2.1 - Função de distribuição acumulada

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A função de distribuição acumulada descreve como probabilidades são associadas aos valores ou aos intervalos de valores de uma variável aleatória. Ela representa a probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a um valor real $x$.  Na seção distribuição de probabilidade na reta, mostramos que variável aleatória e função de distribuição acumulada são sinônimos. Desta forma, podemos definir variáveis aleatórias através da sua função de distribuição acumulada. Na sequência, vamos definir e estudar propriedades da função de distribuição acumulada. Para isto, tomamos o espaço de probabilidade $(\Omega , {\cal F} , \mathbb{P})$.

Definição 2.1.1: 

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória $X$ definida sobre $(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})$ é uma função que a cada número real $x \in \mathbb{R}$ associa o valor \[F(x)=\mathbb{P}\left(X\leq x\right) \in [0,1].\]

A notação $\{X \leq x\}$ é usada para designar o conjunto $\{\omega\in \Omega : X(\omega) \leq x\}$, isto é, denota a imagem inversa do intervalo $(-\infty,x]$ pela variável aleatória X. Com isso, podemos observar que a função de distribuição acumulada $F$ tem como domínio os números reais $(\Bbb{R})$ e imagem o intervalo $[0,1]$.

O conhecimento da função de distribuição acumulada é suficiente para entendermos o comportamento de uma variável aleatória. Mesmo que a variável assuma valores apenas num subconjunto dos reais, a função de distribuição é definida em toda a reta. Ela é chamada de função de distribuição acumulada, pois acumula as probabilidades dos valores inferiores ou iguais a x.

Exemplo 2.1.1: 

Consideremos o Exemplo 2.1. Vamos encontrar a função distribuição acumulada de $X$: "número de caras obtidas nos três lançamentos".

Os valores que $X$ pode assumir são $0,1,2$ e $3$. Portanto, \[\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(\{KKK\})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}.\]\[\mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(\{CKK\})+\mathbb{P}(\{KCK\})+\mathbb{P}(\{KKC\})=\frac{3}{8}.\]\[\mathbb{P}(X=2)=\mathbb{P}(\{CCK\})+\mathbb{P}(\{CKC\})+\mathbb{P}(\{KCC\})=\frac{3}{8}.\]\[\mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(\{CCC\})=\frac{1}{8}.\]

Portanto, \[\text{se} \ x \ < \ 0 \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = 0,\]\[\text{se} \ 0\leq x \ < \ 1 \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X = 0) = \frac{1}{8},\]\[\text{se} \ 1\leq x \ < \ 2 \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2},\]\[\text{se} \ 2\leq x \ < \ 3 \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) + \mathbb{P}(X = 2) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \ \text{e}\]\[\text{se} \ x\geq 3, \Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) + \mathbb{P}(X = 2) + \mathbb{P}(X = 3) = 1.\]

Desta forma, temos que a função de distribuição acumulada de $X$ é dada por \[\displaystyle F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \ < \ 0; \\ 1/8, \ \hbox{se} \ 0 \leq x \ < \ 1;\\ 1/2, \ \hbox{se} \ 1 \leq x \ < \ 2;\\ 7/8, \ \hbox{se} \ 2\leq x \ < \ 3;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \geq 3.\end{array} \right..\]

Exemplo 2.1.2: 

O tempo de validade, em meses, de um óleo lubrificante num certo equipamento está sendo estudado. Seja $\Omega = \{\omega\in \Bbb{R} : 6 \ < \ \omega \leq 8\}$. Uma variável de interesse é o próprio tempo de validade e, nesse caso, definimos $X(\omega) = \omega; \ \forall \ \omega\in \Omega$. Por exemplo, podemos tomar a seguinte função de distribuição acumulada de $X$: \[F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \ < \ 6;\\ (x - 6)/2, \ \hbox{se} \ 6 \leq x \ < \ 8;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \geq 8.\\ \end{array} \right.\]

Observe que neste exemplo, definimos diretamente a Função de Distribuição Acumulada (FDA) ao invés da probabilidade. Na maioria das aplicações, partimos da FDA para definirmos o modelo probabilístico. 

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória $X$ têm três propriedades básicas:

  1. $0\leq F(x)\leq 1$, $ \lim_{x \rightarrow -\infty} F(x) =0$ e $ \lim_{x \rightarrow \infty} F(x)=1$;
  2. $F$ é não decrescente.
  3. $F$ é uma função contínua à direita e tem limite à esquerda.

Demonstração:

(1) Se $x \rightarrow - \infty$, então $\{X\leq x\}\downarrow \emptyset$ e assim $F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)\downarrow 0$. Se $ x \rightarrow + \infty $, então $\{X\leq x\}\uparrow \Omega$ e assim $F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)\uparrow 1$.

(2) $F$ não decrescente é equivalente a $x\leq y\Rightarrow \{X\leq x\}\subset \{X\leq y\} \Rightarrow F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)\leq \mathbb{P}(X\leq y)=F(y)$

(3) $F$ é contínua a direita é equivalente a se $x_n\downarrow x$, então $\{X\leq x_n\} $ é um sequência decrescente de eventos aleatórios e $\displaystyle \bigcap_{n\geq 1}[X\leq x_n]= \{[X\leq x\}$, pois $X\leq x$ se, e somente se, $X\leq x_n\mbox{ }\forall n$. Assim, concluímos que

\[F(x_n)=\mathbb{P}(X\leq x_n)\downarrow \mathbb{P}(X\leq x)=F(x)\]

 

Exemplo 2.1.3: 

Para o lançamento de uma moeda, temos que $\Omega = \{\text{cara}, \text{coroa}\}$ e que $\mathbb{P}(\text{cara}) = \mathbb{P}(\text{coroa}) = \frac{1}{2}$. Definimos uma variável aleatória $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ da seguinte forma: \[X(\omega) = \left\{ \begin{array}{l}1, \ \hbox{se} \ \omega = \ \hbox{cara}; \\ 0, \ \hbox{se} \ \omega = \ \hbox{coroa}.\\ \end{array} \right.\]

Para obter a função de distribuição acumulada da variável aleatória $X$, é conveniente separar os vários casos, de acordo com os valores da variável.

Para $x \ < \ 0$, $\mathbb{P}(X \leq x) = 0$, uma vez que o menor valor assumido pela variável $X$ é $0$. No intervalo $0 \leq x \ < \ 1$, temos que $\mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X = 0) = 1/2$. E, para $x \geq 1$, temos que $\mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) = 1$. Dessa forma, $F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)$ foi definida para todo $x$ real. Assim, temos \[F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \ < \ 0; \\ 1/2, \ \hbox{se} \ 0 \leq x \ < \ 1;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \geq 1.\\ \end{array} \right.\]

O seguinte resultado, nos diz que qualquer função $F$ que satisfaz as propriedades básicas (1, 2 e3) é a função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória na reta. A demonstração deste resultado está na seção distribuição de probabilidade na reta.

Teorema 2.1.1: 

Toda função $F$ satisfazendo as propriedades básicas é uma função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória.

A partir deste resultado, podemos definir variáveis aleatórias através da sua respectiva função de distribuição acumulada. 

 

 

Exemplo 2.1.4:

Seja $X$ é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro $\lambda > 0$, qual a distribuição da variável aleatória $Y=\min(\lambda,X)$? Faça a decomposição de $F_Y$.
(a) Distribuição de Y é dada por

(a1) $Y< \lambda$ e $\mathbb{P}(Y\leq y)=0$
(a2) $Y=\lambda$ temos que
$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(Y=\lambda)=\mathbb{P}(X\leq \lambda)=1-e^{-\lambda^2}$$
(a3) $Y> \lambda$
$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}$$

b) Decomposição de $F_Y$

(b1) $F_{Y_d}:$
$$\mathbb{P}(Y_{d}=y)=F_Y(y)-F_Y(y^-)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\neq c\\ \\ 1-e^{-\lambda ^2}, y=\lambda \end{array} \right.$$

(b2) $F_{Y_{ab}}(y)=\int_{-\infty}^y f(y)dy$. Então,
$$f(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\neq \lambda\\ \\ \lambda e^{-\lambda y}, y> \lambda \end{array} \right.$$
Então,
$$F_{Y_{ab}}(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\neq \lambda\\ \\ e^{-\lambda^2}-e^{-\lambda y}, y> \lambda \end{array} \right.$$
e então, $F_Y(y)=F_{Y_d}(y)+F_{Y_{ab}}(y), \forall y \in \mathbb{R}$ o que implica que $F_{Y_s}=0$ para qualquer $y\in \mathbb{R}$.

 

 

 

Exemplo 2.1.5:

Cinco pontos são escolhidos, independentemente e ao acaso, do intervalo $[0,1]$. Seja $X$ o número de pontos que pertencem ao intervalo $[0,c]$ no qual $0< c< 1$. Qual a distribuição X?

É a repetição de ensaios com mesma probabilidade de sucesso de $p$ e independentes, no qual
$$p=\frac{comp[0,c]}{comp[0,1]}=c.$$ Então, $X$ tem distribuição binomial com parâmetro $5$ e $p$. 

 

Exemplo 2.1.6:

Determine a distribuição do tempo de espera até o segundo sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli com probabilidade $p$ de sucesso.

Seja $X$ a variável aleatória que designa o tempo de espera até o segundo sucesso. Note que a probabilidade de ocorrer 2 sucessos em $k(k\geq 2)$ é $p^2(1-p)^{k-2}$. Agora o último ensaio ocorre na última posição então o primeiro ensaio pode ocorrer em qualquer das posições anteriores. Assim,
$$\mathbb{P}(X=k)=(k-1)p^2(1-p)^{k-2}, k=2,3,\dots$$

 

Exemplo 2.1.7:

Uma massa radioativa emite partículas segundo um processo de Poisson a uma taxa média de 10 partículas por segundo. Um contador é colocado ao lado da massa. Suponha que cada partícula emitida atinge o contador com probabilidade de $1/10$, que o contador registra todas as partículas que o atingem, e que não há iteração entre as partículas(elas se movimentam independentemente).

(a) Qual a distribuição de $X_i=$ número de partículas emitidas até o tempo $t,t> 0$?

Temos $(X_t)_{t> 0}$ é a probabilidade de Poisson então
$$\mathbb{P}(X_t=n)=\mathbb{P}(A^n_{0,t})=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}, \text { se } n=0,1,2,\dots \\ \\ 0, \text{ caso contrário }.\end{array}\right.$$

(b) Prove que $Y_t$ tem distribuições de Poisson, onde $Y_t$ é o número de partículas registradas (contadas) até o tempo t, $t> 0$. Qual o parâmetro?
$$Y_t=\text{número de partículas registradas.}$$
Agora
$$[Y_t=n]=\bigcup_{k=n}^\infty \left([Y_t=n]\cap [X_t=k]\right)$$
o que implica que
$$\mathbb{P}(Y_t=n)=\sum_{k=n}^\infty \mathbb{P}(Y_t=n,X_t=k)=\sum_{k=n}{\infty}\mathbb{P}(Y_t=n|X_t=n)\mathbb{P}(X_t=k)$$
Agora,
$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle Y_t|X_t=k\sim Binom\left(k,\frac{1}{10}\right)\Rightarrow \mathbb{P}\left(Y_t=n|X_t=k\right)=\frac{k!}{(n-k)!n!} \left(\frac{1}{10}^k\right)\left(\frac{9}{10}^k\right)^{k-n} \\ \\ X_t\sim Poisson(\lambda t) \Rightarrow \mathbb{P}(X_t=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda}\end{array}\right.$$
Então
$$\mathbb{P}(Y_t=n)=\sum_{k=n}^\infty \frac{k!}{(n-k)!n!}\left(\frac{1}{10}\right)^n \left(\frac{9}{10}\right)^{k-n}\frac{(\lambda t)^k}{n!} c^{\lambda t}= \frac{(\lambda t)^n \left(\frac{1}{10}\right)^n}{n!}e^{-\lambda t}\sum_{k=n}^\infty \frac{\left(\frac{9}{10}\lambda t\right)^{k-n}}{(k-n)!}$$
$$=\frac{\left(\frac{\lambda t}{10}\right)^n e^{-\lambda t}}{10} $$
Então, $Y_t\sim Poisson\left(\frac{\lambda}{10}t\right)$

Probabilidades

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