1.5.4 - Sequências de conjuntos

Dados $(\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $\{A_n\}$ uma sequência de eventos em $\mathcal{F}$, vamos estudar o comportamento limite da sequência de eventos e suas relações com o espaço de probabilidade. Tomamos $\{A_n\}_{n\geq 1}$ uma sequência de eventos em $\mathcal{F}$.  O limite superior da sequência $\{A_n\}$ é definido como \[\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty} A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k.\] Da mesma forma, podemos definir limite inferior por: \[\displaystyle \liminf_{n\rightarrow\infty} A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k.\]  Como estes limites são formados por uniões e intersecções enumeráveis de eventos em $\mathcal{F}$, concluímos que o conjunto limite inferior e o conjunto limite superior também pertencem à $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$.

Como consequência da definição, temos que $\omega\in\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n$ se, e só se, para todo $n$ existe algum $k \geq n$ tal que $\omega \in A_k$. Assim, dizemos que $\omega\in\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n$ este pertence a um número infinito de $A_n$. Da mesma forma, temos que $\omega\in\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n$ se, e só se, existe $n$ tal que $\omega \in A_k$ para todo $k \geq n$. Então, podemos dizer que $\omega\in\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n$ se,  só se, $\omega$ pertence a todos os $A_n$ exceto um número finito destes. 

Temos que $B_n=\cap_{k=n}^{\infty} A_n$ é uma sequência monótona crescente que converge para o $\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n$. De forma análoga, temos que $C_n=\cup_{k=n}^{\infty} A_n$ é uma sequência monótona decrescente que converge para $\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n$. Para todo $m$ e $n$ temos que $\cap_{k=m}^{\infty} A_k\subset\cup_{k=n}^{\infty} A_k$, pois para todo $i \geq \max\{m,n\}$, o conjunto $A_i$ contém o conjunto $\cap_{k=m}^\infty A_k$ e está contido no conjunto $\cup_{k=n}^\infty A_k$. Ao tomarmos união em $m$ e intersecção em $n$, concluímos que o $\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n\subset\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n$. Esta conclusão também poderia ser obtida diretamente da interpretação destes conjuntos. Sabemos que $\omega$ pertence ao conjunto limite inferior se este está em todos os $A_n$ exceto um número finito e então, $\omega$ pertence a um número infinito de $A_n$. Como consequência, temos que $\omega\in\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n$ implica que $\omega\in\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n$. Se os conjuntos limite superior e limite inferior coincidem, dizemos que a sequência de conjuntos $\{A_n\}$ tem limite e escrevemos,\[ \lim_nA_n=\limsup_{n}A_n=\limsup_{n}A_n.\] Desde que o conjunto limite inferior está contido no conjunto limite superior, para checarmos que uma dada sequência de conjuntos tem limite, basta provarmos que o conjunto limite superior está contido no conjunto limite inferior. Dado uma sequência monótona $\{A_n\}$ de eventos em $\mathcal{F}$ tal que $A_n\subset A_{n+1}$, obtemos que $\cup_{n=1}^{\infty}A_n=\lim_{n}A_n$. Da mesma forma, se $A_{n+1}\subset A_n$ então $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=lim_nA_n$.

Teorema 1.5.4.1:

Para toda sequência $\{A_n\}$ de eventos em $\mathcal{F}$, temos que \[\mathbb{P}\left(\liminf_nA_n\right)\leq\liminf_n\mathbb{P}\left(A_n\right)\leq\limsup_n\mathbb{P}\left(A_n\right)\leq\mathbb{P}\left(\limsup_nA_n\right).\]

Prova: Ao tomarmos $B_n=\cap_{k=n}^\infty A_k$ e $C_n=\cup_{k=n}^\infty A_k$, obtemos que as sequência $\{B_n\}$ e $\{C_n\}$ são monótonas e então \[\mathbb{P}(A_n)\geq\mathbb{P}(B_n)\rightarrow\mathbb{P}\left(\liminf_nA_n\right)\quad\text{e}\quad\mathbb{P}(A_n)\leq\mathbb{P}(C_n)\rightarrow\mathbb{P}\left(\limsup_nA_n\right).\] O que prova o teorema.