2.4 - Vetores Aleatórios

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Nesta seção, vamos introduzir o conceito de vetor aleatório e estudar suas principais características. Por facilidade de notação, vamos considerar apenas vetores bidimensionais. Assim, dizemos que o par ordenado $ (X,Y) $ é um vetor aleatório se seus componentes $ X $ e $ Y $ são variáveis aleatórias. 

Exemplo 2.4.1:

Considere o experimento de selecionar um ponto ao acaso no quadrado unitário 

\[\mathcal{R}=\{0 \ \textless \ x \ \textless \ 1 \ \text{e} \ 0 \ \textless \ y \ \textless \ 1\}.\]

 Denotamos por $ X $ e $ Y $ a primeira e a segunda coordenada do ponto selecionado, respectivamente. Com isso, temos um vetor $ (X,Y) $ que corresponde ao ponto selecionado.

Neste contexto, definimos para duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ a função de distribuição acumulada conjunta da seguinte forma:

Definição 2.4.1:

a) Um vetor $ Z=(X,Y) $ cujos componentes $ X $ e $ Y $ são variáveis aleatórias é denominado vetor aleatório.

b) A função de distribuição acumulada de $ Z $ é definida como sendo uma função  \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1] $ tal que


\[F_{X,Y}(x,y) = \mathbb{P}\left(\{X \leq x\} \cap \{Y \leq y\}\right) = \mathbb{P}\left(X \leq x , Y \leq y\right); \ \forall(x,y) \ \in \mathbb{R}^2.\]

 A distribuição acumulada de $ X $ pode ser obtida a partir da distribuição acumulada de $ Z $ da seguinte forma:


\[F_{X}(a) = \mathbb{P}(X \leq a)=\mathbb{P}(X \leq a, Y \textless \infty) = \mathbb{P}(\lim_{b\to \infty}\{X\leq a,Y \leq b\})=\lim_{b\to \infty}\mathbb{P}(X \leq a, Y \leq b)\]

 de onde concluímos que


\[F_X(a) = \lim_{b \to \infty}F(a,b).\]

 Analogamente, podemos obter a distribuição marginal de $ Y $.

Propriedades da função de distribuição acumulada

P1. A função de distribuição acumulada $ F_Z $ é não decrescente em cada variável, isto é, se $ x_1 \leq x_2 $, então


\[F_Z(x_1,y) \leq F_Z(x_2,y) \ \forall \ y \in \mathbb{R}\]

P2. $ F_Z $ é contínua à direita e tem limite à esquerda em cada variável, isto é, se $ x_n \downarrow x $ então


\[F_X(x_n,y) \downarrow F_X(x,y) \ \forall \ y \in \mathbb{R}.\]

P3. Temos que


\[\lim_{x \rightarrow -\infty}F_Z(x,y)=0.\]

Dado uma função \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} $ uma função qualquer, o operador diferença é definido por 

$$\Delta_{a_1,b_1} g(x,y)=g(b_1,y)-g(a_1,y) \quad \text{e} \quad \Delta_{a_2,b_2} g(x,y)=g(x,b_2)-g(x,a_2),$$

no qual $ -\infty \textless a_i\textless b_i\textless \infty $ para $ i=1,2 $. Assim, temos que 

$$\Delta_{a_1,b_1}\Delta_{a_2,b_2}g(x,y)=\Delta_{a_1,b_1}\left[g(x,b_2)-g(x,a_1)\right]=g(b_1,b_2)-g(a_1,b_2)-g(b_2,a_1)+g(a_1,a_2).$$

Com isso, temos a seguinte propriedade.

P4. Temos que $ \Delta_{a_1,b_1}\Delta_{a_2,b_2}F(x,y) \geq 1. $

Essa quarta propriedade é de fundamental importância, pois sem ela podemos encontrar uma função que satisfaz P1,P2 e P3 porém apresenta probabilidade negativa como podemos ver no exemplo abaixo. Esta propriedade vale para cada componente do vetor.

Exemplo 2.4.2:

Seja \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} $ que satisfaz P1, P2, P3 defina da seguinte forma

$$F(x,y)=\begin{array}{l} 1, \quad x\geq 0, \quad y\geq 0 \text{ e } x+y\geq 1\\0, \quad c.c \end{array}$$


A região em vermelho representa $ F(x,y)=0 $. Note que F satisfaz as três propriedades, porém não é uma função de distribuição, pois

$$0\leq \mathbb{P}[0\textless X\leq 1,0\textless Y \leq 1]=\mathbb{P}[X\leq 1, 0\textless Y\leq 1]-\mathbb{P}[X\leq 0,0\textless Y\leq 1]=$$

$$\mathbb{P}[X\leq 1, Y\leq 1]-\mathbb{P}[X\leq 1, Y\leq 0]-\mathbb{P}(X\leq 0,Y\leq 1)+\mathbb{P}[X\leq 0,Y\leq 0]=$$

$$F(1,1)-F(1,0)-F(0,1)+F(0,0)=1-1-1+0=-1$$

o que é um absurdo.

Teorema 2.4.1:

Dado uma função $ F $ satisfazendo as propriedades P1, P2, P3 e P4, então existe um vetor aleatório $ (X_1,X_2) $ em $ (\mathbb{R}^2,\mathfrak{B}(\mathbb{R}^2),\mathbb{P}) $ tal que

$$\mathbb{P}(X_1\leq x_1, X_2\leq x_2)=F(x_1,x_2)$$

ou seja, P1, P2, P3 e P4 são suficientes para caracterizar uma função de distribuição
Demonstração: Esse teorema pode ser visto em sua forma geral em distribuição de probabilidade no $ \mathbb{R}^n $.
 

Dizemos que um vetor aleatório $ Z=(X,Y) $ é discreto se as variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são discretas.

Definição 2.4.2:

Se $ Z=(X,Y) $ é um vetor aleatório discreto, definimos a função de probabilidade conjunta de X e Y por


\[p(x,y)=\mathbb{P}(X=x,Y=y).\]

 A função de probabilidade marginal de $ X $ pode ser obtida de $ p(x,y) $ por


\[p_X(x)=\mathbb{P}(X=x)=\sum_{y} p(x,y).\]

 E, similarmente, a função de probabilidade marginal de $ Y $ pode ser obtida de $ p(x,y) $ por


\[p_Y(y)=\mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x} p(x,y).\]

Exemplo 2.4.3:

Considere uma urna contendo $ 3 $ bolas vermelhas, $ 4 $ brancas e $ 5 $ azuis de onde são selecionadas $ 3 $ bolas ao acaso e sem reposição. Se $ X $ e $ Y $ denotam, respectivamente, o número de bolas vermelhas e brancas escolhidas, então a função de probabilidade conjunta de $ X $ e $ Y $, $ p(i,j) = \mathbb{P}(X=i,Y=j) $, é dada por


\[p(0,0)=\left(\begin{array}{c}5\\3\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{10}{220}\]


\[p(0,1)=\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\2\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{40}{220}\]


\[p(0,2)=\left(\begin{array}{c}4\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{30}{220}\]


\[p(0,3)=\left(\begin{array}{c}4\\3\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{4}{220}\]


\[p(1,0)=\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\2\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{30}{220}\]


\[p(1,1)=\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{60}{220}\]


\[p(1,2)=\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\2\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{18}{220}\]


\[p(2,0)=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{15}{220}\]


\[p(2,1)=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{12}{220}\]


\[p(3,0)=\left(\begin{array}{c}3\\3\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}12\\3\end{array}\right)=\frac{1}{220}\]

 

Estas probabilidades podem ser expressas em forma de tabela, como mostrado abaixo. Observe que a função de probabilidade de $ X $ é obtida ao calcularmos as somas das linhas, enquanto que a função de probabilidade de $ Y $ é obtida ao calcularmos as somas das colunas. Como as funções de probabilidades individuais de $ X $ e $ Y $ aparecem na margem da tabela, são chamadas de funções de probabilidades marginais de $ X $ e $ Y $ respectivamente.

i\j  0  1  2  3  $ \mathbb{P}(X=i) $ 
0 $ \frac{10}{220} $ $ \frac{40}{220} $ $ \frac{30}{220} $ $ \frac{4}{220} $ $ \frac{84}{220} $
1 $ \frac{30}{220} $ $ \frac{60}{220} $ $ \frac{18}{220} $ 0 $ \frac{108}{220} $
2 $ \frac{15}{220} $ $ \frac{12}{220} $ 0 0 $ \frac{27}{220} $
3 $ \frac{1}{220} $ 0 0 0 $ \frac{1}{220} $
$ \mathbb{P}(Y=j) $ $ \frac{56}{220} $ $ \frac{112}{220} $ $ \frac{48}{220} $ $ \frac{4}{220} $  

Definição 2.4.3:

Dizemos que $ X $ e $ Y $ são conjuntamente contínuas se existe uma função $ f(x,y) $ definida para todos reais $ x $ e $ y $, tal que


\[\mathbb{P}\left((X,Y)\in (a_1 , b_1) \times (a_2 , b_2)\right)=\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1} f(x,y)dxdy.\]

 

para todo $ -\infty \ \textless \ a_i \ \textless \ b_i \ \textless \ \infty $ com $ i=1,2 $. A função $ f(x,y) $ é denominada função densidade de probabilidade conjunta de $ X $ e $ Y $.

Se $ X $ e $ Y $ são conjuntamente contínuas, então elas são individualmente contínuas e suas funções densidades de probabilidade podem ser obtidas da seguinte forma


\[\mathbb{P}\left(X\in A\right)=\mathbb{P}\left(X\in A,Y\in(-\infty,\infty)\right)=\int_A\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dydx=\int_A f_X(x)dx\]

 

em que $ f_X(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy $ é a função densidade de probabilidade de $ X $. Similarmente, a função densidade de probabilidade de $ Y $ é dada por


\[f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx\]

 

Exemplo 2.4.3:

A função densidade conjunta de $ X $ e $ Y $ é dada por


\[f(x,y)=\left\{\begin{array}{l} 2e^{-x}e^{-2y} \ \hbox{se} \ 0 \ \textless \ x \ \textless \ \infty, \ 0 \ \textless \ y \ \textless \ \infty\\ 0 \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.\]

 

Calcule (a) $ \mathbb{P}\left(X \ \textgreater \ 1, Y \ \textless \ 1\right) $, (b) $ \mathbb{P}\left(X \ \textless \ Y\right) $ e (c) $ \mathbb{P}\left(X \ \textless \ a\right) $.

(a) Temos que


\[\mathbb{P}\left(X \ \textgreater \ 1, Y \ \textless \ 1\right)=\int_0^1\int_1^{\infty} 2e^{-x}e^{-2y}dxdy = e^{-1}(1-e^{-2}).\]

 

(b) Temos que


x \ \textless \ y\}}2e^{-x}e^{-2y}dxdy=\int_{0}^{\infty}\int_0^y 2e^{-x}e^{-2y}dxdy=\int_0^\infty 2e^{-3y}(e^y-1)dy=\frac{1}{3}.\]

 

(c) Temos que


\[\mathbb{P}\left(X \ \textless \ a\right)=\int_0^a\int_0^{\infty}2e^{-2y}e^{-x}dydx=1-e^{-a}.\]

 

Exemplo 2.4.4:

Seja $ A\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | 1\leq x \leq 3; 1\leq y \leq 5\} $. Consideremos o vetor aleatório $ (X,Y) $ tal que sua função densidade de probabilidade é definida abaixo.


\[f(x) = \left\{\begin{array}{l} c, \ \hbox{se} \ x \ \in \ A; \\ 0, \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 

Determine o valor de $ c $ e encontre as distribuições marginais de $ X $ e $ Y $.

Como a função densidade de probabilidade integrada em todo seu domínio deve ter valor igual a 1, temos que


\[\int^{-\infty}_{\infty} \int^{-\infty}_{\infty}f(x,y)dx dy = \int^{3}_{1} \int^{5}_{1}c dx dy = c \int^{3}_{1} \int^{5}_{1}1 dx dy =c \int^{3}_{1}4 dy=8c=1 \Rightarrow c=\frac{1}{8}.\]

 

Agora para encontrar a fdp marginal de $ X $, basta integramos a densidade conjunta em todo seu domínio de $ Y $, ou seja,


\[f_X(x)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy = \int_{1}^{5}\frac{1}{8} = \frac{4}{8}=\frac{1}{2}.\]

 

Assim a distribuição marginal de $ X $ é


\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}, \ \hbox{se} \ 1\leq x \leq 3; \\ 0, \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 

Calculemos agora a marginal de Y


\[f_Y(y)= \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx = \int_{1}^{3}\frac{1}{8} = \frac{2}{8}=\frac{1}{4}.\]

 

Portanto a marginal de Y é dada por


\[f(y) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{4}, \ \hbox{se} \ 1\leq y \leq 5; \\ 0, \ \hbox{caso contrário}.\end{array} \right.\]

 

Exemplo 2.4.5:

Suponha que uma urna contenha $ 6 $ bolas enumeradas $ 1,2,3,4,5 $ e $ 6 $. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. Seja $ X $ o número da primeira bola e $ Y $ o da segunda bola. Qual a distribuição conjunta de $ X $ e $ Y $?

Note que, como as bolas são retiradas sem reposição, então não existe a possibilidade de retirarmos bolas iguais, ou seja, com a mesma numeração em ambas as retiradas, portanto $ \mathbb{P}(X=i,Y=i)=0 $. Além disso, como as bolas são retiradas ao acaso temos que não existe preferência por nenhuma das bolas. Assim $ \mathbb{P}(X=i,Y=j) $ para $ i\neq j $ é dada por


\[\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\mathbb{P}(Y = j|X=i)\mathbb{P}(X=i) = \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{30}.\]

 

Exemplo 2.4.6:

(a) Demonstre que a função

$$F(x,y)=\left\{\begin{array}{l} 1-e^{-x-y}, \text{ se } x\geq 0 \quad e \quad y\geq 0\\ \\ 0, \text{ Caso Contrário } \end{array}\right.$$

não é função de distribuição de um vetor aleatório.

Seja $ I_X=(0,1] $ e $ I_Y=(0,1] $ então

$$F(x,y)=F(1,1)-F(1,0)-F(0,1)+F(0,0)=1-e^{-2}-1+e^{-1}+0=2e^{-1}-e^{-2}-1=-0,3995 $$

Portanto $ F $ não é função de distribuição pois não vale.
$ F(x,y)\geq 0 $, todo $ I_X $ e $ I_Y $ intervalo de números reais.

(b) Mostre que a seguinte função é função de distribuição de algum $ (X,Y) $

$$F(x,y)=\left\{\begin{array}{c} (1-e^{-x})(1-e^{-y}), \text{ se } y\geq 0 \\ \\ 0, \text{ Caso Contrário } \end{array}\right.$$

Seja $ \bar{X}\sim Exp(1) $ e $ \bar{Y}\sim Exp(1) $ e $ \bar{X} $ independentes $ \bar{Y} $ então

$$F_{\bar{X},\bar{Y}}(\bar{x},\bar{y})=F_{\bar{X}}(\bar{x})F_{\bar{Y}}(\bar{y})=\left\{ \begin{array}{l} (1-e^{-\bar{x}})(1-e^{-\bar{y}}), \text{ se } \bar{x}\geq 0 \quad e \quad \bar{y}\geq 0\\ \\ 0, \text{ Caso Contrário } \end{array}\right.$$

Assim $ F_{\bar{X},\bar{Y}}(x,y)=F(x,y) $, $ \forall x,\forall y \in \mathbb{R} $. Então $ (X,Y) $ é função de algum particular $ (X,Y) $ pois é função de cada $ (\bar{x},\bar{y}) $

 

Exemplo 2.4.7:

Uma urna contém três bolas numeradas 1,2 e 3. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja $ X $ o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda.

(a) Descreva a distribuição conjunta de X e Y.

Todas os resultados possíveis do experimento são equiprováveis, então a função de probabilidade é dada por

$$\mathbb{P}(X=1,Y=1)=\mathbb{P}(1,1)=0$$


$$\mathbb{P}(1,2)=\frac{1}{6}$$


$$\mathbb{P}(1,3)=\frac{1}{6}$$


$$\mathbb{P}(2,1)=\frac{1}{6}$$


$$\mathbb{P}(2,2)=0$$


$$\mathbb{P}(2,3)=\frac{1}{6}$$


$$\mathbb{P}(3,1)=\frac{1}{6}$$


$$\mathbb{P}(3,2)=\frac{1}{6}$$


$$\mathbb{P}(3,3)=0$$

(b) Calcule $ \mathbb{P}(X\textless Y). $
Pelas probabilidades acima temos que

$$\mathbb{P}(X\textless Y)=\mathbb{P}(1,2)+\mathbb{P}(1,3)+\mathbb{P}(2,3)=3\frac{1}{6}=\frac{1}{2}=\mathbb{P}(X\textgreater Y).$$

 

Exemplo 2.4.8:

Dizemos que a distribuição conjunta de $ X_1,\dots, X_n $ é invariante para permutação se toda permutação das $ X_i $ tem a mesma distribuição, i.e., se

$$X_{\pi_1},X_{\pi_2},\dots, X_{\pi_n}\sim (X_1,\dots, X_n)$$

para toda permutação $ (\pi_1,\dots, \pi_n) $ do vetor $ (1,\dots,n) $.
(a) Mostre que se $ (X,Y)\sim (Y,X) $ e X e Y possuem densidade conjunta $ f(x,y) $, então

$$\mathbb{P}(X\textless Y)=\mathbb{P}(X\textgreater Y)=1/2$$

com $ \mathbb{P}(X=Y)=0 $.

Temos que

$$\mathbb{P}(X\textless Y)=\int_{-\infty}^\infty \int_x^\infty f_{XY}(x,y)dxdy$$

trocando as varáveis $ x^\prime=y $ e $ y^\prime=x $ e

$$\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f_{X,Y}(y^\prime, x^\prime)dx^\prime dy^\prime=\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f(y^\prime, x^\prime)dxdy=\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f(x^\prime,y^\prime)dxdy=\mathbb{P}(Y\textless X)$$

Agora $ \mathbb{P}(X=Y)=0 $, pois F é absolutamente contínua e $ \lambda^2(B)=0 $ no qual

 x=y\}$$

então

$$\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}\left\{[X\textgreater Y]\bigcup [Y\textgreater X]\bigcup [X=Y]\right\}$$

o implica que

$$1=\mathbb{P}(X\textgreater Y)+\mathbb{P}(Y\textgreater X)+\mathbb{P}(X=Y)=2\mathbb{P}(X\textgreater Y)$$

então, obtemos que

$$\mathbb{P}(X\textgreater Y)=\mathbb{P}(X\textless Y)=\frac{1}{2}$$

(b) Generalize o item (a), provando que se a distribuição conjunta de $ X_1,\dots, X_n $ é invariante para permutações e $ X_1, \dots, X_n $ possuem densidade conjunta $ f(x_1,\dots,x_n) $, então

$$\mathbb{P}(X_1\textless X_2\textless \dots \textless X_n)=\mathbb{P}(X_{\pi_1}\textless X_{\pi_2}\textless \dots \textless X_{\pi_n})=\frac{1}{n!}$$

e $ \mathbb{P}(X_i=X_j\text{ para algum par } (i,j)\text{ tal que }i\neq j)=0 $.

$$\mathbb{P}(X_1\textless X_2\textless \dots \textless X_n)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_n}\int_{-\infty}^{x_{n-1}}\dots\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$

Fazendo uma troca de variáveis $ X_1=X_{\pi_1} $$ \dots $$ X_n=X_{\pi_n} $ temos que

$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_n}\int_{-\infty}^{x_{n-1}}\dots\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_{\pi_n}}\int_{-\infty}^{x_{\pi_{n-1}}}\dots\int_{-\infty}^{\pi_2}f(x_{\pi_1},x_{\pi_2},\dots, x_{\pi_n})dx_{\pi_1}dx_{\pi_2}\dots dx_{\pi_n}$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_{\pi_n}}\int_{-\infty}^{x_{\pi_{n-1}}}\dots\int_{-\infty}^{\pi_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$

Agora sendo  \text{ para algum } (i,j) \text{ tal que } i\neq j\}\subset\mathbb{R}^n $ e $ \lambda^n(B)=0 $. Assim como
$ F_{X_1,X_2, \dots X_n} $ é absolutamente contínua o que implica que $ \mathbb{P}(B)=0 $. Agora

$$\Omega=\left\{\bigcup_{\pi_1,\pi_2,\dots, \pi_n} [X_{\pi_1}\textless X_{\pi_2}\textless \dots \textless X_{\pi_n}]\right\}\bigcup B$$

com $ {\pi_1,\pi_2,\dots, \pi_n} $ sendo permutações de $ (X_1,X_2,\dots, X_n) $ então

$$1=n!\mathbb{P}(X_1\textless X_2\textless \dots \textless X_n)$$

o que implica que

$$\mathbb{P}(X_1\textless X_2\textless \dots \textless X_n)=\frac{1}{n!}.$$

 

Exemplo 2.4.9:

Dizemos que a distribuição conjunta de $ X_1,\dots, X_n $ é invariante para permutação se toda permutação das $ X_i $ tem a mesma distribuição, i.e., se

$$X_{\pi_1},X_{\pi_2},\dots, X_{\pi_n}\sim (X_1,\dots, X_n)$$

para toda permutação $ (\pi_1,\dots, \pi_n) $ do vetor $ (1,\dots,n) $.
(a) Mostre que se $ (X,Y)\sim (Y,X) $ e X e Y possuem densidade conjunta $ f(x,y) $, então

$$\mathbb{P}(X\textless Y)=\mathbb{P}(X\textgreater Y)=1/2$$

com $ \mathbb{P}(X=Y)=0 $.

Temos que

$$\mathbb{P}(X\textless Y)=\int_{-\infty}^\infty \int_x^\infty f_{XY}(x,y)dxdy$$

trocando as varáveis $ x^\prime=y $ e $ y^\prime=x $ e

$$\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f_{X,Y}(y^\prime, x^\prime)dx^\prime dy^\prime=\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f(y^\prime, x^\prime)dxdy=\int_{-\infty}^\infty \int_{y^\prime}^\infty f(x^\prime,y^\prime)dxdy=\mathbb{P}(Y\textless X)$$

Agora $ \mathbb{P}(X=Y)=0 $, pois F é absolutamente contínua e $ \lambda^2(B)=0 $ no qual

 x=y\}$$

então

$$\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}\left\{[X\textgreater Y]\bigcup [Y\textgreater X]\bigcup [X=Y]\right\}$$

o implica que

$$1=\mathbb{P}(X\textgreater Y)+\mathbb{P}(Y\textgreater X)+\mathbb{P}(X=Y)=2\mathbb{P}(X\textgreater Y)$$

então, obtemos que

$$\mathbb{P}(X\textgreater Y)=\mathbb{P}(X\textless Y)=\frac{1}{2}$$

(b) Generalize o item (a), provando que se a distribuição conjunta de $ X_1,\dots, X_n $ é invariante para permutações e $ X_1, \dots, X_n $ possuem densidade conjunta $ f(x_1,\dots,x_n) $, então

$$\mathbb{P}(X_1\textless X_2\textless \dots \textless X_n)=\mathbb{P}(X_{\pi_1}\textless X_{\pi_2}\textless \dots \textless X_{\pi_n})=\frac{1}{n!}$$

e $ \mathbb{P}(X_i=X_j\text{ para algum par } (i,j)\text{ tal que }i\neq j)=0 $.

$$\mathbb{P}(X_1\textless X_2\textless \dots \textless X_n)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_n}\int_{-\infty}^{x_{n-1}}\dots\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$

Fazendo uma troca de variáveis $ X_1=X_{\pi_1} $$ \dots $$ X_n=X_{\pi_n} $ temos que

$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_n}\int_{-\infty}^{x_{n-1}}\dots\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_{\pi_n}}\int_{-\infty}^{x_{\pi_{n-1}}}\dots\int_{-\infty}^{\pi_2}f(x_{\pi_1},x_{\pi_2},\dots, x_{\pi_n})dx_{\pi_1}dx_{\pi_2}\dots dx_{\pi_n}$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_{\pi_n}}\int_{-\infty}^{x_{\pi_{n-1}}}\dots\int_{-\infty}^{\pi_2}f(x_1,x_2,\dots, x_n)dx_1dx_2\dots dx_n$$

Agora sendo  \text{ para algum } (i,j) \text{ tal que } i\neq j\}\subset\mathbb{R}^n $ e $ \lambda^n(B)=0 $. Assim como
$ F_{X_1,X_2, \dots X_n} $ é absolutamente contínua o que implica que $ \mathbb{P}(B)=0 $. Agora

$$\Omega=\left\{\bigcup_{\pi_1,\pi_2,\dots, \pi_n} [X_{\pi_1}\textless X_{\pi_2}\textless \dots \textless X_{\pi_n}]\right\}\bigcup B$$

com $ {\pi_1,\pi_2,\dots, \pi_n} $ sendo permutações de $ (X_1,X_2,\dots, X_n) $ então

$$1=n!\mathbb{P}(X_1\textless X_2\textless \dots \textless X_n)$$

o que implica que

$$\mathbb{P}(X_1\textless X_2\textless \dots \textless X_n)=\frac{1}{n!}.$$

 

Exemplo 2.4.10:

Seleciona-se, ao acaso, um ponto do circulo unitário x^2+y^2\leq 1\}. $ Sejam X e Y as coordenadas do ponto selecionado.

(a) Qual a densidade conjunta de X e Y?
$ (X,Y) $ é uniforme no circulo unitário, então x^2+y^2=1\} $. A área $ A=\pi $, então

$$f_{X,Y}(x,y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{\pi}, \text{ se } x\in A \quad e \quad \bar{y}\geq 0\\ \\ 0, x\notin A \end{array}\right.$$

(b) Determine $ \mathbb{P}(X\textless Y), \mathbb{P}(X\textgreater Y) $

Agora pelo item (a) $ (X,Y)\sim (Y,X) $ então explicando o exercício 19(a)

$$\mathbb{P}(X\textless Y)=\mathbb{P}(Y\textless X)=\frac{1}{2}$$

e $ \mathbb{P}(X=Y)=0 $

 

Exemplo 2.4.11:

Seleciona-se, ao acaso, um ponto do quadrado unitário 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1\} $. Sejam $ X $ e $ Y $ as coordenadas do ponto selecionado.

(a) Qual a densidade conjunta de X e Y ?
$ (X,Y) $ é uniforme em  0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1\} $. A area $ A=1 $ então

$$f_{X,Y}(x,y)=\left\{\begin{array}{l} 1, \text{ se } x\in A \quad e \quad \bar{y}\geq 0\\  \\ 0, x\notin A \end{array}\right.$$

(b) Calcule $ \mathbb{P}\left(\bigg|\frac{Y}{X-1}\bigg|\leq \frac{1}{2}\right) $.

$$\mathbb{P}\left(\bigg|\frac{Y}{X-1}\bigg|\leq \frac{1}{2}\right)=\mathbb{P}\left(-\frac{1}{2}\leq \frac{Y}{X}-1\leq \frac{1}{2}\right)=\mathbb{P}\left(\frac{1}{2}\leq \frac{Y}{X}\leq \frac{3}{2}\right)$$

$$=\int_{0}^{2/3}\int_{1/2}^{3/2}1dxdy+\int_{2/3}^1 \int_{2/2}^1 1dxdy=\left[\frac{x^2}{2}\right]^{2/3}_{0}+\left[x-\frac{x^2}{4}\right]_{2/3}^1=\frac{2}{9}+\frac{3}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{5}{12}$$

(c) Calcule $ \mathbb{P}\left(Y\geq X|Y\geq \frac{1}{2}\right) $.

$$\mathbb{P}\left(Y\geq X|Y\geq \frac{1}{2}\right)=\int_{1/4}^{1/2}\int_{\sqrt{x}}^{2x}dydx+\int_{1/2}^1\int_{\sqrt{x}}^1 1dydx$$

$$= \left[x^2-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]^{1/2}_{1/4}+\left[x-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1/2}^{1}$$

$$=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{3/2}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{2}=10,416\%$$

Probabilidades

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