4.1 - Propriedades da variância

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Existem várias propriedades importantes para a variância de uma variável aleatória. A seguir, enunciamos algumas delas.

P1) Se $ c $ for uma constante, então


\[\text{Var}(X+c)=\text{Var}(X).\]

 

De fato, temos que


\[\text{Var}(X+c)=\mathbb{E}[(X+c)^2]-[\mathbb{E}(X+c)]^2=\mathbb{E}[X^2+2cX+c^2]-[\mathbb{E}(X)+c]^2\]

 

portanto


\[\text{Var}(X+c)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2=\text{Var}(X).\]

 

Observação:

Esta propriedade é intuitivamente evidente, porque somar uma constante a um resultado $ X $ não altera sua variabilidade.

P2) Se $ c $ for uma constante, então


\[\text{Var}(cX)=c^2\text{Var}(X)\]

 

De fato, temos que


\[\text{Var}(cX)=c^2\mathbb{E}(X^2)-c^2[\mathbb{E}(X)]^2=c^2\text{Var}(X).\]

 

P3) Se $ X $ e $ Y $ forem variáveis aleatórias independentes, então


\[\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y).\]

 

De fato, temos que


\[\text{Var}(X+Y)=\mathbb{E}[(X+Y)^2]-[\mathbb{E}(X+Y)]^2\]

 

ou seja


\[\text{Var}(X+Y)=\mathbb{E}(X^2)+2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)+\mathbb{E}(Y^2)-[\mathbb{E}(X)]^2-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)-[\mathbb{E}(Y)]^2=\text{Var}(X) +\text{Var}(Y).\]

 

Observação:

É importante compreender que a variância não é, em geral, aditiva, como o valor esperado. Com a hipótese complementar de independência, a P3 fica válida.

P4) Sejam $ X_1,\ldots,X_n $ variáveis aleatórias independentes. Então,


\[\text{Var}(X_1+\ldots+X_n)=\text{Var}(X_1)+\ldots+\text{Var}(X_n).\]

 

Esta propriedade segue direto da anterior. Basta fazer uma indução sobre $ n $.

Probabilidades

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