2.9 - Construção de variáveis aleatórias

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Nesta seção construímos uma variável aleatória associada à distribuição de probabilidade discreta $f$. Primeiramente, definimos que uma partição $\mathcal{K}$ do $S^{\infty}$, no qual $S^\infty$ é o espaço de Cantor, é uma classe finita de conjuntos $K_{1}, \ldots, K_{n}$ que satisfaz

(i) $K_{i} \in S^\infty, \ i=1, \ldots,n$;

(ii) $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}K_{i} = S^{\infty}$;

(iii) $K_{j}\displaystyle\bigcap K_{l}=\emptyset, ~~j,l=1, \ldots,n ~\hbox{e}~j\neq l$.

Denotamos por $S(\mathcal{A})$ conjunto de todas as funções $X:S^{\infty}\rightarrow \mathbb{R}$ tais que

\[X = \sum_{i=1}^{n}c_{i}1\!\!1_{\{K_{i}\}}\label{eq_fc_mensuravel}\]

 

com $K_1, \ldots, K_{n}$ uma partição do $S^{\infty}$ e $c_{i} \in \mathbb{R}$, $i=1,\ldots,n$. Os elementos de $S(\mathcal{A})$ são denominados variáveis aleatórias (ou funções mensuráveis).

Teorema 2.9.1:

Consideremos o espaço de probabilidade ($S^{\infty}, \mathcal{A}, \mathbb{P}$).

(i) Dada uma variável aleatória $X$ assumindo valores no espaço finito $\{c_{1},\ldots,c_{n}: c_{i} \in \mathbb{R}~\hbox{e}~ n \in \mathbb{N}\}$ existe uma função $f$ associada à $X$ tal que

\[\mathbb{P}\left(\omega: X(\omega)=c_{i}\right) = f(i)=\frac{j_{i}}{2^{j}},\]

 

para $j_{i}\in \{0,1,\ldots,2^{j}\}$ e $j \in \mathbb{N}$.

(ii) Dada uma distribuição de probabilidade discreta $\eta$ sobre o espaço finito $\{c_{1},\ldots,c_{n}: c_{i} \in\mathbb{R}~\hbox{e}~ n \in \mathbb{N}\}$ satisfazendo $f(i)= \displaystyle\frac{j_{i}}{2^{j}}$ para $j_{i}\in\{0,1,\ldots,2^{j}\}$ e $j \in \mathbb{N}$, existe uma variável aleatória $X: S^{\infty}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfazedo

\[\mathbb{P}\left(\omega: X(\omega)=c_{i}\right) = \eta(i)\]

 

Demonstração:

Consideremos $\{B_{1},B_{2},\ldots,B_{2^{j}}\}$ um conjunto enumerável qualquer tal que

\[\Delta_{j} =\{\pi_{1}^{-1}(\{\omega_{1}\})\cap \ldots \cap\pi_{1}^{-1}(\{\omega_{j}\}): (\omega_{1},\omega_{2},\ldots,\omega_{J})\in S^{j}\} = \{B_{1},B_{2},\ldots,B_{2^{j}}\}.\]

 

Consideramos

\[A_{1} = B_{1}\cup \cdots \cup B_{j_{1}}\]

$$\vdots$$

$$A_{i}=B_{j_1+\cdots+j_{i-1}}\cup \cdots \cup B_{j_{1}+ \cdots + j_{i}},$$

 

para $i=1,2,\ldots,n$. Assim, obtemos uma variável aleatória $X$

$$X(\omega) = \sum_{i=1}^{n}i 1\!\!1_{\{A_{i}\}}(\omega) ~ ~ $$

 

tal que

$$\eta(i)=P[w \in S^{\infty} : X(w) = i ] ~ = ~ P(A_i) ~ = ~\frac{j_{i}}{2^{j}}$$

 

A probabilidade imagem $P$ é a distribuição de probabilidade discreta $\eta(i)$ associada à variável aleatória $X$  definida anteriormente.

Por outro lado, dado $X = \sum_{i=1}^{n}c_i1\!\!1_{\{K_{i}\}}$ uma variável aleatória obtemos que $\eta(i) = P[K_{i}]$.

Observe que a representação da variável aleatória $X$ não é única: qualquer permutação dos elementos de $\Delta_j$ nos conduz a uma variável aleatória distinta. Por isso, fixamos a enumeração definida por $\Delta_j$.

Probabilidades

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