1.5.5 - Probabilidades Compactas

Um dos principais pontos da teoria de probabilidade é a construção de um espaço de probabilidade que satisfaça os axiomas de Kolmogorov e as propriedades intuívas da probabilidade, conforme apresentado em fundamentos da teoria de probabilidade.  Ao construirmos uma estrutura probabilística sobre o espaço de Cantor $ S^\infty $ com a respectiva $ \sigma $-álgebra de Borel $ \mathcal{F} $, obtemos  que qualquer probabilidade $ \mathbb{P} $ definida em $ \mathcal{F} $ pode ser aproximada pela probabilidade sobre a classe de conjuntos compactos $ \mathcal{E} $, na forma

 C \subset \mathcal{E} \}, \quad A \in \mathcal{F}.$$

Qualquer espaço de probabilidade satisfzendo esta propriedade será denominado espaço de probabilidade compacto. No módulo espaço de Radon,  mostramos que esta propriedade é fundamental para que um espaço de probabilidade satisfaça as propriedades intuítivas da teoria de probabilidade. A seguir, vamos apresentar a propriedade de compacidade de forma abstrata e mostrarmos como podemos utilizar esta propriedade na construção do espaço de probabilidade.

 

Definição 1.5.5.1:

Uma classe $ \mathcal{C} $ de subconjuntos de $ \Omega $ é denominada compacta se, para toda sequência  \ n\geq1\} $ em $ \mathcal{C} $ tal que $ \cap C_n = \varnothing $ existe um $ N\in\mathbb{N} $ tal que

\[\bigcap_{n=1}^NC_n = \varnothing.\]

A denominação de classe compacta vem do fato de que toda classe de subconjuntos compactos em um espaço topológico é compacta no sentido da definição acima. A seguir, mostrarmos que a propriedade de compacidade é fechada por intersecção enumerável e união finita.

Lema 1.5.5.1:

Se a classe $ \mathcal{C} $ de subconjuntos de $ \Omega $ é compacta, o mesmo é válido para a classe $ \mathcal{C}^{\prime} $, fechada por interseção enumerável e união finita, que é gerada por $ \mathcal{C} $.

Demonstração: De fato, considere

 A = \bigcup_{i = 1}^nA_i, \ A_i\in\mathcal{C} \ \text{e} \ n\in\mathbb{N}\}.\]

A classe $ \mathcal{C}_s $ é composta por uniões finitas de elementos de $ \mathcal{C} $. Vamos mostrar que $ \mathcal{C}_s $ é uma classe compacta. Para isto, seja  \ n\geq 1\} $ uma sequência em $ \mathcal{C}_s $, tal que

\[\bigcap_{i=1}^pD_i\neq\varnothing\]

para todo $ p \ \textgreater \ 0 $. Para mostrarmos que $ \mathcal{C}_s $ é uma classe compacta, basta estabelecermos que

\[\bigcap_{i=1}^{\infty}D_i\neq\varnothing.\]

Por definição, temos que

\[D_n = \bigcup_{m=1}^{M_n}C^m_n\]

em que $ C^m_n\in\mathcal{C} $ para todo $ 1\leq m\leq M_n $ com $ M_n\in\mathbb{N} $ e $ n\in\mathbb{N} $. Denotamos por

\[J = \prod_{n=1}^\infty\{1,\ldots,M_n\}\]

o conjunto de todas as sequências  \ n\geq 1\} $ de inteiros positivos tal que $ 1\leq m_n\leq M_n $. Considere $ J_p $ os subconjuntos de $ J $ que consistem das sequências $ \{m_n\} $ tais que

\[\bigcap_{n=1}^pC^{m_n}_n\neq \varnothing.\]

A fórmula distributiva

\[\varnothing \neq \bigcap_{n=1}^pD_n = \bigcap_{n=1}^p\left[\bigcup_{m=1}^{M_n}C^m_n\right] = \bigcup_J\left[\bigcap_{n=1}^pC^{m_n}_n\right]\]

o que nos mostra que $ J_p\neq\varnothing $ para todo $ p \ \textgreater \ 0 $. Além disso, a sequência de conjuntos $ J_p $ é decrescente. Então, basta mostrarmos que existe uma sequência $ \{m_n^{\star}\}\in\bigcap_{p\in\mathbb{N}}J_p $, pois

\[\bigcap_{n=1}^pC^{m_n^{\star}}_n\neq\varnothing; \ \forall \ p\]

e $ \mathcal{C} $ é uma classe compacta. Então temos que

\[\bigcap_{n=1}^{\infty}C_n^{m_n^{\star}} \neq \varnothing.\]

Como

\[\varnothing\neq \bigcap_{n=1}^{\infty}C_n^{m_n^{\star}} \subset\bigcap_{n=1}^{\infty}D_n\]

temos que $ \mathcal{C}_s $ é uma classe compacta. Entretanto, precisamos mostrar a existência da sequência $ \{m_n^{\star}\}\in\bigcap_{p}J_p $. Para isto, vamos utilizar o Teorema de Tychonoff. Considere os fatores $ \{1,\ldots,M_n\} $ com a topologia discreta e $ J $ com a topologia produto. Então, os subconjuntos $ J_p $ formam uma sequência decrescente de conjuntos não vazios e fechados e, como $ J $ é compacto (Teorema de Tychonoff), temos que

\[\bigcap_{p}J_p\neq\varnothing.\]

Como $ \mathcal{C}_s $ é uma classe compacta, se tomarmos $ \mathcal{C}^{\prime} $, a classe formada por interseções enumeráveis de elementos de $ \mathcal{C}_s $, obtemos que $ \mathcal{C}^{\prime} $ é uma classe compacta.

Então, utilizando o Lema 1.5.5.1, apresentamos um resultado sobre construção de probabilidades que foi obtido por Alexandrov (1941) e na forma abstrata por Marczewski (1954), Neveu (1965) e Meyer (1966).

Proposição 1.5.5.1:

Seja $ \mathcal{A} $ uma álgebra ou uma semi-álgebra de subconjuntos de $ \Omega $ e $ \mathcal{C} $ uma classe compacta contida em $ \mathcal{A} $. Toda função de conjunto aditiva \mathcal{A}\rightarrow [0,1] $ tal que $ \mathbb{P}(\Omega) = 1 $ e com a propriedade de aproximação

\[\mathbb{P}(A) = \sup\{\mathbb{P}(C); \ C\subset A, C\in\mathcal{C}\} \qquad\qquad\qquad (\star)\]

para todo $ A\in\mathcal{A} $ é, necessariamente, $ \sigma $-aditiva. Além disso, a função de conjunto $ \mathbb{P} $ pode ser estendida (de forma única) a uma probabilidade sobre a $ \sigma $-álgebra gerada por $ \mathcal{A} $ ($ \mathcal{F} = \sigma(\mathcal{A}) $), para todo $ A\in\mathcal{F} $ e satisfazendo a condição ($ \star $).

Demonstração:

Primeiro, vamos considerar que $ \mathcal{A} $ é uma álgebra. Parar mostrarmos que $ \mathbb{P} $ é $ \sigma $-aditiva sobre a álgebra $ \mathcal{A} $, basta estabelecermos a propriedade de continuidade monótona: se $ A_n\downarrow\varnothing $ em $ \mathcal{A} $, então $ \mathbb{P}(A_n)\downarrow 0 $. Assim, considere $ A_n\downarrow\varnothing $ em $ \mathcal{A} $, utilizando a propriedade de aproximação, para todo $ \varepsilon \ \textgreater \ 0 $, existe $ C_n\in\mathcal{C} $ com $ C_n\in\mathcal{A}_n $, tal que

\[\mathbb{P}(A_n) \leq \mathbb{P}(C_n) + \varepsilon 2^{-n}; \ n\geq 1.\]

Como

\[\bigcap_{n=1}^{\infty}C_n\subset\bigcap_{j=1}^{\infty}A_n=\varnothing\]

segue da propriedade de compacidade de $ \mathcal{C} $, que existe $ N\in\mathbb{N} $, tal que

\[\bigcap_{n=1}^NC_n = \varnothing.\]

Agora, tomando

\[A_N = \bigcap_{n=1}^{N}A_n \subset \bigcup_{n=1}^N(A_n-C_n)\]

segue da aditividade de $ \mathbb{P} $, que

\[\mathbb{P}(A_N) \leq \mathbb{P}\left[\bigcup_{n=1}^N(A_n-C_n)\right]\leq\sum_{n=1}^N\left[\mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(C_n)\right) \ \textless \ \varepsilon.\]

Fazendo $ \varepsilon \downarrow 0 $, obtemos que $ \mathbb{P}(A_n)\downarrow 0 $. Na sequência, vamos mostrar que o resultado sendo válido para uma álgebra, permanece válido para uma semi-álgebra. Considere $ R $ uma semi-álgebra cujas hipóteses da proposição são válidas. Pelo Lema 1.5.5.1, a classe $ \mathcal{C}_s $ (união finita de elementos de $ \mathcal{C} $) é compacta e está contida em $ \mathcla{A} $, a álgebra gerada pela semi-álgebra $ R $. Os elementos da álgebra $ \mathcal{A} $ tem a forma

\[A = \bigcup_{i=1}^nA_i \ A\in\mathcal{A}\]

em que $ A_1,\ldots,A_n $ são disjuntos (2 a 2) e pertencem a semi-álgebra $ R $. Escolhendo $ C_i\in\mathcal{C} $ com $ C_i\subset A_i $ e

\[\mathbb{P}(A_i)\leq \mathbb{P}(C_i)+\frac{\varepsilon}{n}; \ i = 1,\ldots,n\]

segue da aditividade de $ \mathbb{P} $, que

\[\bigcup_{i=1}^nC_i\subset A \ \text{e} \ $\mathbb{P}^{\prime}(A) \leq \mathbb{P}^{\prime}\left(\bigcup_{i=1}^nC_i\right) + \varepsilon\]

em que $ \mathbb{P}^{\prime} $ é a extensão de $ \mathbb{P} $ para $ \mathcal{A} $. Como

\[\bigcup_{i=1}^nC_i\in\mathcal{C}_s\]

concluímos que a álgebra $ \mathcal{A} $, a classe compacta $ \mathcal{C}_s $ e a função de conjunto $ \mathbb{P}^{\prime} $ satisfazem as hipóteses da proposição. Portanto, $ \mathbb{P}^{\prime} $ é $ \sigma $-aditiva sobre a álgebra.

A extensão da função de conjuntos a uma probabilidade sobre $ \mathcal{F} $ é consequência do teorema de extensão de Caratheodory. Para mostrarmos que é válido o procedimento de aproximação de $ \mathbb{P} $ sobre a $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $ através da classe compacta, basta utilizarmos o teorema da classe monótona. Tomando por $ \mathcal{M} $ a classe de todos os conjuntos $ A\in\mathcal{F} $ satisfazendo

 \ C\subset A, \ C\in\mathcal{C}\}\]

obtemos que $ \mathcal{M} $ é uma classe monótona que contém $ \mathcal{A} $. Portanto, segue do teorema da classe monótona que $ \mathcal{F} = \mathcal{M} $.

Com isso, mesmo trabalhando em espaços mensuráveis abstratos, estabelecemos uma forma para a construção de probabilidade que será utilizada para estabelecermos o produto qualquer de probabilidades. Para aplicarmos o método acima, utilizaremos o conceito de probabilidades compactas introduzido por Marczewski (1954).

Definição 1.5.5.2:

Sejam $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e $ \mathcal{C} $ uma classe compacta composta por elementos de $ \mathcal{F} $. Dizemos que a probabilidade $ \mathbb{P} $ é compacta (com respeito a $ \mathcal{C} $) se

 \ C\subset A, C\in\mathcal{C}\}\]

para todo $ A\in\mathcal{F} $.

Probabilidades

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