1.5.6 - Teorema da Classe Monótona

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 O teorema da classe montóna é um dos principais resultados da teoria de probabilidade. Apesar de simples, este teorema é essencial para a demonstração de muitos resultados.  Por exemplo, no módulo Teorema de Extensão de Carathéodory utilizamos uma versão do teorema da classe monótona para mostrarmos a unicidade da extensão da probabilidade. De forma geral, os conjuntos mensuráveis são complexos e dificies de descrever. Assim, ao demonstrarmos propriedades relacionadas com espaços de probabilidade e/ou funções mensuráveis, é extremamente útil começarmos por conjuntos com uma estrutura mais simples que conjuntos mensuráveis quaisquer. Ao demonstrarmos a propriedade para os conjuntos com estrutura mais simples, utilizamos o teorema da classe monótona para estender o resultado para os  conjuntos mensuráveis.  Neste módulo, vamos  derivar versões do teorema da classe monótona juntamente com algumas aplicações.  

Seja $F$ um conjunto e $\mathcal{C}$ uma coleção de subconjuntos de $F$. Neste caso, dizemos que $\mathcal{C}$ é uma classe de subconjuntos de $F$. Se a classe $\mathcal{C}$ contém o conjunto vazio é fechada por complementar e intersecção finita (enumerável) , dizemos que $\mathcal{C}$ é uma álgebra ($\sigma$-álgebra). Seja $\Omega$ um conjunto não vazio,  a $\sigma$-álgebra gerada por uma função $f : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ é definida por $\sigma(f) = \{ f^{-1}(B) : B \in \beta(\mathbb{R}\}$, no qual $\beta(\mathbb{R})$ denota a $\sigma$-álgebra de Borel de $\mathbb{R}$.  A $\sigma$-álgebra gerada por uma classe $\mathcal{C}$ será denotada por $\sigma(\mathcal{C})$ e corresponde a menor $\sigma$-álgebra que contém $\mathcal{C}$. Também denotamor por $$\mathcal{C}_{\sigma} = \{ \cup_{k=1}^\infty A_k : A_k \in \mathcal{C}\} \quad \text{e} \quad \mathcal{C}_{\delta} = \{ \cap_{k=1}^\infty A_k : A_k \in \mathcal{C}\}.$$

Uma classe $\mathcal{C}$ é denominada uma $\pi$-classe, se esta for fechada por intersecção finita. Da mesma forma, dizemos que $\mathcal{C}$ é uma $\lambda$-classe se:

(i) $\Omega \in \mathcal{C}$;

(ii) Se $A, B \in \mathcal{C}$ e $A \subset B$, então $B-A \in \mathcal{C}$;

(iii) $A_n \in \mathcal{C}$ para todo $n \geq 1$ e $A_n \subset A_{n+1}$ tal que $A_n \uparrow A$, então $A \in \mathcal{C}$. 

Seja $\mathcal{C}$ é uma classe de subconjuntos de $F$ e $\{A_n\} $ uma sequência composta por elementos de $\mathcal{C}$. Se $A_n \subset A_{n+1}$ (ou, $A_{n+1} \subset A_n$) dizemos que $\{A_n\}$ é uma sequência crescente (decrescente) e $A_n \uparrow A=\cup_n A_n$ ($A_n \downarrow A=\cap_n A_n$ ) . Neste contexto, dizemos que $\mathcal{C}$ é uma classe monótona se $A_n \uparrow A$ ou $A_n \downarrow A$, implica que $A \in \mathcal{C}$. 

De forma geral, temos que toda álgebra é uma $\pi$-classe. Por definição, sabemos que uma $\lambda$-classe $\mathcal{E}$ também é uma classe monótona.  Na realidade, para todo conjunto $A \in \mathcal{E}$ , temos que $A^c=\Omega - A \in \mathcal{E}$. Agora, se tomarmos uma sequência decrescente $\{A_n\} \subset \mathcal{E}$, obtemos que $\cap_n A_n = [\cup_n A_n^c]^c \in \mathcal{E}$.  Com isso, obtemos que $\mathcal{E}$ é uma classe monótona. Além disso, se $\mathcal{C}$ é uma $\pi$-classe e uma $\lambda$-classe, ou uma álgebra e uma classe monótona, então $\mathcal{C}$ é uma $\sigma$-álgebra. Na sequência, apresentamos um resultado de continuidade da probabilidade

Teorema 1: Sejam $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $\mathcal{C}$ uma álgebra que gera $\mathcal{F}$. Então, para qualquer $A \in \mathcal{F}$, temos que $$\mathbb{P}(A) = \sup \{\mathbb{P}(B) : B \in \mathcal{C}_{\delta}, ~ B \subset A\} = \inf \{ \mathbb{P}(D) : D \in \mathcal{C}_{\sigma}, ~ A \subset D \}.$$

Prova: Tomamos $$\mathcal{G} = \{ A \in \mathcal{F} : A ~ \text{satisfaz o teorema} \}.$$ Por definição, sabemos que $\mathcal{C} \subset \mathcal{G} \subset \mathcal{F}$, no qual $\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{C})$. Assim, é suficiente mostrarmos que $\mathcal{G}$ é uma $\sigma$-álgebra. 

Desde que $\mathcal{C}_{\sigma} = \{A : A^c \in \mathcal{C}_{\delta}\}$ temos que $A \in \mathcal{G}$ implica que $A^c \in \mathcal{G}$. Tomamos $\{A_n\} \subset \mathcal{G}$ tal que $A_n \uparrow A$. Vamos mostrar que $A \in \mathcal{G}$. Para todo $\epsilon > 0$, podemos escolher $n_0$ tal qoe $\mathbb{P}(A-A_{n_0}) < \epsilon/2$ e $B \in \mathcal{C}_{\delta}$, com $B \subset A_{n_0}$ tal que $\mathbb{P}(A-B) < \epsilon/2$. Portanto, temos que $B \subset A$ e $\mathbb{P}(B) > \mathbb{P}(A) - \epsilon$.

Por outro lado, se para cada $n$, tomamos $C_n \in \mathcal{C}_{\sigma}$, com $A_n \subset C_n$ tal que $\mathbb{P}(C_n - A_n) < \epsilon/2^n$ e definimos $C = \cup_n C_n$. Então, obtemos que $C \in \mathcal{C}_{\sigma}$, $A \subset C$ e $\mathbb{P}(C - A) < \epsilon$. Como consequência, concluímos que $A \in \mathcal{G}$. Portanto, obtemos que $\mathcal{G}$ é uma álgebra e uma classe monótona. Desta forma, $\mathcal{G}$ é uma $\sigma$-álgebra e $\mathcal{G} = \mathcal{F}$. Segue o teorema.

Este resultado nos diz como podemos aproximar a probabilidade de conjuntos quaisquer da $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$. No caso do espaço de Cantor mostramos que qualquer probabilidade pode ser aproximada por um $\mathcal{C}_{\delta}$ que corresponde a classe dos subconjuntos compactos do espaço de Cantor. Ao generalizarmos para probabilidade compactas, mostramos que uma probabilidade compacta é aproximada por um $\mathcal{C}_{\delta}$ que é uma classe compacta. Esta propriedade de aproximação é explorada profundamente na seção Espaço de Radon. A seguir, apresentamos o teorema da classe monótona em termos de conjuntos. 

Teorema 2: Sejam $\mathcal{C}$ e $\mathcal{E}$ duas classes de subconjuntos de $\Omega$ e $C \subset \mathcal{E}$.

(1) Se $\mathcal{E}$ é uma $\lambda$-classe e $\mathcal{C}$ é uma $\pi$-classe, então $\sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E}$.

(2) Se $\mathcal{E}$ é uma classe monótona e $\mathcal{C}$ é uma álgebra, então $\sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E}$.

Prova: (1)  A intersecção de uma coleção arbitrária de $\lambda$-classes também é uma $\lambda$-classe. Seja $\mathcal{E}_0$ a intersecção de todas as $\lambda$-classes contendo $\mathcal{C}$. Definimos, $$\mathcal{E}_1=\{A \in \mathcal{E}_0: \forall ~B \in \mathcal{C}, ~A \cap B \in \mathcal{E}_0\}.$$ Então $\mathcal{E}_1$ também é uma $\lambda$-classe contendo $\mathcal{C}$. Desta forma, obtemos que $\mathcal{E}_0 = \mathcal{E}_1$. Seja $$\mathcal{E}_2=\{A \in \mathcal{E}_0: \forall ~B \in \mathcal{E}_0, ~A \cap B \in \mathcal{E}_0\}.$$ Da mesma forma, sabemos que $\mathcal{E}_2$ é uma $\lambda$-classe contendo $\mathcal{C}$. Assim, concluímos que $\mathcal{E}_0=\mathcal{E}_2$ e consequentemente, $\mathcal{E}_0$ é uma $\pi$-classe. Isto significa que $\mathcal{E}_0$ é uma $\sigma$-álgebra e $\sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}$.

(2) Uma coleção arbitrária de classes monótonas também é uma classe monótona. Seja $\mathcal{E}_0$ a intersecção de todas as classes monótonas contendo $\mathcal{C}$. Da mesma forma acima, podemos mostrar que $\mathcal{E}_0$ é uma $\pi$-classe. Definimos, $$\mathcal{E}_1=\{A \in \mathcal{E}_0 : ~ A^c \in \mathcal{E}_0\}.$$ Então $\mathcal{E}_1$ é uma classe monótona contendo $\mathcal{C}$. Assim, temos que $\mathcal{E}_0 = \mathcal{E}_1$ e, $\mathcal{E}_0$ é uma álgebra. Isto significa que $\mathcal{E}_0$ é uma $\sigma$-álgebra e consequentemente, $\sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}$. Com isso, concluímos o teorema.

Uma versão deste teorema foi provado no módulo Teorema de extensão de Carathéodory, para mostrarmos a unicidade da extensão da probabilidade. A seguir, vamos aplicar este resultado para o cálculo de esperança condicional. 

Corolário 3: (1 )Sejam $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, $\xi$ e $\eta$ variáveis aleatória integráveis. Suponha que $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ e $\mathcal{C}$ uma $\pi$-classe. Se $\mathbb{E} \xi = \mathbb{E} \eta$ e para cada $A \in \mathcal{C}$, temos que $\mathbb{E}[\xi 1\!\!1_{A}] = \mathbb{E}[\eta 1\!\!1_{A}]$, temos que $$\mathbb{E}[\xi \mid \sigma(\mathcal{C})] = \mathbb{E}[\eta \mid \sigma(\mathcal{C})], ~ ~ \mathbb{P}-q.c.$$.

(2) Sejam $(\Omega , \mathcal{F})$ um espaço mensurável, $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$, com $\mathcal{C}$ uma $\pi$-classe. Suponha que $\mu$ e $\nu$ sejam duas medidas com sinal limitadas definidas sobre $(\Omega , \mathcal{F})$ tais que $\mu(\Omega) = \nu(\Omega)$. Se para cada $A \in \mathcal{C}$, temos que $\mu(A) = \nu(A)$, concluímos que $$\mu(G) = \nu(G), \quad G \in \sigma(\mathcal{C}).$$

Prova: Observe que (2) é consequência de (1). Assim, vamos mostrar apenas (1). Tomamos $$\mathcal{G} = \left\{ A \in \mathcal{F} : \mathbb{E}[\xi 1\!\!1_{A}] = \mathbb{E}[\eta 1\!\!1_{A}] \right\}.$$  Por definição, concluímos que $\mathcal{G}$ é uma $\lambda$-classe e por suposição, $\mathcal{C} \subset \mathcal{G}$. Como consequência do teorema 2, obtemos que $\sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{G}$ e segue o corolário.

Na sequência, apresentamos a versão funcional do teorema da classe monótona.

Teorema 4: Seja $\mathcal{C}$ uma $\pi$-classe de subconjuntos de $\Omega$ e $\mathcal{V}$ uma família de funções a valores reais (limitada) sobre $\Omega$. Se as seguintes condições são válidas:

(i) Para todo $A \in \mathcal{C}$, temos que que $1\!\!1_{A} \in \mathcal{V}$ e $1 \in \mathcal{V}$;

(ii) Se tomarmos $\alpha , \beta \in \mathbb{R}$, $f,g \in \mathcal{V}$, obtemos que $\alpha f + \beta g \in \mathcal{V}$ Com isso, dizemos $\mathcal{V}$ é um espaço linear. 

(iii) Para todo sequência $\{f_n\} \subset \mathcal{V}$ com $0 \leq f_n \uparrow f$ e $f=sup_n f_n$ finito (ou limitado), temos que $f \in \mathcal{V}$;

Então, a classe de funções $\mathcal{V}$ contém todas as funções a valores reais (limitada) que são $\sigma(\mathcal{C})$-mensuráveis.

Prova: Tomamos $\mathcal{E} = \{A \subset \Omega: 1\!\!1_{A} \in \mathcal{V}\}$. De acordo com a propriedade (i) temos que $\Omega \in \mathcal{E}$ e $\mathcal{C} \subset \mathcal{E}$. Se $A_1 \subset A_2$ são elementos de $\mathcal{E}$, então temos que $1\!\!1_{\{A_2 - A_1\}} = 1\!\!1_{\{A_2 \}} - 1\!\!1_{\{A_1\}} \in \mathcal{V}$, pois $\mathcal{V}$ é um espaço linear (ii). Finalmente, se tomarmos $\{A_n\} \subset \mathcal{E}$ uma sequência crescente de subconjuntos de $\Omega$, segue da propriedade (iii) que $1\!\!1_{\{\cup_n A_n \}} = \sup_n 1\!\!1_{\{A_n \}} \in \mathcal{V}$. Assim, concluímos que $\mathcal{E}$ é uma $\lambda$-classe e $\mathcal{C} \subset \mathcal{E}$. Como aplicação do teorema 2, temos que $\sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{E}$. 

Seja $f$ função sobre $\Omega$ assumindo valores reais  (limitada) que é $\sigma(\mathcal{C})$-mensurável. Então, temos que $f= f^+ - f^-$, tais que $f^+$ e $f^-$ são funções a valores reais não negativas e $\sigma(\mathcal{C})$-mensuráveis. Além disso, se $f$ é uma função real não negativa e $\sigma(\mathcal{C})$-mensurável, então existe uma sequência crescente de funções simples $f_n = \sum_{i=1}^n a_i^n 1\!\!1_{ \{A_i^n\}}$ no qual $A_i^n \in \sigma(\mathcal{C})$. Com isso, cada $f_n \in \mathcal{V}$. Assim, segue de (iii) que $f \in \mathcal{V}$ e segue o teorema.

O teorema da classe monótona é um dos resultados básicos da teoria de probabilidade. Para entender sua aplicação, suponha que queremos mostrar que uma propriedade $\mathcal{P}$ seja válida para toda a classe de funções limitadas e mensuráveis com respeito a uma $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$. Sabemos mostrar que a propriedade $\mathcal{P}$ é válida para uma subclasse $\mathcal{E}$ das funções limitadas e $\mathcal{F}$-mensuráveis. Se a classe $\mathcal{E}$ satisfaz as hipóteses do teorema da classe monótona, podemos estender a propriedade $\mathcal{P}$ para todas as funções limitadas e $\mathcal{F}$-mensuráveis.

Como uma aplicação do teorema da classe monótona, apresentamos uma caracterização de funções $\sigma(f)$-mensuráveis, que é denominado Teorema da mensurabilidade de Doob-Dynkin. Este teorema também está demonstrado no módulo de esperança de variáveis aleatórias.

Teorema 5: Seja $f: \Omega \rightarrow E$ no qual $(E , \mathcal{E})$ é um espaço mensurável e $\phi : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ uma função a valores reais (limitada). Então, para que a função $\phi$ seja $\sigma(f)$-mensurável é necessário e suficiente que existe uma função $h:E \rightarrow \mathbb{R}$ que é $\mathcal{E}$-mensurável (limitada) tal que $\phi(\omega) = h[f(\omega)] = (h \circ f)(\omega)$, para todo $\omega \in \Omega$.

Prova: Como composição de funções mensuráveis é mensurável, concluímos a suficiência. Na sequência, vamos mostrar a necessidade. Tomamos $$\mathcal{V} = \{ h\circ f: ~ h ~ \text{é um função $\mathcal{E}$-mensurável definida sobre $E$ com valores reais}\}.$$ Assim, obtemos que $\mathcal{V}$ é um espaço linear e $1 \in \mathcal{V}$. Suponha $h_n \circ f \in \mathcal{V}$ com $0 \leq h_n \circ f \uparrow \Psi$ e $\Psi$ finita. Vamos mostrar que $\Psi$ é um elemento de $\mathcal{V}$. Considere $$A=\{x \in E: sup_n h(x) < \infty\}.$$ Então $A \in \mathcal{E}$ e $f(\Omega) \subset A$. Tomamos $h(x) = sup_n h(x)$ para todo $x\in A$ e $h(x)=0$ para todo $x \in A^c$. Por construção sabemos que $h:E \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função $\mathcal{E}$-mensurável e $\Psi = h \circ f$. Portanto, concluímos que $\Psi \in \mathcal{V}$.

Agora, ao tomarmos $D \in \sigma(f)$, sabemos que existe $B \in \mathcal{E}$ tal que $f^{-1}(B) = D$. Assim, concluímos que $1\!\!1_{D} = 1\!\!1_{B} \circ f \in \mathcal{V}$. Assim, obtemos que a classe de funções $\mathcal{V}$ satisfaz as hipóteses do teorema 4. Como consequência, a classe $\mathcal{V}$ contém todas as funções a valores reais que são $\sigma(f)$-mensuráveis. Isto significa que se $\phi$ é uma função real $\sigma(f)$-mensurável, então existe uma função $h: E \rightarrow \mathbb{E}$ que é $\mathcal{E}$-mensurável e $\phi = h \circ f$. Além disso, se $\phi$ é limitada com $\mid \phi \mid \leq c$ para alguma contante $c$ positiva. Neste caso, basta tomamos $h^\prime = (h^+ \wedge c) - (h^- \wedge c)$ e $\phi = h^\prime \circ f$. Segue o teorema. 

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