2.3 - Variável aleatória contínua

Como $f$ é uma função densidade de probabilidade ela deve satisfazer a condição que

\[\int_{- \infty}^{\infty}f(x)dx=1 \Rightarrow \int_{-1}^{5}c dx = c \cdot (5-(-1))=6c=1 \Rightarrow c=\frac{1}{6}.\]

 

Exemplo 2.3.5:

Neste caso, dizemos que $X$ tem distribuição Normal.

 

Para que $f_X$ seja uma f.d.p, basta mostrarmos que

\[\int^{\infty}_{-\infty}f_X(s)ds=1.\]

 

Então, tomamos

\[\left[\int^{\infty}_{-\infty}f_X(s)ds\right]^2=\int^{\infty}_{-\infty}f_X(x)dx \int^{\infty}_{-\infty}f_X(s)ds\overset{\text{Teo Fubinni}}{=}\frac{2}{2~\pi}\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}e^{\frac{x^2+y^2}{2}}dx~dy\]

 

e, a partir da mudança de variáveis $x = r\cos\theta$ e $y = r\text{sen}\theta$, temos que

\[\left[\int^{\infty}_{-\infty}f_X(s)ds\right]^2=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}\int^{\pi}_{0}e^{-\frac{r^2}{2}}r~d\theta~dr=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}\left[e^{-\frac{r^2}{2}}r~\theta~\right]^{\pi}_{0} dr\overset{(**)}{=}\int^{\infty}_{0}e^{-u}du=1.\]

 

Exemplo 2.3.9:

Seja X uma variável aleatória com densidade
$$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \displaystyle cx^2, \text { se } -1\leq x\leq 1\\ \\ 0, \text{ caso contrário } \end{array} \right.$$
(a) Determine o valor da constante c.
$$1=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int_{-1}^1 cx^2dx=c\frac{x^3}{3}\bigg|_{-1}^1= c\frac{2}{3}\Rightarrow c=\frac{3}{2}$$
(b) Ache o valor $\alpha$ tal que $F_X(\alpha)=\frac{1}{4}$.($\alpha$ é o primeiro quartil da distribuição de X.)
$$\frac{1}{4}=F_X(\alpha)=\int_{-\infty}^\alpha f(x)dx=\int_{-1}^\alpha \frac{3}{2}x^2 dx=\frac{x^3}{2}\bigg|_{-1}^\alpha=\frac{\alpha^3}{2}+\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\alpha^3}{2}=-\frac{1}{4}\Rightarrow \alpha=-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.$$

Exemplo 2.3.10:

Uma variável aleatória X tem função de distribuição
$$F(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 1, \text { se } x> 1\\ \\ x^3, \text{ se } 0\leq x\leq 1\\ 0\text{ se } x< 0. \end{array} \right.$$
Qual é a densidade de X?

$$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$$
quando F for diferenciável em $x$ então
$$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \displaystyle 3x^2, \text { se } 0\leq x\leq 1\\ \\ 0, \text{ caso contrário } \end{array} \right.$$

Exemplo 2.3.11:

Seja X uma variável aleatória com densidade
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{(1+x)^2}, \text { se } x> 1\\ \\ 0, \text{ caso contrário } \end{array} \right.$$
Seja $Y=\max (X,c)$, no qual $c$ é uma constante $c>0$.
(a) Ache a função de distribuição de Y.

Vamos dividir em três etapas primeiramente
(a1) $y< c$ isso implica que $\mathbb{P}(Y\leq y)=0$

(a2) $y=c$ o que implica que
$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(X\leq c)=\int_0^c \frac{1}{(1+x)^2}dx=-\frac{1}{1+x}\bigg|_0^c=1-\frac{1}{1+c}=\frac{c}{1+c}$$

(a3) $y> 0$ o que implica que
$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(Y< y)=\int_0^y \frac{1}{(1+x)^2}dx=-\frac{1}{1+x}\bigg|_0^y=\frac{y}{1+y}$$

Assim,

$$F_Y(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y> c\\ \\ \frac{y}{(1+y)}, y\geq c \end{array} \right.$$

(b) Decomponha $F_Y$ em suas partes discreta, absolutamente contínua e singular.

(b1) Parte discreta $F_{Y_d}$, temos que
$$\mathbb{P}(Y_d\leq y)=F_Y(y)-F_Y(y^-)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\neq c\\ \\ \frac{c}{(1+c)}, y=c \end{array} \right.$$

(b2) $F_{Y_{ab}}$ tal que
$$F_{Y_{ab}}=\int_{-\infty}^y f_Y(x) dx,$$

$$f_Y(y)=\frac{dF_y}{dy}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\leq c\\ \\ \frac{1}{(1+y)^2}, y> c \end{array} \right.$$

então
$$F_{Y_{ab}}(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y\leq c\\ \\ \displaystyle \displaystyle\int_c^y \frac{1}{(1+y)^2}dy=\frac{y}{1+y}-\frac{c}{1+c}, y\geq c \end{array} \right.$$

(b3) Agora como $F_Y(y)=F_{Y_d}(y)+F_{Y_{ab}}(y)+F_{Y_s}(y), \forall y \in \mathbb{R}$, temos

$$F_{Y_s}(y)=F_Y(y)-F_{Y_d}(y)-F_{Y_{ab}}(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y< c\\ \\ \frac{c}{1+c}-\frac{c}{1+c}=0, y= c \\ \frac{y}{1+y}-\frac{c}{1+c}-\left(\frac{y}{1+y}-\frac{c}{1+c}\right)=0, y> c \end{array} \right.$$

então $F_{Y_s}(y)=0, \forall y\in \mathbb{R}$.

Exemplo 2.3.12:

Determine a densidade de $Y=(b-a)X+a$, no qual $X\sim U[0,1]$. É a densidade da distribuição uniforme em $[a,b]$, e escrevemos $Y\sim U[a,b]$. Faça o gráfico da função de distribuição de Y.
Agora
$$X\sim U[0,1]\Rightarrow \mathbb{P}(X\leq x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } x> 0 \\ \\ x, \text{ se } 0\leq x< 1 \\ 1, x \geq 1.\end{array} \right.$$
Agora $Y=(b-a)X+a$, então

$$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}((b-a)X+a\leq y)=\mathbb{P}\left(X\leq \frac{y-a}{(b-a)}\right)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y< a \\ \frac{y-a}{b-a}, \text{ se } a\leq y< b \\ 1, y \geq b.\end{array}\right.$$
e então
$$f_Y(y)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0, \text { se } y> a \\ \\ \frac{1}{b-a}, \text{ se } a\leq y< b \\ 0, y \geq b.\end{array}\right.$$

Exemplo 2.3.13:

Se X tem densidade $f(x)= \frac{e^{-|x|}}{2}$, $-\infty< x< \infty$, qual a distribuição de $Y=|X|$?

  $$\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(|X|< y)=\mathbb{P}(-y\leq X \leq y)=\int_{-y}^y \frac{e^{-|x|}}{2}dx=\int_0^y e^{-x}dx=-e^{-x}\bigg|_0^y=1-e^{-y}$$
  Então temos que $Y\sim Exp(1)$.