1.5.2 - Espaço de Cantor

O espaço de Cantor é um espaço metrizável compacto que é a base para a construção dos principais espaços de probabilidade. Aqui, definimos o espaço de Cantor $ S^{\infty} $ como o produto Cartesiano enumerável do espaço  $ S=\{0, 1\}  $, isto é, $ S^{\infty} $ é o espaço das sequências de zeros e uns. Com base nesta definição, vamos construir  a classe de eventos mensuráveis através do produto das $ \sigma  $- álgebras elementares do espaço binário $ S $, que será  denotada por $ \mathcal{A} $. Através de propriedades simples do espaço mensurável $ (S^{\infty}, \mathcal{A}) $, mostraremos que toda probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ (S^{\infty}, \mathcal{A}) $, satisfaz


 C \subset A, C \in \xi \} ~~~ A \in \mathcal{A},\]

  no qual $ \xi $ é a classe dos subconjuntos compactos do $ S^{\infty} $.  

Por outro lado, ao tomarmos $ S $ com a topologia discreta e $ S^\infty $ com a topologia produto $ \tau $ de Tychonov, mostraremos que $ S^\infty $ é um espaço metrizável compacto. Com a topologia produto, mostramos que $ \mathcal{A} $ corresponde a $ \sigma $-álgebra gerada pelos abertos e que que $ \xi $ é a classe dos subconjuntos compactos. Desde que $ S^\infty $ é o produto enumerável do espaço binário $ S $, facilmente mostramos que $ \tau $ é separável e Hausdorff. Estas mesmas propriedades são estendidas a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{A} $. Portanto o espaço mensurável $ (S^{\infty}, \mathcal{A}) $ é separável, Hausdorff e toda probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ \mathcal{A} $ pode ser aproximada pela probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre a classe de conjuntos compactos $ \xi $.

Espaço de Probabilidade

Ao lançarmos uma moeda, obtemos como resultado do lançamento cara ou coroa. Denotamos por $ \Omega_0  $ o espaço formado pelos possíveis resultados obtido no lançamento, isto é, $ \Omega _0 = \{\text{cara}, \text{coroa}\} $. Sobre o espaço amostral $ \Omega_0  $ associamos a função indicadora  \Omega_0 \to \{0, 1\} $, por 


\[1\!\!1_{\{\text{cara}\}} (\omega) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \ \hbox{se} \ \omega = \text{cara}\\0, \ \hbox{se} \ \omega = \text{coroa} \end{array}\right. \]

 

para todo $ \omega \in \Omega_0 $. Esta função estabelece uma bijeção entre $ \Omega_0 $ e $ S = \{0, 1\} $ e, com isso, podemos identificar estes espaços. Os eventos associados ao lançamento da moeda correspondem à classe dos subconjuntos de $ \Omega_0 $, que denotamos por $ \mathcal{A}_0 = \{\emptyset , \{\text{cara}\}, \{\text{coroa}\}, \Omega_0 \} $. Através da bijeção $ 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}  $ também podemos identificar a classe dos eventos $ \mathcal{A}_0  $ com a classe $ \mathcal{F}_1 = \{ \emptyset , \{0\}, \{1\}, S \} $, utilizando a convenção de que $ \emptyset = 1\!\!1_{\{\text{cara}\}} (\emptyset) = 1\!\!1^{-1}_{\{\text{cara}\}}(\emptyset) $. Com isso, concluímos que a função $ 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}  $ satisfaz:

a. $ 1\!\!1_{\{\text{cara}\}} $ é uma bijeção entre $ \Omega_0 $ e $ S $.

b. $ \mathcal{A}_0 = 1\!\!1^{-1}_{\{\text{cara}\}}(\mathcal{F}_{1}) $ e $ \mathcal{F}_1 = 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\mathcal{A}_0) $

Neste caso, dizemos que $ 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}  $ estabelece um isomorfismo entre os espaços $ (\Omega_0 , \mathcal{A}_0 ) \ \hbox{e} \ (S, \mathcal{F}_1). $   

Tradicionalmente, associamos  ao lançamento da moeda a probabilidade de ocorrência dos eventos com $ \lambda_0 (\{\text{cara}\}) = \lambda_0 (\{\text{coroa}\}) = \frac{1}{2}, \ \lambda_0 (\emptyset) = 0 \ e \ \lambda_0 (\Omega_0) = 1 $. Assim obtemos uma função definida sobre $ \mathcal{A}_0  $ com valores no $ [0, 1] $. Através do isomorfismo $ 1\!\!1_{\{\text{cara}\}} $, definimos a probabilidade imagem de $ \lambda_0 $ definida sobre $ (S, \mathcal{F}_1) $, por 


= \lambda_0(1\!\!1^{-1}_{\{\text{cara}\}} (A)) \ \hbox{;} \ A \in \mathcal{F}_1\]

 

 

de tal maneira que podemos estabelecer uma identificação entre os espaços de probabilidade $ (\Omega_0 ,\mathcal{A}_0, \lambda_0) $ e $ (S, \mathcal{F}_1, \mathbb{P}_1) $. 

De forma geral, definimos probabilidades $ \mathbb{P}_1 $ sobre $ (S, \mathcal{F}_1)  $ como funções  \mathcal{F}_1 \to [0, 1] $, tal que $ \mathbb{P}_1(\emptyset ) = 0, \ \mathbb{P}_1(\{\omega \}) = p_{\omega} \ (\omega \in S) $ e $ \mathbb{P}_1(S) = 1 $ em que $ 0 \ \textless \ p_0, p_1 \ \textless \ 1 $ e $ p_0 + p_1 = 1 $.  

Na sequência, vamos estender nosso experimento para $ n \ (n \in \mathbb{N}) $ lançamentos da moeda. Ao lançarmos n vezes a moeda, obtemos como nosso espaço amostral $ \Omega_1  $ o conjunto de todas as sequências n-dimensionais de "cara" e "coroa", isto é,


 \omega_k \in \Omega_0 , 1 \leq k \leq n \} \]

 

Mais uma vez, definimos a classe dos eventos de nosso experimento como a coleção de todos os subconjuntos de $ \Omega_1  $ e denotamos por $ \mathcal{A}_1 $. A função  \Omega_1 \to S^n  $, definida por 


\[\psi (\omega ) = (1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\omega_1 ), \dots , 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\omega_n )) \ ; \ \omega = (\omega_1 , \dots , \omega_n ) \in \Omega_1\]

 

estabelece um isomorfismo entre $ (\Omega_1, \mathcal{A}_1) $ e $ (S^n, \mathcal{F}_n) $, onde $ \mathcal{F}_n $ é a classe de todos os subconjuntos de $ S^n $.

Para estendermos a probabilidade $ \lambda_0  $ para o experimento de n lançamentos da moeda, vamos considerar que cada lançamento é independente um do outro. Com isso, para todo $ \omega = (\omega_1, \dots , \omega_n ) \in \Omega_1  $ tomamos a extensão de $ \lambda_0  $ por


\[\lambda_1(\{\omega \}) = \left ( \frac{1}{2} \right )^n \]

 

Como todo elemento $ A \in \mathcal{A}_1  $ é união finita disjunta de pontos de $ \Omega_1 $, definimos 


\[\lambda_1 (A) = \sum_{\omega \in A} \lambda_1 (\{\omega\}) \]

como sendo uma função definida em $ \mathcal{A}_1 $ com valores em $ [0,1] $. Através do isomorfismo $ \psi $, podemos identificar as triplas $ (\Omega_1 , \mathcal{A}_1, \lambda_1) $ e $ (S^n , \mathcal{F}_n , \mathbb{P}_n) $ onde = \lambda_1(\psi^{-1}) $.  

De forma geral, tomamos  \mathcal{F}_n \to [0, 1] $, como 


\[\mathbb{P}_n (A) = \sum_{\omega \in A} p_{\omega_1}\dots p_{\omega_n} \ ; \ A \in \mathcal{F}_n.\]

 

Observe que $ \omega\in A \subset S^n $ é da forma $ \omega = (\omega_1,\ldots,\omega_n) $ em que cada $ \omega_i\in S $ é igual a zero ou um. Além disso, temos que $ 0 \ \textless \ p_0 , p_1 \ \textless \ 1 $ e $ p_0 + p_1 = 1 $. Assim 

i. $ \mathbb{P}_n (\emptyset) = 0 $ e $ \mathbb{P}_n(S^n) = 1 $;

ii. Para todo $ A_1, A_2 \in \mathcal{F}_n $ com $ A_1 \cap A_2 = \emptyset $, temos


\[\mathbb{P}_n(A_1\cup A_2 ) = \sum_{\omega \in (A_1\cup A_2)} p_{\omega_1}\ldots p_{\omega_n} = \sum_{\omega\in A_1}p_{\omega_1}\ldots p_{\omega_n} + \sum_{\omega\in A_2}p_{\omega_1}\ldots p_{\omega_n} =\mathbb{P}_n(A_1) + \mathbb{P}_n (A_2).\]

 

Qualquer função $ \mathbb{P}_n $ definida sobre $ (S^n , \mathcal{F}_n ) $ com valores em $ [0,1] $ que satisfaça as condições acima é denominada probabilidade.

A seguir, vamos estender nosso experimento para infinitos lançamentos da moeda. Tomamos por espaço amostral


 \omega_k \in \Omega_0 , k \in \mathbb{N} \} .\]

Como anteriormente, a função  \Omega \to S^{\infty} $, dada por 


\[\Psi(\omega) = (1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\omega_1 ), 1\!\!1_{\{\text{cara}\}}(\omega_2), \dots)\]

 

estabelece uma bijeção entre $ \Omega $ e $ S^{\infty} $. O espaço das sequências de zeros e uns $ (S^{\infty}) $ é denominado espaço de Cantor. Para facilitar a notação, vamos utilizar a identificação do experimento de infinitos lançamentos da moeda com o espaço de Cantor diretamente, para nos concentrarmos sobre as sequências de 0 e 1.

Nosso objetivo inicial consiste em estender a estrutura da tripla $ (S^n , \mathcal{F}_n , \mathbb{P}_n) \ (n \in \mathbb{N}) $ para o caso de dimensão infinita. Para isto, considere as projeções coordenadas  S^{\infty} \to S $, definidas por 


\[\pi_k(\omega) = \omega_k,\]

no qual $ \omega = (\omega_1, \omega_2, \dots ) \in S^{\infty} $ e $ k \in \mathbb{N} $. A família de conjuntos  i \in S, k \in \mathbb{N}\} $, denominados cilindros de $ S^{\infty}  $ com base em $ S $, satisfaz as três propriedades abaixo  

i. $ \pi^{-1}_k(\{1\})\cup \pi^{-1}_k(\{0\}) = S^{\infty} $ e $ \pi^{-1}_k(\{1\})\cap \pi^{-1}_k(\{0\}) = \emptyset $ para todo $ k \in \mathbb{N} $.

ii. Para todo sequência $ \{D_n\}  $ de cilindros com base em S tal que $ \cap D_k = \emptyset $, existe $ n_0 \in \mathbb{N}  $ satisfazendo


\[\bigcap^{n_0}_{k=1} D_k = \emptyset .\]

De fato, observe que,


\[(i_1, i_2, \dots ) = (\{i_1\} \times S \times \dots ) \cap (S \times \{i_2\} \times S \times \dots ) \cap \dots =\bigcap^{\infty}_{k=1} \pi^{-1}_k (\{i_k\}) \neq\emptyset.\]

 

para todo elemento $ (i_1, i_2, \dots ) \in S^{\infty} $. Generalizando, se tomarmos um subconjunto de índices $ \mathcal{K} = \{k_1, k_2, \dots \} \subset \aleph  $ (com $ k_n \neq k_m  $ para todo $ n \neq m  $), temos que  


\[(i_{k_1}, i_{k_2}, \dots ) = \bigcap_{j=1}^\infty \pi_j^{-1} (\{i_{k_j}\}) \neq \emptyset \ \ ; \ \ i_{k_j} \in S.\]

  Então se tomarmos uma sequência $ \{D_k\}  $ de cilindros com base em S tal que


\[\bigcap^{\infty}_{k=1} D_k = \emptyset, \]

 

existe pelo menos dois elementos $ D_{k_1} \ e \ D_{k_2}  $ tais que

\[ D_{k_1} = \pi^{-1}_m (\{i_m\}) \ e \ D_{k_2} = \pi^{-1}_m (\{j_m\})\]

com $ i_m \neq j_m  $ para algum $ m \in \mathbb{N} $. Desta forma, se tomarmos $ n_0 = \max \{k_1 , k_2\} $, obtemos que 


\[ \bigcap^{n_0}_{k=1} D_k = \emptyset \]

 

Com isso, dizemos que os cilindros com base em S formam uma classe compacta.

iii. A classe dos cilindros com base em $ S $ é enumerável e separa pontos no $ S^{\infty} $.

Que tal classe é enumerável é imediato. Além disso, para todo $ (i_1, i_2, \dots ), (j_1, j_2, \dots ) \in S^{\infty}  $ distintos, existe pelo menos um índice $ m \in \mathbb{N}  $ tal que $ i_m \ \neq \ j_m  $ então, 


\[1\!\!1_{\pi^{-1}_m (\{1\})} (i_1, i_2, \dots ) \neq 1\!\!1_{\pi^{-1}_m (\{1\})} (j_1, j_2, \dots ). \]

Assim, obtemos que a classe dos cilindros com base em $ S $ é separável e separa pontos no espaço de Cantor. 

A probabilidade $ \mathbb{P}_1 $ definida sobre $ (S, \mathcal{F}_1) $ pode ser estendida para um função $ \mathbb{P}^\prime $ definida sobre a classe dos cilindros com base em $ S $ da seguinte forma 


\[\mathbb{P}^{\prime}(\pi^{-1}_k (\{i\}) ) = \mathbb{P}_1 (\{i\})\]

 

para todo $ i\in S $ e $ k \in \mathbb{N} $. Na sequência, vamos tomar intersecções finitas de cilindros com base em $ S $ e anexar o conjunto vazio e o $ S^{\infty} $. Considere $ \mathcal{D} $ a coleção de todos os subconjuntos finitos de números naturais. A classe dos subconjuntos


 (v_1, \dots , v_n ) \in \mathcal{D}, (\omega_{v_1}, \dots , \omega_{v_n} ) \in S^n, n \in \mathbb{N} \}\right\}\]

contém todos os cilindros com base em S e é fechada por intersecção finita. Como a semi-álgebra $ \Delta $ é obtida por intersecção finita de elementos de uma classe compacta, concluímos que $ \Delta $ também é uma classe compacta.

Exercício:

Mostre que a classe de subconjuntos $ \Delta $ é uma semi-álgebra e compacta. Para toda sequência $ \{\D_n\} $ tal que $ \cap_n D_n = \emptyset $, existe $ n_0 \in \mathbb{N} $ tal que  $ \cap_n D_n^{n_0} = \emptyset $.

De forma natural, podemos estender a função $ \mathbb{P}^\prime $ para a semi-álgebra  $ \Delta $, na forma


\[\mathbb{P}^{\prime}(\pi^{-1}_{v_1}(\{\omega_{v_1}\})\cap \dots \cap \pi^{-1}_{v_n}(\{\omega_{v_n}\})) = \mathbb{P}_n (\{\omega_{v_1},\dots , \omega_{v_n}\}) = p_{\omega_{v_1}} \dots p_{\omega_{v_n}},\]

no qual $ (v_1,\ldots,v_n) \in D, \ (\omega_{v_1},\ldots,\omega_{v_n}) \in S^n \ e \ n \in \mathbb{N} $. A seguir vamos tomar uniões finitas disjuntas 2 a 2 de elementos de $ \Delta $.

Para todo $ v = (v_1, v_2, \dots , v_n ) \in D  $ com $ n \in \mathbb{N} $, a projeção coordenada


\[\pi_v (\omega) = (\omega_{v_1}, \dots , \omega_{v_n}); \ \omega = (\omega_1,\omega_2 ,\dots) \in S^{\infty}\]

 

toma elementos sobre $ S^{\infty}  $ e leva em $ S^n $. A classe dos cilindros


 \ v = (v_1, \dots , v_n ) \in D \ \text{e} \ B \subset S^n\}\]

 

é uma álgebra enumerável, pois satisfaz 

a. $ \emptyset \in C_0 $ e $ S^{\infty} \in C_0 $;

b. Se $ A \in C_0 $, então $ A^c \in C_0 $;

c. Se $ A_1 $ e $ A_2 \in C_0 $, então $ A_1\cup A_2 \in C_0 $;

As propriedades a. e b. serão deixadas como exercício. Vamos verificar apenas a parte c.

Como $ A_1 $ e $ A_2 \in C_0 $, existe $ u_1 = (i_1, \dots , i_m) $ e $ u_2 = (j_1 , \dots , j_n) \in D $ tais que 


\[A_1 = \pi^{-1}_{u_1}(B_1); \ A_2 = \pi^{-1}_{u_2}(B_2)\]

 

para $ B_1 \subset S^m $ e $ B_2 \subset S^n $ com $ n, m \in \mathbb{N} $. Considere


 \ (\omega_{i_1} , \dots \omega_{i_m}) \in B_1 \} \]


 \ (\omega_{j_1} , \dots \omega_{j_n}) \in B_2 \} \]

 

Denotamos por $ u^{\prime}_1 = (1, 2, 3, \dots, i_m) $ e $ u^{\prime}_2 = (1, 2, 3, \dots, j_n) \in D $. Se $ i_m = j_n $, temos que $ u^{\prime}_1 = u^{\prime}_2 = u $. Assim,


\[\pi^{-1}_{u_1} (B_1) \cap \pi^{-1}_{u_2} (B_2) = \pi{-1}_u (B^{\prime}_1) \cap \pi^{-1} _u (B{\prime}_2) = \pi^{-1}_u (B^{\prime}_1 \cap B^{\prime}_2)\]

 

Se $ i_m \neq j_n $, admitimos por simetria que $ i_m \textless j_n $. Neste caso, basta tomarmos 


 \ (\omega_{i_1}, \dots , \omega_{1_m}) \in B_1\} \]

 

Como a classe $ \Delta  $ é compacta e a álgebra $ C_0  $ é formada por união finita disjunta de elementos de $ \Delta $, concluímos que os cilindros do $ S^{\infty}  $ também formam uma classe compacta, ver o módulo probabilidades compactas.  Assim, obtemos o seguinte lema.

Lema 1.5.1.1:

Para toda sequência $ \{C_n\} \subset C_0 $ com $ \cap^{\infty}_{k=1} C_k = \emptyset  $, existe $ n_0 \in \mathbb{N} $ tal que $ \cap^{n_0}_{k=1} C_k = \emptyset $.

Para todo elemento $ A \in C_0 $, existe $ v = (v_1, \dots , v_n) \in D, \ B \ \in S^n $ com $ n \in \mathbb{N} $, tal que $ A = \pi^{-1}_v(B) $. Então, uma extensão natural da probabilidade $ \mathbb{P}_n  $ sobre $ (\Omega , C_0)  $ é definida por


\[\mathbb{P}^{\prime} (A) = \mathbb{P}^{\prime} (\pi^{-1}_v (B)) = \mathbb{P}_n (B) = \sum_{(i_1, \dots , i_n) \in B} \mathbb{P}^{\prime}(\pi^{-1}_{v_1} (\{i_1\}) \cap \dots \cap \pi^{-1}_{v_n} (\{i_n\}))\]

 

 

Como todo cilindro tem diversas representações, precisamos mostrar que a definição acima é independente destas representações. Seja $ A $ um cilindro de $ S^{\infty} $ com as representações


\[A = \pi^{-1}_v(B_1) = \pi^{-1}_u (B_2)\]

 

onde $ v = (v_1, \dots \ v_n) $ e $ u = (u_1, \dots , u_m) $ são elementos de $ D $, $ B_1 \subset S^n $ e $ B_2 \ \subset S^m $. Se $ n = m $, temos que $ B_1 = B_2 $ e $ u = v $. Agora, caso $ n \neq m $, vamos admitir, sem perda de generalidade, que $ n \ \textless \ m $. Neste caso, o conjunto $ B_2 $ consiste dos elementos $ (\omega_1, \dots , \omega_m ) $ em $ S^m $ para os quais $ (\omega_1, \dots , \omega_n) \in B_1 $, isto é, $ B_2 = B_1\cup S^{m-n} $. Assim,


\[\sum_{B_2} \mathbb{P}_{\omega_1}\ldots \mathbb{P}_{\omega_n}\mathbb{P}_{\omega_{n+1}} \ldots \mathbb{P}_{\omega_m} = \sum_{B_1} \mathbb{P}_{\omega_1}\dots \mathbb{P}_{\omega_n} \sum_{S^{m-n}}\mathbb{P}_{\omega_{n+1}}\ldots \mathbb{P}_{\omega_m} = \sum_{B_1} \mathbb{P}_{\omega_1}\ldots \mathbb{P}_{\omega_n}\]

 

Portanto, a extensão da função de conjunto $ \mathbb{P}^{\prime}  $ sobre a álgebra de cilindros do $ S^{\infty} $ é consistente. Como consequência direta da definição da função $ \mathbb{P}^{\prime} $, obtemos o seguinte lema.

Lema 1.5.1.2:  

A função  C_0 \to [0, 1]  $ satisfaz

i $ \mathbb{P}^{\prime}(\emptyset) = 0 $ e $ \mathbb{P}^{\prime}(S^{\infty}) = 1 $;

ii.Se $ A_1, A_2 \in C_0 $ com $ A_1 \cap A_2 = \emptyset $, obtemos 


\[\mathbb{P}^{\prime}(A_1\cup A_2) = \mathbb{P}^{\prime}(A_1) + \mathbb{P}^{\prime}(A_2).\]

 

Com isso, concluímos que a função $ \mathbb{P}^{\prime} $ é finitamente aditiva. Para mostrarmos que $ \mathbb{P}^{\prime} $ é uma $ \sigma $ aditiva, vamos utilizar o fato de que a álgebra $ C_0 $ é uma classe compacta.

Lema 1.5.1.3:

Qualquer função  C_0 \to [0, 1]  $ satisfazendo as propriedades (i) e (ii) do Lema 1.5.1.2 é $ \sigma $ - aditiva.

Demonstração: 

Considere $ \{C_n\} \ \subset \ C_0  $ uma sequência monótona de conjuntos tal que $ \cap^{\infty}_{k=1} C_n = \emptyset $. Utilizando o Lema 1.5.1.1, sabemos que existe $ n_0 \in \mathbb{N} $ tal que $ \cap^{n_0}_{k=1} C_k = \emptyset $.

Como $ \{C_k\}  $ é monótona decrescente, temos que $ C_{n_0} = \cap ^{n_0}_{k=1}C_k = \emptyset  $ e com isso,


\[\mathbb{P}^{\prime}(C_j) = 0 \ ; \ \forall \ j \ \ge \ n_0.\]

Portanto,

\[\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(C_n) = 0.\]

Com isso, concluímos que $ \mathbb{P}^{\prime} $ é contína no vazio. Desde que $ \mathbb{P}^\prime $ é finitamente aditiva, obtemos que $ \mathbb{P}^\prime $ é $ \sigma $-aditiva na álgebra $ C_0 $.

Em algumas aplicações na teoria de probabilidade, como a lei forte dos grandes números e a teoria dos jogos de azar, precisamos calcular probabilidades de conjuntos que dependem de um número infinito de coordenadas. Com isso, precisamos estender a função $ \mathbb{P}^{\prime}  $ para uma classe mais ampla de conjuntos.

Denotamos por $ \xi $ a classe formada por limites monótonos decrescentes de elementos de $ C_0 $. Cnsidere $ \mathbb{P}^{\prime} $ uma função definida em $ C_0  $ satisfazendo as hipóteses do lema 1.5.1.2. Como $ \mathbb{P}^{\prime} $ é $ \sigma $-aditiva podemos estender $ \mathbb{P}^{\prime} $ sobre $ \xi $, na forma


\[\delta (G) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(B_n),\]

 

no qual $ \{B_n\} \subset C_0  $ é uma sequência monótona decrescente tal que $ G= \cap B_n $. Inicialmente, vamos mostrar que $ \delta $ é independente da sequência $ \{B_n\} $.

Lema 1.5.1.4:

Considere $ \{B_n\} $ e $ \{C_n\} $ duas sequências monótonas decrescentes em $ C_0 $. Então,

a. se $ \cap_n B_n \subset \cap_n C_n $, temos que


\[\lim_{n \to \infty}\mathbb{P}^{\prime}(B_n) \leq \lim_{n \to \infty}\mathbb{P}^{\prime}(C_n).\]

 

b. se $ \cap_n B_n = \cap_n C_n $, temos que  


\[\lim_{n \to \infty}\mathbb{P}^{\prime}(B_n) = \lim_{n \to \infty}\mathbb{P}^{\prime}(C_n).\]

 

Demonstração: 

Para todo $ n $ fixo, a sequência $ \{C_n \cap B_k\} $ é monótona decrescente em $ C_0 $, e satisfaz


\[\cap_k (C_n\cap B_k) = C_n.\]

 

Utilizando a $ \sigma $-aditividade da função $ \mathbb{P}^{\prime} $, obtemos que


\[\lim_{k \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(B_k) \leq \lim_{k \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(C_n \cap B_k ) = \mathbb{P}^{\prime} (C_n) \ \ ; \ n \in \mathbb{N}\]

 

Desta forma,


\[lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(B_k) \leq \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(C_n).\]

 

Agora, se tomarmos $ \cap_n B_n = \cap_n C_n $, também obtemos para todo $ k $, que a sequência $ \{C_n\cup B_k\}  $ é monótona decrescente. Mais uma vez, utilizando a $ \sigma $-aditividade da função $ \mathbb{P}^{'} $, obtemos que


\[ \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime} (C_n) \leq \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime} (C_n \cup B_k ) = \mathbb{P}^{\prime} (B_k ) \ ; \ k \in \mathbb{N}\]

 

Portanto, da parte a, segue que


\[\lim_{k \to \infty} \mathbb{P}^{\prime} (B_k ) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^{\prime}(C_n ).\]

 

Com o lema acima, concluímos que a função $ \delta $ está bem definida. A seguir, vamos estudar as propriedades desta função e da classe $ \xi $.

Lema 1.5.1.5:

A classe $ \xi  $ de sbconjuntos do espaço de Cantor e a função $ \delta $, satisfazem

a. $ \delta (\emptyset ) = 0 $ e $ \delta(S^{\infty} ) = 1 $;

b. Para $ G_1, G_2 \in \xi $, temos que $ G_1 \cup G_2 \in \xi $ e $ G_1 \cap G_2 \in \xi $. Além disso,


\[\delta (G_1 \cup G_2 ) = \delta (G_1 ) + \delta (G_2 ) - \delta (G_1 \cap G_2 ).\]

 

c. Sejam $ G_1, G_2 \in \xi $ tais que $ G_1 \subset G_2 $. Então 


\[\delta (G_1 ) \leq \delta (G_2 ).\]

 

d. Considere $ \{G_n \} \subset \xi $ uma sequência monótona decrescente tal que $ \cap G_n = G $. Então, temos que $ G \in \xi  $ e


\[\lim_{n \to \infty} \delta (G_n ) = \delta (G)\]

 

Demonstração: 

A parte a. é obvia. Para mostrarmos a parte b., sejam $ G_1, G_2 \in \xi $. Então, existe $ \{A_{n,1}\} $ e $ \{A_{n,2}\}  $ sequências monótonas decrescentes tais que,


\[G_1 = \cap_n A_{n,1} = \lim \downarrow A_{n,1} \ \text{e} \ G_2 = \cap_n A_{n,2} = \lim \downarrow A_{n,2}\]

 

Além disso,


\[\lim \downarrow (A_{n,1} \cap A_{n,2} ) = G_1 \cap G_2 \ e \ \lim \downarrow (A_{n,1} \cup A_{n,2} ) = G_1 \cup G_2\]

 

Como 


\[\mathbb{P}^{\prime} (A_{n,1}) + \mathbb{P}^{\prime} (A_{n,2}) = \mathbb{P}^{\prime} (A_{n,1} \cup A_{n,2}) + \mathbb{P}^{\prime}(A_{n,1} \cap A_{n,2})\]

 

obtemos que


\[\delta (G_1 ) + \delta (G_2 ) = \delta (G_1 \cap G_2) + \delta (G_1 \cap G_2 ).\]

 

A propriedade c. é consequência direta do lema anterior. Para mostrarmos a relação d., tomamos $ \{A_{k,n}\}^{\infty}_{k=1} $ sequências monótonas decrescentes em $ C_0 $, tais que 


\[\lim \downarrow A_{k,n} = G_n \ \text{e} \ \lim \downarrow G_n = G \]

 

Com isso, a sequência formada por 


\[D_k = \cap_{n\leq k} A_{k,n}\]

 

é monótona decrescente, pois 


\[D_k = \cap_{n\leq k} A_{k,n} \supset \cap_{n\leq k} A_{k+1, n} \supset D_{k+1}\]

 

Agora, para todo $ k \leq n $ temos que $ A_{k,n} \supset D_k \supset G_n $. Assim,


\[\mathbb{P}^{'} (A_{k,n} ) \ge \mathbb{P}^{'} (D_k ) \ge \delta (G_n) \ ; \ k \leq n\]

 

Desta forma, concluímos que $ D_k \downarrow G \in \xi  $ e


\[\delta (G) = \lim \downarrow \delta (D_k ) = \lim \downarrow \delta (G_n)\]

 

como queríamos demonstrar.

Com este lema, obtemos que $ \xi  $ é a menor classe de subconjuntos do $ S^{\infty}  $ que contém a álgebra $ C_0  $ e satisfaz as propriedades do lema acima. Além disso,


\[\delta (B) = \mathbb{P}^{\prime} (B) \ ; \ B \in C_0\]

 

A seguir, vamos estender a função $ \delta $ sobre $ \xi $ para uma função definida sobre o conjunto das partes do espaço de Cantor.

Lema 1.5.1.6:

A função de conjunto $ \delta_{\star} $, definida por


 G \subset A, \ G \in \xi \} \ \ A \subset S^{\infty }\]

 

satisfaz as seguintes propriedades:

a. Para todo $ G \in \xi  $ temos que $ \delta_{\star}(G) = \delta (G) $ e $ 0 \leq \delta_{\star}(A) \leq 1 $ qualquer que seja $ A \subset S^{\infty} $.

b. Para todo $ A_1 $ e $ A_2 $ subconjuntos de espaço de Cantor, obtemos que


\[\delta_{\star}(A_1 \cup A_2) + \delta_{\star}(A_1 \cap A_2) \ge \delta_{\star}(A_1)\delta_{\star} (A_2)\]

 

Em particular,


\[\delta_{\star}(A) + \delta_{\star}(A^c) \leq 1\]

 

c. Se $ A \subset B $, então $ \delta_{\star}(A) \leq \delta_{\star}(B) $.

d. Se $ A_n \downarrow A $, então $ \lim \downarrow \delta_{\star} (A_n) = \delta_{\star}(A) $.

Demonstração:

A parte a. é consequência direta da definição de $ \delta_{\star} $. Dado $ \varepsylon \textgreater 0 $, escolhemos $ G_1 $ e $ G_2 \in \xi $, tais que 


\[\delta_{\star}(A_i) - \frac{\epsilon}{2} \leq \delta (G_i); i = 1,2.\]

 

Assim, utilizando o lema anterior, temos que


\[\delta_{\star}(A_1) + \delta_{\star}(A_2) - \epsilon \leq \delta(G_1) + \delta (G_2) = \delta(G_1 \cup G_2) + \delta (G_1 \cap G_2) \leq \delta_{\star}(G_1 \cup G_2) + \delta_{\star}(G_1 \cap G_2)\]

 

Como $ \epsilon \ \textgreater \ 0 $ é arbitrário, temos que


\[\delta_{\star}(A_1) + \delta_{\star}(A_2) \leq \delta_{\star} (A_1 \cup A_2) + \delta_{\star}(A_1\cap A_2).\]

 

Para mostrar a propriedade c., basta observar que 


 G \subset A_2, \ G \in \xi \}\]

 

pois $ A_1 \subset A_2 $.

 A seguir, vamos mostrar a parte d. Fixamos $ \epsilon \ \textgreater \ 0 $ e escolhemos uma sequência $ \{\epsilon_n\} $ de números reais positivos tais que $ \sum_n \epsilon_n = \epsilon $. Além disso, tomamos $ G_n \in \xi $ tal que $ G_n \subset A_n $ e,


\[\delta_{\star}(A_n) - \epsilon_n \leq \delta(G_n)\]

 

Considere


\[G^{\prime}_k = \cap^k_{n=1}G_n; \ k \in \mathbb{N}.\]

 

Então, obtemos que $ G^{\prime}_k \subset A_k $ e a sequência $ \{G^{\prime}_k\} $ é monótona decrescente em $ \xi $. A seguir, vamos mostrar por indução, que 


\[\delta_{\star}(A_k) - \sum^n_{k=1} \epsilon_k \leq \delta (G^{\prime}_k)\]

 

Para n = 1 temos por hipótese, que


\[\delta_{\star}(A_1) - \epsilon_1 \leq \delta (G^{\prime}_1)\]

 

suponha que a relação acima é válida para $ k \in \mathbb{N} $. Como 


\[G_{k+1} \cup G^{\prime}_k \subset A_k\]

 

obtemos que 

$ \delta (G^{\prime}_{k+1}) \ = \ \delta (G^{\prime}_k \cap G_{k+1} ) \ = \ \delta (G^{\prime}_k ) \ + \ \delta (G_{k+1} ) \ - \ \delta (G^{\prime}_k \cup G_{k+1} ) \ge $

$ \left[\delta_{\star } (A_k ) \ - \ \sum^k_{n=1} \epsilon_n \right] \ + \ [\delta_{\star }(A_{k+1}) \ - \ \epsilon_{k+1} ] \ - \ \delta_{\star } (A_k ) \ge \delta_{\star }(A_{k+1} ) \ - \ \sum^{k+1}_{n=1} \epsilon_n  $ 

Com isso,


\[\delta_{\star }(A_{k+1} ) \ - \ \sum^{k+1}_{n=1} \epsilon_n \ \leq \ \delta (G^{\prime}_{k+1} )\]

 

Ao tomarmos limite, concluímos que 


\[\lim \downarrow G^{'}_n \subset \lim \downarrow A_n \ = \ A\]

 

utilizando o lema anterior


\[\lim \downarrow \delta_{\star } (A_n ) \ - \ \epsilon \leq \lim \downarrow \delta (G^{\prime}_n ) \ = \ \delta [ \lim \downarrow G^{\prime}_n ] \]

 

Como,


\[\delta [\lim \downarrow G^{\prime}_n ] \ \leq \ \delta_{\star } [\lim \downarrow A_n ] \]

 

obtemos que


\[\lim \downarrow \delta_{\star }(A_n ) \ - \ \epsilon \ \leq \ \delta_{\star} [\lim \downarrow A_n ] \]

 

Desde que,


\[\lim \downarrow \delta_{\star } (A_n ) \ = \ \delta_{\star } [\lim \downarrow A_n ] \ = \ \delta_{\star }(A)\]

 

e $ \epsilon \ \textgreater \ 0  $ é arbitrário, concluímos que


\[\lim \downarrow \delta_{\star } (A_n ) = \delta_{\star } [ \lim \downarrow A_n ] \]

 

Com o lema acima, obtemos que para todo $ A \subset S^{\infty } $


\[\delta_{\star}(A) + \delta_{\star}(A^c) \leq 1.\]

 

Na sequência, vamos mostrar que a classe de subconjuntos do $ S^{\infty} $ definida por


 \delta_{\star}(A) + \delta_{\star}(A^c) = 1\}\]

 

é uma $ \sigma $-álgebra e a restrição de $ \delta_{\star} $ sobre $ \mathcal{F}^{\star} $ define uma probabilidade. Tal resultado é conhecido como teorema de extensão de Carathèodory. Observe que $ A \in \mathcal{F}^{\star} $ implica que $ A^c \in \mathcal{F}^{\star} $. Além disso, se $ A_1 $ e $ A_2 \in \mathcal{F}^{\star} $, a soma do lado direito das desigualdades abaixo é igual a dois.


\[\delta_{\star}(A_1 \cup A_2) + \delta_{\star}(A_1 \cap A_2) \ge \delta_{\star}(A_1) + \delta_{\star}(A_2)\]

 

e


\[\delta_{\star}[(A_1 \cup A_2)^c] + \delta_{\star}[(A_1 \cap A_2)^c] = \delta_{\star}[(A_1)^c] + delta_{\star}[(A_2 )^c]\]

 

A propriedade b. do Lema 1.5.1.6 implica, que


\[\delta_{\star}(A_1 \cup A_2) + \delta_{\star}[(A_1 \cup A_2)^c] \leq 1\]

 

e


\[\delta_{\star}(A_1 \cap A_2) + \delta_{\star}[(A_1 \cap A_2)^c] \leq 1\]

 

Estas desigualdades são compatíveis somente se forem igualdades. Assim, obtemos que a classe $ \mathcal{F}^{\star} $ é fechada por união finita e intersecção finita e, a função $ \delta_{\star}  $ é finitamente aditiva.

Considere $ \{A_n\} $ uma sequência de elementos de $ \mathcal{F}^{\star} $. Então, obtemos das propriedades c. e d. do Lema 1.5.1.6, que


\[\delta_{\star}[\cap^{\infty}_n A_n] = \lim_{n \to \infty} \delta_{\star}(A_n)\]

 

e


\[\delta_{\star}[(\cap^{\infty}_n A_n )^c] \ge \delta_{\star}(A^c_k); k \ge 1\]

 

Logo,

$ 1 \ = \ \lim_{n \to \infty} [\delta_{\star} (A_n ) \ + \ \delta_{\star} (A^c_n ) ] \ \leq \ \delta_{\star} [\cap^{\infty}_n A_n ] \ + \ \delta_{\star} [(\cap^{\infty}_n A_n )^c ]  $

Como consequência da propriedade b, concluímos que $ \cap_n A_n \in \mathcal{F}^{\star} $. Então a classe de conjuntos $ \mathcal{F}^{\star} $ é uma $ \sigma $-álgebra e a restrição da função $ \delta_{\star} $ sobre $ \mathcal{F}^{\star} $ é uma probabilidade.

Denotamos por $ \mathcal{A} = \sigma (C_0) $ a menor $ \sigma $-álgebra dos subconjuntos de $ S^{\infty} $ que contém $ C_0 $. Como a $ \sigma $-álgebra  $ \mathcal{F}^{\star} $ contém $ C_0 $, obtemos que $ \mathcal{A} \subset \mathcal{F}^{\star} $. Com isso, a restrição de $ \delta_{\star} $ sobre $ \mathcal{A} $, denotada por $ \mathbb{P} $, define uma probabilidade sobre o espaço mensurável $ (S^{\infty} , \mathcal{A}) $.

Com os resultados acima, obtemos um espaço mensurável $ (S^{\infty}, \mathcal{A}) $ e uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre este, tal que


 G \subset A, G \in \xi\}.\]

 

Para todo $ A \in \mathcal{A} $. Como $ \xi $ é formado por intersecções enumeráveis de elementos da classe compacta $ C_0 $, concluímos que $ \xi  $ também é uma classe compacta. Assim, a probabilidade $ \mathbb{P} $ pode ser aproximada (por dentro) pela probabilidade de elementos de $ \xi $ (uma classe compacta). Os espaços de probabilidade satisfazendo tal propriedade são denominados espaços de probabilidade compactos.

Para finalizar, vamos estudar a unicidade da extensão $ \mathbb{P}^{\prime} $ sobre $ \mathcal{A} $. Tomamos por


 (\omega_1 ,\ldots , \omega_n) \in S^n , \ n \in \mathbb{N}\}\]

 

a classe de subconjuntos do $ S^{\infty}  $ fechada por intersecção finita. Vamos mostrar que a $ \sigma $-álgebra gerada po $ \Pi $ coincide com $ \mathcal{A} $. Temos que 


\[\Pi \subset C_0 \Longrightarrow \sigma (\Pi ) \subset \sigma (C_0) = \mathcal{A}.\]

 

Por outro lado, a classe dos cilindros com base em $ S $ pode ser obtida via uniões finitas de elementos de $ \Pi $, pois


\[\pi^{-1}_k (\{\omega_k\}) = \bigcup_{(\omega_1, \ldots, \omega_{k-1}) \in S^{k-1}} \pi^{-1}_1 (\{\omega_1\})\cap\ldots \cap \pi^{-1}_{k-1} (\{\omega_{k-1}\}) \cap \pi^{-1}_k (\{\omega_k\}).\]

Como a classe $ C_0 $ é construída através de intersecções e uniões finitas de cilindros com base em $ S $, obtemos que


\[C_0 \subset \sigma(Pi ) \Longrightarrow \mathcal{A} = \sigma (C_0) \subset \sigma (\Pi).\]

 

Então,


\[\mathcal{A} = \sigma (C_0) = \sigma (\Pi).\]

 

Dadas duas probabilidades $ \mathbb{P}_1 $ e $ \mathbb{P}_2 $ sobre $ (S^{\infty}, \mathcal{A}) $, tais que


\[\mathbb{P}_1 (F) = \mathbb{P}_2 (F); F \in \Pi\]

 

vamos mostrar que estas probabilidades são iguais sobre $ \mathcal{A} $. Para isto, basta mostrarmos que a classe


 \mathbb{P}_1(B) = \mathbb{P}_2 (B)\}\]

 

é $ \sigma $-aditiva, isto é,

a. $ S^{\infty} \in \mathcal{G} $

b. Se $ F_1, F_2 \in \mathcal{G} $ com $ F_1 \cap F_2 = \emptyset $, então, $ F_1 \cup F_2 \in \mathcal{G} $, pois


\[\mathbb{P}_1 (F_1\cup F_2) = \mathbb{P}_1 (F_1) + \mathbb{P}_1 (F_2) = \mathbb{P}_2 (F_1) + \mathbb{P}_2 (F_2) = \mathbb{P}_2 (F_1\cup F_2).\]

 

Além disso, para todo $ F \in \mathcal{G} $, temos que


\[\mathbb{P}_1(F^c) = 1 - \mathbb{P}_1(F) = 1 - \mathbb{P}_2 (F) = \mathbb{P}_2(F^c).\]

 

c. Seja $ \{F_n\} \subset \mathcal{G} $ uma sequência de subconjuntos de $ S^{\infty} $ tal que $ F_k \cap F_n = \emptyset $ para $ k \neq n \in \mathbb{N} $.

Assim,


\[\mathbb{P}_1(\cup_n F_n) = \sum_n \mathbb{P}_1(F_n) = \sum_n \mathbb{P}_2(F_n) = \mathbb{P}_2(\cup_n F_n)\]

 

Portanto, para todo $ A \in \mathcal{A} $


\[\mathbb{P}_1 (A) = \mathbb{P}_2 (A)\]

 

Utilizando a unicidade da extensão de Carathèodory, vamos mostrar que qualquer probabilidade sobre $ (S^{\infty} , \mathcal{A}) $ define um espaço de probabilidade compacto. Dado uma probabilidade qualquer $ \mathbb{P} $ sobre $ (S^{\infty}, \mathcal{A}) $, obtemos que a restrição de $ \mathbb{P} $ sobre $ C_0 $ é $ \sigma $-aditiva. Desta forma,


 C \subset A, C \in \xi\}\]

 

define uma função satisfazendo as condições dos lemas anteriores. Através da unicidade do teorema de extensão de Carathèodory, obtemos que, para todo $ B \in \mathcal{A} $


 C \subset B, C \in \xi\}.\]

 

Portanto, o espaço de probabilidade $ (S^{\infty} , \mathcal{A} , \mathbb{P}) $ é compacto para qualquer probabilidade $ \mathbb{P} $ definida sobre $ (S^{\infty} , \mathcal{A}) $.

Topologia no Espaço de Cantor

Na sequência, vamos defnir uma topologia no espaço de Cantor e estudar suas relações com o espaco mensurável $ (S^{\infty} , \mathcal{A}) $. Uma classe $ \beta $ de subconjuntos do espaço de Cantor $ S^\infty $ é uma base para uma topologia se ,

a) Para todo $ \omega \in S^\infty $, existe $ B \in \beta $ tal que $ \omega \in \beta $,

b) Se $ \omega \in B_1 \cap B_2 $ com $ B_1 $ e $ B_2 $ pertencente a $ \beta $, existe $ B_3 \in \beta $ tal que $ \omega \in B_3 \subset B_1 \cap B_2 $.

Facilmente, mostramos que a classe $ \Delta $ satisfaz as propriedades acima. Assim, obtemos que $ \Delta $ é uma base para a topologia 

 \forall \omega \in O, \exists B \in \Delta,~ \text{tal que} ~ \omega \in B \subset )\}.$$

Desde que $ \Delta $ é enumerável, dizemos que a topologia $ \tau $ é separável. Ao tomarmos $ S^\infty $ com a topologia $ \tau $ e o espaço finito dimensional $ S $ com a topologia discreta, obtemos que as projeções coordenadas $ \pi_k $ são funções contínuas, pois a classe de cilindros com base em $ S $  

 \omega_k \in S, ~ k \in \mathbb{N} \} \subset \Delta \subset \tau ,$$

definie uma sub-base para a topologia $ \tau $. Assim, a menor topologia para o qual as projeções coordenadas são contínuas coincide com a topologia $ \tau $. Então, obtemos que $ \tau $ é a topologia produto sobre $ S^\infty $, e consequentemente, o teorema de Tychonov nos garante que o espaço de Cantor é compacto com a topologia $ \tau $.

Desde que as projeções coordenadas são contínuas, os cilindros com base em $ S $ são conjuntos abertos e fechados na topologia $ \tau $. Alem disso, como a álgebra $ C_0 $ é obtida via uniões e intersecções finitas de cilindros com base em $ S $, concluímos que os elementos de $ C_0 $ também são conjunto abertos e fechados na topologia $ \tau $. A seguir, apresentamos uma caracterização para os elementos de $ C_0 $ via a topologia produto $ \tau $ em $ S^\infty $.

Lema 1.5.1.7 Um subconjunto $ A \subset S^\infty $ é aberto e fechado a topologia $ \tau $ se, e só se, $ A \in C_0 $.

Prova: Suponha que $ A \subset S^\infty $ é um subconjunto aberto e fechado na topologia $ \tau $. Como $ A $ é aberto, qualquer que seja $ \omega \in A $, existe $ B_\omega \in \Delta $ tal que $ \omega \in B_\omega \subset A $. Então, temos que

$$\bigcup_{\omega \in A} B_{\omega} = A,$$

é uma cobertura aberta de $ A $. Desde que $ A $ também é fechado e o espaço de Cantor $ S^\infty $ com a topologia $ \tau $ é compacto, obtemos que $ A $ também é compacto. Desta forma, existe uma subcobertura finita $ \{B_1, \cdots , B_m\} $ para algum $ m \in \mathbb{N} $ tal que

$$\bigcup_{i=1}^m B_i = A.$$

Desde que $ B_i \in \Delta $ para todo $ i=1, \cdots , m $, concluímos que $ A \in C_0 $

A seguir, vamos apresentar uma forma de metrizar a topologia $ \tau $ no espaço de Cantor. Considere a função  S^\infty \rightarrow [0, \infty) $, definida por

\[ \rho_C (\omega_1, \omega_2) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{k(\omega_1 , \omega_2)}, \ \hbox{se} \ \omega_1 \neq \omega_2\\ \\0, \ \hbox{se} \ \omega_1 = \omega_2 \end{array}\right. \]

no qual $ k(\omega_1 , \omega_2) $ é o menor índice $ n \in \mathbb{N} $ tal que 

$$1\!\!1_{ \{ \pi_{n}^{-1}(\{1\}) (\omega_1 )\} } \neq 1\!\!1_{ \{ \pi_{n}^{-1}(\{1\}) (\omega_2)\} }.$$

Na sequência, vamos mostrar que $ \rho_C $ é uma métrica, isto é, satisfaz para $ \omega_1, \omega_2 $ e $ \omega_3 \in S^\infty $ 

a) $ \rho_C (\omega_1 , \omega_2)=0 ~ \Leftrightarrow ~ \omega_1 = \omega_2 $,

b) $ \rho_C (\omega_1 , \omega_2)=\rho_C (\omega_2 , \omega_1) $

c)  $ \rho_C (\omega_1 , \omega_3) \leq \rho_C (\omega_1 , \omega_2) + \rho_C (\omega_2 , \omega_3) $.

As propriedades (a) e (b) são óbvias. Para mostrarmos a propriedade (c), tomamos $ \omega=(\omega_1, \omega_2, \cdots) $ e $ x=(x_1, x_2, \cdots) $ elementos do espaço de Cantor. Se $ \omega = x $, obtemos que

$$0=\rho_C (\omega , x) \leq \rho_C (x , y) + \rho_C (y, \omega),$$

para todo $ y=(y_1, y_2, \cdots) \in S^\infty $. Por outro lado, se $ \omega \neq x $, existe $ n \in \mathbb{N} $ tal que

$$\rho_C (\omega , x) = \frac{1}{n}.$$

Vamos dividir a demonstração em dois casos, a saber $ k(x,y) \leq K(x, \omega) $ e o oposto. Assim, temos que

1) Considere $ y=(y_1, y_2, \cdots) \in S^\infty $ tal que $ \rho_C (x,y) =\frac{1}{r} $, no qual $ r=k(x,y) \textgreater n = k(\omega , x) $. Então, temos que $ k(y,\omega)=r $

$$\rho_C (\omega , x) = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{r} + \frac{1}{r} \leq \rho_C (x,y) + \rho_C (y,\omega ).$$

2) Considere $ y=(y_1, y_2, \cdots) \in S^\infty $ tal que $ \rho_C (x,y) =\frac{1}{r} $, no qual $ r=k(x,y) \textless n = k(\omega , x) $. Então, temos que $ k(y,\omega)=n $

$$\rho_C (\omega , x) = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{r} \leq \rho_C (x,y) + \rho_C (y,\omega ).$$

Portanto, para todo $ x,y $ e $ \omega $ elementos do espaço de Cantor, temos que 

$$\rho_C (\omega , x) \leq \rho_C (x,y) + \rho_C (y,\omega ).$$

Como consequência, a função $ \rho_C $ define uma métrica sobre o espaço de Cantor. Além disso, para todo $ n \in \mathbb{N} $ e $ \omega=(\omega_1, \omega_2, \cdots) \in S^\infty $, a bola

 \rho_C (\omega , x) \textless \frac{1}{n}\right\} =\pi_1^{-1}(\{\omega_1 \}) \cap \pi_2^{-1}( \{\omega_2\}) \cap \cdots \cap \pi_n^{-1}( \{\omega_n\})$$

 é um elemento de $ \Delta $. Por outro lado, temos que 

$$\pi_k^{-1}(\{\omega_k \}) = \bigcup_{(\omega_1, \omega_2, \cdots , \omega_{k-1}) \in S^{k-1}} B(\omega ; k),$$

para todo $ \omega_k \in S $ e $ k \in \mathbb{N} $

Assim, a topologia induzida pela métrica $ \rho_C $ coincide com a topologia produto $ \tau $. Como consequência, obtemos que o espaço de Cantor $ S^\infty $ com a topologia $ \tau $ é um espaço metrizável compacto. Além disso, sabemos que o espaço mensurável $ (S^\infty , \mathcal{A}) $ é separável (base enumerável), Hausdorff (separa pontos) e todo probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ (S^\infty , \mathcal{A}) $ satisfaz

 C \subset A, ~ C \in \xi \right\}, ~ ~ ~ A \in \mathcal{A},$$

no qual $ \xi $ é a classe compacta formada por intersecções enumeráveis de elementos de $ C_0 $. Na sequência, mostraremos que $ \xi $ coincide com a classe dos subconjuntos compactos do $ S^\infty $ com a topologia produto $ \tau $. Para isto, basta mostrarmos que 

 K ~ \mbox{compacto} \} \subset \xi .$$

Considere $ K $ um subconjunto compacto do $ S^\infty $, então $ K $ é fechado. Como $ K^c $ é aberto, existe uma sequência $ \{B_n\} \subset \Delta $, tal que

$$K^c = \bigcup_{n=1}^\infty B_n.$$

Desta forma, ao aplicarmos De Morgan, obtemos que 

$$K = \bigcap_{n=1}^\infty B_n^c,$$

no qual $ B_n^c \in C_0 $ para todo $ n \in \mathbb{N} $. Por construção, obtemos que $ K \in \xi $

Aproximações para probabilidades sobre o espaço mensurável $ (S^\infty , \mathcal{A}) $

A construção da probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre o espaço mensurável $ (S^\infty , \mathcal{A}) $ é baseada no fato de que $ \mathcal{A} $ é gerada por uma álgebra enumerável, Hausdorff (separa pontos) e compacta. Sabemos que qualquer função de conjunto $ \mathbb{P}^\prime $ sobre a álgebra $ C_0 $ tal que $ \mathbb{}P^\prime (\emptyset)=0 $ e  finitamente aditiva também é $ \sigma $-aditiva na álgebra. Como consequência do  teorema de extensão de Carathéodory  existe uma única extensão de $ \mathbb{P}^\prime $ sobre a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{A} $ gerada pela álgebra $ C_0 $ que é $ \sigma $-aditiva. Como consequência, obtemos uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre o espaço mensurável $ (S^\infty , \mathcal{A}) $, satisfazendo 

 C \subset A, ~ C \in \xi \right\}, ~ ~ ~ A \in \mathcal{A},$$

no qual $ \xi $ é a classe de subconjuntos compactos obtidos por intersecção enumerável de elementos da álgebra $ C_0 $

Dados uma probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre $ (S^\infty , \mathcal{A}) $ e $ A \in \mathcal{A} $, existe uma sequência $ \{A_n\} $ em $ \xi $ tal que $ A_n \subset A $ e

$$\mathbb{P}(A) - \frac{1}{n} \leq \mathbb{P}(A_n), ~ ~ n \in \mathbb{N}.$$

Ao tomarmos $ B = \cup_n A_n \subset A $, obtemos que

$$\mathbb{P}(B) \geq \mathbb{P}(A) \geq \mathbb{P}(A) - \frac{1}{n}, ~ ~ n \in \mathbb{N}.$$

Desde que $ n $ é arbitrário, concluímos que $ \mathbb{P}(B) \geq \mathbb{P}(A) $. Como consequência, obtemos que $ \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A) $.  Portanto, para qualquer subconjunto mensurável $ A \in \mathcal{A} $, existe um subconjunto $ B \in \xi_{\sigma} $ (a classe formada por uniões enumeráveis de elementos de $ \xi $) tal que $ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) $.

Na sequência, vamos mostrar que para todo $ \epsilon \textgreater 0 $, existe um subconjunto $ C_\epsilon \in C_0 $ tal que 

$$\mathbb{P} \left[(A^c \cap C_{\epsilon}) \cup (A \cap C_{\epsilon}^c) \right] \leq \epsilon.$$

Através da propriedade de compacidade da probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre o espaço mensurável $ (S^\infty , \mathcal{A}) $, existe um subconjunto $ K_{\epsilon/2} \in \xi $ tal que $ K_{\epsilon/2} \subset A $ tal que

$$\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(K_{\epsilon/2}) + \frac{\epsilon}{2}.$$

  Como consequência, obtemos que 

$$\mathbb{P}(A-K_{\epsilon/2}) \leq \frac{\epsilon}{2}.$$

Através da definição da classe $ \xi $, concluímos que existe uma sequência $ \{B_n\} \subset C_0 $ tal que $ B_n \downarrow K_{\epsilon/2} $. Assim, obtemos que

$$\lim_n \mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(K_{\epsilon/2}).$$

Desta forma, existe $ n_0 \in \mathbb{N} $ tal que 

$$\mathbb{P}(K_{\epsilon/2}) \geq \mathbb{P}(B_k) - \frac{\epsilon}{2}; ~ ~ k \geq n_0.$$

Desde que $ K_{\epsilon/2} \subset B_k $ para todo $ k \in \mathbb{N} $, temos que

$$\mathbb{P}(B_k-K_{\epsilon/2}) \leq \frac{\epsilon}{2}, ~ ~ k \geq n_0.$$

Agora, para todo $ k \in \mathbb{N} $, obtemos que

$$A \cap B^c_k \subset A \cap K_{\epsilon/2}^c = A - K_{\epsilon/2} \quad \mbox{e} \quad A^c \cap B_k \subset K_{\epsilon/2}^c \cap B_k = B_k - K_{\epsilon/2}.$$

Desta forma, obtemos que

$$\mathbb{P} [A \cap B^c_k] + \mathbb{P} [ A^c \cap B_k] \leq \mathbb{P} [A \cap K_{\epsilon/2}^c] + \mathbb{P} [K_{\epsilon/2}^c \cap B_k] \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon,$$

para todo $ k \geq n_0 $.  Portanto, para todo $ \epsilon \textgreater 0 $, existe $ C_{\epsilon} \in C_0 $, tal que 

$$\mathbb{P} \left[(A^c \cap C_{\epsilon}) \cup (A \cap C_{\epsilon}^c) \right] \leq \epsilon.$$

Com isso, concluímos que a álgebra $ C_0 $ é uma base enumerável para qualquer probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre o espaço mensurável $ (S^\infty , \mthcal{A}) $.

Na sequência, tomamos o espaço $ S^\infty $ com a topologia produto $ \tau $. Sabemos que $ \mathcal{A} $ coincide com a $ \sigma $-álgebra gerada pela topologia $ \tau $, conhecida com $ \sigma $-álgebra de Borel. Além disso, a classe compacta $ \xi $ é a classe dos subconjuntos compactos na topologia $ \tau $. Dado $ \mathbb{P} $ uma probabilidade sobre o espaço mensurável $ (S^\infty , \mathcal{A}) $, sabemos que $ \mathbb{P} $ é uma probabilidade compacta. Como consequência, concluímos que 

 F \subset A, ~ F ~ \mbox{Fechado} ~ \right\}, ~ ~ ~ A \in \mathcal{A}$$

 A \subset O, ~ O ~ \mbox{Aberto} ~ \right\}, ~ ~ ~ A \in \mathcal{A}.$$

 

 

 

Probabilidades

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