$ para uma sequência finita ou infinita de intervalos (não necessariamente disjuntos), então $b - a \leq \sum_{k} (b_k - a_k)$
Prova: Está claro que para $n = 1$ a condição é satisfeita. Suponha que o resultado seja válido para $n-1$ e que $(a, b] \subset \bigcup^n_{k=1} (a_k, b_k]$. Suponha que $a_n \ < \ b \leq b_n$. Se $a_n \leq a $ o resultado segue imediatamente. Caso contrário, se $(a,a_n] \subset \bigcup^{n-1}_{k=1} (a_k, b_k]$ então \[\sum^{n-1}_{k=1} (b_k - a_k) \ge (a_n - a),\] pela hipótese de indução. Logo, \[\sum^n_{k=1} (b_k - a_k) \ge (a_n - a) + (b_n - a_n) \ge (b - a).\]  Portanto, o caso finito segue por indução.
Agora suponha que $(a, b] \subset \bigcup^{\infty}_{k=1} (a_k, b_k].$ Se $ 0 < \varepsilon < b - a$ os intervalos abertos $(a_k, b_k + \varepsilon 2^{-k})$ formam uma cobertura do intervalo fechado $[a + \varepsilon , b]$. Como consequência do Teorema de Heine - Borel  obtemos que $(a + \varepsilon , b] \subset [a + \varepsilon , b] \subset \bigcup^n_{k=1} (a_k, b_k + \varepsilon 2^{-k})$ para algun n. Desta forma, concluímos que $(a + \varepsilon , b] \subset \bigcup^{n}_{k=1} (a_k , b_k + \varepsilon 2^{-k}]$. Assim, ao aplicarmos o caso finito, temos que \[b - (a + \varepsilon ) \leq \sum^n_{k=1} (b_k + \varepsilon 2^{-k} - a_k) \leq \sum^n_{k=1} (b_k - a_k) + \varepsilon .\] Como $\varepsilon$ é arbitrário segue o resultado.
Estes dois lemas apresentam os ingrediente básicos para demonstrarmos o Teorema 1.5.1.1. Para isto, tomamos $A=\cup_k A_k$, no qual $A$ e os $\{ A_k\}$ são elementos da álgebra de eventos $\mathcal{A}$, no qual $A_i \cap A_j = \emptyset$ para todo $i\neq j$. Desta forma, obtemos que $A= \cup_{\ell=1}^{n} I_{\ell}$ e $A_k = \cup_{i=1}^{m_k} J_{k,i}$ são uniões finitas disjuntas de elementos de $\mathfrak{I}_0$. Assim, a partir dos lemas e da definição da função de conjunto $\lambda$, temos que \[ \lambda(A)=\sum_{\ell=1}^n |I_{\ell}|=\sum_{\ell=1}^n \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{m_k} |I_{\ell}\cap J_{k,i}|=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{m_k} |J_{k,i}|=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(A_k).\]
Com isso, obtemos que a função de conjunto $\lambda$ é $\sigma$-aditiva na álgebra de eventos $\mathcal{A}$. Se $A = \bigcup I_n \in \mathcal{A}$ é união enumerável disjunta de elementos de $\mathcal{A}$, obtemos que \[\lambda (A) = \sum^{\infty}_{n=1} \lambda (I_n).\]
O teorema 1.5.1 é o ponto de partida para a construção da medida de Lebesgue. O caso finito dos lemas 1.5.1 e 1.5.2 é uma aplicação do princípio da indução. No lema 1.5.1 a passagem do caso finito para infinito é simples. Entretanto, a passagem do caso finito para o caso infinito no lema 1.5.2 envolve o conceito de compacidade (Teorema de Heine-Borel). 
Para a maioria das aplicações, os eventos dados pela álgebra são suficientes para descrever o experimento e seus objetivos. Entretanto, em alguns casos, precisamos lidar com operações enumeráveis de eventos, o que não é coberto pela álgebra $\mathcal{A}$. Por exemplo, ao avaliarmos convergência de variáveis aleatórias lidamos com operações enumeráveis de conjuntos.  Assim, precisamos estender a função de conjunto $\lambda$ sobre uma classe de conjuntos que acomode operações enumeráveis com eventos. A seguir, vamos estender a função de conjunto $\lambda$ definida sobre a álgebra $\mathcal{A}$ para uma classe maior de eventos denominada $\sigma$-álgebra de Borel. Para isto, começamos relembrando o conceito de $\sigma$-álgebra.  

Definição 1.5.1.3:

Uma $\sigma$-álgebra $\mathcal{E}$ é uma coleção de subconjuntos do espaço amostral $\Omega$ que satisfaz as seguintes condições:
  •  $\Omega \in \mathcal{E}$.
  •  Se $A \in \mathcal{E}$ então $A^{c} \in \mathcal{E}$.
  •  Se $(A_j)_{j \in \mathbb{N}}$ é uma sequência de elementos de $\mathcal{E}$ então $\bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{E}$.
Na sequência, apresentamos dois exemplos elementares de $\sigma$-álgebras.

Exemplo 1.5.1.1:

Seja $\Omega$ um conjunto qualquer. O conjunto das partes de $\Omega$, denotado por $2^{\Omega}$ é uma $\sigma$-álgebra. A demonstração deste fato é imediata, uma vez que $\Omega\in 2^{\Omega}$, se $A\in 2^{\Omega}$, então $A^c=\Omega-A\in 2^{\Omega}$ e se $(A_j)_{j\in\mathbb{N}}\in 2^{\Omega}$ então $\bigcup_{j=1}^\infty A_j\in 2^{\Omega}$. Esta $\sigma$-álgebra é denominada $\sigma$-álgebra maximal do conjunto $\Omega$.

Exemplo 1.5.1.2:

Seja $\Omega$ um conjunto não enumerável e considere a classe $\mathcal{E}$ dada por\[\mathcal{E} = \{A \subset \Omega: A \ \text{é enumerável ou} \ A^c \ \text{é enumerável}\}.\] Então $\mathcal{E}$ é uma $\sigma$-álgebra. De fato, temos que  $\Omega \in \mathcal{E} $ pois $\Omega^c = \emptyset $ é um conjunto enumerável. Se $A \in \mathcal{E}$ então ou $A $ é enumerável ou $A^c $ é enumerável, mas então ou $A^c $ é enumerável ou $(A^c)^c = A $ é enumerável, logo $A^c \in \mathcal{E} $. Seja $\{A_j \}_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E}$ e considere $\cup A_j$. Neste caso, duas coisas podem ocorrer:
 
1) Todos os elementos de $\{A_j\}$ são enumeráveis. Neste caso $\bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j$ é uma união enumerável de conjuntos enumeráveis, que é um conjunto enumerável, logo $\cup_{j \in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{E}$.
2) Por outro lado, suponha que ao menos um elemento $A_{j_0} $ seja não enumerável, neste caso obtemos que $A^c_{j_0} $ é enumerável. Desta forma, concluímos que \[\left(\bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j\right)^c = \bigcap_{j \in N} A^c_j \subset A^c_{j_0}.\] Logo $\left(\bigcup_{j\in\mathbb{N}}A_j\right)^c$ é enumerável e assim $\bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{E}$. Assim, obtemos que $\mathcal{E}$ é uma $\sigma$-álgebra.
 
Dado um conjunto qualquer $S$ e $\mathcal{G}$ uma classe não vazia de subconjuntos de $S$. A $\sigma$-álgebra gerada por $\mathcal{G}$, que será denotada por$\sigma(\mathcal{G})$, é a menor $\sigma$-álgebra que contém a classe de eventos $\mathcal{G}$. Obviamente, precisamos checar se tal "menor" $\sigma$-álgebra existe. Para isto, basta mostrarmos o seguinte fato. Dado $\mathbb{X}$ uma coleção não vazia de $\sigma$-álgebras de subconjuntos $S$, a intersecção $\cap \mathbb{X}$ das $\sigma$-álgebras também é uma $\sigma$-álgebra. Aqui, tomamos \[\cap \mathbb{X}=\{A\subset S:A \in \mathcal{F},~ ~\text{para toda}~~\mathcal{F}\in \mathbb{X}\}.\] Este fato, de fácil demonstração será deixado para o leitor verificar.  Dado uma classe não vazia $\mathcal{G}$ de subconjuntos de $S$, denotamos por $\mathbb{X}_{\mathcal{G}}$ a coleção de todas as $\sigma$-álgebras que contém a classe $\mathcal{G}$. Desde que o conjunto das partes $2^{S}\in \mathbb{X}_{\mathcal{G}}$, concluímos que $\mathbb{X}_{\mathcal{G}}$ é não vazio.  Assim, a classe de conjuntos $\cap \mathbb{X}_{\mathcal{G}}$ é a menor $\sigma$-álgebra que contém $\mathcal{G}$, no qual "menor" significa que para qualquer $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ tal que $\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$, temos que $\cap\mathbb{X}_{\mathcal{G}} \subset \mathcal{F}$. Portanto, concluímos que $\cap \mathbb{X}_{\mathcal{G}}=\sigma(\mathcal{G}).$ Obviamente, se $\mathcal{G}$ é uma $\sigma$-álgebra obtemos que $\sigma(\mathcal{G}) = \mathcal{G}.$ 
 
A $\sigma$-álgebra de Borel dos subconjuntos do intervalo $(0,1]$, que será denotada por $\beta((0,1])$, é a menor $\sigma$-álgebra que contém a álgebra de eventos $\mathcal{A}$. Obviamente que esta classe contém conjuntos na forma: $[1/2,2/3];\{1/2\}$. Para provarmos este fato, basta observarmos que intervalos fechado podem ser gerados a partir de intersecções enumeráveis de intervalos aberto (e, vice versa).  Por exemplo, temos que \[(a,b)=\cup_{i=1}^{\infty} (a,b-\frac{1}{n}],\quad [a,b)=\cap_{i=1}^{\infty} (a-\frac{1}{n},b),\quad \{a\}=\cap_{i=1}^{\infty} [a,a+\frac{1}{n})\quad \text{e} \quad [a,b]=[a,b)\cup \{b\}.\] Desde que, todo subconjunto aberto do intervalo $(0,1]$ é a união enumerável de intervalos aberto disjuntos, concluímos que os conjuntos aberto são elementos da $\sigma$-álgebra de Borel $\beta((0,1])$. 

Exercício:

Mostre que a $\sigma$-álgebra de Borel do intervalo $(0,1]$ é a menor $\sigma$-álgebra que contém:
  • os intervalos abertos, na forma: $(a,b)$ tal que $0< a< b\leq 1$; ou
  • os intervalos fechados, na forma:$[a,b]$ tal que $0< a< b\leq 1$; ou
  • os conjuntos abertos; ou
  • os conjuntos fechados; ou
  • os conjuntos compactos.

Exercício: 

Mostre que existe uma sequência de conjuntos $\mathcal{D}=\{D_1,D_2, \cdots \}$ que gera a $\sigma$-álgebra de Borel. 

O teorema 1.5.1.1 nos garante que a função de conjunto $\lambda$ é $\sigma$-aditiva sobre álgebra de eventos $\mathcal{A}$.  A extensão da função de conjunto $\lambda$ para a $\sigma$-álgebra gerada por $\mathcal{A}$  será denotada por $\mathbb{P}$ e denominada medida de Lebesgue ou probabilidade uniforme. Esta construção segue do teorema de extensão de Caratheodory.

Probabilidades

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