1.5.2 - Espaço de Cantor

O espaço de Cantor é um espaço metrizável compacto que é a base para a construção dos principais espaços de probabilidade. Aqui, definimos o espaço de Cantor $S^{\infty}$ como o produto Cartesiano enumerável do espaço  $S=\{0, 1\} $, isto é, $S^{\infty}$ é o espaço das sequências de zeros e uns. Com base nesta definição, vamos construir  a classe de eventos mensuráveis através do produto das $\sigma $- álgebras elementares do espaço binário $S$, que será  denotada por $\mathcal{A}$. Através de propriedades simples do espaço mensurável $(S^{\infty}, \mathcal{A})$, mostraremos que toda probabilidade $\mathbb{P}$ sobre $(S^{\infty}, \mathcal{A})$, satisfaz

\[\mathbb{P}(A) = \sup \{\mathbb{P}(C): C \subset A, C \in \xi \} ~~~ A \in \mathcal{A},\]  no qual $\xi$ é a classe dos subconjuntos compactos do $S^{\infty}$.  

Por outro lado, ao tomarmos $S$ com a topologia discreta e $S^\infty$ com a topologia produto $\tau$ de Tychonov, mostraremos que $S^\infty$ é um espaço metrizável compacto. Com a topologia produto, mostramos que $\mathcal{A}$ corresponde a $\sigma$-álgebra gerada pelos abertos e que que $\xi$ é a classe dos subconjuntos compactos. Desde que $S^\infty$ é o produto enumerável do espaço binário $S$, facilmente mostramos que $\tau$ é separável e Hausdorff. Estas mesmas propriedades são estendidas a $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$. Portanto o espaço mensurável $(S^{\infty}, \mathcal{A})$ é separável, Hausdorff e toda probabilidade $\mathbb{P}$ sobre $\mathcal{A}$ pode ser aproximada pela probabilidade $\mathbb{P}$ sobre a classe de conjuntos compactos $\xi$.

Espaço de Probabilidade

Ao lançarmos uma moeda, obtemos como resultado do lançamento cara ou coroa. Denotamos por $\Omega_0 $ o espaço formado pelos possíveis resultados obtido no lançamento, isto é, $\Omega _0 = \{\text{cara}, \text{coroa}\}$. Sobre o espaço amostral $\Omega_0 $ associamos a função indicadora $1\!\!1_{\{\text{cara}\}} : \Omega_0 \to \{0, 1\}$, por 

\[1\!\!1_{\{\text{cara}\}} (\omega) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \ \hbox{se} \ \omega = \text{cara}\\0, \ \hbox{se} \ \omega = \text{coroa} \end{array}\right. \]

 

para todo $\omega \in \Omega_0$. Esta função estabelece uma bijeção entre $\Omega_0$ e $S = \{0, 1\}$ e, com isso, podemos identificar estes espaços. Os eventos associados ao lançamento da moeda correspondem à classe dos subconjuntos de $\Omega_0$, que denotamos por $\mathcal{A}_0 = \{\emptyset , \{\text{cara}\}, \{\text{coroa}\}, \Omega_0 \}$. Através da bijeção $1\!\!1_{\{\text{cara}\}} $ também podemos identificar a classe dos eventos $\mathcal{A}_0 $ com a classe $\mathcal{F}_1 = \{ \emptyset , \{0\}, \{1\}, S \}$, utilizando a convenção de que $\emptyset = 1\!\!1_{\{\text{cara}\}} (\emptyset) = 1\!\!1^{-1}_{\{\text{cara}\}}(\emptyset)$. Com isso, concluímos que a função $1\!\!1_{\{\text{cara}\}} $ satisfaz:

a. $1\!\!1_{\{\text{cara}\}}$ é uma bijeção entre $\Omega_0$ e $S$.

b. $\mathcal{A}_0 = 1\!\!1^{-1}_{\{\text{cara}\}}(\mathcal{F}_{1})$ e $\mathcal{F}_1 = 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\mathcal{A}_0)$. 

Neste caso, dizemos que $1\!\!1_{\{\text{cara}\}} $ estabelece um isomorfismo entre os espaços $(\Omega_0 , \mathcal{A}_0 ) \ \hbox{e} \ (S, \mathcal{F}_1).$   

Tradicionalmente, associamos  ao lançamento da moeda a probabilidade de ocorrência dos eventos com $\lambda_0 (\{\text{cara}\}) = \lambda_0 (\{\text{coroa}\}) = \frac{1}{2}, \ \lambda_0 (\emptyset) = 0 \ e \ \lambda_0 (\Omega_0) = 1$. Assim obtemos uma função definida sobre $\mathcal{A}_0 $ com valores no $[0, 1]$. Através do isomorfismo $1\!\!1_{\{\text{cara}\}}$, definimos a probabilidade imagem de $\lambda_0$ definida sobre $(S, \mathcal{F}_1)$, por 

\[\mathbb{P}_1 (A) := (1\!\!1_{\{\text{cara}\}}\cdot\lambda_0)(A) := \lambda_0(1\!\!1^{-1}_{\{\text{cara}\}} (A)) \ \hbox{;} \ A \in \mathcal{F}_1\] 

 

de tal maneira que podemos estabelecer uma identificação entre os espaços de probabilidade $(\Omega_0 ,\mathcal{A}_0, \lambda_0)$ e $(S, \mathcal{F}_1, \mathbb{P}_1)$. 

De forma geral, definimos probabilidades $\mathbb{P}_1$ sobre $(S, \mathcal{F}_1) $ como funções $\mathbb{P}_1 : \mathcal{F}_1 \to [0, 1]$, tal que $\mathbb{P}_1(\emptyset ) = 0, \ \mathbb{P}_1(\{\omega \}) = p_{\omega} \ (\omega \in S)$ e $\mathbb{P}_1(S) = 1$ em que $0 \ < \ p_0, p_1 \ < \ 1$ e $p_0 + p_1 = 1$.  

Na sequência, vamos estender nosso experimento para $n \ (n \in \mathbb{N})$ lançamentos da moeda. Ao lançarmos n vezes a moeda, obtemos como nosso espaço amostral $\Omega_1 $ o conjunto de todas as sequências n-dimensionais de "cara" e "coroa", isto é,

\[ \Omega_1 = \Omega^n_0 = \{\omega = (\omega_1 , \omega_2 , \dots , \omega_n ) : \omega_k \in \Omega_0 , 1 \leq k \leq n \} \]

 

Mais uma vez, definimos a classe dos eventos de nosso experimento como a coleção de todos os subconjuntos de $\Omega_1 $ e denotamos por $\mathcal{A}_1$. A função $\psi : \Omega_1 \to S^n $, definida por 

\[\psi (\omega ) = (1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\omega_1 ), \dots , 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\omega_n )) \ ; \ \omega = (\omega_1 , \dots , \omega_n ) \in \Omega_1\]

 

estabelece um isomorfismo entre $(\Omega_1, \mathcal{A}_1)$ e $(S^n, \mathcal{F}_n)$, onde $\mathcal{F}_n$ é a classe de todos os subconjuntos de $S^n$.

Para estendermos a probabilidade $\lambda_0 $ para o experimento de n lançamentos da moeda, vamos considerar que cada lançamento é independente um do outro. Com isso, para todo $\omega = (\omega_1, \dots , \omega_n ) \in \Omega_1 $ tomamos a extensão de $\lambda_0 $ por

\[\lambda_1(\{\omega \}) = \left ( \frac{1}{2} \right )^n \]

 

Como todo elemento $A \in \mathcal{A}_1 $ é união finita disjunta de pontos de $\Omega_1$, definimos 

\[\lambda_1 (A) = \sum_{\omega \in A} \lambda_1 (\{\omega\}) \] como sendo uma função definida em $\mathcal{A}_1$ com valores em $[0,1]$. Através do isomorfismo $\psi$, podemos identificar as triplas $(\Omega_1 , \mathcal{A}_1, \lambda_1)$ e $(S^n , \mathcal{F}_n , \mathbb{P}_n)$ onde $\mathbb{P}_n := \psi \cdot \lambda_1 := \lambda_1(\psi^{-1})$.  

De forma geral, tomamos $\mathbb{P}_n : \mathcal{F}_n \to [0, 1]$, como 

\[\mathbb{P}_n (A) = \sum_{\omega \in A} p_{\omega_1}\dots p_{\omega_n} \ ; \ A \in \mathcal{F}_n.\]

 

Observe que $\omega\in A \subset S^n$ é da forma $\omega = (\omega_1,\ldots,\omega_n)$ em que cada $\omega_i\in S$ é igual a zero ou um. Além disso, temos que $0 \ < \ p_0 , p_1 \ < \ 1$ e $p_0 + p_1 = 1$. Assim 

i. $\mathbb{P}_n (\emptyset) = 0$ e $\mathbb{P}_n(S^n) = 1$;

ii. Para todo $A_1, A_2 \in \mathcal{F}_n$ com $A_1 \cap A_2 = \emptyset$, temos

\[\mathbb{P}_n(A_1\cup A_2 ) = \sum_{\omega \in (A_1\cup A_2)} p_{\omega_1}\ldots p_{\omega_n} = \sum_{\omega\in A_1}p_{\omega_1}\ldots p_{\omega_n} + \sum_{\omega\in A_2}p_{\omega_1}\ldots p_{\omega_n} =\mathbb{P}_n(A_1) + \mathbb{P}_n (A_2).\]

 

Qualquer função $\mathbb{P}_n$ definida sobre $(S^n , \mathcal{F}_n )$ com valores em $[0,1]$ que satisfaça as condições acima é denominada probabilidade.

A seguir, vamos estender nosso experimento para infinitos lançamentos da moeda. Tomamos por espaço amostral

\[ \Omega = \Omega_0 \times \Omega_0 \times \dots = \Omega^{\infty}_0 = \{\omega = (\omega_1, \omega_2, \dots) : \omega_k \in \Omega_0 , k \in \mathbb{N} \} .\] Como anteriormente, a função $\Psi : \Omega \to S^{\infty}$, dada por 

\[\Psi(\omega) = (1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\omega_1 ), 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\omega_2), \dots)\]

 

estabelece uma bijeção entre $\Omega$ e $S^{\infty}$. O espaço das sequências de zeros e uns $(S^{\infty})$ é denominado espaço de Cantor. Para facilitar a notação, vamos utilizar a identificação do experimento de infinitos lançamentos da moeda com o espaço de Cantor diretamente, para nos concentrarmos sobre as sequências de 0 e 1.

Nosso objetivo inicial consiste em estender a estrutura da tripla $(S^n , \mathcal{F}_n , \mathbb{P}_n) \ (n \in \mathbb{N})$ para o caso de dimensão infinita. Para isto, considere as projeções coordenadas $\pi_k : S^{\infty} \to S$, definidas por 

\[\pi_k(\omega) = \omega_k,\] no qual $\omega = (\omega_1, \omega_2, \dots ) \in S^{\infty}$ e $k \in \mathbb{N}$. A família de conjuntos $\{\pi^{-1}_k (\{i\}) : i \in S, k \in \mathbb{N}\}$, denominados cilindros de $S^{\infty} $ com base em $S$, satisfaz as três propriedades abaixo  

i. $\pi^{-1}_k(\{1\})\cup \pi^{-1}_k(\{0\}) = S^{\infty}$ e $\pi^{-1}_k(\{1\})\cap \pi^{-1}_k(\{0\}) = \emptyset$ para todo $k \in \mathbb{N}$.


ii. Para todo sequência $\{D_n\} $ de cilindros com base em S tal que $\cap D_k = \emptyset$, existe $n_0 \in \mathbb{N} $ satisfazendo

\[\bigcap^{n_0}_{k=1} D_k = \emptyset .\]

De fato, observe que,

\[(i_1, i_2, \dots ) = (\{i_1\} \times S \times \dots ) \cap (S \times \{i_2\} \times S \times \dots ) \cap \dots =\bigcap^{\infty}_{k=1} \pi^{-1}_k (\{i_k\}) \neq\emptyset.\]

 

para todo elemento $(i_1, i_2, \dots ) \in S^{\infty}$. Generalizando, se tomarmos um subconjunto de índices $\mathcal{K} = \{k_1, k_2, \dots \} \subset \aleph $ (com $k_n \neq k_m $ para todo $n \neq m $), temos que  

\[(i_{k_1}, i_{k_2}, \dots ) = \bigcap_{j=1}^\infty \pi_j^{-1} (\{i_{k_j}\}) \neq \emptyset \ \ ; \ \ i_{k_j} \in S.\]  Então se tomarmos uma sequência $\{D_k\} $ de cilindros com base em S tal que

\[\bigcap^{\infty}_{k=1} D_k = \emptyset, \]

 

existe pelo menos dois elementos $D_{k_1} \ e \ D_{k_2} $ tais que \[ D_{k_1} = \pi^{-1}_m (\{i_m\}) \ e \ D_{k_2} = \pi^{-1}_m (\{j_m\})\]

com $i_m \neq j_m $ para algum $m \in \mathbb{N}$. Desta forma, se tomarmos $n_0 = \max \{k_1 , k_2\}$, obtemos que 

\[ \bigcap^{n_0}_{k=1} D_k = \emptyset \]

 

Com isso, dizemos que os cilindros com base em S formam uma classe compacta.

iii. A classe dos cilindros com base em $S$ é enumerável e separa pontos no $S^{\infty}$.

Que tal classe é enumerável é imediato. Além disso, para todo $(i_1, i_2, \dots ), (j_1, j_2, \dots ) \in S^{\infty} $ distintos, existe pelo menos um índice $m \in \mathbb{N} $ tal que $i_m \ \neq \ j_m $ então, 

\[1\!\!1_{\pi^{-1}_m (\{1\})} (i_1, i_2, \dots ) \neq 1\!\!1_{\pi^{-1}_m (\{1\})} (j_1, j_2, \dots ). \] Assim, obtemos que a classe dos cilindros com base em $S$ é separável e separa pontos no espaço de Cantor. 

A probabilidade $\mathbb{P}_1$ definida sobre $(S, \mathcal{F}_1)$ pode ser estendida para um função $\mathbb{P}^\prime$ definida sobre a classe dos cilindros com base em $S$ da seguinte forma 

\[\mathbb{P}^{\prime}(\pi^{-1}_k (\{i\}) ) = \mathbb{P}_1 (\{i\})\]

 

para todo $i\in S$ e $k \in \mathbb{N}$. Na sequência, vamos tomar intersecções finitas de cilindros com base em $S$ e anexar o conjunto vazio e o $S^{\infty}$. Considere $\mathcal{D}$ a coleção de todos os subconjuntos finitos de números naturais. A classe dos subconjuntos

\[\Delta =\left\{\emptyset, S^{\infty},~\{\pi^{-1}_{v_1}(\{\omega_{v_1}\}) \cap \dots \cap \pi^{-1}_{v_n}(\{\omega_{v_n}\}): (v_1, \dots , v_n ) \in \mathcal{D}, (\omega_{v_1}, \dots , \omega_{v_n} ) \in S^n, n \in \mathbb{N} \}\right\}\] contém todos os cilindros com base em S e é fechada por intersecção finita. Como a semi-álgebra $\Delta$ é obtida por intersecção finita de elementos de uma classe compacta, concluímos que $\Delta$ também é uma classe compacta.

Exercício:

Mostre que a classe de subconjuntos $\Delta$ é uma semi-álgebra e compacta. Para toda sequência $\{\D_n\}$ tal que $\cap_n D_n = \emptyset$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que  $\cap_n D_n^{n_0} = \emptyset$.

De forma natural, podemos estender a função $\mathbb{P}^\prime$ para a semi-álgebra  $\Delta$, na forma

\[\mathbb{P}^{\prime}(\pi^{-1}_{v_1}(\{\omega_{v_1}\})\cap \dots \cap \pi^{-1}_{v_n}(\{\omega_{v_n}\})) = \mathbb{P}_n (\{\omega_{v_1},\dots , \omega_{v_n}\}) = p_{\omega_{v_1}} \dots p_{\omega_{v_n}},\] no qual $(v_1,\ldots,v_n) \in D, \ (\omega_{v_1},\ldots,\omega_{v_n}) \in S^n \ e \ n \in \mathbb{N}$. A seguir vamos tomar uniões finitas disjuntas 2 a 2 de elementos de $\Delta$.

Para todo $v = (v_1, v_2, \dots , v_n ) \in D $ com $n \in \mathbb{N}$, a projeção coordenada

\[\pi_v (\omega) = (\omega_{v_1}, \dots , \omega_{v_n}); \ \omega = (\omega_1,\omega_2 ,\dots) \in S^{\infty}\]

 

toma elementos sobre $S^{\infty} $ e leva em $S^n$. A classe dos cilindros

\[C_0 = \{\pi^{-1}_v (B): \ v = (v_1, \dots , v_n ) \in D \ \text{e} \ B \subset S^n\}\]

 

é uma álgebra enumerável, pois satisfaz 

a. $\emptyset \in C_0$ e $S^{\infty} \in C_0$;

b. Se $A \in C_0$, então $A^c \in C_0$;

c. Se $A_1$ e $A_2 \in C_0$, então $A_1\cup A_2 \in C_0$;

As propriedades a. e b. serão deixadas como exercício. Vamos verificar apenas a parte c.

Como $A_1$ e $A_2 \in C_0$, existe $u_1 = (i_1, \dots , i_m)$ e $u_2 = (j_1 , \dots , j_n) \in D$ tais que 

\[A_1 = \pi^{-1}_{u_1}(B_1); \ A_2 = \pi^{-1}_{u_2}(B_2)\]

 

para $B_1 \subset S^m$ e $B_2 \subset S^n$ com $n, m \in \mathbb{N}$. Considere

\[B^{\prime}_1 = \{(\omega_1, \dots , \omega_{i_m}) \in S^{i_m} \ : \ (\omega_{i_1} , \dots \omega_{i_m}) \in B_1 \} \]

\[B^{\prime}_2 = \{(\omega_1, \dots , \omega_{j_n}) \in S^{j_n} \ : \ (\omega_{j_1} , \dots \omega_{j_n}) \in B_2 \} \]

 

Denotamos por $u^{\prime}_1 = (1, 2, 3, \dots, i_m)$ e $u^{\prime}_2 = (1, 2, 3, \dots, j_n) \in D$. Se $i_m = j_n$, temos que $u^{\prime}_1 = u^{\prime}_2 = u$. Assim,

\[\pi^{-1}_{u_1} (B_1) \cap \pi^{-1}_{u_2} (B_2) = \pi{-1}_u (B^{\prime}_1) \cap \pi^{-1} _u (B{\prime}_2) = \pi^{-1}_u (B^{\prime}_1 \cap B^{\prime}_2)\]

 

Se $i_m \neq j_n$, admitimos por simetria que $i_m < j_n$. Neste caso, basta tomarmos 

\[B^{\prime}_1 = \{(\omega_1, \dots , \omega_{j_n}) \in S^{j_n} \ : \ (\omega_{i_1}, \dots , \omega_{1_m}) \in B_1\} 

 

Como a classe $\Delta $ é compacta e a álgebra $C_0 $ é formada por união finita disjunta de elementos de $\Delta$, concluímos que os cilindros do $S^{\infty} $ também formam uma classe compacta, ver o módulo probabilidades compactas.  Assim, obtemos o seguinte lema.

Lema 1.5.1.1:

Para toda sequência $\{C_n\} \subset C_0$ com $\cap^{\infty}_{k=1} C_k = \emptyset $, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\cap^{n_0}_{k=1} C_k = \emptyset$.

Para todo elemento $A \in C_0$, existe $v = (v_1, \dots , v_n) \in D, \ B \ \in S^n$ com $n \in \mathbb{N}$, tal que $A = \pi^{-1}_v(B)$. Então, uma extensão natural da probabilidade $\mathbb{P}_n $ sobre $(\Omega , C_0) $ é definida por

\[\mathbb{P}^{\prime} (A) = \mathbb{P}^{\prime} (\pi^{-1}_v (B)) = \mathbb{P}_n (B) = \sum_{(i_1, \dots , i_n) \in B} \mathbb{P}^{\prime}(\pi^{-1}_{v_1} (\{i_1\}) \cap \dots \cap \pi^{-1}_{v_n} (\{i_n\}))\]  

 

Como todo cilindro tem diversas representações, precisamos mostrar que a definição acima é independente destas representações. Seja $A$ um cilindro de $S^{\infty}$ com as representações

\[A = \pi^{-1}_v(B_1) = \pi^{-1}_u (B_2)\]

 

onde $v = (v_1, \dots \ v_n)$ e $u = (u_1, \dots , u_m)$ são elementos de $D$, $B_1 \subset S^n$ e $B_2 \ \subset S^m$. Se $n = m$, temos que $B_1 = B_2$ e $u = v$. Agora, caso $n \neq m$, vamos admitir, sem perda de generalidade, que $n \ < \ m$. Neste caso, o conjunto $B_2$ consiste dos elementos $(\omega_1, \dots , \omega_m )$ em $S^m$ para os quais $(\omega_1, \dots , \omega_n) \in B_1$, isto é, $B_2 = B_1\cup S^{m-n}$. Assim,

\[\sum_{B_2} \mathbb{P}_{\omega_1}\ldots \mathbb{P}_{\omega_n}\mathbb{P}_{\omega_{n+1}} \ldots \mathbb{P}_{\omega_m} = \sum_{B_1} \mathbb{P}_{\omega_1}\dots \mathbb{P}_{\omega_n} \sum_{S^{m-n}}\mathbb{P}_{\omega_{n+1}}\ldots \mathbb{P}_{\omega_m} = \sum_{B_1} \mathbb{P}_{\omega_1}\ldots \mathbb{P}_{\omega_n}\]

 

Portanto, a extensão da função de conjunto $\mathbb{P}^{\prime} $ sobre a álgebra de cilindros do $S^{\infty}$ é consistente. Como consequência direta da definição da função $\mathbb{P}^{\prime}$, obtemos o seguinte lema.

Lema 1.5.1.2:  

A função $\mathbb{P}^{\prime}: C_0 \to [0, 1] $ satisfaz

i $\mathbb{P}^{\prime}(\emptyset) = 0$ e $\mathbb{P}^{\prime}(S^{\infty}) = 1$;

ii.Se $A_1, A_2 \in C_0$ com $A_1 \cap A_2 = \emptyset$, obtemos 

\[\mathbb{P}^{\prime}(A_1\cup A_2) = \mathbb{P}^{\prime}(A_1) + \mathbb{P}^{\prime}(A_2).\]

 

Com isso, concluímos que a função $\mathbb{P}^{\prime}$ é finitamente aditiva. Para mostrarmos que $\mathbb{P}^{\prime}$ é uma $\sigma$ aditiva, vamos utilizar o fato de que a álgebra $C_0$ é uma classe compacta.

Lema 1.5.1.3:

Qualquer função $\mathbb{P}^{\prime} : C_0 \to [0, 1] $ satisfazendo as propriedades (i) e (ii) do Lema 1.5.1.2 é $\sigma$ - aditiva.

Demonstração: 

Considere $\{C_n\} \ \subset \ C_0 $ uma sequência monótona de conjuntos tal que $\cap^{\infty}_{k=1} C_n = \emptyset$. Utilizando o Lema 1.5.1.1, sabemos que existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\cap^{n_0}_{k=1} C_k = \emptyset$.

Como $\{C_k\} $ é monótona decrescente, temos que $C_{n_0} = \cap ^{n_0}_{k=1}C_k = \emptyset $ e com isso,

\[\mathbb{P}^{\prime}(C_j) = 0 \ ; \ \forall \ j \ \ge \ n_0.\]

Portanto, \[\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(C_n) = 0.\] Com isso, concluímos que $\mathbb{P}^{\prime}$ é contína no vazio. Desde que $\mathbb{P}^\prime$ é finitamente aditiva, obtemos que $\mathbb{P}^\prime$ é $\sigma$-aditiva na álgebra $C_0$.

Em algumas aplicações na teoria de probabilidade, como a lei forte dos grandes números e a teoria dos jogos de azar, precisamos calcular probabilidades de conjuntos que dependem de um número infinito de coordenadas. Com isso, precisamos estender a função $\mathbb{P}^{\prime} $ para uma classe mais ampla de conjuntos.

Denotamos por $\xi$ a classe formada por limites monótonos decrescentes de elementos de $C_0$. Cnsidere $\mathbb{P}^{\prime}$ uma função definida em $C_0 $ satisfazendo as hipóteses do lema 1.5.1.2. Como $\mathbb{P}^{\prime}$ é $\sigma$-aditiva podemos estender $\mathbb{P}^{\prime}$ sobre $\xi$, na forma

\[\delta (G) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(B_n),\]

 

no qual $\{B_n\} \subset C_0 $ é uma sequência monótona decrescente tal que $G= \cap B_n$. Inicialmente, vamos mostrar que $\delta$ é independente da sequência $\{B_n\}$.

Lema 1.5.1.4:

Considere $\{B_n\}$ e $\{C_n\}$ duas sequências monótonas decrescentes em $C_0$. Então,

a. se $\cap_n B_n \subset \cap_n C_n$, temos que

\[\lim_{n \to \infty}\mathbb{P}^{\prime}(B_n) \leq \lim_{n \to \infty}\mathbb{P}^{\prime}(C_n).\]

 

b. se $\cap_n B_n = \cap_n C_n$, temos que  

\[\lim_{n \to \infty}\mathbb{P}^{\prime}(B_n) = \lim_{n \to \infty}\mathbb{P}^{\prime}(C_n).\]

 

Demonstração: 

Para todo $n$ fixo, a sequência $\{C_n \cap B_k\}$ é monótona decrescente em $C_0$, e satisfaz

\[\cap_k (C_n\cap B_k) = C_n.\]

 

Utilizando a $\sigma$-aditividade da função $\mathbb{P}^{\prime}$, obtemos que

\[\lim_{k \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(B_k) \leq \lim_{k \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(C_n \cap B_k ) = \mathbb{P}^{\prime} (C_n) \ \ ; \ n \in \mathbb{N}\]

 

Desta forma,

\[lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(B_k) \leq \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(C_n).\]

 

Agora, se tomarmos $\cap_n B_n = \cap_n C_n$, também obtemos para todo $k$, que a sequência $\{C_n\cup B_k\} $ é monótona decrescente. Mais uma vez, utilizando a $\sigma$-aditividade da função $\mathbb{P}^{'}$, obtemos que

\[ \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime} (C_n) \leq \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime} (C_n \cup B_k ) = \mathbb{P}^{\prime} (B_k ) \ ; \ k \in \mathbb{N}\]

 

Portanto, da parte a, segue que

\[\lim_{k \to \infty} \mathbb{P}^{\prime} (B_k ) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(C_n ).\]

 

Com o lema acima, concluímos que a função $\delta$ está bem definida. A seguir, vamos estudar as propriedades desta função e da classe $\xi$.

Lema 1.5.1.5:

A classe $\xi $ de sbconjuntos do espaço de Cantor e a função $\delta$, satisfazem

a. $\delta (\emptyset ) = 0$ e $\delta(S^{\infty} ) = 1$;

b. Para $G_1, G_2 \in \xi$, temos que $G_1 \cup G_2 \in \xi$ e $G_1 \cap G_2 \in \xi$. Além disso,

\[\delta (G_1 \cup G_2 ) = \delta (G_1 ) + \delta (G_2 ) - \delta (G_1 \cap G_2 ).\]

 

c. Sejam $G_1, G_2 \in \xi$ tais que $G_1 \subset G_2$. Então 

\[\delta (G_1 ) \leq \delta (G_2 ).\]

 

d. Considere $\{G_n \} \subset \xi$ uma sequência monótona decrescente tal que $\cap G_n = G$. Então, temos que $G \in \xi $ e

\[\lim_{n \to \infty} \delta (G_n ) = \delta (G)\]

 

Demonstração: 

A parte a. é obvia. Para mostrarmos a parte b., sejam $G_1, G_2 \in \xi$. Então, existe $\{A_{n,1}\}$ e $\{A_{n,2}\} $ sequências monótonas decrescentes tais que,

\[G_1 = \cap_n A_{n,1} = \lim \downarrow A_{n,1} \ \text{e} \ G_2 = \cap_n A_{n,2} = \lim \downarrow A_{n,2}\]

 

Além disso,

\[\lim \downarrow (A_{n,1} \cap A_{n,2} ) = G_1 \cap G_2 \ e \ \lim \downarrow (A_{n,1} \cup A_{n,2} ) = G_1 \cup G_2\]

 

Como 

\[\mathbb{P}^{\prime} (A_{n,1}) + \mathbb{P}^{\prime} (A_{n,2}) = \mathbb{P}^{\prime} (A_{n,1} \cup A_{n,2}) + \mathbb{P}^{\prime}(A_{n,1} \cap A_{n,2})\]

 

obtemos que

\[\delta (G_1 ) + \delta (G_2 ) = \delta (G_1 \cap G_2) + \delta (G_1 \cap G_2 ).\]

 

A propriedade c. é consequência direta do lema anterior. Para mostrarmos a relação d., tomamos $\{A_{k,n}\}^{\infty}_{k=1}$ sequências monótonas decrescentes em $C_0$, tais que 

\[\lim \downarrow A_{k,n} = G_n \ \text{e} \ \lim \downarrow G_n = G \]

 

Com isso, a sequência formada por 

\[D_k = \cap_{n\leq k} A_{k,n}\]

 

é monótona decrescente, pois 

\[D_k = \cap_{n\leq k} A_{k,n} \supset \cap_{n\leq k} A_{k+1, n} \supset D_{k+1}\]

 

Agora, para todo $k \leq n$ temos que $A_{k,n} \supset D_k \supset G_n$. Assim,

\[\mathbb{P}^{'} (A_{k,n} ) \ge \mathbb{P}^{'} (D_k ) \ge \delta (G_n) \ ; \ k \leq n\]

 

Desta forma, concluímos que $D_k \downarrow G \in \xi $ e

\[\delta (G) = \lim \downarrow \delta (D_k ) = \lim \downarrow \delta (G_n)\]

 

como queríamos demonstrar.

Com este lema, obtemos que $\xi $ é a menor classe de subconjuntos do $S^{\infty} $ que contém a álgebra $C_0 $ e satisfaz as propriedades do lema acima. Além disso,

\[\delta (B) = \mathbb{P}^{\prime} (B) \ ; \ B \in C_0\]

 

A seguir, vamos estender a função $\delta$ sobre $\xi$ para uma função definida sobre o conjunto das partes do espaço de Cantor.

Lema 1.5.1.6:

A função de conjunto $\delta_{\star}$, definida por

\[\delta_{\star}(A) = \sup\{\delta(G): G \subset A, \ G \in \xi \} \ \ A \subset S^{\infty }\]

 

satisfaz as seguintes propriedades:

a. Para todo $G \in \xi $ temos que $\delta_{\star}(G) = \delta (G)$ e $0 \leq \delta_{\star}(A) \leq 1$ qualquer que seja $A \subset S^{\infty}$.

b. Para todo $A_1$ e $A_2$ subconjuntos de espaço de Cantor, obtemos que

\[\delta_{\star}(A_1 \cup A_2) + \delta_{\star}(A_1 \cap A_2) \ge \delta_{\star}(A_1)\delta_{\star} (A_2)\]

 

Em particular,

\[\delta_{\star}(A) + \delta_{\star}(A^c) \leq 1\]

 

c. Se $A \subset B$, então $\delta_{\star}(A) \leq \delta_{\star}(B)$.

d. Se $A_n \downarrow A$, então $\lim \downarrow \delta_{\star} (A_n) = \delta_{\star}(A)$.

Demonstração:

A parte a. é consequência direta da definição de $\delta_{\star}$. Dado $\varepsilon > 0$, escolhemos $G_1$ e $G_2 \in \xi$, tais que 

\[\delta_{\star}(A_i) - \frac{\epsilon}{2} \leq \delta (G_i); i = 1,2.\]

 

Assim, utilizando o lema anterior, temos que

\[\delta_{\star}(A_1) + \delta_{\star}(A_2) - \epsilon \leq \delta(G_1) + \delta (G_2) = \delta(G_1 \cup G_2) + \delta (G_1 \cap G_2) \leq \delta_{\star}(G_1 \cup G_2) + \delta_{\star}(G_1 \cap G_2)\]

 

Como $\epsilon \ > \ 0$ é arbitrário, temos que

\[\delta_{\star}(A_1) + \delta_{\star}(A_2) \leq \delta_{\star} (A_1 \cup A_2) + \delta_{\star}(A_1\cap A_2).\]

 

Para mostrar a propriedade c., basta observar que 

\[\{G: G \subset A_1, G \in \xi\} \subset \{G: G \subset A_2, \ G \in \xi \}\]

 

pois $A_1 \subset A_2$.

 A seguir, vamos mostrar a parte d. Fixamos $\epsilon \ > \ 0$ e escolhemos uma sequência $\{\epsilon_n\}$ de números reais positivos tais que $\sum_n \epsilon_n = \epsilon$. Além disso, tomamos $G_n \in \xi$ tal que $G_n \subset A_n$ e,

\[\delta_{\star}(A_n) - \epsilon_n \leq \delta(G_n)\]

 

Considere

\[G^{\prime}_k = \cap^k_{n=1}G_n; \ k \in \mathbb{N}.\]

 

Então, obtemos que $G^{\prime}_k \subset A_k$ e a sequência $\{G^{\prime}_k\}$ é monótona decrescente em $\xi$. A seguir, vamos mostrar por indução, que 

\[\delta_{\star}(A_k) - \sum^n_{k=1} \epsilon_k \leq \delta (G^{\prime}_k)\]

 

Para n = 1 temos por hipótese, que

\[\delta_{\star}(A_1) - \epsilon_1 \leq \delta (G^{\prime}_1)\]

 

suponha que a relação acima é válida para $k \in \mathbb{N}$. Como 

\[G_{k+1} \cup G^{\prime}_k \subset A_k\]

 

obtemos que 

$\delta (G^{\prime}_{k+1}) \ = \ \delta (G^{\prime}_k \cap G_{k+1} ) \ = \ \delta (G^{\prime}_k ) \ + \ \delta (G_{k+1} ) \ - \ \delta (G^{\prime}_k \cup G_{k+1} ) \ge$

$\left[\delta_{\star } (A_k ) \ - \ \sum^k_{n=1} \epsilon_n \right] \ + \ [\delta_{\star }(A_{k+1}) \ - \ \epsilon_{k+1} ] \ - \ \delta_{\star } (A_k ) \ge \delta_{\star }(A_{k+1} ) \ - \ \sum^{k+1}_{n=1} \epsilon_n $ 

Com isso,

\[\delta_{\star }(A_{k+1} ) \ - \ \sum^{k+1}_{n=1} \epsilon_n \ \leq \ \delta (G^{\prime}_{k+1} )\]

 

Ao tomarmos limite, concluímos que 

\[\lim \downarrow G^{'}_n \subset \lim \downarrow A_n \ = \ A\]

 

utilizando o lema anterior

\[\lim \downarrow \delta_{\star } (A_n ) \ - \ \epsilon \leq \lim \downarrow \delta (G^{\prime}_n ) \ = \ \delta [ \lim \downarrow G^{\prime}_n ] \]

 

Como,

\[\delta [\lim \downarrow G^{\prime}_n ] \ \leq \ \delta_{\star } [\lim \downarrow A_n ] \]

 

obtemos que

\[\lim \downarrow \delta_{\star }(A_n ) \ - \ \epsilon \ \leq \ \delta_{\star} [\lim \downarrow A_n ] \]

 

Desde que,

\[\lim \downarrow \delta_{\star } (A_n ) \ = \ \delta_{\star } [\lim \downarrow A_n ] \ = \ \delta_{\star }(A)\]

 

e $\epsilon \ > \ 0 $ é arbitrário, concluímos que

\[\lim \downarrow \delta_{\star } (A_n ) = \delta_{\star } [ \lim \downarrow A_n ] \]

 

Com o lema acima, obtemos que para todo $A \subset S^{\infty }$

\[\delta_{\star}(A) + \delta_{\star}(A^c) \leq 1.\]

 

Na sequência, vamos mostrar que a classe de subconjuntos do $S^{\infty}$ definida por

\[\mathcal{F}^{\star} = \{A \subset S^{\infty}: \delta_{\star}(A) + \delta_{\star}(A^c) = 1\}\]

 

é uma $\sigma$-álgebra e a restrição de $\delta_{\star}$ sobre $\mathcal{F}^{\star}$ define uma probabilidade. Tal resultado é conhecido como teorema de extensão de Carathèodory. Observe que $A \in \mathcal{F}^{\star}$ implica que $A^c \in \mathcal{F}^{\star}$. Além disso, se $A_1$ e $A_2 \in \mathcal{F}^{\star}$, a soma do lado direito das desigualdades abaixo é igual a dois.

\[\delta_{\star}(A_1 \cup A_2) + \delta_{\star}(A_1 \cap A_2) \ge \delta_{\star}(A_1) + \delta_{\star}(A_2)\]

 

e

\[\delta_{\star}[(A_1 \cup A_2)^c] + \delta_{\star}[(A_1 \cap A_2)^c] = \delta_{\star}[(A_1)^c] + delta_{\star}[(A_2 )^c]\]

 

A propriedade b. do Lema 1.5.1.6 implica, que

\[\delta_{\star}(A_1 \cup A_2) + \delta_{\star}[(A_1 \cup A_2)^c] \leq 1\]

 

e

\[\delta_{\star}(A_1 \cap A_2) + \delta_{\star}[(A_1 \cap A_2)^c] \leq 1\]

 

Estas desigualdades são compatíveis somente se forem igualdades. Assim, obtemos que a classe $\mathcal{F}^{\star}$ é fechada por união finita e intersecção finita e, a função $\delta_{\star} $ é finitamente aditiva.

Considere $\{A_n\}$ uma sequência de elementos de $\mathcal{F}^{\star}$. Então, obtemos das propriedades c. e d. do Lema 1.5.1.6, que

\[\delta_{\star}[\cap^{\infty}_n A_n] = \lim_{n \to \infty} \delta_{\star}(A_n)\]

 

e

\[\delta_{\star}[(\cap^{\infty}_n A_n )^c] \ge \delta_{\star}(A^c_k); k \ge 1\]

 

Logo,

$1 \ = \ \lim_{n \to \infty} [\delta_{\star} (A_n ) \ + \ \delta_{\star} (A^c_n ) ] \ \leq \ \delta_{\star} [\cap^{\infty}_n A_n ] \ + \ \delta_{\star} [(\cap^{\infty}_n A_n )^c ] $

Como consequência da propriedade b, concluímos que $\cap_n A_n \in \mathcal{F}^{\star}$. Então a classe de conjuntos $\mathcal{F}^{\star}$ é uma $\sigma$-álgebra e a restrição da função $\delta_{\star}$ sobre $\mathcal{F}^{\star}$ é uma probabilidade.

Denotamos por $\mathcal{A} = \sigma (C_0)$ a menor $\sigma$-álgebra dos subconjuntos de $S^{\infty}$ que contém $C_0$. Como a $\sigma$-álgebra  $\mathcal{F}^{\star}$ contém $C_0$, obtemos que $\mathcal{A} \subset \mathcal{F}^{\star}$. Com isso, a restrição de $\delta_{\star}$ sobre $\mathcal{A}$, denotada por $\mathbb{P}$, define uma probabilidade sobre o espaço mensurável $(S^{\infty} , \mathcal{A})$.

Com os resultados acima, obtemos um espaço mensurável $(S^{\infty}, \mathcal{A})$ e uma probabilidade $\mathbb{P}$ sobre este, tal que

\[\mathbb{P}(A) = \sup\{\mathbb{P}(G): G \subset A, G \in \xi\}.\]

 

Para todo $A \in \mathcal{A}$. Como $\xi$ é formado por intersecções enumeráveis de elementos da classe compacta $C_0$, concluímos que $\xi $ também é uma classe compacta. Assim, a probabilidade $\mathbb{P}$ pode ser aproximada (por dentro) pela probabilidade de elementos de $\xi$ (uma classe compacta). Os espaços de probabilidade satisfazendo tal propriedade são denominados espaços de probabilidade compactos.

Para finalizar, vamos estudar a unicidade da extensão $\mathbb{P}^{\prime}$ sobre $\mathcal{A}$. Tomamos por

\[\Pi = \{\pi^{-1}_1(\{\omega_1\}) \cap \ldots \cap \pi^{-1}_n(\{\omega_n\}): (\omega_1 ,\ldots , \omega_n) \in S^n , \ n \in \mathbb{N}\}\]

 

a classe de subconjuntos do $S^{\infty} $ fechada por intersecção finita. Vamos mostrar que a $\sigma$-álgebra gerada po $\Pi$ coincide com $\mathcal{A}$. Temos que 

\[\Pi \subset C_0 \Longrightarrow \sigma (\Pi ) \subset \sigma (C_0) = \mathcal{A}.\]

 

Por outro lado, a classe dos cilindros com base em $S$ pode ser obtida via uniões finitas de elementos de $\Pi$, pois

\[\pi^{-1}_k (\{\omega_k\}) = \bigcup_{(\omega_1, \ldots, \omega_{k-1}) \in S^{k-1}} \pi^{-1}_1 (\{\omega_1\})\cap\ldots \cap \pi^{-1}_{k-1} (\{\omega_{k-1}\}) \cap \pi^{-1}_k (\{\omega_k\}).\]

Como a classe $C_0$ é construída através de intersecções e uniões finitas de cilindros com base em $S$, obtemos que

\[C_0 \subset \sigma(Pi ) \Longrightarrow \mathcal{A} = \sigma (C_0) \subset \sigma (\Pi).\]

 

Então,

\[\mathcal{A} = \sigma (C_0) = \sigma (\Pi).\]

 

Dadas duas probabilidades $\mathbb{P}_1$ e $\mathbb{P}_2$ sobre $(S^{\infty}, \mathcal{A})$, tais que

\[\mathbb{P}_1 (F) = \mathbb{P}_2 (F); F \in \Pi\]

 

vamos mostrar que estas probabilidades são iguais sobre $\mathcal{A}$. Para isto, basta mostrarmos que a classe

\[\mathcal{G} = \{B \subset S^{\infty}: \mathbb{P}_1(B) = \mathbb{P}_2 (B)\}\]

 

é $\sigma$-aditiva, isto é,

a. $S^{\infty} \in \mathcal{G}$

b. Se $F_1, F_2 \in \mathcal{G}$ com $F_1 \cap F_2 = \emptyset$, então, $F_1 \cup F_2 \in \mathcal{G}$, pois

\[\mathbb{P}_1 (F_1\cup F_2) = \mathbb{P}_1 (F_1) + \mathbb{P}_1 (F_2) = \mathbb{P}_2 (F_1) + \mathbb{P}_2 (F_2) = \mathbb{P}_2 (F_1\cup F_2).\]

 

Além disso, para todo $F \in \mathcal{G}$, temos que

\[\mathbb{P}_1(F^c) = 1 - \mathbb{P}_1(F) = 1 - \mathbb{P}_2 (F) = \mathbb{P}_2(F^c).\]

 

c. Seja $\{F_n\} \subset \mathcal{G}$ uma sequência de subconjuntos de $S^{\infty}$ tal que $F_k \cap F_n = \emptyset$ para $k \neq n \in \mathbb{N}$.

Assim,

\[\mathbb{P}_1(\cup_n F_n) = \sum_n \mathbb{P}_1(F_n) = \sum_n \mathbb{P}_2(F_n) = \mathbb{P}_2(\cup_n F_n)\]

 

Portanto, para todo $A \in \mathcal{A}$

\[\mathbb{P}_1 (A) = \mathbb{P}_2 (A)\]

 

Utilizando a unicidade da extensão de Carathèodory, vamos mostrar que qualquer probabilidade sobre $(S^{\infty} , \mathcal{A})$ define um espaço de probabilidade compacto. Dado uma probabilidade qualquer $\mathbb{P}$ sobre $(S^{\infty}, \mathcal{A})$, obtemos que a restrição de $\mathbb{P}$ sobre $C_0$ é $\sigma$-aditiva. Desta forma,

\[\delta_{\star}(A) = \sup \{\mathbb{P}(C): C \subset A, C \in \xi\}\]

 

define uma função satisfazendo as condições dos lemas anteriores. Através da unicidade do teorema de extensão de Carathèodory, obtemos que, para todo $B \in \mathcal{A}$

\[\mathbb{P}(B) = \delta_{\star}(B) = \sup \{\mathbb{P}(C): C \subset B, C \in \xi\}.\]

 

Portanto, o espaço de probabilidade $(S^{\infty} , \mathcal{A} , \mathbb{P})$ é compacto para qualquer probabilidade $\mathbb{P}$ definida sobre $(S^{\infty} , \mathcal{A})$.

Topologia no Espaço de Cantor

Na sequência, vamos defnir uma topologia no espaço de Cantor e estudar suas relações com o espaco mensurável $(S^{\infty} , \mathcal{A})$. Uma classe $\beta$ de subconjuntos do espaço de Cantor $S^\infty$ é uma base para uma topologia se ,

a) Para todo $\omega \in S^\infty$, existe $B \in \beta$ tal que $\omega \in \beta$,

b) Se $\omega \in B_1 \cap B_2$ com $B_1$ e $B_2$ pertencente a $\beta$, existe $B_3 \in \beta$ tal que $\omega \in B_3 \subset B_1 \cap B_2$.

Facilmente, mostramos que a classe $\Delta$ satisfaz as propriedades acima. Assim, obtemos que $\Delta$ é uma base para a topologia $$\tau = \{ O \subset S^\infty: \forall \omega \in O, \exists B \in \Delta,~ \text{tal que} ~ \omega \in B \subset )\}.$$ Desde que $\Delta$ é enumerável, dizemos que a topologia $\tau$ é separável. Ao tomarmos $S^\infty$ com a topologia $\tau$ e o espaço finito dimensional $S$ com a topologia discreta, obtemos que as projeções coordenadas $\pi_k$ são funções contínuas, pois a classe de cilindros com base em $S$  $$\{ \pi_{k}^{-1} ( \{\omega_k\}): \omega_k \in S, ~ k \in \mathbb{N} \} \subset \Delta \subset \tau ,$$ definie uma sub-base para a topologia $\tau$. Assim, a menor topologia para o qual as projeções coordenadas são contínuas coincide com a topologia $\tau$. Então, obtemos que $\tau$ é a topologia produto sobre $S^\infty$, e consequentemente, o teorema de Tychonov nos garante que o espaço de Cantor é compacto com a topologia $\tau$.

Desde que as projeções coordenadas são contínuas, os cilindros com base em $S$ são conjuntos abertos e fechados na topologia $\tau$. Alem disso, como a álgebra $C_0$ é obtida via uniões e intersecções finitas de cilindros com base em $S$, concluímos que os elementos de $C_0$ também são conjunto abertos e fechados na topologia $\tau$. A seguir, apresentamos uma caracterização para os elementos de $C_0$ via a topologia produto $\tau$ em $S^\infty$.

Lema 1.5.1.7 Um subconjunto $A \subset S^\infty$ é aberto e fechado a topologia $\tau$ se, e só se, $A \in C_0$.

Prova: Suponha que $A \subset S^\infty$ é um subconjunto aberto e fechado na topologia $\tau$. Como $A$ é aberto, qualquer que seja $\omega \in A$, existe $B_\omega \in \Delta$ tal que $\omega \in B_\omega \subset A$. Então, temos que $$\bigcup_{\omega \in A} B_{\omega} = A,$$ é uma cobertura aberta de $A$. Desde que $A$ também é fechado e o espaço de Cantor $S^\infty$ com a topologia $\tau$ é compacto, obtemos que $A$ também é compacto. Desta forma, existe uma subcobertura finita $\{B_1, \cdots , B_m\}$ para algum $m \in \mathbb{N}$ tal que $$\bigcup_{i=1}^m B_i = A.$$ Desde que $B_i \in \Delta$ para todo $i=1, \cdots , m$, concluímos que $A \in C_0$. 

A seguir, vamos apresentar uma forma de metrizar a topologia $\tau$ no espaço de Cantor. Considere a função $\rho_C : S^\infty \rightarrow [0, \infty)$, definida por

\[ \rho_C (\omega_1, \omega_2) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{k(\omega_1 , \omega_2)}, \ \hbox{se} \ \omega_1 \neq \omega_2\\ \\0, \ \hbox{se} \ \omega_1 = \omega_2 \end{array}\right. \] no qual $k(\omega_1 , \omega_2)$ é o menor índice $n \in \mathbb{N}$ tal que $$1\!\!1_{ \{ \pi_{n}^{-1}(\{1\}) (\omega_1 )\} } \neq 1\!\!1_{ \{ \pi_{n}^{-1}(\{1\}) (\omega_2)\} }.$$

Na sequência, vamos mostrar que $\rho_C$ é uma métrica, isto é, satisfaz para $\omega_1, \omega_2$ e $\omega_3 \in S^\infty$ 

a) $\rho_C (\omega_1 , \omega_2)=0 ~ \Leftrightarrow ~ \omega_1 = \omega_2$,

b) $\rho_C (\omega_1 , \omega_2)=\rho_C (\omega_2 , \omega_1)$ e 

c)  $\rho_C (\omega_1 , \omega_3) \leq \rho_C (\omega_1 , \omega_2) + \rho_C (\omega_2 , \omega_3)$.

As propriedades (a) e (b) são óbvias. Para mostrarmos a propriedade (c), tomamos $\omega=(\omega_1, \omega_2, \cdots)$ e $x=(x_1, x_2, \cdots)$ elementos do espaço de Cantor. Se $\omega = x$, obtemos que $$0=\rho_C (\omega , x) \leq \rho_C (x , y) + \rho_C (y, \omega),$$ para todo $y=(y_1, y_2, \cdots) \in S^\infty$. Por outro lado, se $\omega \neq x$, existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $$\rho_C (\omega , x) = \frac{1}{n}.$$ Vamos dividir a demonstração em dois casos, a saber $k(x,y) \leq K(x, \omega)$ e o oposto. Assim, temos que

1) Considere $y=(y_1, y_2, \cdots) \in S^\infty$ tal que $\rho_C (x,y) =\frac{1}{r}$, no qual $r=k(x,y) > n = k(\omega , x)$. Então, temos que $k(y,\omega)=r$ e $$\rho_C (\omega , x) = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{r} + \frac{1}{r} \leq \rho_C (x,y) + \rho_C (y,\omega ).$$

2) Considere $y=(y_1, y_2, \cdots) \in S^\infty$ tal que $\rho_C (x,y) =\frac{1}{r}$, no qual $r=k(x,y) < n = k(\omega , x)$. Então, temos que $k(y,\omega)=n$ e $$\rho_C (\omega , x) = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{r} \leq \rho_C (x,y) + \rho_C (y,\omega ).$$

Portanto, para todo $x,y$ e $\omega$ elementos do espaço de Cantor, temos que $$\rho_C (\omega , x) \leq \rho_C (x,y) + \rho_C (y,\omega ).$$ Como consequência, a função $\rho_C$ define uma métrica sobre o espaço de Cantor. Além disso, para todo $n \in \mathbb{N}$ e $\omega=(\omega_1, \omega_2, \cdots) \in S^\infty$, a bola $$B(\omega ;n) =\left\{ x \in S^\infty : \rho_C (\omega , x) < \frac{1}{n}\right\} =\pi_1^{-1}(\{\omega_1 \}) \cap \pi_2^{-1}( \{\omega_2\}) \cap \cdots \cap \pi_n^{-1}( \{\omega_n\})$$ é um elemento de $\Delta$. Por outro lado, temos que $$\pi_k^{-1}(\{\omega_k \}) = \bigcup_{(\omega_1, \omega_2, \cdots , \omega_{k-1}) \in S^{k-1}} B(\omega ; k),$$ para todo $\omega_k \in S$ e $k \in \mathbb{N}$. 

Assim, a topologia induzida pela métrica $\rho_C$ coincide com a topologia produto $\tau$. Como consequência, obtemos que o espaço de Cantor $S^\infty$ com a topologia $\tau$ é um espaço metrizável compacto. Além disso, sabemos que o espaço mensurável $(S^\infty , \mathcal{A})$ é separável (base enumerável), Hausdorff (separa pontos) e todo probabilidade $\mathbb{P}$ sobre $(S^\infty , \mathcal{A})$ satisfaz $$\mathbb{P}(A) = \sup\left\{ \mathbb{P}(C) : C \subset A, ~ C \in \xi \right\}, ~ ~ ~ A \in \mathcal{A},$$ no qual $\xi$ é a classe compacta formada por intersecções enumeráveis de elementos de $C_0$. Na sequência, mostraremos que $\xi$ coincide com a classe dos subconjuntos compactos do $S^\infty$ com a topologia produto $\tau$. Para isto, basta mostrarmos que $$\{K \subset S^\infty : K ~ \mbox{compacto} \} \subset \xi .$$

Considere $K$ um subconjunto compacto do $S^\infty$, então $K$ é fechado. Como $K^c$ é aberto, existe uma sequência $\{B_n\} \subset \Delta$, tal que $$K^c = \bigcup_{n=1}^\infty B_n.$$ Desta forma, ao aplicarmos De Morgan, obtemos que $$K = \bigcap_{n=1}^\infty B_n^c,$$ no qual $B_n^c \in C_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Por construção, obtemos que $K \in \xi$. 

Aproximações para probabilidades sobre o espaço mensurável $(S^\infty , \mathcal{A})$

A construção da probabilidade $\mathbb{P}$ sobre o espaço mensurável $(S^\infty , \mathcal{A})$ é baseada no fato de que $\mathcal{A}$ é gerada por uma álgebra enumerável, Hausdorff (separa pontos) e compacta. Sabemos que qualquer função de conjunto $\mathbb{P}^\prime$ sobre a álgebra $C_0$ tal que $\mathbb{}P^\prime (\emptyset)=0$ e  finitamente aditiva também é $\sigma$-aditiva na álgebra. Como consequência do  teorema de extensão de Carathéodory  existe uma única extensão de $\mathbb{P}^\prime$ sobre a $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ gerada pela álgebra $C_0$ que é $\sigma$-aditiva. Como consequência, obtemos uma probabilidade $\mathbb{P}$ sobre o espaço mensurável $(S^\infty , \mathcal{A})$, satisfazendo $$\mathbb{P}(A) = \sup\left\{ \mathbb{P}(C) : C \subset A, ~ C \in \xi \right\}, ~ ~ ~ A \in \mathcal{A},$$ no qual $\xi$ é a classe de subconjuntos compactos obtidos por intersecção enumerável de elementos da álgebra $C_0$. 

Dados uma probabilidade $\mathbb{P}$ sobre $(S^\infty , \mathcal{A})$ e $A \in \mathcal{A}$, existe uma sequência $\{A_n\}$ em $\xi$ tal que $A_n \subset A$ e $$\mathbb{P}(A) - \frac{1}{n} \leq \mathbb{P}(A_n), ~ ~ n \in \mathbb{N}.$$ Ao tomarmos $B = \cup_n A_n \subset A$, obtemos que $$\mathbb{P}(B) \geq \mathbb{P}(A) \geq \mathbb{P}(A) - \frac{1}{n}, ~ ~ n \in \mathbb{N}.$$ Desde que $n$ é arbitrário, concluímos que $\mathbb{P}(B) \geq \mathbb{P}(A)$. Como consequência, obtemos que $\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A)$.  Portanto, para qualquer subconjunto mensurável $A \in \mathcal{A}$, existe um subconjunto $B \in \xi_{\sigma}$ (a classe formada por uniões enumeráveis de elementos de $\xi$) tal que $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B)$.

Na sequência, vamos mostrar que para todo $\epsilon > 0$, existe um subconjunto $C_\epsilon \in C_0$ tal que $$\mathbb{P} \left[(A^c \cap C_{\epsilon}) \cup (A \cap C_{\epsilon}^c) \right] \leq \epsilon.$$ Através da propriedade de compacidade da probabilidade $\mathbb{P}$ sobre o espaço mensurável $(S^\infty , \mathcal{A})$, existe um subconjunto $K_{\epsilon/2} \in \xi$ tal que $K_{\epsilon/2} \subset A$ tal que $$\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(K_{\epsilon/2}) + \frac{\epsilon}{2}.$$  Como consequência, obtemos que $$\mathbb{P}(A-K_{\epsilon/2}) \leq \frac{\epsilon}{2}.$$

Através da definição da classe $\xi$, concluímos que existe uma sequência $\{B_n\} \subset C_0$ tal que $B_n \downarrow K_{\epsilon/2}$. Assim, obtemos que $$\lim_n \mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(K_{\epsilon/2}).$$ Desta forma, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $$\mathbb{P}(K_{\epsilon/2}) \geq \mathbb{P}(B_k) - \frac{\epsilon}{2}; ~ ~ k \geq n_0.$$ Desde que $K_{\epsilon/2} \subset B_k$ para todo $k \in \mathbb{N}$, temos que $$\mathbb{P}(B_k-K_{\epsilon/2}) \leq \frac{\epsilon}{2}, ~ ~ k \geq n_0.$$

Agora, para todo $k \in \mathbb{N}$, obtemos que $$A \cap B^c_k \subset A \cap K_{\epsilon/2}^c = A - K_{\epsilon/2} \quad \mbox{e} \quad A^c \cap B_k \subset K_{\epsilon/2}^c \cap B_k = B_k - K_{\epsilon/2}.$$ Desta forma, obtemos que $$\mathbb{P} [A \cap B^c_k] + \mathbb{P} [ A^c \cap B_k] \leq \mathbb{P} [A \cap K_{\epsilon/2}^c] + \mathbb{P} [K_{\epsilon/2}^c \cap B_k] \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon,$$ para todo $k \geq n_0$.  Portanto, para todo $\epsilon > 0$, existe $C_{\epsilon} \in C_0$, tal que $$\mathbb{P} \left[(A^c \cap C_{\epsilon}) \cup (A \cap C_{\epsilon}^c) \right] \leq \epsilon.$$ Com isso, concluímos que a álgebra $C_0$ é uma base enumerável para qualquer probabilidade $\mathbb{P}$ sobre o espaço mensurável $(S^\infty , \mathcal{A})$.

Na sequência, tomamos o espaço $S^\infty$ com a topologia produto $\tau$. Sabemos que $\mathcal{A}$ coincide com a $\sigma$-álgebra gerada pela topologia $\tau$, conhecida com $\sigma$-álgebra de Borel. Além disso, a classe compacta $\xi$ é a classe dos subconjuntos compactos na topologia $\tau$. Dado $\mathbb{P}$ uma probabilidade sobre o espaço mensurável $(S^\infty , \mathcal{A})$, sabemos que $\mathbb{P}$ é uma probabilidade compacta. Como consequência, concluímos que $$\mathbb{P}(A) = \sup\left\{ \mathbb{P}(F) : F \subset A, ~ F ~ \mbox{Fechado} ~ \right\}, ~ ~ ~ A \in \mathcal{A}$$ e $$\mathbb{P}(A) = \inf\left\{ \mathbb{P}(O) : A \subset O, ~ O ~ \mbox{Aberto} ~ \right\}, ~ ~ ~ A \in \mathcal{A}.$$

 

 

 

Probabilidades

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