2.1.1 - Distribuição de probabilidade na reta

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A fim de construir a probabilidade na reta real $ \mathbb{R} $, vamos construir, inicialmente, os conjuntos de Borel da reta. Neste sentido, considere a classe dos intervalos abertos à esquerda e fechados à direita da forma

 a \ \textless \ x\leq b\}\]

para quaisquer $ a $ e $ b $ tais que $ -\infty\leq a \ \textless \ b \ \textless \ \infty $.

Observação 2.1.1.1:

Consideramos o intervalo $ (a,\infty] $ como sendo o intervalo aberto $ (a,\infty) $. Esta consideração é importante para que o complementar de um intervalo $ (-\infty,b] $ dado por $ (\infty,b]^c = (b,\infty) = (b,\infty] $ seja um elemento da classe.

Seja $ \mathcal{A} $ a classe de subconjuntos de $ \mathbb{R} $ composta pelo conjunto vazio $ \varnothing $ e dos conjuntos que podem ser escritos como uma união finita de intervalos disjuntos da forma $ (a,b] $, isto é,

\[A\in\mathcal{A} \ \text{se} \ A = \varnothing \ \text{ou} \ A = \bigcup_{i=1}^n(a_i,b_i], \ \text{com} \ (a_i,b_i]\cap (a_j,b_j] = \varnothing \ \text{se} \ i\neq j \ \text{e} \ n \ \textless \ \infty.\]

Proposição 2.1.1.1:

A classe $ \mathcal{A} $ é uma álgebra.

Demonstração:

De fato, para que $ \mathcal{A} $ seja uma álgebra, basta verificar as seguintes condições:

  1. $ \varnothing\in\mathcal{A} $;
  2. Se $ A,B\in\mathcal{A} $ então $ A\cap B\in\mathcal{A} $.
  3. Se $ A\in\mathcal{A} $, então $ A^c\in\mathcal{A} $.

O item 1) é imediato da definição da classe $ \mathcal{A} $. Para verificar o item 2), seja $ A,B\in\mathcal{A} $ e observamos que, se ou $ A = \varnothing $ ou $ B = \varnothing $, então $ A\cap B = \varnothing \in\mathcal{A} $. Suponha que

\[A = \bigcup_{i=1}^n(a_i,b_i] \ \text{com} \ (a_i,b_i]\cap(a_j,b_j] = \varnothing \ \text{se} \ i\neq j \ \text{e} \ B = \bigcup_{k=1}^m(c_k,d_k] \ \text{com} \ (c_k,d_k]\cap(c_l,d_l] = \varnothing \ \text{se} \ k\neq l.\]

Segue então que

\[A\cap B = \left(\bigcup_{i=1}^n(a_i,b_i]\right)\bigcap\left(\bigcup_{k=1}^m(c_k,d_k]\right) = \bigcup_{i=1}^n\bigcup_{k=1}^m\left((a_i,b_i]\cap(c_k,d_k]\right).\]

Mas, para $ i = 1,\ldots,n $ e $ k = 1,\ldots, m $ temos que

\[(a_i,b_i]\cap(c_k,d_k] =\left\{\begin{array}{l} \varnothing \ \text{se} \ a_i \ \textless \ b_i \ \textless \ c_k \ \textless \ d_k \ \ \text{ou} \ c_k \ \textless \ d_k \ \textless \ a_i \ \textless \ b_i \ \text{ou substituindo} \ \textless \ \text{por} \ \leq\\ (c_k,b_i] \ \text{se} \ a_i \ \textless \ c_k \ \textless \ b_i \ \textless \ d_k \ \text{ou substituindo} \ \textless \ \text{por} \ \leq\\ (a_i,d_k] \ \text{se} \ c_k \ \textless \ a_i \ \textless \ d_k \ \textless \ b_i \ \text{ou substituindo} \ \textless \ \text{por} \ \leq\\ (a_i,b_i] \ \text{se} \ c_k \ \textless \ a_i \ \textless \ b_i \ \textless \ d_k \ \text{ou substituindo} \ \textless \ \text{por} \ \leq\\ (c_k,d_k] \ \text{se} \ a_i \ \textless \ c_k \ \textless \ d_k \ \textless \ b_i \ \text{ou substituindo} \ \textless \ \text{por} \ \leq\end{array}\right.\]

de modo que $ A\cap B $ pode ser escrito como uma união finita de elementos da forma $ (a,b] $. Portanto, $ A\cap B \in\mathcal{A} $. Basta agora verificar o item 3). Se $ A = \varnothing $, então $ A^c = \mathbb{R} = (-\infty,\infty) $ que pode ser escrito na forma

\[\mathbb{R} = (-\infty,\infty) = (-\infty,0]\cup(0,\infty]\in\mathcal{A}.\]

Para o caso em que $ A = \cup_{i=1}^n(a_i,b_i] $, com $ (a_i,b_i]\cap(a_j,b_j] = \varnothing $ se $ i\neq j $, podemos reescrever $ A $ da forma

\[A = \bigcup_{j=1}^n(a_{i_j},b_{i_j}]\]

de forma que

\[-\infty \leq a_{i_1} \ \textless b_{i_1} \leq a_{i_2} \ \textless \ b_{i_2} \leq \ldots \leq a_{i_n} \ \textless \ b_{i_n} \leq \infty\]

e então, temos que

\[A^c = \left(\bigcup_{j=1}^n(a_{i_j},b_{i_j}]\right)^c = (-\infty,a_{i_1}]\cup (b_{i_1},a_{i_2}] \cup \ldots \cup (b_{i_{n-1}},a_{i_n}] \cup (b_{i_n},\infty] \in \mathcal{A}.\]

completando a demonstração.

É importante observar que, apesar da classe $ \mathcal{A} $ ser uma álgebra, como demonstrado Pela Proposição 2.1.1.1, ela não é uma $ \sigma $-álgebra. De fato, a propriedade $ \sigma $-aditiva não é satisfeita. Basta tomar os conjuntos $ A_n\in\mathcal{A} $ dados por $ A_n = (0,1-\frac{1}{n}] $. Desta forma temos que

\[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = (0,1)\notin \mathcal{A}.\]

Definição 2.1.1.1:

Seja $ \sigma(\mathcal{A}) $ a $ \sigma $-álgebra gerada pela classe de eventos $ \mathcal{A} $. Esta $ \sigma $-álgebra desempenha um papel fundamental em análise e é chamada de $ \sigma $-álgebra de Borel de subconjunto da reta $ \mathbb{R} $, denotada por $ \mathfrak{B}(\mathbb{R}) $. Seus conjuntos são denominados conjuntos de Borel da reta ou de borelianos da reta.

Observação 2.1.1.2:

Se $ \mathcal{I} $ é a classe de intervalos da forma $ (a,b] $ e $ \sigma(\mathcal{I}) $ é a menor $ \sigma $-álgebra de conjuntos que contém $ \mathcal{I} $, podemos verificar que $ \sigma(\mathcal{I}) $ é a $ \sigma $-álgebra de Borel. Em outras palavras, podemos obter a $ \sigma $-álgebra de Borel a partir de $ \mathcal{I} $ sem a álgebra $ \mathcal{A} $, já que $ \sigma(\mathcal{I}) = \sigma(\alpha(\mathcal{I})) $.

A $ \sigma $-álgebra de Borel não contém somente os intervalos da forma $ (a,b] $, mas também os conjuntos unitários da forma $ \{a\} $ e os intervalos da forma $ (a,b) $, $ [a,b] $, $ [a,b) $, $ (-\infty,b) $ e $ (a,\infty) $. De fato, temos que

\[(a,b) = \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(a,b-\frac{1}{n}\right], \ a \ \textless \ b,\]
\[[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty}\left(a-\frac{1}{n},b\right], \ a \ \texteless \ b,\]
\[\{a\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(a-\frac{1}{n},a\right]\]

e todos os demais elementos são construídos a partir destes três.

Também ressaltamos que $ \mathfrak{B}(\mathbb{R}) $ pode ser construída a partir de quaisquer classes de intervalos das formas mencionadas acima ao invés dos intervalos do tipo $ (a,b] $, já que todas as $ \sigma $-álgebras mínimas geradas por essas classes de intervalos são as mesmas, isto é, $ \mathfrak{B}(\mathbb{R}) $.

Observação 2.1.1.3:

O espaço mensurável $ (\mathbb{R},\mathfrak{B}(\mathbb{R})) $ também pode ser denotado por $ (\mathbb{R},\mathfrak{B}) $.

A seguir, demonstramos o Teorema 2.1.1 enunciado na Seção 2.1.

Teorema 2.1.1.1: 

Toda função $ F $ satisfazendo as propriedades básicas é uma função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória.

Demonstração:

Suponhamos que a função $ F $ satisfaça as propriedades básicas. Vamos construir uma variável aleatória $ X $ de forma que a função de distribuição acumulada $ F_X $ seja igual a $ F $, isto é, $ F_X=F $. Seja $ \mathbb{P} $ uma probabilidade definida nos borelianos da reta $ \mathfrak{B}(\mathbb{R}) $ de tal forma que $ \mathbb{P}[(-\infty,x)]=F(x) $ para qualquer $ x $ no conjunto dos números reais. Desta forma basta definirmos $ X(\omega)=\omega $ para qualquer $ \omega $ percente ao conjunto dos números reais. Assim o resultado segue, basta construirmos a probabilidade da seguinte forma 

\[F_X(x) = \mathbb{P}\left(X(\omega)\leq x\right) = \mathbb{P}\left((-\infty,x]\right)=F\left(x\right),\]
\[1 - F_X(x) = 1-\mathbb{P}\left(X(\omega)\leq x\right) = \mathbb{P}\left((x,\infty)\right)=1-F\left(x\right),\]
\[F_X(b) - F_X(a) = \mathbb{P}\left(a \ \textless \ X\leq b\right) = \mathbb{P}\left((a,b]\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)\]

e definir $ \mathbb{P} $ na álgebra $ \mathcal{A} $ da forma 

\[\mathbb{P}\left((a,b]\cup (c,d]\right)=F(b)-F(a)+F(d)-F(c),\]

para os intervalos $ (a,b], (c, d] $ tal que $ (a,b]\cap (c,d] = \varnothing $. Agora basta usarmos o Teorema de Extensão de Carathéodory ( que será enunciado e demonstrado abaixo para este caso). Assim, após construirmos a probabilidade, temos que $ F $ será uma função de distribuição acumulada da variável aleatória $ X $ definida acima.

Uma demonstração alternativa para o Teorema 2.1.1.1 pode ser dada da seguinte forma.

Seja $ \Omega=(0,1) $, $ \mathcal{F} $ a sigma-álgebra de borel e $ \mathbb{P} $ a medida de Lebesgue ou distribuição uniforme. Para $ \omega \in (0,1) $, considere 

F(y) \ \textless \ \omega\}.\]

 Se mostrarmos que  

\omega \leq F(x)\},\]

 então o resultado segue imediatamente uma vez que \omega\leq F(x))=F(x) $. De fato, temos que, se $ \omega\leq F(x) $ então $ X(\omega)\leq x $, uma vez que F(y) \ \textless \ \omega\} $. Por outro lado temos que, se $ \omega \ \textless \ F(x) $, então como $ F $ é continua a direita temos que existe um $ \epsilon \ \textgreater \ 0 $ tal que 

\[F(x+\epsilon) \ \textless \ \omega \ \text{e} \ X(\omega)\geq x+\epsilon \ \textgreater \ x.\]

Assim temos que \omega \leq F(x)\})=F(x) $. Para demostrarmos o teorema de extensão de carathéodory vamos necessitar de alguns resultados, enunciados nos lemas a seguir.

Lema 2.1.1.1: 

Seja $ \mathbb{P} $ uma probabilidade definida em uma álgebra $ \mathcal{F}_0 $ de subconjuntos de $ \Omega $. Suponha que $ A_1,A_2,\cdots\in \mathcal{F}_0 $ com $ A_1\subset A_2 \subset \ldots  $ com limite $ A $ e os conjuntos $ A^{\prime}_1,A^{\prime}_2,\cdots\in \mathcal{F}_0 $ com $ A^{\prime}_1\subset A^{\prime}_2 \subset \cdots  $ com limite $ A^{\prime} $ (com $ A $ e $ A^{\prime} $ não necessariamente em $ \mathcal{F}_0 $). Se $ A\subset A^{\prime} $ então 

\[\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A_m)\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A^{\prime}_n).\]

Se $ A=A^{\prime} $ temos imediatamente que 

\[\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A_m)= \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A^{\prime}_n).\]

Demonstração:

Seja $ m $ fixo, então $ A_m\cap A^{\prime}_n \uparrow A_m\cap A^{\prime}=A_m $ e, portanto, 

\[\mathbb{P}\left(A_m\cap A^{\prime}_n\right)\rightarrow \mathbb{P}\left(A_m\right).\]

Como $ \mathbb{P}\left(A_m\cap A^{\prime}_n\right)\leq \mathbb{P}\left(A^{\prime}_n\right) $ então 

\[\mathbb{P}\left(A_m\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(A_m\cap A^{\prime}_n\right)\leq\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A^{\prime}_n).\]

Assim, basta tomarmos os limite em $ m $ e teremos que 

\[\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(A_m\right)\leq\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(A^{\prime}_n\right)\]

e o resultado segue.

Lema 2.1.1.2:  

Seja $ \mathbb{P} $ uma medida probabilidade definida em uma álgebra $ \mathcal{F}_0 $ de subconjuntos de $ \Omega $. Seja $ \mathcal{G} $ a coleção de todos os conjuntos que são limites de sequências crescentes de conjuntos de $ \mathcal{F}_0 $. Então $ \mathbb{P}^{\ast} $ definida em $ \mathcal{G} $ de tal forma que 

\[\mathbb{P}^{\ast}(A)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A_n)\]

é uma extensão de $ \mathbb{P} $ em $ \mathcal{G} $ e $ \mathbb{P}^{\ast}(B)=\mathbb{P}(B) \ \forall \ B\in \mathcal{F}_0 $. Além disso $ \mathbb{P}^{\ast} $ é uma probabilidade.

Demonstração:

É imediato ver que $ \mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P} $ em $ \mathcal{F}_0 $. Assim basta mostramos que $ \mathbb{P}^{\ast} $ é uma probabilidade, ou seja, que

  1. $ \mathbb{P}^{\ast}(\emptyset)=0 $, $ \mathbb{P}^{\ast}(\Omega)=1 $ e que $ 0\leq \mathbb{P}^{\ast}(A)\leq 1\forall A\in \mathcal{G} $.
  2. Se $ G_1, G_2\in \mathcal{G} $ então $ G_1\cup G_2 $ e $ G_1\cap G_2 \in \mathcal{G} $  e ainda $ \mathbb{P}^{\ast}(G_1\cup G_2)+\mathbb{P}^{\ast}(G_1\cap G_2)=\mathbb{P}^{\ast}(G_1)+\mathbb{P}^{\ast}(G_2) $.
  3. Se $ G_1,G_2\in \mathcal{G} $ então $ G_1\subset G_2 $ então $ \mathbb{P}^{\ast}(G_1)\leq \mathbb{P}^{\ast}(G_2) $.
  4. Se $ G_n \in \mathcal{G} $, com $ n\in\mathbb{N} $ e $ G_n\uparrow G $ então $ G\in \mathcal{G} $ e $ \mathbb{P}^{\ast}(G_n)\rightarrow \mathbb{P}^{\ast}(G) $.

1. É imediato pelo fato de $ \mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P} $ em $ \mathcal{F}_0. $

2. Seja $ A_{n_1}\in \mathcal{F}_0 $ e $ A_{n_2}\in \mathcal{F}_0 $, tal que $ A_{n_1}\uparrow G_1 $ e $ A_{n_2}\uparrow G_2 $ então, como $ \mathbb{P}(A_{n_1}\cup A_{n_2})+\mathbb{P}(A_{n_1}\cap A_{n_2})=\mathbb{P}(A_{n_1})+\mathbb{P}(A_{n_2}) $, basta tomarmos o limite em $ n $ e o resultado segue.

3. O resultado segue imediatamente pelo Lema 2.1.1.1.

4. Como $ G $ é uma união enumerável de conjuntos de $ \mathcal{F}_0 $ então $ G\in \mathcal{G} $. Pois para cada $ n $ podemos encontrar conjuntos $ A_{n_m}\in \mathcal{F}_0 $ com $ A_{n_m}\uparrow G_n $. Desta forma seja 

\[D_m=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_{n_m}.\]

Então $ D_m $ é uma sequência crescente de conjuntos de $ \mathcal{F}_0 $ e, além disso 

\[A_{n_m}\subset D_m \subset G_m, \ \forall \ n\leq m. \ \text{(1)}\]

e, portanto, 

\[\mathbb{P}(A_{n_m})\leq \mathbb{P}(D_m)\leq \mathbb{P}^{\ast}(G_m), \ \forall \ n \leq m. \ \text{(2)}\]

Se $ m\rightarrow \infty $, obtemos por (1) que 

\[G_n\subset\displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty}D_m\subset G,\]

assim tomando $ n\rightarrow \infty $ concluímos que $ D_m\uparrow G $ e, portanto, 

\[\mathbb{P}(D_m)\rightarrow \mathbb{P}^{\ast}(G)\]

tomando o limite em $ m $ obtemos por (2) que 

\[\mathbb{P}^{\ast}(G_n)\leq\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}(D_m)\leq \lim_{m\rightarrow\infty}\mathbb{P}^{\ast}(G_m).\]

Assim, tomando o limite em $ n $ concluímos que 

\[\lim_{n\rightarrow}\mathbb{P}^{\ast}(G_n)=\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}(D_m)=\mathbb{P}^{\ast}(G)\]

e, portanto, o resultado segue.

Lema 2.1.1.3: 

Seja $ \mathcal{G} $ uma classe de subconjuntos do conjunto $ \Omega $, $ \mathbb{P} $ uma probabilidade definida em $ \mathcal{G} $ tal que, $ \mathbb{P} $ e $ \mathcal{G} $ satisfaça as condições do Lema 2.1.1.2. Desta forma definimos para cada $ A\in \Omega $

G\in\mathcal{G}, G\supset A\}.\]

Então $ \mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P} $ em $ \mathcal{G} $  e $ \mathbb{P}^{\ast} $ é uma probabilidade.

Demonstração: 

É imediato ver que $ \mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P} $ em $ \mathcal{G} $. Assim basta mostramos que $ \mathbb{P}^{\ast} $ é uma probabilidade, ou seja, que

  1. $ \mathbb{P}^{\ast}(\emptyset)=0 $, $ \mathbb{P}^{\ast}(\Omega)=1 $ e que $ 0\leq \mathbb{P}^{\ast}(A)\leq 1 \ \forall \ A\in \Omega $.
  2. $ \mathbb{P}^{\ast}(G_1\cup G_2)+\mathbb{P}^{\ast}(G_1\cap G_2)=\mathbb{P}^{\ast}(G_1)+\mathbb{P}^{\ast}(G_2) $
  3. Se $ A\subset B $ então $ \mathbb{P}^{\ast}(A)\leq \mathbb{P}^{\ast}(B) $
  4. Se $ A_n\uparrow A $, então $ \mathbb{P}^{\ast}(A_n)\rightarrow \mathbb{P}^{\ast}(A) $.

1. É imediato pelo fato de $ \mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P} $ em $ \mathcal{G} $.

2. Se $ \epsilon \ \textgreater \ 0 $, escolha $ G_1,G_2\in \mathcal{G} $, tal que $ G_1\supset A $, $ G_2\supset B $ tal que $ \mathbb{P}(G_1)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A)+\epsilon/2 $, $ \mathbb{P}(G_2)\leq \mathbb{P}^{\ast}(B)+\epsilon/2 $ e, pelo Lema 2.1.2 temos que 

\[\mathbb{P}^{\ast}(A)+\mathbb{P}^{\ast}(B)+\epsilon\geq \mathbb{P}(G_1)+\mathbb{P}(G_2)=\mathbb{P}(G_1\cup G_2)+\mathbb{P}(G_1\cap G_2)\geq \mathbb{P}^{\ast}(A\cup B)+\mathbb{P}^{\ast}(A\cap B).\]

Como $ \epsilon $ é arbitrário, temos que o resultado segue.

3. Segue da definição de $ \mathbb{P}^{\ast} $.

4. Pelo item anterior temos que $ \mathbb{P}^{\ast}(A)\geq \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}^{\ast}(A_n) $. Se $ \epsilon \ \textgreater \ 0 $ para cada $ n $ podemos escolher $ G_n\in\mathcal{G} $, $ G_n\supset A $, tal que 

\[\mathbb{P}(G_n)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A_n)+\epsilon2^{-n}.\]

Agora tomemos 

\[A=\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}G_n\in \mathcal{G}.\]

Portanto 

\[\mathbb{P}^{\ast}(A)\stackrel{item 3.}{\leq} \mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n\right)\stackrel{item 1.}{=}\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{n}G_n\right)\]

pelo Lema 2.1.1.2(4.)Assim basta provarmos que 

\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}G_i\right)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A_n)+\epsilon\sum_{i=1}^{n}2^{-i}.\]

Mostremos este fato por indução. Para $ n=1 $ é verdadeiro pela forma como escolhemos $ G_1 $. Suponha válido para $ n $, aplicando o Lema 2.1.1.2(2.) para o conjunto $ \bigcup_{i=1}^{n}G_i $ e $ G_{n+1} $ obtemos 

\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}G_i\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}G_i\right)+\mathbb{P}(G_{n+1})-\mathbb{P}\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n}G_i\right)\cap G_{n+1}\right).\]

Agora como $ \bigcup_{i=1}^{n}G_i\cap G_{n+1}\supset G_n\cap G_{n+1}\supset A_n\cap A_{n+1}=A_n $, então, utilizando a hipótese de indução, temos que 

\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}G_i\right)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A_n)+\epsilon\sum_{i=1}^{n}2^{-i}+\mathbb{P}^{\ast}(A_{n+1})+\epsilon 2^{-(n+1)}-\mathbb{P}^{\ast}(A_n)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A_{n+1})+\epsilon\sum_{i=1}^{n+1}2^{-i}\]

portanto, o resultado segue.

Lema 2.1.1.4:

Sobre as hipóteses do Lema 2.1.1.2 com $ \mathbb{P} $ definida no Lema 2.1.1.3. Seja  \mathbb{P}(H)+\mathbb{P}(H^c)\leq 1\} $ então $ \mathcal{H} $ é uma $ \sigma $-álgebra e $ \mathbb{P} $ é uma probabilidade em $ \mathcal{H} $.

Teorema 2.1.2: (Teorema de Extensão de Carathéodory)

Seja $ \mathbb{P} $ uma medida probabilidade definida em uma álgebra $ \mathcal{F}_0 $ de subconjuntos de $ \Omega $. Então $ \mathbb{P} $ tem uma única extensão para a menor $ \sigma $-álgebra ($ \mathcal{F} $) gerada por $ \mathcal{F}_0 $.

Demonstração: 

Como $ \mathbb{P} $ é uma medida finita, segue imediatamente dos lemas anteriores que $ \mathbb{P} $ pode ser estendido para $ \sigma(\mathcal{F}_0) $.

Probabilidades

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