1.5.5 - Probabilidades Compactas

Um dos principais pontos da teoria de probabilidade é a construção de um espaço de probabilidade que satisfaça os axiomas de Kolmogorov e as propriedades intuívas da probabilidade, conforme apresentado em fundamentos da teoria de probabilidade.  Ao construirmos uma estrutura probabilística sobre o espaço de Cantor $S^\infty$ com a respectiva $\sigma$-álgebra de Borel $\mathcal{F}$, obtemos  que qualquer probabilidade $\mathbb{P}$ definida em $\mathcal{F}$ pode ser aproximada pela probabilidade sobre a classe de conjuntos compactos $\mathcal{E}$, na forma $$\mathbb{P}(A) = \sup \{P(C) : C \subset \mathcal{E} \}, \quad A \in \mathcal{F}.$$ Qualquer espaço de probabilidade satisfzendo esta propriedade será denominado espaço de probabilidade compacto. No módulo espaço de Radon,  mostramos que esta propriedade é fundamental para que um espaço de probabilidade satisfaça as propriedades intuítivas da teoria de probabilidade. A seguir, vamos apresentar a propriedade de compacidade de forma abstrata e mostrarmos como podemos utilizar esta propriedade na construção do espaço de probabilidade.

 

Definição 1.5.5.1:

Uma classe $\mathcal{C}$ de subconjuntos de $\Omega$ é denominada compacta se, para toda sequência $\{C_n: \ n\geq1\}$ em $\mathcal{C}$ tal que $\cap C_n = \varnothing$ existe um $N\in\mathbb{N}$ tal que

\[\bigcap_{n=1}^NC_n = \varnothing.\]

A denominação de classe compacta vem do fato de que toda classe de subconjuntos compactos em um espaço topológico é compacta no sentido da definição acima. A seguir, mostrarmos que a propriedade de compacidade é fechada por intersecção enumerável e união finita.

Lema 1.5.5.1:

Se a classe $\mathcal{C}$ de subconjuntos de $\Omega$ é compacta, o mesmo é válido para a classe $\mathcal{C}^{\prime}$, fechada por interseção enumerável e união finita, que é gerada por $\mathcal{C}$.

Demonstração: De fato, considere

\[\mathcal{C}_s = \{A\in\Omega: A = \bigcup_{i = 1}^nA_i, \ A_i\in\mathcal{C} \ \text{e} \ n\in\mathbb{N}\}.\]

A classe $\mathcal{C}_s$ é composta por uniões finitas de elementos de $\mathcal{C}$. Vamos mostrar que $\mathcal{C}_s$ é uma classe compacta. Para isto, seja $\{D_n: \ n\geq 1\}$ uma sequência em $\mathcal{C}_s$, tal que

\[\bigcap_{i=1}^pD_i\neq\varnothing\]

para todo $p \ > \ 0$. Para mostrarmos que $\mathcal{C}_s$ é uma classe compacta, basta estabelecermos que

\[\bigcap_{i=1}^{\infty}D_i\neq\varnothing.\]

Por definição, temos que

\[D_n = \bigcup_{m=1}^{M_n}C^m_n\]

em que $C^m_n\in\mathcal{C}$ para todo $1\leq m\leq M_n$ com $M_n\in\mathbb{N}$ e $n\in\mathbb{N}$. Denotamos por

\[J = \prod_{n=1}^\infty\{1,\ldots,M_n\}\]

o conjunto de todas as sequências $\{m_n: \ n\geq 1\}$ de inteiros positivos tal que $1\leq m_n\leq M_n$. Considere $J_p$ os subconjuntos de $J$ que consistem das sequências $\{m_n\}$ tais que

\[\bigcap_{n=1}^pC^{m_n}_n\neq \varnothing.\]

A fórmula distributiva

\[\varnothing \neq \bigcap_{n=1}^pD_n = \bigcap_{n=1}^p\left[\bigcup_{m=1}^{M_n}C^m_n\right] = \bigcup_J\left[\bigcap_{n=1}^pC^{m_n}_n\right]\]

o que nos mostra que $J_p\neq\varnothing$ para todo $p \ > \ 0$. Além disso, a sequência de conjuntos $J_p$ é decrescente. Então, basta mostrarmos que existe uma sequência $\{m_n^{\star}\}\in\bigcap_{p\in\mathbb{N}}J_p$, pois

\[\bigcap_{n=1}^pC^{m_n^{\star}}_n\neq\varnothing; \ \forall \ p\]

e $\mathcal{C}$ é uma classe compacta. Então temos que

\[\bigcap_{n=1}^{\infty}C_n^{m_n^{\star}} \neq \varnothing.\]

Como

\[\varnothing\neq \bigcap_{n=1}^{\infty}C_n^{m_n^{\star}} \subset\bigcap_{n=1}^{\infty}D_n\]

temos que $\mathcal{C}_s$ é uma classe compacta. Entretanto, precisamos mostrar a existência da sequência $\{m_n^{\star}\}\in\bigcap_{p}J_p$. Para isto, vamos utilizar o Teorema de Tychonoff. Considere os fatores $\{1,\ldots,M_n\}$ com a topologia discreta e $J$ com a topologia produto. Então, os subconjuntos $J_p$ formam uma sequência decrescente de conjuntos não vazios e fechados e, como $J$ é compacto (Teorema de Tychonoff), temos que

\[\bigcap_{p}J_p\neq\varnothing.\]

Como $\mathcal{C}_s$ é uma classe compacta, se tomarmos $\mathcal{C}^{\prime}$, a classe formada por interseções enumeráveis de elementos de $\mathcal{C}_s$, obtemos que $\mathcal{C}^{\prime}$ é uma classe compacta.

Então, utilizando o Lema 1.5.5.1, apresentamos um resultado sobre construção de probabilidades que foi obtido por Alexandrov (1941) e na forma abstrata por Marczewski (1954), Neveu (1965) e Meyer (1966).

Proposição 1.5.5.1:

Seja $\mathcal{A}$ uma álgebra ou uma semi-álgebra de subconjuntos de $\Omega$ e $\mathcal{C}$ uma classe compacta contida em $\mathcal{A}$. Toda função de conjunto aditiva $\mathbb{P}:\mathcal{A}\rightarrow [0,1]$ tal que $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ e com a propriedade de aproximação

\[\mathbb{P}(A) = \sup\{\mathbb{P}(C); \ C\subset A, C\in\mathcal{C}\} \qquad\qquad\qquad (\star)\]

para todo $A\in\mathcal{A}$ é, necessariamente, $\sigma$-aditiva. Além disso, a função de conjunto $\mathbb{P}$ pode ser estendida (de forma única) a uma probabilidade sobre a $\sigma$-álgebra gerada por $\mathcal{A}$ ($\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{A})$), para todo $A\in\mathcal{F}$ e satisfazendo a condição ($\star$).

Demonstração:

Primeiro, vamos considerar que $\mathcal{A}$ é uma álgebra. Parar mostrarmos que $\mathbb{P}$ é $\sigma$-aditiva sobre a álgebra $\mathcal{A}$, basta estabelecermos a propriedade de continuidade monótona: se $A_n\downarrow\varnothing$ em $\mathcal{A}$, então $\mathbb{P}(A_n)\downarrow 0$. Assim, considere $A_n\downarrow\varnothing$ em $\mathcal{A}$, utilizando a propriedade de aproximação, para todo $\varepsilon \ > \ 0$, existe $C_n\in\mathcal{C}$ com $C_n\in\mathcal{A}_n$, tal que

\[\mathbb{P}(A_n) \leq \mathbb{P}(C_n) + \varepsilon 2^{-n}; \ n\geq 1.\]

Como

\[\bigcap_{n=1}^{\infty}C_n\subset\bigcap_{j=1}^{\infty}A_n=\varnothing\]

segue da propriedade de compacidade de $\mathcal{C}$, que existe $N\in\mathbb{N}$, tal que

\[\bigcap_{n=1}^NC_n = \varnothing.\]

Agora, tomando

\[A_N = \bigcap_{n=1}^{N}A_n \subset \bigcup_{n=1}^N(A_n-C_n)\]

segue da aditividade de $\mathbb{P}$, que

\[\mathbb{P}(A_N) \leq \mathbb{P}\left[\bigcup_{n=1}^N(A_n-C_n)\right]\leq\sum_{n=1}^N\left[\mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(C_n)\right) \ < \ \varepsilon.\]

Fazendo $\varepsilon \downarrow 0$, obtemos que $\mathbb{P}(A_n)\downarrow 0$. Na sequência, vamos mostrar que o resultado sendo válido para uma álgebra, permanece válido para uma semi-álgebra. Considere $R$ uma semi-álgebra cujas hipóteses da proposição são válidas. Pelo Lema 1.5.5.1, a classe $\mathcal{C}_s$ (união finita de elementos de $\mathcal{C}$) é compacta e está contida em $\mathcal{A}$, a álgebra gerada pela semi-álgebra $R$. Os elementos da álgebra $\mathcal{A}$ tem a forma

\[A = \bigcup_{i=1}^nA_i \ A\in\mathcal{A}\]

em que $A_1,\ldots,A_n$ são disjuntos (2 a 2) e pertencem a semi-álgebra $R$. Escolhendo $C_i\in\mathcal{C}$ com $C_i\subset A_i$ e

\[\mathbb{P}(A_i)\leq \mathbb{P}(C_i)+\frac{\varepsilon}{n}; \ i = 1,\ldots,n\]

segue da aditividade de $\mathbb{P}$, que

\[\bigcup_{i=1}^nC_i\subset A \ \text{e} \ \mathbb{P}^{\prime}(A) \leq \mathbb{P}^{\prime}\left(\bigcup_{i=1}^nC_i\right) + \varepsilon\]

em que $\mathbb{P}^{\prime}$ é a extensão de $\mathbb{P}$ para $\mathcal{A}$. Como

\[\bigcup_{i=1}^nC_i\in\mathcal{C}_s\]

concluímos que a álgebra $\mathcal{A}$, a classe compacta $\mathcal{C}_s$ e a função de conjunto $\mathbb{P}^{\prime}$ satisfazem as hipóteses da proposição. Portanto, $\mathbb{P}^{\prime}$ é $\sigma$-aditiva sobre a álgebra.

A extensão da função de conjuntos a uma probabilidade sobre $\mathcal{F}$ é consequência do teorema de extensão de Caratheodory. Para mostrarmos que é válido o procedimento de aproximação de $\mathbb{P}$ sobre a $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ através da classe compacta, basta utilizarmos o teorema da classe monótona. Tomando por $\mathcal{M}$ a classe de todos os conjuntos $A\in\mathcal{F}$ satisfazendo

\[\mathbb{P}(A) = \sup\{\mathbb{P}(C): \ C\subset A, \ C\in\mathcal{C}\}\]

obtemos que $\mathcal{M}$ é uma classe monótona que contém $\mathcal{A}$. Portanto, segue do teorema da classe monótona que $\mathcal{F} = \mathcal{M}$.

Com isso, mesmo trabalhando em espaços mensuráveis abstratos, estabelecemos uma forma para a construção de probabilidade que será utilizada para estabelecermos o produto qualquer de probabilidades. Para aplicarmos o método acima, utilizaremos o conceito de probabilidades compactas introduzido por Marczewski (1954).

Definição 1.5.5.2:

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $\mathcal{C}$ uma classe compacta composta por elementos de $\mathcal{F}$. Dizemos que a probabilidade $\mathbb{P}$ é compacta (com respeito a $\mathcal{C}$) se

\[\mathbb{P}(A) = \sup\{\mathbb{P}(C): \ C\subset A, C\in\mathcal{C}\}\]

para todo $A\in\mathcal{F}$.

Probabilidades

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