2.3 - Variável aleatória contínua

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Definição 2.3.1:

Seja $ X $ uma variável aleatória. Suponha que o contradomínio ($ \mathbb{R}_x $) de $ X $ seja um intervalo ou uma coleção de intervalos. Então diremos que $ X $ é uma variável aleatória contínua.

Os exemplos abaixo ajudam a ilustrar esse conceito.

Exemplo 2.3.1: 

Uma válvula eletrônica é instalada em um circuito, seja $ X $ o período de tempo em a válvula funciona.

Neste caso, $ X $ é uma variável aleatória contínua podendo tomar valores nos reais positivos, ou seja, o subconjunto dos números reais $ [0,\infty) $.

Exemplo 2.3.2:

Um navio petroleiro sofre um acidente no qual seu casco é rompido e o óleo é derramado. Seja $ Y $ a variável aleatória que determina a área atingida pelo óleo do navio.

Neste caso, temos que a variável $ Y $ é uma variável continua a qual também assume valores em no subconjunto dos números reais $ [0,\infty) $.

Definição 2.3.2:

Dizemos que $ X $ é uma variável aleatória absolutamente contínua se existe uma função \mathbb{R}\rightarrow[0,+\infty) $ denominada função densidade de probabilidade e abreviada por f.d.p, que satisfaz às seguintes propriedades:

  1. $ f(x)\geq 0 $, para todo $ x \in\mathbb{R}_x $
  2. $ \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1 $

Além disso, definimos para qualquer $ c, d \in \mathbb{R}_x $, com $ c \ \textless \ d $ que

\[\mathbb{P}(c \ \textless \ X \ \textless \ d)=\int_c^d f(x)dx.\]

 

Vale a pena notar que, da forma como a probabilidade foi definida, a probabilidade de um ponto isolado é sempre zero, ou seja, $ \mathbb{P}(X=c)=\displaystyle \int_{c}^{c} f(x)dx=0 $. Desta forma, podemos concluir que, quando $ X $ é uma variável aleatória contínua, a probabilidade de ocorrer um valor especifico é zero.

Observação:

Se $ X $ é uma variável aleatória absolutamente contínua, então

\[\frac{\partial }{\partial x}F_X(x)=f_X(x)\]

 

Exemplo 2.3.3:

Suponha que escolhamos um número ao acaso no intervalo $ [0,1] $. Qual a probabilidade de escolhermos o número $ 0,54 $?

É zero justamente pelo que foi dito acima, todo ponto isolado em uma variável continua tem probabilidade zero.

Exemplo 2.3.4:

Seja -1 \ \textless \ x \ \textless \ 5\} $ e seja $ X $ uma variável aleatória tal que sua função densidade de probabilidade seja $ f(x) $ definida abaixo, com $ c $ sendo uma constante. Qual deve ser o valor da constante $ c $?

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l} c, \ \hbox{se} \ x \ \in \ A; \\ 0, \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 
 
Como $ f $ é uma função densidade de probabilidade ela deve satisfazer a condição que

\[\int_{- \infty}^{\infty}f(x)dx=1 \Rightarrow \int_{-1}^{5}c dx = c \cdot (5-(-1))=6c=1 \Rightarrow c=\frac{1}{6}.\]

 

Exemplo 2.3.5:

Consideremos uma variável aleatória $ X $ com densidade abaixo:

\[f(x) = \left\{\begin{array}{l} c(x^2+x), \ \hbox{se} \ 0\leq x \leq 1; \\ 0, \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 
Determine o valor de c.
 
Para isto basta integrarmos a função f(x) em todo o seu domínio, lembrando que esta integral deve ter valor 1. Assim

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)=1 \Rightarrow \int_{0}^{1}c[x^2 + x]=c \int_{0}^{1}x^2+x=c\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} \right]^{1}_{0}=c\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)=\frac{5c}{6}=1 \Rightarrow c=\frac{6}{5}.\]

Exemplo 2.3.6: 

Seja $ X $ uma variável contínua com f.d.p.

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x, \ 0 \ \textless \ x \ \textless \ 1; \\ 0, \ \hbox{para quaisquer outros valores}.\\ \end{array} \right.\]

 

Portanto, a função de distribuição acumulada é dada por

\[F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \hbox{se} \ x \leq 0;\\ \int_{0}^{x}2s~ds = x^2, \ \hbox{se} \ 0 \ \textless \ x \ \leq 1;\\ 1, \ \hbox{se} \ x \ \textgreater \ 1. \end{array} \right.\]

Exemplo 2.3.7: 

Suponha que o Lucro Líquido ($ LL $) de uma empresa para o ano futuro esteja entre $ a = 12.000 $ e $ b = 20.000 $. Além disso, temos informações suficientes para supor que o $ LL $ esteja concentrado em torno do valor médio do intervalo, isto é, em torno de $ (a+b)/2 = 16.000. $ Com isso, podemos modelar a distribuição de $ LL $ via uma forma triangular, como na Figura a seguir.

Observe que a função de distribuição de probabilidade é construída de forma que a área total abaixo da curva é igual a 1, note também que ela está concentrada em torno do ponto médio do intervalo (16.000) e se distribui linearmente do ponto médio aos extremos do intervalo. De forma geral, a função distribuição de probabilidade de uma distribuição triangular é dada por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x-a}{\pl\frac{b-a}{2}\pr^2}; \ \mbox{para todo} \ a \leq x \leq\frac{a+b}{2}\\ \frac{b-x}{\pl\frac{b-a}{2}\pr^2}; \ \mbox{para todo} \ \frac{a+b}{2}\leq x\leq b\\ 0; \ \mbox{para os demais pontos,} \ \end{array} \right.\]

 

Exemplo 2.3.8:

Seja \Omega\rightarrow \mathbb{R} $ uma variável aleatória absolutamente contínua com função distribuição de probabilidade (f.d.p.) dada por

\[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2~\pi}}~e^{\frac{-x^2}{2}}, \ \infty \ \textless \ x \ \textless \ \infty.\]

Neste caso, dizemos que $ X $ tem distribuição Normal.
 

Resolução:

Para que $ f_X $ seja uma f.d.p, basta mostrarmos que

\[\int^{\infty}_{-\infty}f_X(s)ds=1.\]

 
Então, tomamos

\[\left[\int^{\infty}_{-\infty}f_X(s)ds\right]^2=\int^{\infty}_{-\infty}f_X(x)dx \int^{\infty}_{-\infty}f_X(s)ds\overset{\text{Teo Fubinni}}{=}\frac{2}{2~\pi}\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}e^{\frac{x^2+y^2}{2}}dx~dy\right]\]

 
e, a partir da mudança de variáveis $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\text{sen}\theta $, temos que

\[\left[\int^{\infty}_{-\infty}f_X(s)ds\right]^2=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}\int^{\pi}_{0}e^{-\frac{r^2}{2}}r~d\theta~dr=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}\left[e^{-\frac{r^2}{2}}r~\theta~\right]^{\pi}_{0} dr\overset{(**)}{=}\int^{\infty}_{0}e^{-u}du=1.\]

 

Exemplo 2.3.9:

Seja X uma variável aleatória com densidade

$$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \displaystyle cx^2, \text { se } -1\leq x\leq 1\\ \\ 0, \text{ caso contrário } \end{array} \right.$$

(a) Determine o valor da constante c.

$$1=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int_{-1}^1 cx^2dx=c\frac{x^3}{3}\bigg|_{-1}^1= c\frac{2}{3}\Rightarrow c=\frac{3}{2}$$

(b) Ache o valor $ \alpha $ tal que $ F_X(\alpha)=\frac{1}{4} $.($ \alpha $ é o primeiro quartil da distribuição de X.)

$$\frac{1}{4}=F_X(\alpha)=\int_{-\infty}^\alpha f(x)dx=\int_{-1}^\alpha \frac{3}{2}x^2 dx=\frac{x^3}{2}\bigg|_{-1}^\alpha=\frac{\alpha^3}{2}+\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\alpha^3}{2}=-\frac{1}{4}\Rightarrow \alpha=-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.$$

Exemplo 2.3.10:

Uma variável aleatória X tem função de distribuição

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 1, \text { se } x\textgreater 1\\ \\ x^3, \text{ se } 0\leq x\leq 1\\ 0\text{ se } x\textless 0. \end{array} \right.$$

Qual é a densidade de X?

$$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$$

quando F for diferenciável em $ x $ então

$$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \displaystyle 3x^2, \text { se } 0\leq x\leq 1\\ \\ 0, \text{ caso contrário } \end{array} \right.$$

Exemplo 2.3.11:

Seja X uma variável aleatória com densidade

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{(1+x)^2}, \text { se } x\textgreater 1\\ \\ 0, \text{ caso contrário } \end{array} \right.$$

Seja $ Y=\max (X,c) $, no qual $ c $ é uma constante $ c>0 $.
(a) Ache a função de distribuição de Y.

Vamos dividir em três etapas primeiramente
(a1) $ y\textless c $ isso implica que $ \mathbb{P}(Y\leq y)=0 $

(a2) $ y=c $ o que implica que

$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(X\leq c)=\int_0^c \frac{1}{(1+x)^2}dx=-\frac{1}{1+x}\bigg|_0^c=1-\frac{1}{1+c}=\frac{c}{1+c}$$

(a3) $ y\textgreater 0 $ o que implica que

$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(Y\textless y)=\int_0^y \frac{1}{(1+x)^2}dx=-\frac{1}{1+x}\bigg|_0^y=\frac{y}{1+y}$$

Assim,

$$F_Y(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\textgreater c\\ \\ \frac{y}{(1+y)}, y\geq c \end{array} \right.$$

(b) Decomponha $ F_Y $ em suas partes discreta, absolutamente contínua e singular.

(b1) Parte discreta $ F_{Y_d} $, temos que

$$\mathbb{P}(Y_d\leq y)=F_Y(y)-F_Y(y^-)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\neq c\\ \\ \frac{c}{(1+c)}, y=c \end{array} \right.$$

(b2) $ F_{Y_{ab}} $ tal que

$$F_{Y_{ab}}=\int_{-\infty}^y f_Y(x) dx,$$

$$f_Y(y)=\frac{dF_y}{dy}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\leq c\\ \\ \frac{1}{(1+y)^2}, y\textgreater c \end{array} \right.$$

então

$$F_{Y_{ab}}(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\leq c\\ \\ \displaystyle \displaystyle\int_c^y \frac{1}{(1+y)^2}dy=\frac{y}{1+y}-\frac{c}{1+c}, y\geq c \end{array} \right.$$

(b3) Agora como $ F_Y(y)=F_{Y_d}(y)+F_{Y_{ab}}(y)+F_{Y_s}(y), \forall y \in \mathbb{R} $, temos

$$F_{Y_s}(y)=F_Y(y)-F_{Y_d}(y)-F_{Y_{ab}}(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\textless c\\ \\ \frac{c}{1+c}-\frac{c}{1+c}=0, y= c \\ \frac{y}{1+y}-\frac{c}{1+c}-\left(\frac{y}{1+y}-\frac{c}{1+c}\right)=0, y\textgreater c \end{array} \right.$$

então $ F_{Y_s}(y)=0, \forall y\in \mathbb{R} $.

Exemplo 2.3.12:

Determine a densidade de $ Y=(b-a)X+a $, no qual $ X\sim U[0,1] $. É a densidade da distribuição uniforme em $ [a,b] $, e escrevemos $ Y\sim U[a,b] $. Faça o gráfico da função de distribuição de Y.
Agora

$$X\sim U[0,1]\Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } x\textgreater 0 \\ \\ x, \text{ se } 0\leq x\textless 1 \\ 1, x \geq 1.\end{array} \right.$$

Agora $ Y=(b-a)X+a $, então

$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}((b-a)X+a\leq y)=\mathbb{P}\left(X\leq \frac{y-a}{(b-a)}\right)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\textless a \\ \frac{y-a}{b-a}, \text{ se } a\leq y\textless b \\ 1, y \geq b.\end{array}\right.$$

e então

$$f_Y(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\textgreater a \\ \\ \frac{1}{b-a}, \text{ se } a\leq y\textless b \\ 0, y \geq b.\end{array}\right.$$

Exemplo 2.3.13:

Se X tem densidade $ f(x)= \frac{e^{-|x|}}{2} $, $ -\infty\textless x\textless \infty $, qual a distribuição de $ Y=|X| $?

  

$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(|X|\textless y)=\mathbb{P}(-y\leq X \leq y)=\int_{-y}^y \frac{e^{-|x|}}{2}dx=\int_0^y e^{-x}dx=-e^{-x}\bigg|_0^y=1-e^{-y}$$

  Então temos que $ Y\sim Exp(1) $.
 

 

 

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