2.2 - Variável aleatória discreta

Definição 2.2.1:

Seja $X$ uma variável aleatória (v.a.). Se o número de valores possíveis de $X$ for enumerável (finito ou infinito), dizemos que $X$ é uma variável aleatória discreta. Isto é, os possíveis valores de $X$ podem ser postos em lista como $x_1,x_2,\ldots$. No caso finito, a lista possui um valor final $x_n$, e no caso infinito, a lista continua indefinidamente.

Exemplo 2.2.1:

Suponha que, após um exame médico, pessoas sejam diagnosticadas como tendo diabetes (D) e não tendo diabetes (N). Admita que três pessoas sejam escolhidas ao acaso e classificadas de acordo com esse esquema.

O espaço amostral é dado por

$\Omega=\{DDD, DDN, DND, NDD, NND, NDN, DNN, NNN\}$

Nosso interesse é saber quantas pessoas com diabetes foram encontradas, não interessando a ordem em que tenham sido selecionadas. Isto é, desejamos estudar a variável aleatória $X$, a qual atribui a cada resultado $\omega \in \Omega$ o número de pessoas com diabetes. Consequentemente, o conjunto dos possíveis valores de $X$ é $\{0, 1, 2, 3\}$, ou seja, $X$ é uma variável aleatória discreta.

Definição 2.2.2:

Seja $X$ uma variável aleatória discreta. A cada possível resultado $x_i$ associaremos um número $p(x_i) = \mathbb{P}\left(X = x_i\right)$, denominado probabilidade de $x_i$. Os números $p(x_i)$, $i = 1, 2, \ldots$ devem satisfazer as seguintes condições:

1. $p(x_i) \geq 0$ para todo $i$;
2. $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty p(x_i)=1$.

A função $p$ é denominada função de probabilidade da variável aleatória $X$.

Definição 2.2.3:

A coleção de pares $(x_i, p(x_i))$; $i = 1, 2, \ldots$ é algumas vezes denominada distribuição de probabilidade de $X$. Assim, podemos falar que a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta $X$, definida em um espaço amostral $\Omega$, é uma tabela que associa a cada valor de $X$ sua probabilidade.

Exemplo 2.2.2:

Considere que uma moeda é lançada duas vezes. Seja $X$ a função definida no espaço amostral que é igual ao número de caras nos dois lançamentos ($C$ - Cara e $K$ - Coroa).

Temos na Tabela a seguir a distribuição de probabilidade referente a variável aleatória X.

Os valores das probabilidades, na tabela acima, são obtidos da seguinte maneira:

\[\mathbb{P}\left(X=0\right) = \mathbb{P}(\{KK\}) = \frac{1}{4}.\]

\[\mathbb{P}\left(X=1\right) = \mathbb{P}(\{CK\}) + \mathbb{P}(\{KC\}) = \frac{1}{2}.\]

\[\mathbb{P}\left(X=2\right) = \mathbb{P}(\{CC\}) = \frac{1}{4}.\]

Definição 2.2.4:

O quantil $q100\%$ ($0 \leq q \leq 1$) de uma variável aleatória discreta $X$ é o menor valor de $x$ para o qual

\[F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)\geq q.\]

Já o percentil $p100\%$ de um valor $x$ é o valor da distribuição acumulada em $x$, ou seja,

\[p=F(x)=\mathbb{P}(X\leq x).\]

Relação entre a função de distribuição acumulada e a distribuição de probabilidade discreta

Seja $X$ uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade associa aos valores $x_1,x_2,\ldots$ as respectivas probabilidades $\mathbb{P}(X=x_1),\mathbb{P}(X=x_2),\ldots$.

Como os valores de $X$ são mutuamente exclusivos, temos que a função de distribuição acumulada é dada por

\[F(x)=\sum_{i\in A_x}\mathbb{P}(X=x_i), \ \text{com} \ A_x=\{i: x_i\leq x\}.\]

Assim, dada a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta, conseguimos determinar sua função de distribuição acumulada, ou ainda, dada a função de distribuição acumulada, podemos determinar a sua distribuição de probabilidade.

Exemplo 2.2.3:

Considere dois lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. Com o espaço de probabilidade usual, defina $X$ como sendo o número de caras nos dois lançamentos. Determine a função de distribuição acumulada de $X$.

A variável $X$ é discreta e sua distribuição de probabilidade será dada por

A função de distribuição acumulada correspondente será:

\[F(x) = \left\{\begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \ < \ 0; \\ 1/4, \ \hbox{se} \ 0 \leq x \ < \ 1;\\ 3/4, \ \hbox{se} \ 1 \leq x \ < \ 2;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \geq 2.\\ \end{array}\right.\]