1.5.3 - Teorema de Extensão de Carathéodory

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Considere $ \Omega $ o espaço amostral e $ \mathcal{A} $ uma álgebra de subconjuntos de $ \Omega $. Dado uma função de conjunto  \mathcal{A} \rightarrow [0,1] $, dizemos que $ \mu $ é $ \sigma $-aditiva na álgebra $ \mathcal{A} $ se, para toda sequência de eventos $ \{A_i\} \subset \mathcal{A} $ disjuntos com $ \cup_i A_i \in \mathcal{A} $, temos que

$$\mu(A)=\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i).$$

Toda função de conjunto \mathcal{A}\rightarrow [0,1] $ que é $ \sigma $-aditiva e $ \mu(\Omega)=1 $ será denominada probabilidade sobre a álgebra.

Como $ \mathcal{A} $ é uma álgebra, precisamos assumir que $ \cup_i A_i \in \mathcal{A} $, pois a álgebra não é fechada para união enumerável. Por outro lado, para toda família finita $ A_1, \cdots , A_n $ de elementos disjuntos de $ \mathcal{A} $, temos que

$$\mu\left(\cup_{i=1}^nA_i\right)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i).$$

Esta propriedade é denominada aditividade finita. Suponha que $ \mu $ seja uma probabilidade sobre a álgebra $ \mathcal{A} $ e que $ A,B \in \mathcal{A} $ com $ A \subset B $. Desde que $ \mu(A) + \mu(B-A)=\mu(B) $, obtemos que $ \mu $ é monótona,

\[ \mu(A) \leq \mu(B),\quad \text{se}~~A\subset B.\]

Além disso, também obtemos que $ \mu(B-A)=\mu(B)-\mu(A) $ e como caso especial $ \mu(A)+\mu(A^c)=1. $ Também podemos mostrar que

\[\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B).\]

De forma geral, dado uma família finita $ A_1, \cdots , A_n $ de eventos em $ \mathcal{A} $, obtemos a fórmula

\[\mu(\cup_{i=1}^{n} A_i)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i) - \sum_{i \textless j} \mu(A_i \cap A_j)+\sum_{i\textless j \textless k} \mu(A_i \cap A_j \cap A_k) + \cdots + (-1)^{n+1} \mu(A_1 \cap \cdots \cap A_n).\]

Para deduzirmos esta expressão de forma indutiva, basta observarmos que

\[\mu(\cup_{i=1}^{n+1} A_i)=\mu(\cup_{i=1}^n A_i) + \mu(A_{n+1}) - \mu \left(\cup_{i=1}^n (A_i \cap A_{n+1})\right).\]

Se tomarmos $ B_1=A_1 $ e $ B_k=A_k \cap A^c_1\cap \cdots A^c_{k-1} $, então $ \{B_k\} $ são disjuntos e $ \cup_{k=1}^n B_k = \cup_{i=1}^n A_i $. Como consequência da propriedade de aditividade finita, obtemos que

\[\mu(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{k=1}^n \mu(B_k).\]

Desde que $ \mu(B_k) \leq \mu (A_k) $, obtemos a propriedade de subaditividade finita,

\[\mu(\cup_{i=1}^n A_i) \leq \sum_{i=1}^n \mu(A_i).\]

As propriedades acima são válidas para uma família finita de eventos em $ \athcal{A} $. A seguir, vamos derivar algumas propriedades com sequências de eventos na álgebra $ \mathcal{A} $

Lema 1.5.3.1: 

Seja $ \mu $ uma probabilidade sobre a álgebra $ \mathcal{A} $. Então, para toda sequência de eventos $ \{A_i\} \subset \mathcal{A} $, temos que

  1. Se $ A_i \subset A_{i+1} $ para todo $ i=1,2, \cdots $ e $ A=\cup_i A_i \in \mathcal{A} $, temos que $ \mu(A_i) \uparrow \mu(A) $;
  2. Se $ A_{i+1} \subset A_i $ para todo $ i=1,2, \cdots $ e $ A=\cap_i A_i \in \mathcal{A} $, temos que $ \mu(A_i) \downarrow \mu(A) $;
  3. De forma geral, temos que

\[\mu \left(\cup_{i=1}^{\infty} A_i\right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i).\]

Prova: 

Para mostrarmos (1), basta tomarmos $ B_1=A_1 $ e $ B_k=A_k-A_{k-1} $. Como os eventos $ \{B_k\} $ são disjuntos e $ A=\cup_{k=1}^{\infty}B_k $, obtemos da $ \sigma $-aditividade que

\[\mu(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(B_k) = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \mu(B_k) = \lim_{n \rightarrow \infty}\mu(\cup_{k=1}^n B_k) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n).\]

 A afirmação (2) é consequência do fato de que se $ A_{i+1} \subset A_i $, então $ A^c_{i} \subset A^c_{i+1} $ e da primeira afirmação.  Como consequência da subaditividade finita e da afirmação (1), obtemos que (3) é válido. Segue o lema.

A seguir, vamos mostrar que dado uma função de conjunto \mathcal{A} \rightarrow [0,1] $ finitamente aditiva, a propriedade de $ \sigma $-aditividade é equivalente a propriedade de continuidade no vazio.

Lema 1.5.3.2: 

Para que uma função de conjunto \mathcal{A} \rightarrow [0,1] $ seja uma probabilidade na álgebra é necessário e suficiente que:

  1. $ \mu(\Omega)=1 $;
  2. Finitamente aditiva: para todo família finita $ A_1, \cdots , A_n $ de eventos disjuntos em $ \mathcal{A} $, temos que $ \mu(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i). $
  3. Continuidade no vazio: para toda sequência de eventos em $ \mathcal{A} $ decrescendo para o vazio, isto é, $ A_{i+1} \subset A_i $ para todo $ i=1,2,\cdots $ e $ \cap_i A_i =\emptyset $, temos que $ \lim_{i} \mu(A_i)=0 $.

Prova: 

Suponha que $ \mu $ seja uma probabilidade na álgebra $ \mathcal{A} $$ \{A_i\} $ uma sequência de eventos que decresce para o vazio. Como $ \{A_i\} $ é uma sequência monótona decrescente, temos $ A_n=\cup_{m\geq n} (A_m - A_{m+1}) $. Como consequência da $ \sigma $-aditividade, obtemos que

$$1 \geq \mu(A_n)=\sum_{m \geq n}\mu(A_m-A_{m+1})=\lim_{m \rightarrow \infty}\left(\mu(A_n)-\mu(A_{m+1}) \right).$$

Desta forma, obtemos que $ \lim_{m \rightarrow \infty}\mu(A_m)=0 $. Por outro lado, tomamos $ \mu $ uma função de conjunto satisfazendo as três propriedades do lema, vamos mostrar que $ \mu $ é uma probabilidade sobre a álgebra $ \mathcal{A} $. Considere $ \{A_n\} \subset \mathcal{A} $ uma sequência de eventos disjuntos tal que $ A=\cup_{i=1}^{\infty} A_i $. Então, temos que

$$A=\left(\cup_{i=1}^n A_i\right)\cup \left(\cup_{i=n+1}A_i\right).$$

Pela aditividade finita, sabemos que

$$\mu(A)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i)+\mu(\cup_{i=n+1}A_i).$$

Tomamos $ B_n=\cup_{i=n+1}^{\infty} A_i $, então $ \cap_{n}B_n=\emptyset $ e portanto $ \mu(B_k) \downarrow 0 $, devido a continuidade no vazio. Logo, concluímos que

$$\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n \mu(A_i)=\mu(A).$$

Segue o lema.

Uma $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $ de subconjuntos de $ \Omega $ é uma classe de subconjuntos de $ \Omega $ que contém o $ \emptyset $ e $ \Omega $ e é fechada por operações de complementar e união e intersecção enumeráveis. O par $ (\Omega , \mathcal{F}) $ consistindo do espaço amostral $ \Omega $ e da $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $ será denominado espaço mensurável. A seguir, vamos introduzir uma classe de conjuntos que será utilizada para caracterizar a $ \sigma $-álgebra.  Uma classe $ \mathcal{C} $ de subconjuntos de $ \Omega $ é denominada classe monótona se satisfaz:

a) Para toda sequência crescente $ \{A_i\} \subset \mathcal{C} $ tal que $ A_i \subset A_{i+1} $, temos que $ \cup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{C} $;

b) Para toda sequência decrescente $ \{A_i\} \subset \mathcal{C} $ tal que $ A_{i+1} \subset A_i $, temos que $ \cap_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{C} $.

Lema: 

Dados um espaço amostral $ \Omega $ e uma álgebra $ \mathcal{F} $ de subconjuntos de $ \Omega $.  Para que $ \mathcal{F} $ seja uma $ \sigma $-álgebra é necessário e suficiente que esta seja uma classe monótona.

Prova: 

Obviamente, toda $ \sigma $-álgebra é uma classe monótona.  Por outro lado, considere $ \mathcal{C} $ uma classe de subconjuntos de $ \Omega $ que é fechada para uniões finitas, vamos mostrar que $ \mathcal{C} $ é fechada por união enumerável se, e só se, $ \mathcal{C} $ for fechada para uniões monótonas crescentes. Para isto, tomamos $ \{A_n\} \subset \mathcal{C} $ uma sequência de subconjuntos de $ \Omega $ e $ B_k = \cup_{n=1}^k A_n $. Desta forma, temos que

$$\cup_{n=1}^{\infty} A_n = \cup_{k=1}^{\infty} B_k,$$

no qual $ \{B_k \} \subset \mathcal{C} $. Segue o lema. Na sequência, enunciamos o teorema de extensão de Carathéodory.

Teorema 1.5.3.1:

Para toda probabilidade $ \mu $ sobre a álgebra $ \mathcal{A} $, existe um única probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre a $ \sigma $-álgebra gerada por $ \mathcal{A} $ que estende a função de conjunto $ \mu $.

Suponha que $ \mu $ seja uma função de conjunto $ \sigma $-aditiva sobre a álgebra $ \mathcal{A} $ e denotamos por $ \mathcal{F}=\sigma(\mathcal{A}) $. Então, existe uma única probabilidade $ \mathbb{P} $ definida sobre $ \mathcal{F} $ tal que $ \mathbb{P}(A) = \mu(A) $ para todo $ A\in \mathcal{A} $. Além disso, se $ \mathbb{P}^{\prime} $ for outra probabilidade definida sobre $ \mathcal{F} $ tal que $ \mathbb{P}^{\prime}(A)=\mathbb{P}(A) $ para todo $ A\in \mathcal{A} $, então $ \mathbb{P}^{\prime}(A)=\mathbb{P}(A) $ para todo $ A\in \mathcal{F} $. Observe que a classe de eventos $ \mathcal{A} $ é uma álgebra, sendo fechada apenas por operações finitas de uniões e intersecções. Por outro lado, a função de conjunto $ \mu $ satisfaz uma propriedade de $ \sigma $-aditividade, que é válida para operações enumeráveis com eventos da álgebra. Somando esta propriedade com a estratégia de construção de números reais, vamos estender a função de conjunto $ \mu $ sobre a $ \sigma $-álgebra gerada por $ \mathcal{A} $ de tal forma que a propriedade de $ \sigma $-aditividade seja preservada.

Construção da extensão

Seja $ \mathbb{P} $ uma probabilidade definida sobre uma álgebra $ \mathcal{A} $ . A construção seguinte estende $ \mathbb{P} $ para uma classe geralmente muito maior do que $ \sigma (\mathcal{A}) $, no entanto, não contém todos os subconjuntos de $ \Omega $.

Definição 1.5.3.1:

Para cada subconjunto $ A $ de $ \Omega $ definimos sua probabilidade exterior por

\[\mathbb{P}^{\ast}(A) = \inf \sum_n \mathbb{P}(A_n)\]

no qual o ínfimo se estende sobre todas as sequências finitas e infinitas $ A_1, A_2, \dots $ de $ \mathcal{A} $ satisfazendo $ A \subset \bigcup_n (A_n) $. Obviamente, a probabilidade exterior é uma primeira tentativa para definirmos uma "probabilidade" para o conjunto $ A $.

Por causa da regra $ \mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A) $, podemos definir a probabilidade inferior de $ A $ através da probabilidade exterior de $ A^c $, na forma

\[\mathbb{P}_{\ast}(A) = 1 - \mathbb{P}^{\ast}(A^c).\]

A probabilidade interior de $ A $, denotada por $ \mathbb{P}_{\ast} (A) $, é um segundo candidato para a probabilidade de $ A $. A probabilidade exterior (ou interior) tem a vantagem de estar definida para qualquer subconjunto $ A $, mas não satisfaz a propriedade $ \sigma $-aditividade. Para tornar a probabilidade exterior $ \sigma $-aditiva, vamos reduzir a classe de subconjuntos para o qual aplicamos a probabilidade exterior. Para isto, uma procedência plausível é atribuir uma probabilidade para $ A $ de forma que a probabilidade interior seja igual à probabilidade exterior, ou seja,

\[\mathbb{P}^{\ast}(A) = \mathbb{P}_{\ast}(A).\]

Observe que a probabilidade exterior e a probabilidade interior coincidem se, e só se,

\[ \mathbb{P}^{\ast}(A) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c)=1.\]

Neste sentido, Carathéodory propôs um requerimento similar (porém, mais forte). Dizemos que um subconjunto $ A \subset \Omega $ é $ \mathbb{P}^{\ast} $-mensurável se

\[\mathbb{P}^{\ast}(A\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c \cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(E) (*),\]

para todo subconjunto $ E \subset \Omega $. Observe que $ \mathbb{P}^{\ast}(\Omega)=1.  $ Considere $ \mathcal{M} $ a classe dos conjuntos $ \mathbb{P}^{\ast} $-mensuráveis. Temos como objetivo mostrar que $ \mathcal{M} \supset \sigma(\mathcal{A}) $. Para isto, listamos as principais propriedades da função $ \mathbb{P}^{\ast} $:

P1) $ \mathbb{P}^{\ast}(\emptyset) = 0 $

P2) $ \mathbb{P}^{\ast} $ é não negativa, isto é, $ \mathbb{P}^{\ast}(A)\geq 0 $ para todo $ A \subset \Omega $.

P3) $ \mathbb{P}^{\ast} $ é monótona, isto é, se $ A \subset B $ então $ \mathbb{P}^{\ast}(A)\leq \mathbb{P}^{\ast}(B) $.

P4) $ \mathbb{P}^{\ast} $ é $ \sigma $-subaditiva, isto é, $ \mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\right) \leq \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(A_n) $.

As propriedades (P1), (P2) e (P3) são triviais, vamos verificar apenas a propriedade (P4). De fato, para um dado $ \varepsilon $, escolhemos conjuntos $ B_{nk} $ de $ \mathcal{A} $, tal que $ A_n \subset \bigcup_k B_{nk} $ e $ \sum_k \mathbb{P}^{\ast}(B_{nk}) \ \textless \ \mathbb{P}^{\ast}(A_n) + \varepsilon 2^{-n} $, o que é possível pela Definição 1.5.1.2.

Agora $ \bigcup_n (A_n) \subset \bigcup_{n,k} B_{nk} $, assim $ \mathbb{P}^{\ast}(\bigcup_n A_n) \leq \sum_{n,k} \mathbb{P}(B_{nk}) \textless \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(A_n) + \varepsilon $, de onde segue a propriedade (P4).

Através da propriedade subaditiva da probabilidade exterior, um conjunto $ A $ é $ \mathbb{P}^{\ast} $-mensurável se,

$$\mathbb{P}^{\ast}(A\cap E)+\mathbb{P}^{\ast}(A^c\cap E)\leq \mathbb{P}^{\ast}(E).$$

 Na sequência, vamos mostrar que a classe dos conjuntos $ \mathbb{P}^{\ast} $-mensuráveis é uma álgebra.

Lema 1.5.3.1:

A classe $ \mathcal{M}  $ é uma álgebra.

Demonstração:

De fato, vamos verificar que $ \mathcal{M} $ satisfaz as condições definidas na Definição 1.5.1.2. Para isto, seja $ E $ um subconjunto arbitrário de $ \Omega $.

Inicialmente, vamos verificar que $ \emptyset\in\mathcal{M} $. De fato, temos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(\emptyset\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(\emptyset^c\cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(\emptyset) + \mathbb{P}^{\ast}(\Omega\cap E) =\mathbb{P}^{\ast}(\emptyset)+\mathbb{P}^{\ast}(E) = \mathbb{P}^{\ast}(E), \ \text{portanto} \ \emptyset \in \mathcal{M}.\]

Vamos verificar agora que, se $ A, B\in\mathcal{M} $, então $ A\cap B\in\mathcal{M} $. De fato,

\[\mathbb{P}^{\ast}(E) = \mathbb{P}^{\ast}(A \cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c\cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(A \cap B \cap E) +\mathbb{P}^{\ast}(A \cap B^c \cap E)+ \mathbb{P}^{\ast}(A^c \cap B \cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c \cap B^c \cap E).\]

Através da propriedade de subaditividade da probabilidade exterior (P4), concluímos que 

\[\mathbb{P}^{\ast}(E)\geq\mathbb{P}^{\ast}((A \cap B)\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}((A^c \cap B) \cap E) \cup ((A \cap B^c) \cap E) \cup ((A^c \cap B^c) \cap E)= \mathbb{P}^{\ast}((A \cap B) \cap E) + \mathbb{P}^{\ast}((A \cap B)^c \cap E)\]

 Portanto,

\[\mathbb{P}^{\ast}(E)= \mathbb{P}^{\ast}((A \cap B) \cap E) + \mathbb{P}^{\ast}((A \cap B)^c \cap E).\]

Finalmente, basta verificar que, se $ A\in\mathcal{M} $, então $ A^c\in\mathcal{M} $. Para isto, temos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(A^c\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}((A^c)^c\cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(A\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c\cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(E)\]

Portanto, segue que $ \mathcal{M} $ é uma álgebra. 

Lema 1.5.3.2:

A função $ \mathbb{P}^{\ast} $ é finitamente aditiva em $ \mathcal{M} $.

Demonstração:

De fato, suponha que $ A, B\in\mathcal{M} $ e que são disjuntos. Então

\[\mathbb{P}^{\ast}(A \cup B) = \mathbb{P}^{\ast}(A \cap (A \cup B)) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c \cap (A \cup B)) = \mathbb{P}^{\ast}(A) + \mathbb{P}^{\ast}(B).\]

Segue por indução finita que

\[\mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup^n_{k=1}A_k\right) = \sum^n_{k=1} \mathbb{P}^{\ast}(A_k)\]

para conjuntos disjuntos $ A_1, A_2, \dots ,A_n  $ de $ \mathcal{M} $.

Lema 1.5.3.3:

Se $ A_1, A_2, \dots  $ é sequência disjunta de conjuntos em $ \mathcal{M} $, então

\[\bigcup_n A_n \in \mathcal{M} \ \text{e} \ \mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup_n A_n\right) = \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(A_n).\]

Demonstração:

Seja $ A = \bigcup_n (A_n) $. Pelo Lema 1.5.3.2 e pela propriedade de monotonicidade, temos que

\[\sum_{n \leq m} \mathbb{P}^{\ast}\left(A_n\right) = \mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup_{n \leq m} A_n\right) \leq \mathbb{P}^{\ast}(A).\]

Portanto, $ \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(A_n) \leq \mathbb{P}^{\ast}(A) $ e a desigualdade oposta segue por subaditividade.

Vamos provar que A é um conjunto $ \mathbb{P}^{\ast} $-mensurável. Seja $ B_m = \bigcup_{n\leq m} A_n \in \mathcal{M} $, pois $ \mathcal{M} $ é uma álgebra. Na sequência, vamos mostrar por indução que  a equação

\[\mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_m) = \sum_{n\leq m} \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n)\]

é válida para todo $ m \in \mathbb{N} $. Esta certamente é verdadeira para m = 1. Assuma que é verdade para algum m e particione $ E \cap B_{m+1} $ pelo conjunto $ B_m $, na forma

\[\mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_{m+1}) = \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_{m+1} \cap B_m) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_{m+1} \cap B^c_m),\]

no qual $ B_m \in \mathcal{M} $. Como consequência da aditividade finita da probabilidade exterior, obtemos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(E\cap B_{m+1})= \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_m) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_{m+1}) = \sum _{n \leq m} \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_{m+1})\]

Agora, particionando $ E $ pelos conjuntos $ B_m $ temos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(E) = \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_m ) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B^c_m) = \sum_{n \leq m} \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B^c_m) \ge \sum_{n \leq m} \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A^c).\]

Assim, ao tomarmos o limite quando $ n \rightarrow \infty $, concluímos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(E) \ge \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A^c) \ge \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A^c).\]

Lema 1.5.3.4:

A classe $ \mathcal{M} $ é uma $ \sigma $-álgebra e $ \mathbb{P}^{\ast} $ restrita a $ \mathcal{M} $ é $ \sigma $-aditiva.

Demonstração:

Ao tomarmos $ A_1, A_2, \dots  $ em $ \mathcal{M} $, obtemos que os conjuntos $ B_1 = A_1 $ e $ B_n = A_n \cap A^c_1 \cap \dots \cap A^c_{n-1} $ são disjuntos e também estão em $ \mathcal{M} $, pois $ \mathcal{M} $ é uma álgebra. Como consequência do lema 1.5.3.3 obtemos que $ \bigcup_n A_n = \bigcup_n B_n \in\mathcal{M} $. Portanto, concluímos que $ \mathcal{M} $ é uma $ \sigma $-álgebra. Desde que $ \mathbb{P}^{\ast} $ é $ \sigma $-aditiva em $ \mathcal{M} $ (lema 1.5.3.3), concluímos o lema.

Observe que os quatro lemas acima são consequências das propriedades (P1), (P2), (P3) e (P4) da probabilidade exterior. Nos próximos lemas, vamos utilizar a definição da probabilidade exterior via a probabilidade $ \mathbb{P} $ sobre a álgebra $ \mathcal{A} $.

Lema 1.5.3.5: 

Temos que $ \mathcal{A} \subset \mathcal{M} $.

Demonstração: 

Suponha que $ A \in \mathcal{A} $. Dados $ E $ e $ \varepsilon $ quaisquer, escolhemos conjuntos $ \{A_n\} $ de $ \mathcal{A}  $ tais que $ E \subset \cup_n A_n $ e $ \sum_n \mathbb{P}(A_n) \leq \mathbb{P}^{\ast}(E) + \varepsilon $. Desde que $ \mathcal{A} $ é uma álgebra, os conjuntos $ B_n = A_n \cap A $ e $ C_n = A_n \cap A^c $ estão em $ \mathcal{A} $. Também temos que $ E \cap A \subset \cup_n B_n $ e $ E \cap A^c \subset \cup_n C_n $. Por definição de $ \mathbb{P}^{\ast} $ e a aditividade finita de $ \mathbb{P} $ sobre a álgebra $ \mathcal{A} $, obtemos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(E \cap A) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A^c) \leq \sum_n \mathbb{P}(B_n) + \sum_n \mathbb{P}(C_n)=\sum_n \left[\mathbb{P}(B_n) + \mathbb{P}(C_n)\right] =\sum_n \mathbb{P}(A_n) \leq \mathbb{P}^{\ast}(E) + \varepsilon.\]

Consequentemente $ A \in \mathcal{M} $, o que implica que $ \mathcal{A} \subset \mathcal{M} $. Portanto, segue o lema.

Lema 1.5.3.6: 

Para todo $ A \in \mathcal{A} $, temos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(A)=\mathbb{P}(A).\]

Demonstração: 

É obvio da definição de probabilidade exterior que $ \mathbb{P}^{\ast}(A) \leq \mathbb{P}(A) $ para $ A \in \mathcal{A} $.  Por outro lado, considere $ A \subset \cup_n A_n $, no qual $ A $ e $ \{A_n\} $ estão em $ \marhcal{A} $. Utilizando a $ \sigma $-subaditividade e a monotonicidade de $ \mathbb{P} $, concluímos que

\[ \mathbb{P}(A) \leq \sum_{n} \mathbb{P}(A \cap A_n)\leq \sum \mathbb{P}(A_n).\]

Portanto, segue o lema.

Ao denotarmos por $ \mathcal{F}=\sigma(\mathcal{A}) $, a $ \sigma $-álgebra gerada pela álgebra $ \mathcal{A} $, sabemos que

$$\mathcal{A} \subset \mathcal{F} \subset \mathcal{M} \subset 2^{\Omega}.$$

Assim, a probabilidade exterior $ \mathbb{P}^{\ast} $ restrita a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{M}  $ é uma probabilidade. Da mesma forma, se restringirmos a probabilidade exterior a $ \mathcal{F} $ também obtemos uma probabilidade.   Na sequência, vamos mostrar que a extensão da probabilidade é única.

Unicidade e teorema $ \pi $ - $ \lambda $ 

Para provar que a extensão da probabilidade apresentada acima é única vamos utilizar alguns conceitos auxiliares. Uma classe $ \mathcal{P}  $ de $ \Omega  $ é um $ \pi $-sistema se é fechado para interseções finitas, isto é, se $ A, B\in\mathcal{P} $ então

\[(\pi) \quad A, B \in \mathcal{P} \rightarrow A\cap B \in \mathcal{P} \]

Uma classe $ \mathcal{L} $ composta por subconjuntos de $ \Omega $ é um $ \lambda $-sistema se 

 $ Temos que $ \Omega \in \mathcal{L} $

 $ Se $ A\in\mathcal{L} $ então $ A^c\in\mathcal{L} $.

 $ Se $ A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{L} $ e $ A_i\cap A_j = \emptyset $ para $ i\neq j $ então $ \cup_nA_n\in\mathcal{L} $.

Como os conjuntos na condição $ (\lambda_3) $ são disjuntos, um $ \lambda $-sistema é uma classe "mais fraca" do que uma $ \sigma $-álgebra. As propriedades $ (\lambda_1) $ e $ (\lambda_2) $ implicam que $ \emptyset \in \mathcal{L} $. Além disso, na presença das condições $ (\lambda_1) $ e $ (\lambda_3) $, segue que a condição $ (\lambda_2) $ é equivalente a dizer que $ \mathcal{L}  $ é fechado para a diferença, isto é,

 \quad A, B \in \mathcal{L} \ \text{e} \ A \subset B ~ ~ \text{implicam que}~~B - A \in \mathcal{L}.\]

Suponha que $ \mathcal{L} $ seja uma classe de subconjuntos de $ \Omega $ que satisfaz as propriedades $ (\lambda_2) $ e $ (\lambda_3) $, se $ A,B \in \mathcal{L} $ e $ A \subset B $, então $ B^c \in \mathcal{L} $, $ A \cup B^c \in \mathcal{L} $ e $ (A \cup B^c)^c = B-A \in \mathcal{L} $. Desta forma, a propriedade $ (\lambda_2^{\prime}) $ também é satisfeita.  Por outro lado, se $ \mathcal{L} $ é uma classe de subconjuntos de $ \Omega $ que satisfaz $ (\lambda_1) $ e $ (\lambda_2^{\prime}) $, então se $ A \in \mathcal{L} $ temos que $ A^c = \Omega - A \in \mathcal{L} $. Portanto, a condição $ (\lambda_2) $ é satisfeita.

Lema 1.5.3.7:

Uma classe $ \mathcal{F} $ que é um $ \pi $-sistema e um $ \lambda $-sistema é uma $ \sigma $-álgebra.

Demonstração: 

Esta classe contém $ \Omega $ por ser um $ \lambda $-sistema e, além disso, é fechada para a complementação e intersecções finitas por ser um $ \lambda $-sistema e um $ \pi $-sistema. Desta forma, a classe $ \mathcal{F} $ é uma álgebra. Também é uma $ \sigma $-álgebra pois, se $ \mathcal{F} $ contém uma sequência de conjuntos $ A_n $, então contém conjuntos disjuntos $ B_j = A_j -\left(A_1\cup \dots \cup A_{j-1}\right) $ para $ j=1,\ldots,n $ de forma que $ \cup_nA_n = \cup_nB_n $ e, pela propriedade $ (\lambda_3) $, temos que $ \cup_n A_n = \cup_n B_n \in \mathcal{F}. $

Teorema 1.5.3:

Se $ \mathcal{P} $ é um $ \pi $-sistema e $ \mathcal{L} $ é um $ \lambda $-sistema então $ \mathcal{P} \subset \mathcal{L} $ implica que $ \sigma (\mathcal{P} ) \subset \mathcal{L}. $ 

Demonstração:

Considere $ \mathcal{L}_0 $$ \lambda $-sistema gerado por $ \mathcal{P} $, isto é, a intersecção de todos os $ \lambda $-sistemas contendo $ \mathcal{P} $. Assim, obtemos que $ \mathcal{L}_0 $ é um $ \lambda $-sistema que contém $ \mathcal{P} $ e está contido em todo $ \lambda $-sistema que contém $ \mathcal{P} $. Então $ \mathcal{P} \subset \mathcal{L}_0 \subset \mathcal{L} $. Se mostrarmos que $ \mathcal{L}_0 $ é um $ \pi $-sistema, então, pelo Lema 1.5.3.7, temos que $ \mathcal{L}_0 $ é uma $ \sigma $-álgebra. Da minimalidade de $ \sigma(\mathcal{P}) $ segue que $ \sigma(\mathcal{P}) \subset \mathcal{L}_0 $ e então, é sufiente mostrar que $ \mathcal{L}_0 $ é um $ \pi $-sistema.

Para cada $ A $, seja $ \mathcal{L}_{A} $ a classe dos conjuntos $ B $ tal que $ A \cap B \in \mathcal{L}_0 $.  Ao assumirmos que $ A $ está em $ \mathcal{P} $ ou em $ \mathcal{L}_0 $ obtemos que $ \mathcal{L}_{A} $ é um $ \lambda $-sistema. Visto que $ A\cap \Omega = A \in \mathcal{L}_0 $ por hipótese, $ \mathcal{L}_{A} $ satisfaz a primeira condição de um $ \lambda $-sistema. Se $ B_1, B_2 \in \mathcal{L}_{A} $ e $ B_1 \subset B_2 $ então o $ \lambda $-sistema $ \mathcal{L}_0 $ contém $ A \cap B_1 $ e $ A\cap B_2 $ e então, contém a diferença $ (A\cap B_2) - (A\cap B_1) = A\cap (B_2 - B_1 ) $. Como consequência $ \mathcal{L}_{A} $ contém $ B_2 - B_1 $ e, então $ \mathcal{L}_A $ satisfaz a propriedade $ (\lambda_2^{\prime}) $. Se $ B_n $ são conjuntos disjuntos de $ \mathcal{L}_{A} $ então $ \mathcal{L}_{0} $ contém os conjuntos disjuntos $ \{A\cap B_n\} $ e assim, também contém $ A\cap (\cup_n B_n) $, ou seja, $ \mathcal{L}_{A} $ satisfaz a propriedade $ (\lambda_3) $. Com isso, concluímos que $ \mathcal{L}_A $ é um $ \lambda $-sistema sempre que $ A \in \mathcal{L}_0 $.

Assim, se $ A\in \mathcal{P} $ e $ B \in \mathcal{P} $, então temos que $ A\cap B \in \mathcal{P} \subset \mathcal{L}_0 $, com isso obtemos que $ B \in \mathcal{L}_0 $. Portanto, se $ A \in \mathcal{P} $ implica que $ \mathcal{P} \subset \mathcal{L}_A $. Como $ \mathcal{L}_A $ é um $ \lambda $-sistema, a minimalidade de $ \mathcal{L}_0 $ nos garante que $ \mathcal{L}_0 \subset \mathcal{L}_A $.

Portanto, se $ A \in \mathcal{P} $ obtemos que $ \mathcal{L}_0 \subset \mathcal{L}_A $. De outra forma, se $ A \in \mathcal{P} $ e $ B \in \mathcal{L}_0 $ temos que $ B \in \mathcal{L}_A $ e então, $ A\in \mathcal{L}_B $, pois $ B \in \mathcal{L}_A $ se e só se $ A \in \mathcal{L}_B $. Este fato nos diz que $ B \in \mathcal{L}_0 $ implica que $ \mathcal{P} \subset \mathcal{L}_B $. Desde que $ \mathcal{L}_B $ é um $ \lambda $-sistema, obtemos da minimalidade que $ B \in \mathcal{L}_0 $ implica que $ \mathcal{L}_0 \subset \mathcal{L}_B $. Finalmente, temos que se $ B,C \in \mathcal{L}_0 $ concluímos que $ C \in \mathcal{L}_B $ e $ B \cap C \in \mathcal{L}_0 $. Portanto, concluímos que $ \mathcal{L}_0 $ é um $ \pi $-sistema. Portanto, segue o teorema.  

Desde que toda álgebra também é um $ \pi $-sistema, a unicidade da extensão é consequência do seguinte teorema.

Teorema 1.5.3.4: 

Suponha que $ \mathbb{P}_1 $ e $ \mathbb{P}_2 $ sejam probabilidades  definidas sobre $ \sigma (\mathcal{P}) $, no qual $ \mathcal{P} $ é um $ \pi $-sistema. Se $ \mathbb{P}_1 (C) = \mathbb{P}_2 (C) $ para todo $ C \in \mathcal{P} $, então obtemos que $ \mathbb{P}_1 = \mathbb{P}_2 $ sobre a $ \sigma $-álgebra $ \sigma(\mathcal{P}) $.  

Demonstração:

Tomamos $ \mathcal{L} $ a classe de todos os conjuntos $ A $ em $ \sigma(\mathcal{P}) $ tal que $ \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A) $. Na sequência, vamos mostrar que $ \mathcal{L} $ é um $ \lambda $-sistema. Obviamente, temos que $ \Omega \in \mathcal{L} $. Se $ A \in \mathcal{L} $, então temos que $ \mathbb{P}_1(A^c)=1-\mathbb{P}_1 (A)=1-\mathbb{P}_2 (A)=\mathbb{P}_2(A^c) $ e então, concluímos que $ A^c \in \mathcal{L} $. Seja $ \{A_n\} $ uma sequência de conjuntos disjuntos em $ \mathcal{L} $, então

\[\mathbb{P}_1 (\cup_n A_n)=\sum_n \mathbb{P}_1(A_n)= \sum_n \mathbb{P}_2(A_n) = \mathbb{P}_2(\cup_n A_n).\]

Portanto, obtemos que $ \cup_n A_n \in \mathcal{L} $ e consequentemente, a classe de conjuntos $ \mathcal{L} $ é um $ \lambda $-sistema. Desde que $ \mathcal{P} \subset \mathcal{L} $ e $ \mathcal{P} $ é um $ \pi $-sistema, obtemos do teorema 1.5.3 que $ \sigma(\mathcal{P}) \subset \mathcal{L} $. Portanto, segue o teorema.

Probabilidades

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