5.5 - Distribuição multinomial

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Considere um experimento dividido em $ n $ ensaios independentes, no qual cada ensaio resulta em um número finito $ k $ de valores possíveis com probabilidades $ p_1,p_2,\ldots,p_k $ (de modo que $ p_i \geq 0 $ para $ i = 1,\ldots,k $ e $ \displaystyleΣ\sum_{i=1}^kp_i=1 $).Tomando a variável aleatória $ X_i $ que representa o número de vezes que o índice $ i $ foi observado nos $ n $ ensaios, o vetor $ X = (X_1,\ldots,X_k) $ segue uma distribuição multinomial com parâmetros $ n $ e $ p $ onde $ p = (p_1,\ldots,p_k) $.

Com isso, sua distribuição de probabilidade é dada por


\[\mathbb{P}(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\times\ldots\times n_k!}\times p_1^{n_1}\times p_2^{n_2}\times\ldots\times p_k^{n_k}.\]

 

Definição 5.5.1:

Diremos que um vetor aleatório $ X = (X_1,\ldots,X_k) $ segue uma distribuição multinomial com parâmetros $ n $ e $ p = (p_1,\ldots,p_k) $ se sua função de probabilidade for dada por


\[\mathbb{P}(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\times\ldots\times n_k!}\times p_1^{n_1}\times p_2^{n_2}\times\ldots\times p_k^{n_k}.\]

 

Denotamos $ X \sim \ \text{Multi}(n,p_1,\ldots,p_k) $.

Exemplo 5.5.1:

Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio: chegar em perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades desses eventos são, respectivamente $ 0,7 $, $ 0,2 $ e $ 0,1 $. Foram enviados recentemente $ 10 $ pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de $ 6 $ chegarem corretamente ao destino, $ 2 $ serem perdidos e os outros $ 2 $ avariados?

Defina as seguintes variáveis aleatórias:

  • $ X_1 $: número de pacotes que chegaram corretamente e sem danos;
  • $ X_2 $: número de pacotes que chegaram avariados;
  • $ X_3 $: número de pacotes que se perderam pelo caminho.

Então $ X_1+X_2+X_3=n=10 $ e $ p_1+p_2+p_3=0,7+0,2+0,1=1 $. Logo,


\[\mathbb{P}(X_1=6,X_2=2,X_3=2)=\frac{10!}{6!2!2!}\times(0,7)^6\times(0,2)^2\times(0,1)^2=0,059.\]

 

Exemplo 5.5.2:

Uma caixa contendo $ 12 $ bolas, das quais $ 5 $ são vermelhas, $ 4 $ brancas e $ 3 $ azuis. Suponha que seja retirada $ 5 $ bolas ao acaso e com reposição. Qual a probabilidade de que sejam retiradas $ 2 $ bolas vermelhas, $ 2 $ brancas e $ 1 $ azul.

Primeiramente temos que calcular a probabilidade de retirarmos uma bola branca:


\[\mathbb{P}(B)=\displaystyle \frac{4}{12}\]

a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha:


\[\mathbb{P}(V)=\displaystyle \frac{5}{12}\]

 

e a probabilidade de retirarmos uma bola azul:


\[\mathbb{P}(A)=\displaystyle \frac{3}{12}\]

 

Assim usando a formula da multinomial temos que 


\[\mathbb{P}(V=2,B=2,A=1)=\frac{5!}{2!2!1!}\left(\frac{5}{12}\right)^2\left(\frac{4}{12}\right)^2\left(\frac{3}{12}\right)=\frac{3000}{20736}\approx 0,144675.\]

 

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

Se $ X\sim \ \text{Multi}(n,p_1,\cdots, p_k) $ então sua função geradora de momentos é dada por:


\[M_X(t)=\mathbb{E}\left(e^{tX}\right)=\sum_{x}e^{tx}P[X=k]=\sum_{j_1}^{n}\cdots\sum_{j_k}^{n}e^{tj_1}\cdots e^{tj_k}\frac{n!}{j_1!\cdots j_k}p_1^{j_1}\cdots p_k^{j_k}=\left(\sum_{i=1}^{n}p_ie^{t_i}\right)^n.\]

 

O valor esperado do número de vezes em que o índice $ i $ é observado é dado por


\[\mathbb{E}(X_i)=np_i\]

 

e a variância


\[\text{Var}(X_i)=np_i(1-p_i).\]

Probabilidades

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