2.4 - Vetores Aleatórios

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Nesta seção, vamos introduzir o conceito de vetor aleatório e estudar suas principais características. Por facilidade de notação, vamos considerar apenas vetores bidimensionais. Assim, dizemos que o par ordenado $(X,Y)$ é um vetor aleatório se seus componentes $X$ e $Y$ são variáveis aleatórias. 

Exemplo 2.4.1:

Considere o experimento de selecionar um ponto ao acaso no quadrado unitário \[\mathcal{R}=\{0 \ < \ x \ < \ 1 \ \text{e} \ 0 \ < \ y \ < \ 1\}.\] Denotamos por $X$ e $Y$ a primeira e a segunda coordenada do ponto selecionado, respectivamente. Com isso, temos um vetor $(X,Y)$ que corresponde ao ponto selecionado.

Neste contexto, definimos para duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ a função de distribuição acumulada conjunta da seguinte forma:

Definição 2.4.1:

a) Um vetor $Z=(X,Y)$ cujos componentes $X$ e $Y$ são variáveis aleatórias é denominado vetor aleatório.

b) A função de distribuição acumulada de $Z$ é definida como sendo uma função $F_Z=F_{X,Y}: \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]$ tal que

\[F_{X,Y}(x,y) = \mathbb{P}\left(\{X \leq x\} \cap \{Y \leq y\}\right) = \mathbb{P}\left(X \leq x , Y \leq y\right); \ \forall(x,y) \ \in \mathbb{R}^2.\] A distribuição acumulada de $X$ pode ser obtida a partir da distribuição acumulada de $Z$ da seguinte forma:

\[F_{X}(a) = \mathbb{P}(X \leq a)=\mathbb{P}(X \leq a, Y < \infty) = \mathbb{P}(\lim_{b\to \infty}\{X\leq a,Y \leq b\})=\lim_{b\to \infty}\mathbb{P}(X \leq a, Y \leq b)\] de onde concluímos que

\[F_X(a) = \lim_{b \to \infty}F(a,b).\] Analogamente, podemos obter a distribuição marginal de $Y$.

Propriedades da função de distribuição acumulada

P1. A função de distribuição acumulada $F_Z$ é não decrescente em cada variável, isto é, se $x_1 \leq x_2$, então

\[F_Z(x_1,y) \leq F_Z(x_2,y) \ \forall \ y \in \mathbb{R}\]

P2. $F_Z$ é contínua à direita e tem limite à esquerda em cada variável, isto é, se $x_n \downarrow x$ então

\[F_X(x_n,y) \downarrow F_X(x,y) \ \forall \ y \in \mathbb{R}.\]

P3. Temos que

\[\lim_{x \rightarrow -\infty}F_Z(x,y)=0.\]

Dado uma função $g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ uma função qualquer, o operador diferença é definido por $$\Delta_{a_1,b_1} g(x,y)=g(b_1,y)-g(a_1,y) \quad \text{e} \quad \Delta_{a_2,b_2} g(x,y)=g(x,b_2)-g(x,a_2),$$ no qual $-\infty < a_i< b_i< \infty$ para $i=1,2$. Assim, temos que $$\Delta_{a_1,b_1}\Delta_{a_2,b_2}g(x,y)=\Delta_{a_1,b_1}\left[g(x,b_2)-g(x,a_1)\right]=g(b_1,b_2)-g(a_1,b_2)-g(b_2,a_1)+g(a_1,a_2).$$ Com isso, temos a seguinte propriedade.

P4. Temos que $\Delta_{a_1,b_1}\Delta_{a_2,b_2}F(x,y) \geq 1.$

Essa quarta propriedade é de fundamental importância, pois sem ela podemos encontrar uma função que satisfaz P1,P2 e P3 porém apresenta probabilidade negativa como podemos ver no exemplo abaixo. Esta propriedade vale para cada componente do vetor.

Exemplo 2.4.2:

Seja $F:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfaz P1, P2, P3 defina da seguinte forma
$$F(x,y)=\begin{array}{l} 1, \quad x\geq 0, \quad y\geq 0 \text{ e } x+y\geq 1\\0, \quad c.c \end{array}$$

A região em vermelho representa $F(x,y)=0$. Note que F satisfaz as três propriedades, porém não é uma função de distribuição, pois
$$0\leq \mathbb{P}[0< X\leq 1,0< Y \leq 1]=\mathbb{P}[X\leq 1, 0< Y\leq 1]-\mathbb{P}[X\leq 0,0< Y\leq 1]=$$

$$\mathbb{P}[X\leq 1, Y\leq 1]-\mathbb{P}[X\leq 1, Y\leq 0]-\mathbb{P}(X\leq 0,Y\leq 1)+\mathbb{P}[X\leq 0,Y\leq 0]=$$

$$F(1,1)-F(1,0)-F(0,1)+F(0,0)=1-1-1+0=-1$$
o que é um absurdo.

Teorema 2.4.1:

Dado uma função $F$ satisfazendo as propriedades P1, P2, P3 e P4, então existe um vetor aleatório $(X_1,X_2)$ em $(\mathbb{R}^2,\mathfrak{B}(\mathbb{R}^2),\mathbb{P})$ tal que
$$\mathbb{P}(X_1\leq x_1, X_2\leq x_2)=F(x_1,x_2)$$
ou seja, P1, P2, P3 e P4 são suficientes para caracterizar uma função de distribuição
Demonstração: Esse teorema pode ser visto em sua forma geral em distribuição de probabilidade no $\mathbb{R}^n$.
 

Dizemos que um vetor aleatório $Z=(X,Y)$ é discreto se as variáveis aleatórias $X$ e $Y$ são discretas.

Definição 2.4.2:

Se $Z=(X,Y)$ é um vetor aleatório discreto, definimos a função de probabilidade conjunta de X e Y por

\[p(x,y)=\mathbb{P}(X=x,Y=y).\] A função de probabilidade marginal de $X$ pode ser obtida de $p(x,y)$ por

\[p_X(x)=\mathbb{P}(X=x)=\sum_{y} p(x,y).\] E, similarmente, a função de probabilidade marginal de $Y$ pode ser obtida de $p(x,y)$ por

\[p_Y(y)=\mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x} p(x,y).\]

Exemplo 2.4.3:

Considere uma urna contendo $3$ bolas vermelhas, $4$ brancas e $5$ azuis de onde são selecionadas $3$ bolas ao acaso e sem reposição. Se $X$ e $Y$ denotam, respectivamente, o número de bolas vermelhas e brancas escolhidas, então a função de probabilidade conjunta de $X$ e $Y$, $p(i,j) = \mathbb{P}(X=i,Y=j)$, é dada por

\[p(0,0)=\left(\begin{array}{c}5\\3\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{10}{220}\]

\[p(0,1)=\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\2\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{40}{220}\]

\[p(0,2)=\left(\begin{array}{c}4\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{30}{220}\]

\[p(0,3)=\left(\begin{array}{c}4\\3\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{4}{220}\]

\[p(1,0)=\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\2\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{30}{220}\]

\[p(1,1)=\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{60}{220}\]

\[p(1,2)=\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\2\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{18}{220}\]

\[p(2,0)=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{15}{220}\]

\[p(2,1)=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{12}{220}\]

\[p(3,0)=\left(\begin{array}{c}3\\3\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{1}{220}\]

 

Estas probabilidades podem ser expressas em forma de tabela, como mostrado abaixo. Observe que a função de probabilidade de $X$ é obtida ao calcularmos as somas das linhas, enquanto que a função de probabilidade de $Y$ é obtida ao calcularmos as somas das colunas. Como as funções de probabilidades individuais de $X$ e $Y$ aparecem na margem da tabela, são chamadas de funções de probabilidades marginais de $X$ e $Y$ respectivamente.

i\j  0  1  2  3  $\mathbb{P}(X=i)$ 
0 $\frac{10}{220}$ $\frac{40}{220}$ $\frac{30}{220}$ $\frac{4}{220}$ $\frac{84}{220}$
1 $\frac{30}{220}$ $\frac{60}{220}$ $\frac{18}{220}$ 0 $\frac{108}{220}$
2 $\frac{15}{220}$ $\frac{12}{220}$ 0 0 $\frac{27}{220}$
3 $\frac{1}{220}$ 0 0 0 $\frac{1}{220}$
$\mathbb{P}(Y=j)$ $\frac{56}{220}$ $\frac{112}{220}$ $\frac{48}{220}$ $\frac{4}{220}$  

Definição 2.4.3:

Dizemos que $X$ e $Y$ são conjuntamente contínuas se existe uma função $f(x,y)$ definida para todos reais $x$ e $y$, tal que

\[\mathbb{P}\left((X,Y)\in (a_1 , b_1) \times (a_2 , b_2)\right)=\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1} f(x,y)dxdy.\]

 

para todo $-\infty \ < \ a_i \ < \ b_i \ < \ \infty$ com $i=1,2$. A função $f(x,y)$ é denominada função densidade de probabilidade conjunta de $X$ e $Y$.

Se $X$ e $Y$ são conjuntamente contínuas, então elas são individualmente contínuas e suas funções densidades de probabilidade podem ser obtidas da seguinte forma

\[\mathbb{P}\left(X\in A\right)=\mathbb{P}\left(X\in A,Y\in(-\infty,\infty)\right)=\int_A\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dydx=\int_A f_X(x)dx\]

 

em que $f_X(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy$ é a função densidade de probabilidade de $X$. Similarmente, a função densidade de probabilidade de $Y$ é dada por

\[f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx\]

 

Exemplo 2.4.3:

A função densidade conjunta de $X$ e $Y$ é dada por

\[f(x,y)=\left\{\begin{array}{l} 2e^{-x}e^{-2y} \ \hbox{se} \ 0 \ < \ x \ < \ \infty, \ 0 \ < \ y \ < \ \infty\\ 0 \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.\]

 

Calcule (a) $\mathbb{P}\left(X \ > \ 1, Y \ < \ 1\right)$, (b) $\mathbb{P}\left(X \ < \ Y\right)$ e (c) $\mathbb{P}\left(X \ < \ a\right)$.

(a) Temos que

\[\mathbb{P}\left(X \ > \ 1, Y \ < \ 1\right)=\int_0^1\int_1^{\infty} 2e^{-x}e^{-2y}dxdy = e^{-1}(1-e^{-2}).\]

 

(b) Temos que

\[\mathbb{P}\left(X \ < \ Y\right)=\int\int_{\{(x,y):x \ < \ y\}}2e^{-x}e^{-2y}dxdy=\int_{0}^{\infty}\int_0^y 2e^{-x}e^{-2y}dxdy=\int_0^\infty 2e^{-3y}(e^y-1)dy=\frac{1}{3}.\]

 

(c) Temos que

\[\mathbb{P}\left(X \ < \ a\right)=\int_0^a\int_0^{\infty}2e^{-2y}e^{-x}dydx=1-e^{-a}.\]

 

Exemplo 2.4.4:

Seja $A\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | 1\leq x \leq 3; 1\leq y \leq 5\}$. Consideremos o vetor aleatório $(X,Y)$ tal que sua função densidade de probabilidade é definida abaixo.

\[f(x) = \left\{\begin{array}{l} c, \ \hbox{se} \ x \ \in \ A; \\ 0, \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 

Determine o valor de $c$ e encontre as distribuições marginais de $X$ e $Y$.

Como a função densidade de probabilidade integrada em todo seu domínio deve ter valor igual a 1, temos que

\[\int^{-\infty}_{\infty} \int^{-\infty}_{\infty}f(x,y)dx dy = \int^{3}_{1} \int^{5}_{1}c dx dy = c \int^{3}_{1} \int^{5}_{1}1 dx dy =c \int^{3}_{1}4 dy=8c=1 \Rightarrow c=\frac{1}{8}.\]

 

Agora para encontrar a fdp marginal de $X$, basta integramos a densidade conjunta em todo seu domínio de $Y$, ou seja,

\[f_X(x)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy = \int_{1}^{5}\frac{1}{8} = \frac{4}{8}=\frac{1}{2}.\]

 

Assim a distribuição marginal de $X$ é

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}, \ \hbox{se} \ 1\leq x \leq 3; \\ 0, \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 

Calculemos agora a marginal de Y

\[f_Y(y)= \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx = \int_{1}^{3}\frac{1}{8} = \frac{2}{8}=\frac{1}{4}.\]

 

Portanto a marginal de Y é dada por

\[f(y) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{4}, \ \hbox{se} \ 1\leq y \leq 5; \\ 0, \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 

Exemplo 2.4.5:

Suponha que uma urna contenha $6$ bolas enumeradas $1,2,3,4,5$ e $6$. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. Seja $X$ o número da primeira bola e $Y$ o da segunda bola. Qual a distribuição conjunta de $X$ e $Y$?

Note que, como as bolas são retiradas sem reposição, então não existe a possibilidade de retirarmos bolas iguais, ou seja, com a mesma numeração em ambas as retiradas, portanto $\mathbb{P}(X=i,Y=i)=0$. Além disso, como as bolas são retiradas ao acaso temos que não existe preferência por nenhuma das bolas. Assim $\mathbb{P}(X=i,Y=j)$ para $i\neq j$ é dada por

\[\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\mathbb{P}(Y = j|X=i)\mathbb{P}(X=i) = \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{30}.\]

 

Exemplo 2.4.6:

(a) Demonstre que a função
$$F(x,y)=\left\{\begin{array}{l} 1-e^{-x-y}, \text{ se } x\geq 0 \quad e \quad y\geq 0\\ \\ 0, \text{ Caso Contrário } \end{array}\right.$$
não é função de distribuição de um vetor aleatório.

Seja $I_X=(0,1]$ e $I_Y=(0,1]$ então
$$F(x,y)=F(1,1)-F(1,0)-F(0,1)+F(0,0)=1-e^{-2}-1+e^{-1}+0=2e^{-1}-e^{-2}-1=-0,3995 $$
Portanto $F$ não é função de distribuição pois não vale.
$F(x,y)\geq 0$, todo $I_X$ e $I_Y$ intervalo de números reais.

(b) Mostre que a seguinte função é função de distribuição de algum $(X,Y)$
$$F(x,y)=\left\{\begin{array}{c} (1-e^{-x})(1-e^{-y}), \text{ se } y\geq 0 \\ \\ 0, \text{ Caso Contrário } \end{array}\right.$$

Seja $\bar{X}\sim Exp(1)$ e $\bar{Y}\sim Exp(1)$ e $\bar{X}$ independentes $\bar{Y}$ então
$$F_{\bar{X},\bar{Y}}(\bar{x},\bar{y})=F_{\bar{X}}(\bar{x})F_{\bar{Y}}(\bar{y})=\left\{ \begin{array}{l} (1-e^{-\bar{x}})(1-e^{-\bar{y}}), \text{ se } \bar{x}\geq 0 \quad e \quad \bar{y}\geq 0\\ \\ 0, \text{ Caso Contrário } \end{array}\right.$$
Assim $F_{\bar{X},\bar{Y}}(x,y)=F(x,y)$, $\forall x,\forall y \in \mathbb{R}$. Então $(X,Y)$ é função de algum particular $(X,Y)$ pois é função de cada $(\bar{x},\bar{y})$

 

Exemplo 2.4.7:

Uma urna contém três bolas numeradas 1,2 e 3. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja $X$ o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda.

(a) Descreva a distribuição conjunta de X e Y.

Todas os resultados possíveis do experimento são equiprováveis, então a função de probabilidade é dada por
$$\mathbb{P}(X=1,Y=1)=\mathbb{P}(1,1)=0$$

$$\mathbb{P}(1,2)=\frac{1}{6}$$

$$\mathbb{P}(1,3)=\frac{1}{6}$$

$$\mathbb{P}(2,1)=\frac{1}{6}$$

$$\mathbb{P}(2,2)=0$$

$$\mathbb{P}(2,3)=\frac{1}{6}$$

$$\mathbb{P}(3,1)=\frac{1}{6}$$

$$\mathbb{P}(3,2)=\frac{1}{6}$$

$$\mathbb{P}(3,3)=0$$

(b) Calcule $\mathbb{P}(X< Y).$
Pelas probabilidades acima temos que
$$\mathbb{P}(X< Y)=\mathbb{P}(1,2)+\mathbb{P}(1,3)+\mathbb{P}(2,3)=3\frac{1}{6}=\frac{1}{2}=\mathbb{P}(X> Y).$$

 

Exemplo 2.4.8:

Dizemos que a distribuição conjunta de $X_1,\dots, X_n$ é invariante para permutação se toda permutação das $X_i$ tem a mesma distribuição, i.e., se
$$X_{\pi_1},X_{\pi_2},\dots, X_{\pi_n}\sim (X_1,\dots, X_n)$$
para toda permutação $(\pi_1,\dots, \pi_n)$ do vetor $(1,\dots,n)$.
(a) Mostre que se $(X,Y)\sim (Y,X)$ e X e Y possuem densidade conjunta $f(x,y)$, então
$$\mathbb{P}(X< Y)=\mathbb{P}(X> Y)=1/2$$
com $\mathbb{P}(X=Y)=0$.

Temos que
$$\mathbb{P}(X< Y)=\int_{-\infty}^\infty \int_x^\infty f_{XY}(x,y)dxdy$$
trocando as varáveis $x^\prime=y$ e $y^\prime=x$ e
$$\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f_{X,Y}(y^\prime, x^\prime)dx^\prime dy^\prime=\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f(y^\prime, x^\prime)dxdy=\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f(x^\prime,y^\prime)dxdy=\mathbb{P}(Y< X)$$

Agora $\mathbb{P}(X=Y)=0$, pois F é absolutamente contínua e $\lambda^2(B)=0$ no qual
$$B=\{(x,y): x=y\}$$
então
$$\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}\left\{[X> Y]\bigcup [Y> X]\bigcup [X=Y]\right\}$$
o implica que
$$1=\mathbb{P}(X> Y)+\mathbb{P}(Y> X)+\mathbb{P}(X=Y)=2\mathbb{P}(X> Y)$$
então, obtemos que
$$\mathbb{P}(X> Y)=\mathbb{P}(X< Y)=\frac{1}{2}$$

(b) Generalize o item (a), provando que se a distribuição conjunta de $X_1,\dots, X_n$ é invariante para permutações e $X_1, \dots, X_n$ possuem densidade conjunta $f(x_1,\dots,x_n)$, então
$$\mathbb{P}(X_1< X_2< \dots < X_n)=\mathbb{P}(X_{\pi_1}< X_{\pi_2}< \dots < X_{\pi_n})=\frac{1}{n!}$$
e $\mathbb{P}(X_i=X_j\text{ para algum par } (i,j)\text{ tal que }i\neq j)=0$.

$$\mathbb{P}(X_1< X_2< \dots < X_n)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_n}\int_{-\infty}^{x_{n-1}}\dots\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$
Fazendo uma troca de variáveis $X_1=X_{\pi_1}$ $\dots$ $X_n=X_{\pi_n}$ temos que
$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_n}\int_{-\infty}^{x_{n-1}}\dots\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$
$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_{\pi_n}}\int_{-\infty}^{x_{\pi_{n-1}}}\dots\int_{-\infty}^{\pi_2}f(x_{\pi_1},x_{\pi_2},\dots, x_{\pi_n})dx_{\pi_1}dx_{\pi_2}\dots dx_{\pi_n}$$
$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_{\pi_n}}\int_{-\infty}^{x_{\pi_{n-1}}}\dots\int_{-\infty}^{\pi_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$
Agora sendo $B=\{X_i=X_j : \text{ para algum } (i,j) \text{ tal que } i\neq j\}\subset\mathbb{R}^n$ e $\lambda^n(B)=0$. Assim como
$F_{X_1,X_2, \dots X_n}$ é absolutamente contínua o que implica que $\mathbb{P}(B)=0$. Agora
$$\Omega=\left\{\bigcup_{\pi_1,\pi_2,\dots, \pi_n} [X_{\pi_1}< X_{\pi_2}< \dots < X_{\pi_n}]\right\}\bigcup B$$
com ${\pi_1,\pi_2,\dots, \pi_n}$ sendo permutações de $(X_1,X_2,\dots, X_n)$ então
$$1=n!\mathbb{P}(X_1< X_2< \dots < X_n)$$
o que implica que
$$\mathbb{P}(X_1< X_2< \dots < X_n)=\frac{1}{n!}.$$

 

Exemplo 2.4.9:

Dizemos que a distribuição conjunta de $X_1,\dots, X_n$ é invariante para permutação se toda permutação das $X_i$ tem a mesma distribuição, i.e., se
$$X_{\pi_1},X_{\pi_2},\dots, X_{\pi_n}\sim (X_1,\dots, X_n)$$
para toda permutação $(\pi_1,\dots, \pi_n)$ do vetor $(1,\dots,n)$.
(a) Mostre que se $(X,Y)\sim (Y,X)$ e X e Y possuem densidade conjunta $f(x,y)$, então
$$\mathbb{P}(X< Y)=\mathbb{P}(X> Y)=1/2$$
com $\mathbb{P}(X=Y)=0$.

Temos que
$$\mathbb{P}(X< Y)=\int_{-\infty}^\infty \int_x^\infty f_{XY}(x,y)dxdy$$
trocando as varáveis $x^\prime=y$ e $y^\prime=x$ e
$$\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f_{X,Y}(y^\prime, x^\prime)dx^\prime dy^\prime=\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f(y^\prime, x^\prime)dxdy=\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f(x^\prime,y^\prime)dxdy=\mathbb{P}(Y< X)$$

Agora $\mathbb{P}(X=Y)=0$, pois F é absolutamente contínua e $\lambda^2(B)=0$ no qual
$$B=\{(x,y): x=y\}$$
então
$$\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}\left\{[X> Y]\bigcup [Y> X]\bigcup [X=Y]\right\}$$
o implica que
$$1=\mathbb{P}(X> Y)+\mathbb{P}(Y> X)+\mathbb{P}(X=Y)=2\mathbb{P}(X> Y)$$
então, obtemos que
$$\mathbb{P}(X> Y)=\mathbb{P}(X< Y)=\frac{1}{2}$$

(b) Generalize o item (a), provando que se a distribuição conjunta de $X_1,\dots, X_n$ é invariante para permutações e $X_1, \dots, X_n$ possuem densidade conjunta $f(x_1,\dots,x_n)$, então
$$\mathbb{P}(X_1< X_2< \dots < X_n)=\mathbb{P}(X_{\pi_1}< X_{\pi_2}< \dots < X_{\pi_n})=\frac{1}{n!}$$
e $\mathbb{P}(X_i=X_j\text{ para algum par } (i,j)\text{ tal que }i\neq j)=0$.

$$\mathbb{P}(X_1< X_2< \dots < X_n)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_n}\int_{-\infty}^{x_{n-1}}\dots\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$
Fazendo uma troca de variáveis $X_1=X_{\pi_1}$ $\dots$ $X_n=X_{\pi_n}$ temos que
$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_n}\int_{-\infty}^{x_{n-1}}\dots\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$
$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_{\pi_n}}\int_{-\infty}^{x_{\pi_{n-1}}}\dots\int_{-\infty}^{\pi_2}f(x_{\pi_1},x_{\pi_2},\dots, x_{\pi_n})dx_{\pi_1}dx_{\pi_2}\dots dx_{\pi_n}$$
$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_{\pi_n}}\int_{-\infty}^{x_{\pi_{n-1}}}\dots\int_{-\infty}^{\pi_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$
Agora sendo $B=\{X_i=X_j : \text{ para algum } (i,j) \text{ tal que } i\neq j\}\subset\mathbb{R}^n$ e $\lambda^n(B)=0$. Assim como
$F_{X_1,X_2, \dots X_n}$ é absolutamente contínua o que implica que $\mathbb{P}(B)=0$. Agora
$$\Omega=\left\{\bigcup_{\pi_1,\pi_2,\dots, \pi_n} [X_{\pi_1}< X_{\pi_2}< \dots < X_{\pi_n}]\right\}\bigcup B$$
com ${\pi_1,\pi_2,\dots, \pi_n}$ sendo permutações de $(X_1,X_2,\dots, X_n)$ então
$$1=n!\mathbb{P}(X_1< X_2< \dots < X_n)$$
o que implica que
$$\mathbb{P}(X_1< X_2< \dots < X_n)=\frac{1}{n!}.$$

 

Exemplo 2.4.10:

Seleciona-se, ao acaso, um ponto do circulo unitário $\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}.$ Sejam X e Y as coordenadas do ponto selecionado.

(a) Qual a densidade conjunta de X e Y?
$(X,Y)$ é uniforme no circulo unitário, então $A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$. A área $A=\pi$, então
$$f_{X,Y}(x,y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{\pi}, \text{ se } x\in A \quad e \quad \bar{y}\geq 0\\ \\ 0, x\notin A \end{array}\right.$$

(b) Determine $\mathbb{P}(X< Y), \mathbb{P}(X> Y)$

Agora pelo item (a) $(X,Y)\sim (Y,X)$ então explicando o exercício 19(a)
$$\mathbb{P}(X< Y)=\mathbb{P}(Y< X)=\frac{1}{2}$$
e $\mathbb{P}(X=Y)=0$

 

Exemplo 2.4.11:

Seleciona-se, ao acaso, um ponto do quadrado unitário $\{(x,y):0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1\}$. Sejam $X$ e $Y$ as coordenadas do ponto selecionado.

(a) Qual a densidade conjunta de X e Y ?
$(X,Y)$ é uniforme em $A=\{(x,y): 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1\}$. A area $A=1$ então
$$f_{X,Y}(x,y)=\left\{\begin{array}{l} 1, \text{ se } x\in A \quad e \quad \bar{y}\geq 0\\  \\ 0, x\notin A \end{array}\right.$$

(b) Calcule $\mathbb{P}\left(\bigg|\frac{Y}{X-1}\bigg|\leq \frac{1}{2}\right)$.
$$\mathbb{P}\left(\bigg|\frac{Y}{X-1}\bigg|\leq \frac{1}{2}\right)=\mathbb{P}\left(-\frac{1}{2}\leq \frac{Y}{X}-1\leq \frac{1}{2}\right)=\mathbb{P}\left(\frac{1}{2}\leq \frac{Y}{X}\leq \frac{3}{2}\right)$$
$$=\int_{0}^{2/3}\int_{1/2}^{3/2}1dxdy+\int_{2/3}^1 \int_{2/2}^1 1dxdy=\left[\frac{x^2}{2}\right]^{2/3}_{0}+\left[x-\frac{x^2}{4}\right]_{2/3}^1=\frac{2}{9}+\frac{3}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{5}{12}$$

(c) Calcule $\mathbb{P}\left(Y\geq X|Y\geq \frac{1}{2}\right)$.
$$\mathbb{P}\left(Y\geq X|Y\geq \frac{1}{2}\right)=\int_{1/4}^{1/2}\int_{\sqrt{x}}^{2x}dydx+\int_{1/2}^1\int_{\sqrt{x}}^1 1dydx$$

$$= \left[x^2-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]^{1/2}_{1/4}+\left[x-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1/2}^{1}$$

$$=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{3/2}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{2}=10,416\%$$

Probabilidades

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