2.2 - Variável aleatória discreta

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Definição 2.2.1:

Seja $ X $ uma variável aleatória (v.a.). Se o número de valores possíveis de $ X $ for enumerável (finito ou infinito), dizemos que $ X $ é uma variável aleatória discreta. Isto é, os possíveis valores de $ X $ podem ser postos em lista como $ x_1,x_2,\ldots $. No caso finito, a lista possui um valor final $ x_n $, e no caso infinito, a lista continua indefinidamente.

Exemplo 2.2.1:

Suponha que, após um exame médico, pessoas sejam diagnosticadas como tendo diabetes (D) e não tendo diabetes (N). Admita que três pessoas sejam escolhidas ao acaso e classificadas de acordo com esse esquema.

O espaço amostral é dado por

$ \Omega=\{DDD, DDN, DND, NDD, NND, NDN, DNN, NNN\} $

Nosso interesse é saber quantas pessoas com diabetes foram encontradas, não interessando a ordem em que tenham sido selecionadas. Isto é, desejamos estudar a variável aleatória $ X $, a qual atribui a cada resultado $ \omega \in \Omega $ o número de pessoas com diabetes. Consequentemente, o conjunto dos possíveis valores de $ X $ é $ \{0, 1, 2, 3\} $, ou seja, $ X $ é uma variável aleatória discreta.

Definição 2.2.2:

Seja $ X $ uma variável aleatória discreta. A cada possível resultado $ x_i $ associaremos um número $ p(x_i) = \mathbb{P}\left(X = x_i\right) $, denominado probabilidade de $ x_i $. Os números $ p(x_i) $, $ i = 1, 2, \ldots $ devem satisfazer as seguintes condições:

  1. $ p(x_i) \geq 0 $ para todo $ i $;
  2. $ \displaystyle \sum_{i=1}^\infty p(x_i)=1 $.

A função $ p $ é denominada função de probabilidade da variável aleatória $ X $.

Definição 2.2.3:

A coleção de pares $ (x_i, p(x_i)) $; $ i = 1, 2, \ldots $ é algumas vezes denominada distribuição de probabilidade de $ X $. Assim, podemos falar que a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta $ X $, definida em um espaço amostral $ \Omega $, é uma tabela que associa a cada valor de $ X $ sua probabilidade.

Exemplo 2.2.2:

Considere que uma moeda é lançada duas vezes. Seja $ X $ a função definida no espaço amostral que é igual ao número de caras nos dois lançamentos ($ C $ - Cara e $ K $ - Coroa).

Temos na Tabela a seguir a distribuição de probabilidade referente a variável aleatória X.

Valores de X Pontos amostrais Probabilidade
0 KK 1/4
1 KC, CK 1/2
2 CC 1/4

Os valores das probabilidades, na tabela acima, são obtidos da seguinte maneira:

\[\mathbb{P}\left(X=0\right) = \mathbb{P}(\{KK\}) = \frac{1}{4}.\]

\[\mathbb{P}\left(X=1\right) = \mathbb{P}(\{CK\}) + \mathbb{P}(\{KC\}) = \frac{1}{2}.\]

\[\mathbb{P}\left(X=2\right) = \mathbb{P}(\{CC\}) = \frac{1}{4}.\]

 

Definição 2.2.4:

O quantil $ q100\% $ ($ 0 \leq q \leq 1 $) de uma variável aleatória discreta $ X $ é o menor valor de $ x $ para o qual

\[F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)\geq q.\]

 

Já o percentil $ p100\% $ de um valor $ x $ é o valor da distribuição acumulada em $ x $, ou seja,

\[p=F(x)=\mathbb{P}(X\leq x).\]

 

Relação entre a função de distribuição acumulada e a distribuição de probabilidade discreta

Seja $ X $ uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade associa aos valores $ x_1,x_2,\ldots $ as respectivas probabilidades $ \mathbb{P}(X=x_1),\mathbb{P}(X=x_2),\ldots $.

Como os valores de $ X $ são mutuamente exclusivos, temos que a função de distribuição acumulada é dada por

x_i\leq x\}.\]

 

Assim, dada a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta, conseguimos determinar sua função de distribuição acumulada, ou ainda, dada a função de distribuição acumulada, podemos determinar a sua distribuição de probabilidade.

Exemplo 2.2.3:

Considere dois lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. Com o espaço de probabilidade usual, defina $ X $ como sendo o número de caras nos dois lançamentos. Determine a função de distribuição acumulada de $ X $.

A variável $ X $ é discreta e sua distribuição de probabilidade será dada por

$ x_i $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $
$ P(X = x_i) $ $ \frac{1}{4} $ $ \frac{1}{2} $ $ \frac{1}{4} $

A função de distribuição acumulada correspondente será:

\[F(x) = \left\{\begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 0; \\ 1/4, \ \hbox{se} \ 0 \leq x \ \textless \ 1;\\ 3/4, \ \hbox{se} \ 1 \leq x \ \textless \ 2;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \geq 2.\\ \end{array}\right.\]

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