2.9 - Construção de variáveis aleatórias

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Nesta seção construímos uma variável aleatória associada à distribuição de probabilidade discreta $ f $. Primeiramente, definimos que uma partição $ \mathcal{K} $ do $ S^{\infty} $, no qual $ S^\infty $ é o espaço de Cantor, é uma classe finita de conjuntos $ K_{1}, \ldots, K_{n} $ que satisfaz

(i) $ K_{i} \in S^\infty, \ i=1, \ldots,n $;

(ii) $ \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}K_{i} = S^{\infty} $;

(iii) $ K_{j}\displaystyle\bigcap K_{l}=\emptyset, ~~j,l=1, \ldots,n ~\hbox{e}~j\neq l $.

Denotamos por $ S(\mathcal{A}) $ conjunto de todas as funções S^{\infty}\rightarrow \mathbb{R} $ tais que


\[X = \sum_{i=1}^{n}c_{i}1\!\!1_{\{K_{i}\}}\label{eq_fc_mensuravel}\]

 

com $ K_1, \ldots, K_{n} $ uma partição do $ S^{\infty} $ e $ c_{i} \in \mathbb{R} $, $ i=1,\ldots,n $. Os elementos de $ S(\mathcal{A}) $ são denominados variáveis aleatórias (ou funções mensuráveis).

Teorema 2.9.1:

Consideremos o espaço de probabilidade ($ S^{\infty}, \mathcal{A}, \mathbb{P} $).

(i) Dada uma variável aleatória $ X $ assumindo valores no espaço finito  c_{i} \in \mathbb{R}~\hbox{e}~ n \in \mathbb{N}\} $ existe uma função $ f $ associada à $ X $ tal que


 X(\omega)=c_{i}\right) = f(i)=\frac{j_{i}}{2^{j}},\]

 

para $ j_{i}\in \{0,1,\ldots,2^{j}\} $ e $ j \in \mathbb{N} $.

(ii) Dada uma distribuição de probabilidade discreta $ \eta $ sobre o espaço finito  c_{i} \in\mathbb{R}~\hbox{e}~ n \in \mathbb{N}\} $ satisfazendo $ f(i)= \displaystyle\frac{j_{i}}{2^{j}} $ para $ j_{i}\in\{0,1,\ldots,2^{j}\} $ e $ j \in \mathbb{N} $, existe uma variável aleatória  S^{\infty}\rightarrow \mathbb{R} $ satisfazedo


 X(\omega)=c_{i}\right) = \eta(i)\]

 

Demonstração:

Consideremos $ \{B_{1},B_{2},\ldots,B_{2^{j}}\} $ um conjunto enumerável qualquer tal que


 (\omega_{1},\omega_{2},\ldots,\omega_{J})\in S^{j}\} = \{B_{1},B_{2},\ldots,B_{2^{j}}\}.\]

 

Consideramos


\[A_{1} = B_{1}\cup \cdots \cup B_{j_{1}}\]


$$\vdots$$


$$A_{i}=B_{j_1+\cdots+j_{i-1}}\cup \cdots \cup B_{j_{1}+ \cdots + j_{i}},$$

 

para $ i=1,2,\ldots,n $. Assim, obtemos uma variável aleatória $ X $


$$X(\omega) = \sum_{i=1}^{n}i 1\!\!1_{\{A_{i}\}}(\omega) ~ ~ $$

 

tal que


 X(w) = i ] ~ = ~ P(A_i) ~ = ~\frac{j_{i}}{2^{j}}$$

 

A probabilidade imagem $ P $ é a distribuição de probabilidade discreta $ \eta(i) $ associada à variável aleatória $ X $  definida anteriormente.

Por outro lado, dado $ X = \sum_{i=1}^{n}c_i1\!\!1_{\{K_{i}\}} $ uma variável aleatória obtemos que $ \eta(i) = P[K_{i}] $.

Observe que a representação da variável aleatória $ X $ não é única: qualquer permutação dos elementos de $ \Delta_j $ nos conduz a uma variável aleatória distinta. Por isso, fixamos a enumeração definida por $ \Delta_j $.

Probabilidades

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