1.5.6 - Teorema da Classe Monótona

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 O teorema da classe montóna é um dos principais resultados da teoria de probabilidade. Apesar de simples, este teorema é essencial para a demonstração de muitos resultados.  Por exemplo, no módulo Teorema de Extensão de Carathéodory utilizamos uma versão do teorema da classe monótona para mostrarmos a unicidade da extensão da probabilidade. De forma geral, os conjuntos mensuráveis são complexos e dificies de descrever. Assim, ao demonstrarmos propriedades relacionadas com espaços de probabilidade e/ou funções mensuráveis, é extremamente útil começarmos por conjuntos com uma estrutura mais simples que conjuntos mensuráveis quaisquer. Ao demonstrarmos a propriedade para os conjuntos com estrutura mais simples, utilizamos o teorema da classe monótona para estender o resultado para os  conjuntos mensuráveis.  Neste módulo, vamos  derivar versões do teorema da classe monótona juntamente com algumas aplicações.  

Seja $ F $ um conjunto e $ \mathcal{C} $ uma coleção de subconjuntos de $ F $. Neste caso, dizemos que $ \mathcal{C} $ é uma classe de subconjuntos de $ F $. Se a classe $ \mathcal{C} $ contém o conjunto vazio é fechada por complementar e intersecção finita (enumerável) , dizemos que $ \mathcal{C} $ é uma álgebra ($ \sigma $-álgebra). Seja $ \Omega $ um conjunto não vazio,  a $ \sigma $-álgebra gerada por uma função  \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ é definida por  B \in \beta(\mathbb{R}\} $, no qual $ \beta(\mathbb{R}) $ denota a $ \sigma $-álgebra de Borel de $ \mathbb{R} $.  A $ \sigma $-álgebra gerada por uma classe $ \mathcal{C} $ será denotada por $ \sigma(\mathcal{C}) $ e corresponde a menor $ \sigma $-álgebra que contém $ \mathcal{C} $. Também denotamor por 

 A_k \in \mathcal{C}\}.$$

Uma classe $ \mathcal{C} $ é denominada uma $ \pi $-classe, se esta for fechada por intersecção finita. Da mesma forma, dizemos que $ \mahcal{C} $ é uma $ \lambda $-classe se:

(i) $ \Omega \in \mathcal{C} $;

(ii) Se $ A, B \in \mathcal{C} $ e $ A \subset B $, então $ B-A \in \mathcal{C} $;

(iii) $ A_n \in \mathcal{C} $ para todo $ n \geq 1 $ e $ A_n \subset A_{n+1} $ tal que $ A_n \uparrow A $, então $ A \in \mathcal{C} $

Seja $ \mathcal{C} $ é uma classe de subconjuntos de $ F $ e $ \{A_n\}  $ uma sequência composta por elementos de $ \mathcal{C} $. Se $ A_n \subset A_{n+1} $ (ou, $ A_{n+1} \subset A_n $) dizemos que $ \{A_n\} $ é uma sequência crescente (decrescente) e $ A_n \uparrow A=\cup_n A_n $ ($ A_n \downarrow A=\cap_n A_n $ ) . Neste contexto, dizemos que $ \mathcal{C} $ é uma classe monótona se $ A_n \uparrow A $ ou $ A_n \downarrow A $, implica que $ A \in \mathcal{C} $

De forma geral, temos que toda álgebra é uma $ \pi $-classe. Por definição, sabemos que uma $ \lambda $-classe $ \mathcal{E} $ também é uma classe monótona.  Na realidade, para todo conjunto $ A \in \mathcal{E} $ , temos que $ A^c=\Omega - A \in \mathcal{E} $. Agora, se tomarmos uma sequência decrescente $ \{A_n\} \subset \mathcal{E} $, obtemos que $ \cap_n A_n = [\cup_n A_n^c]^c \in \mathcal{E} $.  Com isso, obtemos que $ \mathcal{E} $ é uma classe monótona. Além disso, se $ \mathcal{C} $ é uma $ \pi $-classe e uma $ \lambda $-classe, ou uma álgebra e uma classe monótona, então $ \mathcal{C} $ é uma $ \sigma $-álgebra. Na sequência, apresentamos um resultado de continuidade da probabilidade

Teorema 1: Sejam $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade e $ \mathcal{C} $ uma álgebra que gera $ \mathcal{F} $. Então, para qualquer $ A \in \mathcal{F} $, temos que 

 D \in \mathcal{C}_{\sigma}, ~ A \subset D \}.$$

Prova: Tomamos

 A ~ \text{satisfaz o teorema} \}.$$

Por definição, sabemos que $ \mathcal{C} \subset \mathcal{G} \subset \mathcal{F} $, no qual $ \mathcal{F} = \sigma(\mathcal{C}) $. Assim, é suficiente mostrarmos que $ \mathcal{G} $ é uma $ \sigma $-álgebra. 

Desde que  A^c \in \mathcal{C}_{\delta}\} $ temos que $ A \in \mathcal{G} $ implica que $ A^c \in \mathcal{G} $. Tomamos $ \{A_n\} \subset \mathcal{G} $ tal que $ A_n \uparrow A $. Vamos mostrar que $ A \in \mathcal{G} $. Para todo $ \epsilon \textgreater 0 $, podemos escolher $ n_0 $ tal qoe $ \mathbb{P}(A-A_{n_0}) \textless \epsilon/2 $ e $ B \in \mathcal{C}_{\delta} $, com $ B \subset A_{n_0} $ tal que $ \mathbb{P}(A-B) \textless \epsilon/2 $. Portanto, temos que $ B \subset A $ e $ \mathbb{P}(B) \textgreater \mathbb{P}(A) - \epsilon $.

Por outro lado, se para cada $ n $, tomamos $ C_n \in \mathcal{C}_{\sigma} $, com $ A_n \subset C_n $ tal que $ \mathbb{P}(C_n - A_n) \textless \epsilon/2^n $ e definimos $ C = \cup_n C_n $. Então, obtemos que $ C \in \mathcal{C}_{\sigma} $, $ A \subset C $ e $ \mathbb{P}(C - A) \textless \epsilon $. Como consequência, concluímos que $ A \in \mathcal{G} $. Portanto, obtemos que $ \mathcal{G} $ é uma álgebra e uma classe monótona. Desta forma, $ \mathcal{G} $ é uma $ \sigma $-álgebra e $ \mathcal{G} = \mathcal{F} $. Segue o teorema.

Este resultado nos diz como podemos aproximar a probabilidade de conjuntos quaisquer da $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $. No caso do espaço de Cantor mostramos que qualquer probabilidade pode ser aproximada por um $ \mathcal{C}_{\delta} $ que corresponde a classe dos subconjuntos compactos do espaço de Cantor. Ao generalizarmos para probabilidade compactas, mostramos que uma probabilidade compacta é aproximada por um $ \mathcal{C}_{\delta} $ que é uma classe compacta. Esta propriedade de aproximação é explorada profundamente na seção Espaço de Radon. A seguir, apresentamos o teorema da classe monótona em termos de conjuntos. 

Teorema 2: Sejam $ \mathcal{C} $ e $ \mathcal{E} $ duas classes de subconjuntos de $ \Omega $ e $ C \subset \mathcal{E} $.

(1) Se $ \mathcal{E} $ é uma $ \lambda $-classe e $ \mathcal{C} $ é uma $ \pi $-classe, então $ \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E} $.

(2) Se $ \mathcal{E} $ é uma classe monótona e $ \mathcal{C} $ é uma álgebra, então $ \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E} $.

Prova: (1)  A intersecção de uma coleção arbitrária de $ \lambda $-classes também é uma $ \lambda $-classe. Seja $ \mathcal{E}_0 $ a intersecção de todas as $ \lambda $-classes contendo $ \mathcal{C} $. Definimos, 

 \foral ~B \in \mathcal{C}, ~A \cap B \in \mathcal{E}_0\}.$$

Então $ \mathcal{E}_1 $ também é uma $ \lambda $-classe contendo $ \mathcal{C} $. Desta forma, obtemos que $ \mathcal{E}_0 = \mathcal{E}_1 $. Seja 

 \foral ~B \in \mathcal{E}_0, ~A \cap B \in \mathcal{E}_0\}.$$

Da mesma forma, sabemos que $ \mathcal{E}_2 $ é uma $ \lambda $-classe contendo $ \mathcal{C} $. Assim, concluímos que $ \mathcal{E}_0=\mathcal{E}_2 $ e consequentemente, $ \mathcal{E}_0 $ é uma $ \pi $-classe. Isto significa que $ \mathcal{E}_0 $ é uma $ \sigma $-álgebra e $ \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E} $.

(2) Uma coleção arbitrária de classes monótonas também é uma classe monótona. Seja $ \mathcal{E}_0 $ a intersecção de todas as classes monótonas contendo $ \mathcal{C} $. Da mesma forma acima, podemos mostrar que $ \mathcal{E}_0 $ é uma $ \pi $-classe. Definimos, 

 ~ A^c \in \mathcal{E}_0\}.$$

Então $ \mathcal{E}_1 $ é uma classe monótona contendo $ \mathcal{C} $. Assim, temos que $ \mathcal{E}_0 = \mathcal{E}_1 $ e, $ \mathcal{E}_0 $ é uma álgebra. Isto significa que $ \mathcal{E}_0 $ é uma $ \sigma $-álgebra e consequentemente, $ \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E} $. Com isso, concluímos o teorema.

Uma versão deste teorema foi provado no módulo Teorema de extensão de Carathéodory, para mostrarmos a unicidade da extensão da probabilidade. A seguir, vamos aplicar este resultado para o cálculo de esperança condicional. 

Corolário 3: (1 )Sejam $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ um espaço de probabilidade, $ \xi $ e $ \eta $ variáveis aleatória integráveis. Suponha que $ \mathcal{C} \subset \mathcal{F} $$ \mathcal{C} $ uma $ \pi $-classe. Se $ \mathbb{E} \xi = \mathbb{E} \eta $ e para cada $ A \in \mathcal{C} $, temos que $ \mathbb{E}[\xi 1\!\!1_{A}] = \mathbb{E}[\eta 1\!\!1_{A}] $, temos que

$$\mathbb{E}[\xi \mid \sigma(\mathcal{C})] = \mathbb{E}[\eta \mid \sigma(\mathcal{C})], ~ ~ \mathbb{P}-q.c.$$

.

(2) Sejam $ (\Omega , \mathcal{F}) $ um espaço mensurável, $ \mathcal{C} \subset \mathcal{F} $, com $ \mathcal{C} $ uma $ \pi $-classe. Suponha que $ \mu $ e $ \nu $ sejam duas medidas com sinal limitadas definidas sobre $ (\Omega , \mathcal{F}) $ tais que $ \mu(\Omega) = \nu(\Omega) $. Se para cada $ A \in \mathcal{C} $, temos que $ \mu(A) = \nu(A) $, concluímos que

$$\mu(G) = \nu(G), \quad G \in \sigma(\mathcal{C}).$$

Prova: Observe que (2) é consequência de (1). Assim, vamos mostrar apenas (1). Tomamos

 \mathbb{E}[\xi 1\!\!1_{A}] = \mathbb{E}[\eta 1\!\!1_{A}] \right\}.$$

  Por definição, concluímos que $ \mathcal{G} $ é uma $ \lambda $-classe e por suposição, $ \mathcal{C} \subset \mathcal{G} $. Como consequência do teorema 2, obtemos que $ \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{G} $ e segue o corolário.

Na sequência, apresentamos a versão funcional do teorema da classe monótona.

Teorema 4: Seja $ \mathcal{C} $ uma $ \pi $-classe de subconjuntos de $ \Omega $ e $ \mathcal{V} $ uma família de funções a valores reais (limitada) sobre $ \Omega $. Se as seguintes condições são válidas:

(i) Para todo $ A \in \mathcal{C} $, temos que que $ 1\!\!1_{A} \in \mathcal{V} $ e $ 1 \in \mathcal{V} $;

(ii) Se tomarmos $ \alpha , \beta \in \mathbb{R} $, $ f,g \in \mathcal{V} $, obtemos que $ \alpha f + \beta g \in \mathcal{V} $ Com isso, dizemos $ \mathcal{V} $ é um espaço linear. 

(iii) Para todo sequência $ \{f_n\} \subset \mathcal{V} $ com $ 0 \leq f_n \uparrow f $ e $ f=sup_n f_n $ finito (ou limitado), temos que $ f \in \mathcal{V} $;

Então, a classe de funções $ \mathcal{V} $ contém todas as funções a valores reais (limitada) que são $ \sigma(\mathcal{C}) $-mensuráveis.

Prova: Tomamos  1\!\!1_{A} \in \mathcal{V}\} $. De acordo com a propriedade (i) temos que $ \Omega \in \mathcal{E} $ e $ \mathcal{C} \subset \mathcal{E} $. Se $ A_1 \subset A_2 $ são elementos de $ \mathcal{E} $, então temos que $ 1\!\!1_{\{A_2 - A_1\}} = 1\!\!1_{\{A_2 \}} - 1\!\!1_{\{A_1\}} \in \mathcal{V} $, pois $ \mathcal{V} $ é um espaço linear (ii). Finalmente, se tomarmos $ \{A_n\} \subset \mathcal{E} $ uma sequência crescente de subconjuntos de $ \Omega $, segue da propriedade (iii) que $ 1\!\!1_{\{\cup_n A_n \}} = \sup_n 1\!\!1_{\{A_n \}} \in \mathcal{V} $. Assim, concluímos que $ \mathcal{E} $ é uma $ \lambda $-classe e $ \mathcal{C} \subset \mathcal{E} $. Como aplicação do teorema 2, temos que $ \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E} $

Seja $ f $ função sobre $ \Omega $ assumindo valores reais  (limitada) que é $ \sigma(\mathcal{C}) $-mensurável. Então, temos que $ f= f^+ - f^- $, tais que $ f^+ $ e $ f^- $ são funções a valores reais não negativas e $ \sigma(\mathcal{C}) $-mensuráveis. Além disso, se $ f $ é uma função real não negativa e $ \sigma(\mathcal{C}) $-mensurável, então existe uma sequência crescente de funções simples $ f_n = \sum_{i=1}^n a_i^n 1\!\!1_{ \{A_i^n\}} $ no qual $ A_i^n \in \sigma(\mathcal{C}) $. Com isso, cada $ f_n \in \mathcal{V} $. Assim, segue de (iii) que $ f \in \mathcal{V} $ e segue o teorema.

O teorema da classe monótona é um dos resultados básicos da teoria de probabilidade. Para entender sua aplicação, suponha que queremos mostrar que uma propriedade $ \mathcal{P} $ seja válida para toda a classe de funções limitadas e mensuráveis com respeito a uma $ \sigma $-álgebra $ \mathcal{F} $. Sabemos mostrar que a propriedade $ \mathcal{P} $ é válida para uma subclasse $ \mathcal{E} $ das funções limitadas e $ \mathcal{F} $-mensuráveis. Se a classe $ \mathcal{E} $ satisfaz as hipóteses do teorema da classe monótona, podemos estender a propriedade $ \mathcal{P} $ para todas as funções limitadas e $ \mathcal{F} $-mensuráveis.

Como uma aplicação do teorema da classe monótona, apresentamos uma caracterização de funções $ \sigma(f) $-mensuráveis, que é denominado Teorema da mensurabilidade de Doob-Dynkin. Este teorema também está demonstrado no módulo de esperança de variáveis aleatórias.

Teorema 5: Seja  \Omega \rightarrow E $ no qual $ (E , \mathcal{E}) $ é um espaço mensurável e  \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ uma função a valores reais (limitada). Então, para que a função $ \phi $ seja $ \sigma(f) $-mensurável é necessário e suficiente que existe uma função E \rightarrow \mathbb{R} $ que é $ \mathcal{E} $-mensurável (limitada) tal que $ \phi(\omega) = h[f(\omega)] = (h \circ f)(\omega) $, para todo $ \omega \in \Omega $.

Prova: Como composição de funções mensuráveis é mensurável, concluímos a suficiência. Na sequência, vamos mostrar a necessidade. Tomamos

 ~ h ~ \text{é um função $\mathcal{E}$-mensurável definida sobre $E$ com valores reais}\}.$$

Assim, obtemos que $ \mathcal{V} $ é um espaço linear e $ 1 \in \mathcal{V} $. Suponha $ h_n \circ f \in \mathcal{V} $ com $ 0 \leq h_n \circ f \uparrow \Psi $ e $ \Psi $ finita. Vamos mostrar que $ \Psi $ é um elemento de $ \mathcal{V} $. Considere

 sup_n h(x) \textless \infty\}.$$

Então $ A \in \mathcal{E} $ e $ f(\Omega) \subset A $. Tomamos $ h(x) = sup_n h(x) $ para todo $ x\in A $ e $ h(x)=0 $ para todo $ x \in A^c $. Por construção sabemos que E \rightarrow \mathbb{R} $ é uma função $ \mathcal{E} $-mensurável e $ \Psi = h \circ f $. Portanto, concluímos que $ \Psi \in \mathcal{V} $.

Agora, ao tomarmos $ D \in \sigma(f) $, sabemos que existe $ B \in \mathcal{E} $ tal que $ f^{-1}(B) = D $. Assim, concluímos que $ 1\!\!1_{D} = 1\!\!1_{B} \circ f \in \mathcal{V} $. Assim, obtemos que a classe de funções $ \mathcal{V} $ satisfaz as hipóteses do teorema 4. Como consequência, a classe $ \mathcal{V} $ contém todas as funções a valores reais que são $ \sigma(f) $-mensuráveis. Isto significa que se $ \phi $ é uma função real $ \sigma(f) $-mensurável, então existe uma função  E \rightarrow \mathbb{E} $ que é $ \mathcal{E} $-mensurável e $ \phi = h \circ f $. Além disso, se $ \phi $ é limitada com $ \mid \phi \mid \leq c $ para alguma contante $ c $ positiva. Neste caso, basta tomamos $ h^\prime = (h^+ \wedge c) - (h^- \wedge c) $ e $ \phi = h^\prime \circ f $. Segue o teorema. 

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