1.5.3 - Teorema de Extensão de Carathéodory

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Considere $\Omega$ o espaço amostral e $\mathcal{A}$ uma álgebra de subconjuntos de $\Omega$. Dado uma função de conjunto $\mu: \mathcal{A} \rightarrow [0,1]$, dizemos que $\mu$ é $\sigma$-aditiva na álgebra $\mathcal{A}$ se, para toda sequência de eventos $\{A_i\} \subset \mathcal{A}$ disjuntos com $\cup_i A_i \in \mathcal{A}$, temos que $$\mu(A)=\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i).$$ Toda função de conjunto $\mu:\mathcal{A}\rightarrow [0,1]$ que é $\sigma$-aditiva e $\mu(\Omega)=1$ será denominada probabilidade sobre a álgebra.

Como $\mathcal{A}$ é uma álgebra, precisamos assumir que $\cup_i A_i \in \mathcal{A}$, pois a álgebra não é fechada para união enumerável. Por outro lado, para toda família finita $A_1, \cdots , A_n$ de elementos disjuntos de $\mathcal{A}$, temos que $$\mu\left(\cup_{i=1}^nA_i\right)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i).$$ Esta propriedade é denominada aditividade finita. Suponha que $\mu$ seja uma probabilidade sobre a álgebra $\mathcal{A}$ e que $A,B \in \mathcal{A}$ com $A \subset B$. Desde que $\mu(A) + \mu(B-A)=\mu(B)$, obtemos que $\mu$ é monótona,

\[ \mu(A) \leq \mu(B),\quad \text{se}~~A\subset B.\] Além disso, também obtemos que $\mu(B-A)=\mu(B)-\mu(A)$ e como caso especial $\mu(A)+\mu(A^c)=1.$ Também podemos mostrar que

\[\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B).\] De forma geral, dado uma família finita $A_1, \cdots , A_n$ de eventos em $\mathcal{A}$, obtemos a fórmula

\[\mu(\cup_{i=1}^{n} A_i)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i) - \sum_{i < j} \mu(A_i \cap A_j)+\sum_{i< j < k} \mu(A_i \cap A_j \cap A_k) + \cdots + (-1)^{n+1} \mu(A_1 \cap \cdots \cap A_n).\] Para deduzirmos esta expressão de forma indutiva, basta observarmos que

\[\mu(\cup_{i=1}^{n+1} A_i)=\mu(\cup_{i=1}^n A_i) + \mu(A_{n+1}) - \mu \left(\cup_{i=1}^n (A_i \cap A_{n+1})\right).\] Se tomarmos $B_1=A_1$ e $B_k=A_k \cap A^c_1\cap \cdots A^c_{k-1}$, então $\{B_k\}$ são disjuntos e $\cup_{k=1}^n B_k = \cup_{i=1}^n A_i$. Como consequência da propriedade de aditividade finita, obtemos que

\[\mu(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{k=1}^n \mu(B_k).\] Desde que $\mu(B_k) \leq \mu (A_k)$, obtemos a propriedade de subaditividade finita,

\[\mu(\cup_{i=1}^n A_i) \leq \sum_{i=1}^n \mu(A_i).\] As propriedades acima são válidas para uma família finita de eventos em $\mathcal{A}$. A seguir, vamos derivar algumas propriedades com sequências de eventos na álgebra $\mathcal{A}$. 

Lema 1.5.3.1: 

Seja $\mu$ uma probabilidade sobre a álgebra $\mathcal{A}$. Então, para toda sequência de eventos $\{A_i\} \subset \mathcal{A}$, temos que

  1. Se $A_i \subset A_{i+1}$ para todo $i=1,2, \cdots$ e $A=\cup_i A_i \in \mathcal{A}$, temos que $\mu(A_i) \uparrow \mu(A)$;
  2. Se $A_{i+1} \subset A_i$ para todo $i=1,2, \cdots$ e $A=\cap_i A_i \in \mathcal{A}$, temos que $\mu(A_i) \downarrow \mu(A)$;
  3. De forma geral, temos que

\[\mu \left(\cup_{i=1}^{\infty} A_i\right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i).\]

Prova: 

Para mostrarmos (1), basta tomarmos $B_1=A_1$ e $B_k=A_k-A_{k-1}$. Como os eventos $\{B_k\}$ são disjuntos e $A=\cup_{k=1}^{\infty}B_k$, obtemos da $\sigma$-aditividade que

\[\mu(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(B_k) = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \mu(B_k) = \lim_{n \rightarrow \infty}\mu(\cup_{k=1}^n B_k) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n).\]  A afirmação (2) é consequência do fato de que se $A_{i+1} \subset A_i$, então $A^c_{i} \subset A^c_{i+1}$ e da primeira afirmação.  Como consequência da subaditividade finita e da afirmação (1), obtemos que (3) é válido. Segue o lema.

A seguir, vamos mostrar que dado uma função de conjunto $\mu:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]$ finitamente aditiva, a propriedade de $\sigma$-aditividade é equivalente a propriedade de continuidade no vazio.

Lema 1.5.3.2: 

Para que uma função de conjunto $\mu:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]$ seja uma probabilidade na álgebra é necessário e suficiente que:

  1. $\mu(\Omega)=1$;
  2. Finitamente aditiva: para todo família finita $A_1, \cdots , A_n$ de eventos disjuntos em $\mathcal{A}$, temos que $\mu(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i).$
  3. Continuidade no vazio: para toda sequência de eventos em $\mathcal{A}$ decrescendo para o vazio, isto é, $A_{i+1} \subset A_i$ para todo $i=1,2,\cdots$ e $\cap_i A_i =\emptyset$, temos que $\lim_{i} \mu(A_i)=0$.

Prova: 

Suponha que $\mu$ seja uma probabilidade na álgebra $\mathcal{A}$ e $\{A_i\}$ uma sequência de eventos que decresce para o vazio. Como $\{A_i\}$ é uma sequência monótona decrescente, temos $A_n=\cup_{m\geq n} (A_m - A_{m+1})$. Como consequência da $\sigma$-aditividade, obtemos que $$1 \geq \mu(A_n)=\sum_{m \geq n}\mu(A_m-A_{m+1})=\lim_{m \rightarrow \infty}\left(\mu(A_n)-\mu(A_{m+1}) \right).$$ Desta forma, obtemos que $\lim_{m \rightarrow \infty}\mu(A_m)=0$. Por outro lado, tomamos $\mu$ uma função de conjunto satisfazendo as três propriedades do lema, vamos mostrar que $\mu$ é uma probabilidade sobre a álgebra $\mathcal{A}$. Considere $\{A_n\} \subset \mathcal{A}$ uma sequência de eventos disjuntos tal que $A=\cup_{i=1}^{\infty} A_i$. Então, temos que $$A=\left(\cup_{i=1}^n A_i\right)\cup \left(\cup_{i=n+1}A_i\right).$$ Pela aditividade finita, sabemos que $$\mu(A)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i)+\mu(\cup_{i=n+1}A_i).$$ Tomamos $B_n=\cup_{i=n+1}^{\infty} A_i$, então $\cap_{n}B_n=\emptyset$ e portanto $\mu(B_k) \downarrow 0$, devido a continuidade no vazio. Logo, concluímos que $$\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n \mu(A_i)=\mu(A).$$ Segue o lema.

Uma $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ de subconjuntos de $\Omega$ é uma classe de subconjuntos de $\Omega$ que contém o $\emptyset$ e $\Omega$ e é fechada por operações de complementar e união e intersecção enumeráveis. O par $(\Omega , \mathcal{F})$ consistindo do espaço amostral $\Omega$ e da $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ será denominado espaço mensurável. A seguir, vamos introduzir uma classe de conjuntos que será utilizada para caracterizar a $\sigma$-álgebra.  Uma classe $\mathcal{C}$ de subconjuntos de $\Omega$ é denominada classe monótona se satisfaz:

a) Para toda sequência crescente $\{A_i\} \subset \mathcal{C}$ tal que $A_i \subset A_{i+1}$, temos que $\cup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{C}$;

b) Para toda sequência decrescente $\{A_i\} \subset \mathcal{C}$ tal que $A_{i+1} \subset A_i$, temos que $\cap_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{C}$.

Lema: 

Dados um espaço amostral $\Omega$ e uma álgebra $\mathcal{F}$ de subconjuntos de $\Omega$.  Para que $\mathcal{F}$ seja uma $\sigma$-álgebra é necessário e suficiente que esta seja uma classe monótona.

Prova: 

Obviamente, toda $\sigma$-álgebra é uma classe monótona.  Por outro lado, considere $\mathcal{C}$ uma classe de subconjuntos de $\Omega$ que é fechada para uniões finitas, vamos mostrar que $\mathcal{C}$ é fechada por união enumerável se, e só se, $\mathcal{C}$ for fechada para uniões monótonas crescentes. Para isto, tomamos $\{A_n\} \subset \mathcal{C}$ uma sequência de subconjuntos de $\Omega$ e $B_k = \cup_{n=1}^k A_n$. Desta forma, temos que $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n = \cup_{k=1}^{\infty} B_k,$$ no qual $\{B_k \} \subset \mathcal{C}$. Segue o lema. Na sequência, enunciamos o teorema de extensão de Carathéodory.

Teorema 1.5.3.1:

Para toda probabilidade $\mu$ sobre a álgebra $\mathcal{A}$, existe um única probabilidade $\mathbb{P}$ sobre a $\sigma$-álgebra gerada por $\mathcal{A}$ que estende a função de conjunto $\mu$.

Suponha que $\mu$ seja uma função de conjunto $\sigma$-aditiva sobre a álgebra $\mathcal{A}$ e denotamos por $\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{A})$. Então, existe uma única probabilidade $\mathbb{P}$ definida sobre $\mathcal{F}$ tal que $\mathbb{P}(A) = \mu(A)$ para todo $A\in \mathcal{A}$. Além disso, se $\mathbb{P}^{\prime}$ for outra probabilidade definida sobre $\mathcal{F}$ tal que $\mathbb{P}^{\prime}(A)=\mathbb{P}(A)$ para todo $A\in \mathcal{A}$, então $\mathbb{P}^{\prime}(A)=\mathbb{P}(A)$ para todo $A\in \mathcal{F}$. Observe que a classe de eventos $\mathcal{A}$ é uma álgebra, sendo fechada apenas por operações finitas de uniões e intersecções. Por outro lado, a função de conjunto $\mu$ satisfaz uma propriedade de $\sigma$-aditividade, que é válida para operações enumeráveis com eventos da álgebra. Somando esta propriedade com a estratégia de construção de números reais, vamos estender a função de conjunto $\mu$ sobre a $\sigma$-álgebra gerada por $\mathcal{A}$ de tal forma que a propriedade de $\sigma$-aditividade seja preservada.

Construção da extensão

Seja $\mathbb{P}$ uma probabilidade definida sobre uma álgebra $\mathcal{A}$ . A construção seguinte estende $\mathbb{P}$ para uma classe geralmente muito maior do que $\sigma (\mathcal{A})$, no entanto, não contém todos os subconjuntos de $\Omega$.

Definição 1.5.3.1:

Para cada subconjunto $A$ de $\Omega$ definimos sua probabilidade exterior por

\[\mathbb{P}^{\ast}(A) = \inf \sum_n \mathbb{P}(A_n)\]

no qual o ínfimo se estende sobre todas as sequências finitas e infinitas $A_1, A_2, \dots$ de $\mathcal{A}$ satisfazendo $A \subset \bigcup_n (A_n)$. Obviamente, a probabilidade exterior é uma primeira tentativa para definirmos uma "probabilidade" para o conjunto $A$.

Por causa da regra $\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)$, podemos definir a probabilidade inferior de $A$ através da probabilidade exterior de $A^c$, na forma

\[\mathbb{P}_{\ast}(A) = 1 - \mathbb{P}^{\ast}(A^c).\]

A probabilidade interior de $A$, denotada por $\mathbb{P}_{\ast} (A)$, é um segundo candidato para a probabilidade de $A$. A probabilidade exterior (ou interior) tem a vantagem de estar definida para qualquer subconjunto $A$, mas não satisfaz a propriedade $\sigma$-aditividade. Para tornar a probabilidade exterior $\sigma$-aditiva, vamos reduzir a classe de subconjuntos para o qual aplicamos a probabilidade exterior. Para isto, uma procedência plausível é atribuir uma probabilidade para $A$ de forma que a probabilidade interior seja igual à probabilidade exterior, ou seja,

\[\mathbb{P}^{\ast}(A) = \mathbb{P}_{\ast}(A).\] Observe que a probabilidade exterior e a probabilidade interior coincidem se, e só se,

\[ \mathbb{P}^{\ast}(A) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c)=1.\] Neste sentido, Carathéodory propôs um requerimento similar (porém, mais forte). Dizemos que um subconjunto $A \subset \Omega$ é $\mathbb{P}^{\ast}$-mensurável se

\[\mathbb{P}^{\ast}(A\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c \cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(E) (*),\]

para todo subconjunto $E \subset \Omega$. Observe que $\mathbb{P}^{\ast}(\Omega)=1. $ Considere $\mathcal{M}$ a classe dos conjuntos $\mathbb{P}^{\ast}$-mensuráveis. Temos como objetivo mostrar que $\mathcal{M} \supset \sigma(\mathcal{A})$. Para isto, listamos as principais propriedades da função $\mathbb{P}^{\ast}$:

P1) $\mathbb{P}^{\ast}(\emptyset) = 0$

P2) $\mathbb{P}^{\ast}$ é não negativa, isto é, $\mathbb{P}^{\ast}(A)\geq 0$ para todo $A \subset \Omega$.

P3) $\mathbb{P}^{\ast}$ é monótona, isto é, se $A \subset B$ então $\mathbb{P}^{\ast}(A)\leq \mathbb{P}^{\ast}(B)$.

P4) $\mathbb{P}^{\ast}$ é $\sigma$-subaditiva, isto é, $\mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\right) \leq \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(A_n)$.

As propriedades (P1), (P2) e (P3) são triviais, vamos verificar apenas a propriedade (P4). De fato, para um dado $\varepsilon$, escolhemos conjuntos $B_{nk}$ de $\mathcal{A}$, tal que $A_n \subset \bigcup_k B_{nk}$ e $\sum_k \mathbb{P}^{\ast}(B_{nk}) \ < \ \mathbb{P}^{\ast}(A_n) + \varepsilon 2^{-n}$, o que é possível pela Definição 1.5.1.2.

Agora $\bigcup_n (A_n) \subset \bigcup_{n,k} B_{nk}$, assim $\mathbb{P}^{\ast}(\bigcup_n A_n) \leq \sum_{n,k} \mathbb{P}(B_{nk}) < \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(A_n) + \varepsilon$, de onde segue a propriedade (P4).

Através da propriedade subaditiva da probabilidade exterior, um conjunto $A$ é $\mathbb{P}^{\ast}$-mensurável se, $$\mathbb{P}^{\ast}(A\cap E)+\mathbb{P}^{\ast}(A^c\cap E)\leq \mathbb{P}^{\ast}(E).$$ Na sequência, vamos mostrar que a classe dos conjuntos $\mathbb{P}^{\ast}$-mensuráveis é uma álgebra.

Lema 1.5.3.1:

A classe $\mathcal{M} $ é uma álgebra.

Demonstração:

De fato, vamos verificar que $\mathcal{M}$ satisfaz as condições definidas na Definição 1.5.1.2. Para isto, seja $E$ um subconjunto arbitrário de $\Omega$.

Inicialmente, vamos verificar que $\emptyset\in\mathcal{M}$. De fato, temos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(\emptyset\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(\emptyset^c\cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(\emptyset) + \mathbb{P}^{\ast}(\Omega\cap E) =\mathbb{P}^{\ast}(\emptyset)+\mathbb{P}^{\ast}(E) = \mathbb{P}^{\ast}(E), \ \text{portanto} \ \emptyset \in \mathcal{M}.\]

Vamos verificar agora que, se $A, B\in\mathcal{M}$, então $A\cap B\in\mathcal{M}$. De fato,

\[\mathbb{P}^{\ast}(E) = \mathbb{P}^{\ast}(A \cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c\cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(A \cap B \cap E) +\mathbb{P}^{\ast}(A \cap B^c \cap E)+ \mathbb{P}^{\ast}(A^c \cap B \cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c \cap B^c \cap E).\] Através da propriedade de subaditividade da probabilidade exterior (P4), concluímos que 

\[\mathbb{P}^{\ast}(E)\geq\mathbb{P}^{\ast}((A \cap B)\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}((A^c \cap B) \cap E) \cup ((A \cap B^c) \cap E) \cup ((A^c \cap B^c) \cap E)= \mathbb{P}^{\ast}((A \cap B) \cap E) + \mathbb{P}^{\ast}((A \cap B)^c \cap E)\]

 Portanto,

\[\mathbb{P}^{\ast}(E)= \mathbb{P}^{\ast}((A \cap B) \cap E) + \mathbb{P}^{\ast}((A \cap B)^c \cap E).\]

Finalmente, basta verificar que, se $A\in\mathcal{M}$, então $A^c\in\mathcal{M}$. Para isto, temos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(A^c\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}((A^c)^c\cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(A\cap E) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c\cap E) = \mathbb{P}^{\ast}(E)\]

Portanto, segue que $\mathcal{M}$ é uma álgebra. 

Lema 1.5.3.2:

A função $\mathbb{P}^{\ast}$ é finitamente aditiva em $\mathcal{M}$.

Demonstração:

De fato, suponha que $A, B\in\mathcal{M}$ e que são disjuntos. Então

\[\mathbb{P}^{\ast}(A \cup B) = \mathbb{P}^{\ast}(A \cap (A \cup B)) + \mathbb{P}^{\ast}(A^c \cap (A \cup B)) = \mathbb{P}^{\ast}(A) + \mathbb{P}^{\ast}(B).\]

Segue por indução finita que

\[\mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup^n_{k=1}A_k\right) = \sum^n_{k=1} \mathbb{P}^{\ast}(A_k)\]

para conjuntos disjuntos $A_1, A_2, \dots ,A_n $ de $\mathcal{M}$.

Lema 1.5.3.3:

Se $A_1, A_2, \dots $ é sequência disjunta de conjuntos em $\mathcal{M}$, então

\[\bigcup_n A_n \in \mathcal{M} \ \text{e} \ \mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup_n A_n\right) = \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(A_n).\]

Demonstração:

Seja $A = \bigcup_n (A_n)$. Pelo Lema 1.5.3.2 e pela propriedade de monotonicidade, temos que

\[\sum_{n \leq m} \mathbb{P}^{\ast}\left(A_n\right) = \mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup_{n \leq m} A_n\right) \leq \mathbb{P}^{\ast}(A).\]

Portanto, $\sum_n \mathbb{P}^{\ast}(A_n) \leq \mathbb{P}^{\ast}(A)$ e a desigualdade oposta segue por subaditividade.

Vamos provar que A é um conjunto $\mathbb{P}^{\ast}$-mensurável. Seja $B_m = \bigcup_{n\leq m} A_n \in \mathcal{M}$, pois $\mathcal{M}$ é uma álgebra. Na sequência, vamos mostrar por indução que  a equação

\[\mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_m) = \sum_{n\leq m} \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n)\] é válida para todo $m \in \mathbb{N}$. Esta certamente é verdadeira para m = 1. Assuma que é verdade para algum m e particione $E \cap B_{m+1}$ pelo conjunto $B_m$, na forma

\[\mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_{m+1}) = \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_{m+1} \cap B_m) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_{m+1} \cap B^c_m),\] no qual $B_m \in \mathcal{M}$. Como consequência da aditividade finita da probabilidade exterior, obtemos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(E\cap B_{m+1})= \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_m) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_{m+1}) = \sum _{n \leq m} \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_{m+1})\]

Agora, particionando $E$ pelos conjuntos $B_m$ temos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(E) = \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B_m ) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B^c_m) = \sum_{n \leq m} \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap B^c_m) \ge \sum_{n \leq m} \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A^c).\] Assim, ao tomarmos o limite quando $n \rightarrow \infty$, concluímos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(E) \ge \sum_n \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A_n) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A^c) \ge \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A^c).\]

Lema 1.5.3.4:

A classe $\mathcal{M}$ é uma $\sigma$-álgebra e $\mathbb{P}^{\ast}$ restrita a $\mathcal{M}$ é $\sigma$-aditiva.

Demonstração:

Ao tomarmos $A_1, A_2, \dots $ em $\mathcal{M}$, obtemos que os conjuntos $B_1 = A_1$ e $B_n = A_n \cap A^c_1 \cap \dots \cap A^c_{n-1}$ são disjuntos e também estão em $\mathcal{M}$, pois $\mathcal{M}$ é uma álgebra. Como consequência do lema 1.5.3.3 obtemos que $\bigcup_n A_n = \bigcup_n B_n \in\mathcal{M}$. Portanto, concluímos que $\mathcal{M}$ é uma $\sigma$-álgebra. Desde que $\mathbb{P}^{\ast}$ é $\sigma$-aditiva em $\mathcal{M}$ (lema 1.5.3.3), concluímos o lema.

Observe que os quatro lemas acima são consequências das propriedades (P1), (P2), (P3) e (P4) da probabilidade exterior. Nos próximos lemas, vamos utilizar a definição da probabilidade exterior via a probabilidade $\mathbb{P}$ sobre a álgebra $\mathcal{A}$.

Lema 1.5.3.5: 

Temos que $\mathcal{A} \subset \mathcal{M}$.

Demonstração: 

Suponha que $A \in \mathcal{A}$. Dados $E$ e $\varepsilon$ quaisquer, escolhemos conjuntos $\{A_n\}$ de $\mathcal{A} $ tais que $E \subset \cup_n A_n$ e $\sum_n \mathbb{P}(A_n) \leq \mathbb{P}^{\ast}(E) + \varepsilon$. Desde que $\mathcal{A}$ é uma álgebra, os conjuntos $B_n = A_n \cap A$ e $C_n = A_n \cap A^c$ estão em $\mathcal{A}$. Também temos que $E \cap A \subset \cup_n B_n$ e $E \cap A^c \subset \cup_n C_n$. Por definição de $\mathbb{P}^{\ast}$ e a aditividade finita de $\mathbb{P}$ sobre a álgebra $\mathcal{A}$, obtemos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(E \cap A) + \mathbb{P}^{\ast}(E \cap A^c) \leq \sum_n \mathbb{P}(B_n) + \sum_n \mathbb{P}(C_n)=\sum_n \left[\mathbb{P}(B_n) + \mathbb{P}(C_n)\right] =\sum_n \mathbb{P}(A_n) \leq \mathbb{P}^{\ast}(E) + \varepsilon.\]

Consequentemente $A \in \mathcal{M}$, o que implica que $\mathcal{A} \subset \mathcal{M}$. Portanto, segue o lema.

Lema 1.5.3.6: 

Para todo $A \in \mathcal{A}$, temos que

\[\mathbb{P}^{\ast}(A)=\mathbb{P}(A).\]

Demonstração: 

É obvio da definição de probabilidade exterior que $\mathbb{P}^{\ast}(A) \leq \mathbb{P}(A)$ para $A \in \mathcal{A}$.  Por outro lado, considere $A \subset \cup_n A_n$, no qual $A$ e $\{A_n\}$ estão em $\mathcal{A}$. Utilizando a $\sigma$-subaditividade e a monotonicidade de $\mathbb{P}$, concluímos que

\[ \mathbb{P}(A) \leq \sum_{n} \mathbb{P}(A \cap A_n)\leq \sum \mathbb{P}(A_n).\] Portanto, segue o lema.

Ao denotarmos por $\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{A})$, a $\sigma$-álgebra gerada pela álgebra $\mathcal{A}$, sabemos que $$\mathcal{A} \subset \mathcal{F} \subset \mathcal{M} \subset 2^{\Omega}.$$ Assim, a probabilidade exterior $\mathbb{P}^{\ast}$ restrita a $\sigma$-álgebra $\mathcal{M} $ é uma probabilidade. Da mesma forma, se restringirmos a probabilidade exterior a $\mathcal{F}$ também obtemos uma probabilidade.   Na sequência, vamos mostrar que a extensão da probabilidade é única.

Unicidade e teorema $\pi$ - $\lambda$ 

Para provar que a extensão da probabilidade apresentada acima é única vamos utilizar alguns conceitos auxiliares. Uma classe $\mathcal{P} $ de $\Omega $ é um $\pi$-sistema se é fechado para interseções finitas, isto é, se $A, B\in\mathcal{P}$ então

\[(\pi) \quad A, B \in \mathcal{P} \rightarrow A\cap B \in \mathcal{P} \]

Uma classe $\mathcal{L}$ composta por subconjuntos de $\Omega$ é um $\lambda$-sistema se 

$(\lambda_1):$ Temos que $\Omega \in \mathcal{L}$

$(\lambda_2):$ Se $A\in\mathcal{L}$ então $A^c\in\mathcal{L}$.

$(\lambda_3):$ Se $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{L}$ e $A_i\cap A_j = \emptyset$ para $i\neq j$ então $\cup_nA_n\in\mathcal{L}$.

Como os conjuntos na condição $(\lambda_3)$ são disjuntos, um $\lambda$-sistema é uma classe "mais fraca" do que uma $\sigma$-álgebra. As propriedades $(\lambda_1)$ e $(\lambda_2)$ implicam que $\emptyset \in \mathcal{L}$. Além disso, na presença das condições $(\lambda_1)$ e $(\lambda_3)$, segue que a condição $(\lambda_2)$ é equivalente a dizer que $\mathcal{L} $ é fechado para a diferença, isto é,

\[(\lambda_2^{\prime}): \quad A, B \in \mathcal{L} \ \text{e} \ A \subset B ~ ~ \text{implicam que}~~B - A \in \mathcal{L}.\]

Suponha que $\mathcal{L}$ seja uma classe de subconjuntos de $\Omega$ que satisfaz as propriedades $(\lambda_2)$ e $(\lambda_3)$, se $A,B \in \mathcal{L}$ e $A \subset B$, então $B^c \in \mathcal{L}$, $A \cup B^c \in \mathcal{L}$ e $(A \cup B^c)^c = B-A \in \mathcal{L}$. Desta forma, a propriedade $(\lambda_2^{\prime})$ também é satisfeita.  Por outro lado, se $\mathcal{L}$ é uma classe de subconjuntos de $\Omega$ que satisfaz $(\lambda_1)$ e $(\lambda_2^{\prime})$, então se $A \in \mathcal{L}$ temos que $A^c = \Omega - A \in \mathcal{L}$. Portanto, a condição $(\lambda_2)$ é satisfeita.

Lema 1.5.3.7:

Uma classe $\mathcal{F}$ que é um $\pi$-sistema e um $\lambda$-sistema é uma $\sigma$-álgebra.

Demonstração: 

Esta classe contém $\Omega$ por ser um $\lambda$-sistema e, além disso, é fechada para a complementação e intersecções finitas por ser um $\lambda$-sistema e um $\pi$-sistema. Desta forma, a classe $\mathcal{F}$ é uma álgebra. Também é uma $\sigma$-álgebra pois, se $\mathcal{F}$ contém uma sequência de conjuntos $A_n$, então contém conjuntos disjuntos $B_j = A_j -\left(A_1\cup \dots \cup A_{j-1}\right)$ para $j=1,\ldots,n$ de forma que $\cup_nA_n = \cup_nB_n$ e, pela propriedade $(\lambda_3)$, temos que $\cup_n A_n = \cup_n B_n \in \mathcal{F}.$

Teorema 1.5.3:

Se $\mathcal{P}$ é um $\pi$-sistema e $\mathcal{L}$ é um $\lambda$-sistema então $\mathcal{P} \subset \mathcal{L}$ implica que $\sigma (\mathcal{P} ) \subset \mathcal{L}.$ 

Demonstração:

Considere $\mathcal{L}_0$ o $\lambda$-sistema gerado por $\mathcal{P}$, isto é, a intersecção de todos os $\lambda$-sistemas contendo $\mathcal{P}$. Assim, obtemos que $\mathcal{L}_0$ é um $\lambda$-sistema que contém $\mathcal{P}$ e está contido em todo $\lambda$-sistema que contém $\mathcal{P}$. Então $\mathcal{P} \subset \mathcal{L}_0 \subset \mathcal{L}$. Se mostrarmos que $\mathcal{L}_0$ é um $\pi$-sistema, então, pelo Lema 1.5.3.7, temos que $\mathcal{L}_0$ é uma $\sigma$-álgebra. Da minimalidade de $\sigma(\mathcal{P})$ segue que $\sigma(\mathcal{P}) \subset \mathcal{L}_0$ e então, é sufiente mostrar que $\mathcal{L}_0$ é um $\pi$-sistema.

Para cada $A$, seja $\mathcal{L}_{A}$ a classe dos conjuntos $B$ tal que $A \cap B \in \mathcal{L}_0$.  Ao assumirmos que $A$ está em $\mathcal{P}$ ou em $\mathcal{L}_0$ obtemos que $\mathcal{L}_{A}$ é um $\lambda$-sistema. Visto que $A\cap \Omega = A \in \mathcal{L}_0$ por hipótese, $\mathcal{L}_{A}$ satisfaz a primeira condição de um $\lambda$-sistema. Se $B_1, B_2 \in \mathcal{L}_{A}$ e $B_1 \subset B_2$ então o $\lambda$-sistema $\mathcal{L}_0$ contém $A \cap B_1$ e $A\cap B_2$ e então, contém a diferença $(A\cap B_2) - (A\cap B_1) = A\cap (B_2 - B_1 )$. Como consequência $\mathcal{L}_{A}$ contém $B_2 - B_1$ e, então $\mathcal{L}_A$ satisfaz a propriedade $(\lambda_2^{\prime})$. Se $B_n$ são conjuntos disjuntos de $\mathcal{L}_{A}$ então $\mathcal{L}_{0}$ contém os conjuntos disjuntos $\{A\cap B_n\}$ e assim, também contém $A\cap (\cup_n B_n)$, ou seja, $\mathcal{L}_{A}$ satisfaz a propriedade $(\lambda_3)$. Com isso, concluímos que $\mathcal{L}_A$ é um $\lambda$-sistema sempre que $A \in \mathcal{L}_0$.

Assim, se $A\in \mathcal{P}$ e $B \in \mathcal{P}$, então temos que $A\cap B \in \mathcal{P} \subset \mathcal{L}_0$, com isso obtemos que $B \in \mathcal{L}_0$. Portanto, se $A \in \mathcal{P}$ implica que $\mathcal{P} \subset \mathcal{L}_A$. Como $\mathcal{L}_A$ é um $\lambda$-sistema, a minimalidade de $\mathcal{L}_0$ nos garante que $\mathcal{L}_0 \subset \mathcal{L}_A$.

Portanto, se $A \in \mathcal{P}$ obtemos que $\mathcal{L}_0 \subset \mathcal{L}_A$. De outra forma, se $A \in \mathcal{P}$ e $B \in \mathcal{L}_0$ temos que $B \in \mathcal{L}_A$ e então, $A\in \mathcal{L}_B$, pois $B \in \mathcal{L}_A$ se e só se $A \in \mathcal{L}_B$. Este fato nos diz que $B \in \mathcal{L}_0$ implica que $\mathcal{P} \subset \mathcal{L}_B$. Desde que $\mathcal{L}_B$ é um $\lambda$-sistema, obtemos da minimalidade que $B \in \mathcal{L}_0$ implica que $\mathcal{L}_0 \subset \mathcal{L}_B$. Finalmente, temos que se $B,C \in \mathcal{L}_0$ concluímos que $C \in \mathcal{L}_B$ e $B \cap C \in \mathcal{L}_0$. Portanto, concluímos que $\mathcal{L}_0$ é um $\pi$-sistema. Portanto, segue o teorema.  

Desde que toda álgebra também é um $\pi$-sistema, a unicidade da extensão é consequência do seguinte teorema.

Teorema 1.5.3.4: 

Suponha que $\mathbb{P}_1$ e $\mathbb{P}_2$ sejam probabilidades  definidas sobre $\sigma (\mathcal{P})$, no qual $\mathcal{P}$ é um $\pi$-sistema. Se $\mathbb{P}_1 (C) = \mathbb{P}_2 (C)$ para todo $C \in \mathcal{P}$, então obtemos que $\mathbb{P}_1 = \mathbb{P}_2$ sobre a $\sigma$-álgebra $\sigma(\mathcal{P})$.  

Demonstração:

Tomamos $\mathcal{L}$ a classe de todos os conjuntos $A$ em $\sigma(\mathcal{P})$ tal que $\mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)$. Na sequência, vamos mostrar que $\mathcal{L}$ é um $\lambda$-sistema. Obviamente, temos que $\Omega \in \mathcal{L}$. Se $A \in \mathcal{L}$, então temos que $\mathbb{P}_1(A^c)=1-\mathbb{P}_1 (A)=1-\mathbb{P}_2 (A)=\mathbb{P}_2(A^c)$ e então, concluímos que $A^c \in \mathcal{L}$. Seja $\{A_n\}$ uma sequência de conjuntos disjuntos em $\mathcal{L}$, então

\[\mathbb{P}_1 (\cup_n A_n)=\sum_n \mathbb{P}_1(A_n)= \sum_n \mathbb{P}_2(A_n) = \mathbb{P}_2(\cup_n A_n).\] Portanto, obtemos que $\cup_n A_n \in \mathcal{L}$ e consequentemente, a classe de conjuntos $\mathcal{L}$ é um $\lambda$-sistema. Desde que $\mathcal{P} \subset \mathcal{L}$ e $\mathcal{P}$ é um $\pi$-sistema, obtemos do teorema 1.5.3 que $\sigma(\mathcal{P}) \subset \mathcal{L}$. Portanto, segue o teorema.

Probabilidades

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