2.1.1 - Distribuição de probabilidade na reta

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A fim de construir a probabilidade na reta real $\mathbb{R}$, vamos construir, inicialmente, os conjuntos de Borel da reta. Neste sentido, considere a classe dos intervalos abertos à esquerda e fechados à direita da forma \[(a,b] = \{x\in\mathbb{R}: a \ < \ x\leq b\}\] para quaisquer $a$ e $b$ tais que $-\infty\leq a \ < \ b \ < \ \infty$.

Observação 2.1.1.1:

Consideramos o intervalo $(a,\infty]$ como sendo o intervalo aberto $(a,\infty)$. Esta consideração é importante para que o complementar de um intervalo $(-\infty,b]$ dado por $(\infty,b]^c = (b,\infty) = (b,\infty]$ seja um elemento da classe.

Seja $\mathcal{A}$ a classe de subconjuntos de $\mathbb{R}$ composta pelo conjunto vazio $\varnothing$ e dos conjuntos que podem ser escritos como uma união finita de intervalos disjuntos da forma $(a,b]$, isto é, \[A\in\mathcal{A} \ \text{se} \ A = \varnothing \ \text{ou} \ A = \bigcup_{i=1}^n(a_i,b_i], \ \text{com} \ (a_i,b_i]\cap (a_j,b_j] = \varnothing \ \text{se} \ i\neq j \ \text{e} \ n \ < \ \infty.\]

Proposição 2.1.1.1:

A classe $\mathcal{A}$ é uma álgebra.

Demonstração:

De fato, para que $\mathcal{A}$ seja uma álgebra, basta verificar as seguintes condições:

  1. $\varnothing\in\mathcal{A}$;
  2. Se $A,B\in\mathcal{A}$ então $A\cap B\in\mathcal{A}$.
  3. Se $A\in\mathcal{A}$, então $A^c\in\mathcal{A}$.

O item 1) é imediato da definição da classe $\mathcal{A}$. Para verificar o item 2), seja $A,B\in\mathcal{A}$ e observamos que, se ou $A = \varnothing$ ou $B = \varnothing$, então $A\cap B = \varnothing \in\mathcal{A}$. Suponha que \[A = \bigcup_{i=1}^n(a_i,b_i] \ \text{com} \ (a_i,b_i]\cap(a_j,b_j] = \varnothing \ \text{se} \ i\neq j \ \text{e} \ B = \bigcup_{k=1}^m(c_k,d_k] \ \text{com} \ (c_k,d_k]\cap(c_l,d_l] = \varnothing \ \text{se} \ k\neq l.\]

Segue então que \[A\cap B = \left(\bigcup_{i=1}^n(a_i,b_i]\right)\bigcap\left(\bigcup_{k=1}^m(c_k,d_k]\right) = \bigcup_{i=1}^n\bigcup_{k=1}^m\left((a_i,b_i]\cap(c_k,d_k]\right).\]

Mas, para $i = 1,\ldots,n$ e $k = 1,\ldots, m$ temos que \[(a_i,b_i]\cap(c_k,d_k] =\left\{\begin{array}{l} \varnothing \ \text{se} \ a_i \ < \ b_i \ < \ c_k \ < \ d_k \ \ \text{ou} \ c_k \ < \ d_k \ < \ a_i \ < \ b_i \ \text{ou substituindo} \ < \ \text{por} \ \leq\\ (c_k,b_i] \ \text{se} \ a_i \ < \ c_k \ < \ b_i \ < \ d_k \ \text{ou substituindo} \ < \ \text{por} \ \leq\\ (a_i,d_k] \ \text{se} \ c_k \ < \ a_i \ < \ d_k \ < \ b_i \ \text{ou substituindo} \ < \ \text{por} \ \leq\\ (a_i,b_i] \ \text{se} \ c_k \ < \ a_i \ < \ b_i \ < \ d_k \ \text{ou substituindo} \ < \ \text{por} \ \leq\\ (c_k,d_k] \ \text{se} \ a_i \ < \ c_k \ < \ d_k \ < \ b_i \ \text{ou substituindo} \ < \ \text{por} \ \leq\end{array}\right.\]

de modo que $A\cap B$ pode ser escrito como uma união finita de elementos da forma $(a,b]$. Portanto, $A\cap B \in\mathcal{A}$. Basta agora verificar o item 3). Se $A = \varnothing$, então $A^c = \mathbb{R} = (-\infty,\infty)$ que pode ser escrito na forma \[\mathbb{R} = (-\infty,\infty) = (-\infty,0]\cup(0,\infty]\in\mathcal{A}.\] Para o caso em que $A = \cup_{i=1}^n(a_i,b_i]$, com $(a_i,b_i]\cap(a_j,b_j] = \varnothing$ se $i\neq j$, podemos reescrever $A$ da forma \[A = \bigcup_{j=1}^n(a_{i_j},b_{i_j}]\] de forma que \[-\infty \leq a_{i_1} \ < b_{i_1} \leq a_{i_2} \ < \ b_{i_2} \leq \ldots \leq a_{i_n} \ < \ b_{i_n} \leq \infty\] e então, temos que \[A^c = \left(\bigcup_{j=1}^n(a_{i_j},b_{i_j}]\right)^c = (-\infty,a_{i_1}]\cup (b_{i_1},a_{i_2}] \cup \ldots \cup (b_{i_{n-1}},a_{i_n}] \cup (b_{i_n},\infty] \in \mathcal{A}.\]

completando a demonstração.

É importante observar que, apesar da classe $\mathcal{A}$ ser uma álgebra, como demonstrado Pela Proposição 2.1.1.1, ela não é uma $\sigma$-álgebra. De fato, a propriedade $\sigma$-aditiva não é satisfeita. Basta tomar os conjuntos $A_n\in\mathcal{A}$ dados por $A_n = (0,1-\frac{1}{n}]$. Desta forma temos que \[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = (0,1)\notin \mathcal{A}.\]

Definição 2.1.1.1:

Seja $\sigma(\mathcal{A})$ a $\sigma$-álgebra gerada pela classe de eventos $\mathcal{A}$. Esta $\sigma$-álgebra desempenha um papel fundamental em análise e é chamada de $\sigma$-álgebra de Borel de subconjunto da reta $\mathbb{R}$, denotada por $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$. Seus conjuntos são denominados conjuntos de Borel da reta ou de borelianos da reta.

Observação 2.1.1.2:

Se $\mathcal{I}$ é a classe de intervalos da forma $(a,b]$ e $\sigma(\mathcal{I})$ é a menor $\sigma$-álgebra de conjuntos que contém $\mathcal{I}$, podemos verificar que $\sigma(\mathcal{I})$ é a $\sigma$-álgebra de Borel. Em outras palavras, podemos obter a $\sigma$-álgebra de Borel a partir de $\mathcal{I}$ sem a álgebra $\mathcal{A}$, já que $\sigma(\mathcal{I}) = \sigma(\alpha(\mathcal{I}))$.

A $\sigma$-álgebra de Borel não contém somente os intervalos da forma $(a,b]$, mas também os conjuntos unitários da forma $\{a\}$ e os intervalos da forma $(a,b)$, $[a,b]$, $[a,b)$, $(-\infty,b)$ e $(a,\infty)$. De fato, temos que \[(a,b) = \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(a,b-\frac{1}{n}\right], \ a \ < \ b,\]\[[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty}\left(a-\frac{1}{n},b\right], \ a \ < \ b,\]\[\{a\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(a-\frac{1}{n},a\right]\] e todos os demais elementos são construídos a partir destes três.

Também ressaltamos que $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ pode ser construída a partir de quaisquer classes de intervalos das formas mencionadas acima ao invés dos intervalos do tipo $(a,b]$, já que todas as $\sigma$-álgebras mínimas geradas por essas classes de intervalos são as mesmas, isto é, $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$.

Observação 2.1.1.3:

O espaço mensurável $(\mathbb{R},\mathfrak{B}(\mathbb{R}))$ também pode ser denotado por $(\mathbb{R},\mathfrak{B})$.

A seguir, demonstramos o Teorema 2.1.1 enunciado na Seção 2.1.

Teorema 2.1.1.1: 

Toda função $F$ satisfazendo as propriedades básicas é uma função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória.

Demonstração:

Suponhamos que a função $F$ satisfaça as propriedades básicas. Vamos construir uma variável aleatória $X$ de forma que a função de distribuição acumulada $F_X$ seja igual a $F$, isto é, $F_X=F$. Seja $\mathbb{P}$ uma probabilidade definida nos borelianos da reta $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ de tal forma que $\mathbb{P}[(-\infty,x)]=F(x)$ para qualquer $x$ no conjunto dos números reais. Desta forma basta definirmos $X(\omega)=\omega$ para qualquer $\omega$ percente ao conjunto dos números reais. Assim o resultado segue, basta construirmos a probabilidade da seguinte forma \[F_X(x) = \mathbb{P}\left(X(\omega)\leq x\right) = \mathbb{P}\left((-\infty,x]\right)=F\left(x\right),\]\[1 - F_X(x) = 1-\mathbb{P}\left(X(\omega)\leq x\right) = \mathbb{P}\left((x,\infty)\right)=1-F\left(x\right),\]\[F_X(b) - F_X(a) = \mathbb{P}\left(a \ < \ X\leq b\right) = \mathbb{P}\left((a,b]\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)\]

e definir $\mathbb{P}$ na álgebra $\mathcal{A}$ da forma \[\mathbb{P}\left((a,b]\cup (c,d]\right)=F(b)-F(a)+F(d)-F(c),\]

para os intervalos $(a,b], (c, d]$ tal que $(a,b]\cap (c,d] = \varnothing$. Agora basta usarmos o Teorema de Extensão de Carathéodory ( que será enunciado e demonstrado abaixo para este caso). Assim, após construirmos a probabilidade, temos que $F$ será uma função de distribuição acumulada da variável aleatória $X$ definida acima.

Uma demonstração alternativa para o Teorema 2.1.1.1 pode ser dada da seguinte forma.

Seja $\Omega=(0,1)$, $\mathcal{F}$ a sigma-álgebra de borel e $\mathbb{P}$ a medida de Lebesgue ou distribuição uniforme. Para $\omega \in (0,1)$, considere \[X(\omega)=\sup\{y:F(y) \ < \ \omega\}.\] Se mostrarmos que  \[\{\omega : X(\omega)\leq x\}=\{\omega:\omega \leq F(x)\},\] então o resultado segue imediatamente uma vez que $\mathbb{P}(\omega:\omega\leq F(x))=F(x)$. De fato, temos que, se $\omega\leq F(x)$ então $X(\omega)\leq x$, uma vez que $x \notin \{y:F(y) \ < \ \omega\}$. Por outro lado temos que, se $\omega \ < \ F(x)$, então como $F$ é continua a direita temos que existe um $\epsilon \ > \ 0$ tal que \[F(x+\epsilon) \ < \ \omega \ \text{e} \ X(\omega)\geq x+\epsilon \ > \ x.\]

Assim temos que $\mathbb{P}(\{\omega : X(\omega)\leq x\})=\mathbb{P}(\{\omega:\omega \leq F(x)\})=F(x)$. Para demostrarmos o teorema de extensão de carathéodory vamos necessitar de alguns resultados, enunciados nos lemas a seguir.

Lema 2.1.1.1: 

Seja $\mathbb{P}$ uma probabilidade definida em uma álgebra $\mathcal{F}_0$ de subconjuntos de $\Omega$. Suponha que $A_1,A_2,\cdots\in \mathcal{F}_0$ com $A_1\subset A_2 \subset \ldots $ com limite $A$ e os conjuntos $A^{\prime}_1,A^{\prime}_2,\cdots\in \mathcal{F}_0$ com $A^{\prime}_1\subset A^{\prime}_2 \subset \cdots $ com limite $A^{\prime}$ (com $A$ e $A^{\prime}$ não necessariamente em $\mathcal{F}_0$). Se $A\subset A^{\prime}$ então \[\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A_m)\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A^{\prime}_n).\]

Se $A=A^{\prime}$ temos imediatamente que \[\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A_m)= \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A^{\prime}_n).\]

Demonstração:

Seja $m$ fixo, então $A_m\cap A^{\prime}_n \uparrow A_m\cap A^{\prime}=A_m$ e, portanto, \[\mathbb{P}\left(A_m\cap A^{\prime}_n\right)\rightarrow \mathbb{P}\left(A_m\right).\]

Como $\mathbb{P}\left(A_m\cap A^{\prime}_n\right)\leq \mathbb{P}\left(A^{\prime}_n\right)$ então \[\mathbb{P}\left(A_m\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(A_m\cap A^{\prime}_n\right)\leq\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A^{\prime}_n).\]

Assim, basta tomarmos os limite em $m$ e teremos que \[\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(A_m\right)\leq\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(A^{\prime}_n\right)\]

e o resultado segue.

Lema 2.1.1.2:  

Seja $\mathbb{P}$ uma medida probabilidade definida em uma álgebra $\mathcal{F}_0$ de subconjuntos de $\Omega$. Seja $\mathcal{G}$ a coleção de todos os conjuntos que são limites de sequências crescentes de conjuntos de $\mathcal{F}_0$. Então $\mathbb{P}^{\ast}$ definida em $\mathcal{G}$ de tal forma que \[\mathbb{P}^{\ast}(A)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(A_n)\]

é uma extensão de $\mathbb{P}$ em $\mathcal{G}$ e $\mathbb{P}^{\ast}(B)=\mathbb{P}(B) \ \forall \ B\in \mathcal{F}_0$. Além disso $\mathbb{P}^{\ast}$ é uma probabilidade.

Demonstração:

É imediato ver que $\mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P}$ em $\mathcal{F}_0$. Assim basta mostramos que $\mathbb{P}^{\ast}$ é uma probabilidade, ou seja, que

  1. $\mathbb{P}^{\ast}(\emptyset)=0$, $\mathbb{P}^{\ast}(\Omega)=1$ e que $0\leq \mathbb{P}^{\ast}(A)\leq 1\forall A\in \mathcal{G}$.
  2. Se $G_1, G_2\in \mathcal{G}$ então $G_1\cup G_2$ e $G_1\cap G_2 \in \mathcal{G}$  e ainda $\mathbb{P}^{\ast}(G_1\cup G_2)+\mathbb{P}^{\ast}(G_1\cap G_2)=\mathbb{P}^{\ast}(G_1)+\mathbb{P}^{\ast}(G_2)$.
  3. Se $G_1,G_2\in \mathcal{G}$ então $G_1\subset G_2$ então $\mathbb{P}^{\ast}(G_1)\leq \mathbb{P}^{\ast}(G_2)$.
  4. Se $G_n \in \mathcal{G}$, com $n\in\mathbb{N}$ e $G_n\uparrow G$ então $G\in \mathcal{G}$ e $\mathbb{P}^{\ast}(G_n)\rightarrow \mathbb{P}^{\ast}(G)$.

1. É imediato pelo fato de $\mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P}$ em $\mathcal{F}_0.$

2. Seja $A_{n_1}\in \mathcal{F}_0$ e $A_{n_2}\in \mathcal{F}_0$, tal que $A_{n_1}\uparrow G_1$ e $A_{n_2}\uparrow G_2$ então, como $\mathbb{P}(A_{n_1}\cup A_{n_2})+\mathbb{P}(A_{n_1}\cap A_{n_2})=\mathbb{P}(A_{n_1})+\mathbb{P}(A_{n_2})$, basta tomarmos o limite em $n$ e o resultado segue.

3. O resultado segue imediatamente pelo Lema 2.1.1.1.

4. Como $G$ é uma união enumerável de conjuntos de $\mathcal{F}_0$ então $G\in \mathcal{G}$. Pois para cada $n$ podemos encontrar conjuntos $A_{n_m}\in \mathcal{F}_0$ com $A_{n_m}\uparrow G_n$. Desta forma seja \[D_m=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_{n_m}.\]

Então $D_m$ é uma sequência crescente de conjuntos de $\mathcal{F}_0$ e, além disso \[A_{n_m}\subset D_m \subset G_m, \ \forall \ n\leq m. \ \text{(1)}\]

e, portanto, \[\mathbb{P}(A_{n_m})\leq \mathbb{P}(D_m)\leq \mathbb{P}^{\ast}(G_m), \ \forall \ n \leq m. \ \text{(2)}\]

Se $m\rightarrow \infty$, obtemos por (1) que \[G_n\subset\displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty}D_m\subset G,\]

assim tomando $n\rightarrow \infty$ concluímos que $D_m\uparrow G$ e, portanto, \[\mathbb{P}(D_m)\rightarrow \mathbb{P}^{\ast}(G)\]

tomando o limite em $m$ obtemos por (2) que \[\mathbb{P}^{\ast}(G_n)\leq\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}(D_m)\leq \lim_{m\rightarrow\infty}\mathbb{P}^{\ast}(G_m).\]

Assim, tomando o limite em $n$ concluímos que \[\lim_{n\rightarrow}\mathbb{P}^{\ast}(G_n)=\lim_{m\rightarrow \infty}\mathbb{P}(D_m)=\mathbb{P}^{\ast}(G)\]

e, portanto, o resultado segue.

Lema 2.1.1.3: 

Seja $\mathcal{G}$ uma classe de subconjuntos do conjunto $\Omega$, $\mathbb{P}$ uma probabilidade definida em $\mathcal{G}$ tal que, $\mathbb{P}$ e $\mathcal{G}$ satisfaça as condições do Lema 2.1.1.2. Desta forma definimos para cada $A\in \Omega$, \[\mathbb{P}^{\ast}(A)=\inf\{\mathbb{P}(G):G\in\mathcal{G}, G\supset A\}.\]

Então $\mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P}$ em $\mathcal{G}$  e $\mathbb{P}^{\ast}$ é uma probabilidade.

Demonstração: 

É imediato ver que $\mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P}$ em $\mathcal{G}$. Assim basta mostramos que $\mathbb{P}^{\ast}$ é uma probabilidade, ou seja, que

  1. $\mathbb{P}^{\ast}(\emptyset)=0$, $\mathbb{P}^{\ast}(\Omega)=1$ e que $0\leq \mathbb{P}^{\ast}(A)\leq 1 \ \forall \ A\in \Omega$.
  2. $\mathbb{P}^{\ast}(G_1\cup G_2)+\mathbb{P}^{\ast}(G_1\cap G_2)=\mathbb{P}^{\ast}(G_1)+\mathbb{P}^{\ast}(G_2)$
  3. Se $A\subset B$ então $\mathbb{P}^{\ast}(A)\leq \mathbb{P}^{\ast}(B)$
  4. Se $A_n\uparrow A$, então $\mathbb{P}^{\ast}(A_n)\rightarrow \mathbb{P}^{\ast}(A)$.

1. É imediato pelo fato de $\mathbb{P}^{\ast}=\mathbb{P}$ em $\mathcal{G}$.

2. Se $\epsilon \ > \ 0$, escolha $G_1,G_2\in \mathcal{G}$, tal que $G_1\supset A$, $G_2\supset B$ tal que $\mathbb{P}(G_1)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A)+\epsilon/2$, $\mathbb{P}(G_2)\leq \mathbb{P}^{\ast}(B)+\epsilon/2$ e, pelo Lema 2.1.2 temos que \[\mathbb{P}^{\ast}(A)+\mathbb{P}^{\ast}(B)+\epsilon\geq \mathbb{P}(G_1)+\mathbb{P}(G_2)=\mathbb{P}(G_1\cup G_2)+\mathbb{P}(G_1\cap G_2)\geq \mathbb{P}^{\ast}(A\cup B)+\mathbb{P}^{\ast}(A\cap B).\]

Como $\epsilon$ é arbitrário, temos que o resultado segue.

3. Segue da definição de $\mathbb{P}^{\ast}$.

4. Pelo item anterior temos que $\mathbb{P}^{\ast}(A)\geq \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}^{\ast}(A_n)$. Se $\epsilon \ > \ 0$ para cada $n$ podemos escolher $G_n\in\mathcal{G}$, $G_n\supset A$, tal que \[\mathbb{P}(G_n)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A_n)+\epsilon2^{-n}.\]

Agora tomemos \[A=\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}G_n\in \mathcal{G}.\]

Portanto \[\mathbb{P}^{\ast}(A)\stackrel{item 3.}{\leq} \mathbb{P}^{\ast}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n\right)\stackrel{item 1.}{=}\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{n}G_n\right)\]

pelo Lema 2.1.1.2(4.). Assim basta provarmos que \[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}G_i\right)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A_n)+\epsilon\sum_{i=1}^{n}2^{-i}.\]

Mostremos este fato por indução. Para $n=1$ é verdadeiro pela forma como escolhemos $G_1$. Suponha válido para $n$, aplicando o Lema 2.1.1.2(2.) para o conjunto $\bigcup_{i=1}^{n}G_i$ e $G_{n+1}$ obtemos \[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}G_i\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}G_i\right)+\mathbb{P}(G_{n+1})-\mathbb{P}\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n}G_i\right)\cap G_{n+1}\right).\]

Agora como $\bigcup_{i=1}^{n}G_i\cap G_{n+1}\supset G_n\cap G_{n+1}\supset A_n\cap A_{n+1}=A_n$, então, utilizando a hipótese de indução, temos que \[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}G_i\right)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A_n)+\epsilon\sum_{i=1}^{n}2^{-i}+\mathbb{P}^{\ast}(A_{n+1})+\epsilon 2^{-(n+1)}-\mathbb{P}^{\ast}(A_n)\leq \mathbb{P}^{\ast}(A_{n+1})+\epsilon\sum_{i=1}^{n+1}2^{-i}\]

portanto, o resultado segue.

Lema 2.1.1.4:

Sobre as hipóteses do Lema 2.1.1.2 com $\mathbb{P}$ definida no Lema 2.1.1.3. Seja $\mathcal{H}=\{H\subset \Omega : \mathbb{P}(H)+\mathbb{P}(H^c)\leq 1\}$ então $\mathcal{H}$ é uma $\sigma$-álgebra e $\mathbb{P}$ é uma probabilidade em $\mathcal{H}$.

Teorema 2.1.2: (Teorema de Extensão de Carathéodory)

Seja $\mathbb{P}$ uma medida probabilidade definida em uma álgebra $\mathcal{F}_0$ de subconjuntos de $\Omega$. Então $\mathbb{P}$ tem uma única extensão para a menor $\sigma$-álgebra ($\mathcal{F}$) gerada por $\mathcal{F}_0$.

Demonstração: 

Como $\mathbb{P}$ é uma medida finita, segue imediatamente dos lemas anteriores que $\mathbb{P}$ pode ser estendido para $\sigma(\mathcal{F}_0)$.

Probabilidades

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