2.1 - Função de distribuição acumulada

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A função de distribuição acumulada descreve como probabilidades são associadas aos valores ou aos intervalos de valores de uma variável aleatória. Ela representa a probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a um valor real $ x $.  Na seção distribuição de probabilidade na reta, mostramos que variável aleatória e função de distribuição acumulada são sinônimos. Desta forma, podemos definir variáveis aleatórias através da sua função de distribuição acumulada. Na sequência, vamos definir e estudar propriedades da função de distribuição acumulada. Para isto, tomamos o espaço de probabilidade $ (\Omega , {\cal F} , \mathbb{P}) $.

Definição 2.1.1: 

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória $ X $ definida sobre $ (\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}) $ é uma função que a cada número real $ x \in \mathbb{R} $ associa o valor 

\[F(x)=\mathbb{P}\left(X\leq x\right) \in [0,1].\]

A notação $ \{X \leq x\} $ é usada para designar o conjunto  X(\omega) \leq x\} $, isto é, denota a imagem inversa do intervalo $ (-\infty,x] $ pela variável aleatória X. Com isso, podemos observar que a função de distribuição acumulada $ F $ tem como domínio os números reais $ (\Bbb{R}) $ e imagem o intervalo $ [0,1] $.

O conhecimento da função de distribuição acumulada é suficiente para entendermos o comportamento de uma variável aleatória. Mesmo que a variável assuma valores apenas num subconjunto dos reais, a função de distribuição é definida em toda a reta. Ela é chamada de função de distribuição acumulada, pois acumula as probabilidades dos valores inferiores ou iguais a x.

Exemplo 2.1.1: 

Consideremos o Exemplo 2.1. Vamos encontrar a função distribuição acumulada de $ X $: "número de caras obtidas nos três lançamentos".

Os valores que $ X $ pode assumir são $ 0,1,2 $ e $ 3 $. Portanto, 

\[\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(\{KKK\})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}.\]
\[\mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(\{CKK\})+\mathbb{P}(\{KCK\})+\mathbb{P}(\{KKC\})=\frac{3}{8}.\]
\[\mathbb{P}(X=2)=\mathbb{P}(\{CCK\})+\mathbb{P}(\{CKC\})+\mathbb{P}(\{KCC\})=\frac{3}{8}.\]
\[\mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(\{CCC\})=\frac{1}{8}.\]

Portanto,

\[\text{se} \ x \ \textless \ 0 \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = 0,\]
\[\text{se} \ 0\leq x \ \textless \ 1 \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X = 0) = \frac{1}{8},\]
\[\text{se} \ 1\leq x \ \textless \ 2 \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2},\]
\[\text{se} \ 2\leq x \ \textless \ 3 \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) + \mathbb{P}(X = 2) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \ \text{e}\]
\[\text{se} \ x\geq 3, \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) + \mathbb{P}(X = 2) + \mathbb{P}(X = 3) = 1.\]

Desta forma, temos que a função de distribuição acumulada de $ X $ é dada por 

\[\displaystyle F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 0; \\ 1/8, \ \hbox{se} \ 0 \leq x \ \textless \ 1;\\ 1/2, \ \hbox{se} \ 1 \leq x \ \textless \ 2;\\ 7/8, \ \hbox{se} \ 2\leq x \ \textless \ 3;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \geq 3.\end{array} \right..\]

Exemplo 2.1.2: 

O tempo de validade, em meses, de um óleo lubrificante num certo equipamento está sendo estudado. Seja  6 \ \textless \ \omega \leq 8\} $. Uma variável de interesse é o próprio tempo de validade e, nesse caso, definimos $ X(\omega) = \omega; \ \forall \ \omega\in \Omega $. Por exemplo, podemos tomar a seguinte função de distribuição acumulada de $ X $

\[F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 6;\\ (x - 6)/2, \ \hbox{se} \ 6 \leq x \ \textless \ 8;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \geq 8.\\ \end{array} \right.\]

Observe que neste exemplo, definimos diretamente a Função de Distribuição Acumulada (FDA) ao invés da probabilidade. Na maioria das aplicações, partimos da FDA para definirmos o modelo probabilístico. 

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória $ X $ têm três propriedades básicas:

  1. $ 0\leq F(x)\leq 1 $, $  \lim_{x \rightarrow -\infty} F(x) =0 $ e $  \lim_{x \rightarrow \infty} F(x)=1 $;
  2. $ F $ é não decrescente.
  3. $ F $ é uma função contínua à direita e tem limite à esquerda.

Demonstração:

(1) Se $ x \rightarrow - \infty $, então $ \{X\leq x\}\downarrow \emptyset $ e assim $ F(x)=\mathb{P}(X\leq x)\downarrow 0 $. Se $  x \rightarrow + \infty  $, então $ \{X\leq x\}\uparrow \Omega $ e assim $ F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)\uparrow 1 $.

(2) $ F $ não decrescente é equivalente a $ x\leq y\Rightarrow \{X\leq x\}\subset \{X\leq y\} \Rightarrow F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)\leq \mathbb{P}(X\leq y)=F(y) $

(3) $ F $ é contínua a direita é equivalente a se $ x_n\downarrow x $, então $ \{X\leq x_n\}  $ é um sequência decrescente de eventos aleatórios e $ \displaystyle \bigcap_{n\geq 1}[X\leq x_n]= \{[X\leq x\} $, pois $ X\leq x $ se, e somente se, $ X\leq x_n\mbox{ }\forall n $. Assim, concluímos que


\[F(x_n)=\mathbb{P}(X\leq x_n)\downarrow \mathbb{P}(X\leq x)=F(x)\]

 

Exemplo 2.1.3: 

Para o lançamento de uma moeda, temos que $ \Omega = \{\text{cara}, \text{coroa}\} $ e que $ \mathbb{P}(\text{cara}) = \mathbb{P}(\text{coroa}) = \frac{1}{2} $. Definimos uma variável aleatória \Omega\rightarrow\mathbb{R} $ da seguinte forma: 

\[X(\omega) = \left\{ \begin{array}{l}1, \ \hbox{se} \ \omega = \ \hbox{cara}; \\ 0, \ \hbox{se} \ \omega = \ \hbox{coroa}.\\ \end{array} \right.\]

Para obter a função de distribuição acumulada da variável aleatória $ X $, é conveniente separar os vários casos, de acordo com os valores da variável.

Para $ x \ \textless \ 0 $, $ \mathbb{P}(X \leq x) = 0 $, uma vez que o menor valor assumido pela variável $ X $ é $ 0 $. No intervalo $ 0 \leq x \ \textless \ 1 $, temos que $ \mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X = 0) = 1/2 $. E, para $ x \geq 1 $, temos que $ \mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) = 1 $. Dessa forma, $ F(x) = \mathbb{P}(X \leq x) $ foi definida para todo $ x $ real. Assim, temos 

\[F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 0; \\ 1/2, \ \hbox{se} \ 0 \leq x \ \textless \ 1;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \geq 1.\\ \end{array} \right.\]

O seguinte resultado, nos diz que qualquer função $ F $ que satisfaz as propriedades básicas (1, 2 e3) é a função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória na reta. A demonstração deste resultado está na seção distribuição de probabilidade na reta.

Teorema 2.1.1: 

Toda função $ F $ satisfazendo as propriedades básicas é uma função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória.

A partir deste resultado, podemos definir variáveis aleatórias através da sua respectiva função de distribuição acumulada. 

 

 

Exemplo 2.1.4:

Seja $ X $ é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro $ \lambda \textgreater 0 $, qual a distribuição da variável aleatória $ Y=\min(\lambda,X) $? Faça a decomposição de $ F_Y $.
(a) Distribuição de Y é dada por

(a1) $ Y\textless \lambda $ e $ \mathbb{P}(Y\leq y)=0 $
(a2) $ Y=\lambda $ temos que

$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(Y=\lambda)=\mathbb{P}(X\leq \lambda)=1-e^{-\lambda^2}$$

(a3) $ Y\textgreater \lambda $

$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}$$

b) Decomposição de $ F_Y $

(b1)  $

$$\mathbb{P}(Y_{d}=y)=F_Y(y)-F_Y(y^-)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\neq c\\ \\ 1-e^{-\lambda ^2}, y=\lambda \end{array} \right.$$

(b2) $ F_{Y_{ab}}(y)=\int_{-\infty}^y f(y)dy $. Então,

$$f(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\neq \lambda\\ \\ \lambda e^{-\lambda y}, y\textgreater \lambda \end{array} \right.$$

Então,

$$F_{Y_{ab}}(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\neq \lambda\\ \\ e^{-\lambda^2}-e^{-\lambda y}, y\textgreater \lambda \end{array} \right.$$

e então, $ F_Y(y)=F_{Y_d}(y)+F_{Y_{ab}}(y), \forall y \in \mathbb{R} $ o que implica que $ F_{Y_s}=0 $ para qualquer $ y\in \mathbb{R} $.

 

 

 

Exemplo 2.1.5:

Cinco pontos são escolhidos, independentemente e ao acaso, do intervalo $ [0,1] $. Seja $ X $ o número de pontos que pertencem ao intervalo $ [0,c] $ no qual $ 0\textless c\textless 1 $. Qual a distribuição X?

É a repetição de ensaios com mesma probabilidade de sucesso de $ p $ e independentes, no qual

$$p=\frac{comp[0,c]}{comp[0,1]}=c.$$

Então, $ X $ tem distribuição binomial com parâmetro $ 5 $ e $ p $

 

Exemplo 2.1.6:

Determine a distribuição do tempo de espera até o segundo sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli com probabilidade $ p $ de sucesso.

Seja $ X $ a variável aleatória que designa o tempo de espera até o segundo sucesso. Note que a probabilidade de ocorrer 2 sucessos em $ k(k\geq 2) $ é $ p^2(1-p)^{k-2} $. Agora o último ensaio ocorre na última posição então o primeiro ensaio pode ocorrer em qualquer das posições anteriores. Assim,

$$\mathbb{P}(X=k)=(k-1)p^2(1-p)^{k-2}, k=2,3,\dots$$

 

Exemplo 2.1.7:

Uma massa radioativa emite partículas segundo um processo de Poisson a uma taxa média de 10 partículas por segundo. Um contador é colocado ao lado da massa. Suponha que cada partícula emitida atinge o contador com probabilidade de $ 1/10 $, que o contador registra todas as partículas que o atingem, e que não há iteração entre as partículas(elas se movimentam independentemente).

(a) Qual a distribuição de $ X_i= $ número de partículas emitidas até o tempo $ t,t\textgreater 0 $?

Temos $ (X_t)_{t\textgreater 0} $ é a probabilidade de Poisson então

$$\mathbb{P}(X_t=n)=\mathbb{P}(A^n_{0,t})=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}, \text { se } n=0,1,2,\dots \\ \\ 0, \text{ caso contrário }.\end{array}\right.$$

(b) Prove que $ Y_t $ tem distribuições de Poisson, onde $ Y_t $ é o número de partículas registradas (contadas) até o tempo t, $ t\textgreater 0 $. Qual o parâmetro?

$$Y_t=\text{número de partículas registradas.}$$

Agora

$$[Y_t=n]=\bigcup_{k=n}^\infty \left([Y_t=n]\cap [X_t=k]\right)$$

o que implica que

$$\mathbb{P}(Y_t=n)=\sum_{k=n}^\infty \mathbb{P}(Y_t=n,X_t=k)=\sum_{k=n}{\infty}\mathbb{P}(Y_t=n|X_t=n)\mathbb{P}(X_t=k)$$

Agora,

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle Y_t|X_t=k\sim Binom\left(k,\frac{1}{10}\right)\Rightarrow \mathbb{P}\left(Y_t=n|X_t=k\right)=\frac{k!}{(n-k)!n!} \left(\frac{1}{10}^k\right)\left(\frac{9}{10}^k\right)^{k-n} \\ \\ X_t\sim Poisson(\lambda t) \Rightarrow \mathbb{P}(X_t=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda}\end{array}\right.$$

Então

$$\mathbb{P}(Y_t=n)=\sum_{k=n}^\infty \frac{k!}{(n-k)!n!}\left(\frac{1}{10}\right)^n \left(\frac{9}{10}\right)^{k-n}\frac{(\lambda t)^k}{n!} c^{\lambda t}= \frac{(\lambda t)^n \left(\frac{1}{10}\right)^n}{n!}e^{-\lambda t}\sum_{k=n}^\infty \frac{\left(\frac{9}{10}\lambda t\right)^{k-n}}{(k-n)!}$$

$$=\frac{\left(\frac{\lambda t}{10}\right)^n e^{-\lambda t}}{10} $$

Então, $ Y_t\sim Poisson\left(\frac{\lambda}{10}t\right) $

Probabilidades

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