1.5.4 - Sequências de conjuntos

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Dados $ (\Omega, \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e $ \{A_n\} $ uma sequência de eventos em $ \mathcal{F} $, vamos estudar o comportamento limite da sequência de eventos e suas relações com o espaço de probabilidade. Tomamos $ \{A_n\}_{n\geq 1} $ uma sequência de eventos em $ \mathcal{F} $.  O limite superior da sequência $ \{A_n\} $ é definido como

\[\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty} A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k.\]

Da mesma forma, podemos definir limite inferior por:

\[\displaystyle \liminf_{n\rightarrow\infty} A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k.\]

 Como estes limites são formados por uniões e intersecções enumeráveis de eventos em $ \mathcal{F} $, concluímos que o conjunto limite inferior e o conjunto limite superior também pertencem à $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $.

Como consequência da definição, temos que $ \omega\in\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n $ se, e só se, para todo $ n $ existe algum $ k \geq n $ tal que $ \omega \in A_k $. Assim, dizemos que $ \omega\in\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n $ este pertence a um número infinito de $ A_n $. Da mesma forma, temos que $ \omega\in\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n $ se, e só se, existe $ n $ tal que $ \omega \in A_k $ para todo $ k \geq n $. Então, podemos dizer que $ \omega\in\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n $ se,  só se, $ \omega $ pertence a todos os $ A_n $ exceto um número finito destes. 

Temos que $ B_n=\cap_{k=n}^{\infty} A_n $ é uma sequência monótona crescente que converge para o $ \liminf_{n\rightarrow\infty} A_n $. De forma análoga, temos que $ C_n=\cup_{k=n}^{\infty} A_n $ é uma sequência monótona decrescente que converge para $ \limsup_{n\rightarrow\infty} A_n $. Para todo $ m $ e $ n $ temos que $ \cap_{k=m}^{\infty} A_k\subset\cup_{k=n}^{\infty} A_k $, pois para todo $ i \geq \max\{m,n\} $, o conjunto $ A_i $ contém o conjunto $ \cap_{k=m}^\infty A_k $ e está contido no conjunto $ \cup_{k=n}^\infty A_k $. Ao tomarmos união em $ m $ e intersecção em $ n $, concluímos que o $ \liminf_{n\rightarrow\infty} A_n\subset\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n $. Esta conclusão também poderia ser obtida diretamente da interpretação destes conjuntos. Sabemos que $ \omega $ pertence ao conjunto limite inferior se este está em todos os $ A_n $ exceto um número finito e então, $ \omega $ pertence a um número infinito de $ A_n $. Como consequência, temos que $ \omega\in\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n $ implica que $ \omega\in\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n $. Se os conjuntos limite superior e limite inferior coincidem, dizemos que a sequência de conjuntos $ \{A_n\} $ tem limite e escrevemos,

\[ \lim_nA_n=\limsup_{n}A_n=\limsup_{n}A_n.\]

Desde que o conjunto limite inferior está contido no conjunto limite superior, para checarmos que uma dada sequência de conjuntos tem limite, basta provarmos que o conjunto limite superior está contido no conjunto limite inferior. Dado uma sequência monótona $ \{A_n\} $ de eventos em $ \mathcal{F} $ tal que $ A_n\subset A_{n+1} $, obtemos que $ \cup_{n=1}^{\infty}A_n=\lim_{n}A_n $. Da mesma forma, se $ A_{n+1}\subset A_n $ então $ \cap_{n=1}^{\infty}A_n=lim_nA_n $.

Teorema 1.5.4.1:

Para toda sequência $ \{A_n\} $ de eventos em $ \mathcal{F} $, temos que

\[\mathbb{P}\left(\liminf_nA_n\right)\leq\liminf_n\mathbb{P}\left(A_n\right)\leq\limsup_n\mathbb{P}\left(A_n\right)\leq\mathbb{P}\left(\limsup_nA_n\right).\]

Prova: Ao tomarmos $ B_n=\cap_{k=n}^\infty A_k $ e $ C_n=\cup_{k=n}^\infty A_k $, obtemos que as sequência $ \{B_n\} $ e $ \{C_n\} $ são monótonas e então

\[\mathbb{P}(A_n)\geq\mathbb{P}(B_n)\rightarrow\mathbb{P}\left(\liminf_nA_n\right)\quad\text{e}\quad\mathbb{P}(A_n)\leq\mathbb{P}(C_n)\rightarrow\mathbb{P}\left(\limsup_nA_n\right).\]

O que prova o teorema.

Probabilidades

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