5.6 - Binomial negativa

Seja $X$ uma variável aleatória que conta o número de tentativas necessárias para se obter $k$ sucessos, em $n$ ensaios de Bernoulli com probabilidade $p$ em cada ensaio. Notemos que neste caso o último ensaio será o $k$-ésimo sucesso. Essa variável é conhecida como binomial negativa. Na verdade a binomial negativa é a soma de $k$ variáveis geométricas com parâmetros iguais a $p$. Neste caso, temos que a probabilidade de realizarmos $x$ ensaios é dada por

\[\mathbb{P}\left(X=x\right)=\left(\begin{array}{c}x-1\\k-1\end{array}\right)p^k(1-p)^{x-k},~~x=k,k+1,\ldots\]

Definição 5.6.1:

Seja $X$ uma variável aleatória que fornece o número de ensaios até o $k$-ésimo sucesso. Assim $X$ tem uma distribuição binomial negativa com parâmetro $p\in (0,1)$, se sua função de probabilidade é dada por:

\[\mathbb{P}\left(X=x\right)=\left\{\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}x-1\\k-1\end{array}\right)p^k(1-p)^{x-k}, \ \text{se} \ x = k, k+1, \ldots\\0, \ \text{caso contrário}\end{array}\right.\]

Usualmente utilizamos a notação $X\sim BN(p,k)$.

Exemplo 5.6.1:

Suponha que, para se ganhar um jogo de dados seja necessário obter $3$ vezes a face voltada para cima do dado com o número de $1$. Sendo que o número de lançamentos devem ser $6$ e devemos obter a face $1$ voltada para cima pela terceira vez no sexto lançamento. Supondo que o dado seja honesto, qual será a probabilidade de vencermos o jogo.

De fato, como o dado é honesto temos que a probabilidade de sair o face $1$ é $1/6$, portanto usando a formula da binomial negativa temos que:

\[\mathbb{P}\left(X=6\right)=\left(\begin{array}{c}x-1\\k-1\end{array}\right)p^k(1-p)^{x-k}=\left(\begin{array}{c}6-1\\3-1\end{array}\right)\frac{1}{6}^3(1-\frac{1}{6})^{3}=\frac{1250}{46656}\approx 0,0267918.\]

Exemplo 5.6.2:

Suponha que um vendedor de automóveis tem, além de seu salário, uma bonificação de $200$ reais por cada automóvel que ele venda. Suponha também que ele necessite vender, no mínimo, $5$ automóveis por mês para que ele não seja despedido. Qual a probabilidade do vendedor ser despedido no mês de fevereiro, dado que ele trabalha todos os dias, inclusive finais de semana e feriados. Suponha que ele consiga vender no máximo 1 automóvel por dia com probabilidade de 0,2.

Para que ele seja despedido no mês de fevereiro ele precisa vender, no máximo, 4 automóveis durante todo o mês. Desta forma, considere $X_i$ a variável aleatória que representa a quantidade de dias necessários para vender $i$ carros. Neste caso, temos que $X_i\sim \ \text{BN}(0,2;i)$ e então 

\[\mathbb{P}\left(X_i=28\right)=\left(\begin{array}{c}28-1\\i-1\end{array}\right) 0,2^i(1-0,2)^{28-i} \ \text{para} \ i = 0,1,2,3,4.\]

Portanto,

\[\mathbb{P}\left(X_0=28\right)=(0,8)^{28}=0,001934.\]

\[\mathbb{P}\left(X_1=28\right)=\left(\begin{array}{c}27\\0\end{array}\right)0,2(0,8)^{27}\approx 0,0004835.\]

\[\mathbb{P}\left(X_2=28\right)=\left(\begin{array}{c}27\\1\end{array}\right)0,2^{2}(0,8)^{26}\approx 0,0032640.\]

\[\mathbb{P}\left(X_3=28\right)=\left(\begin{array}{c}27\\2\end{array}\right)0,2^{3}(0,8)^{25}\approx 0,010608.\] 

\[\mathbb{P}\left(X_4=28\right)=\left(\begin{array}{c}27\\3\end{array}\right)0,2^{4}(0,8)^{24}\approx 0,0221006.\]

Portanto, a probabilidade dele ser mandado embora no mês de fevereiro é dada por

\[\mathbb{P}\left(\text{Ser demitido}\right)=\sum_{i=0}^{4}\mathbb{P}\left(X_i=28\right)\approx 0,0364561.\]

Exemplo 5.6.3:

Suponha que em uma fábrica produz resistência para chuveiros, com uma taxa de defeitos de $2\%$. Qual a probabilidade de que em uma inspeção de $10$ resistências se tenha $3$ resistências defeituosas sendo que a terceira defeituosa seja exatamente a décima inspecionada.

Seja $X$ o número de resistências inspecionadas até que encontremos a terceira defeituosa. Então temos que $X \sim \ \text{BN}(0,02;3)$ e

\[\mathbb{P}\left(X=10\right)=\left(\begin{array}{c}9\\2\end{array}\right)(0,02)^{3}(0,98)^{7}\approx 0,00025.\]

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

Seja $X$ um variável aleatória discreta Binomial negativa com parâmetros $p$ e $k$. Então a função geradora de momentos de $X$ é dada por

\[M_X(t)= \mathbb{E}\left(e^{tX}\right)=\sum_{x=k}^{\infty}\left(\begin{array}{c}x-1\\k-1\end{array}\right)p^{k}(1-p)^{x-k}e^{tx}=\left(\frac{p}{1-p}\right)^{k}\sum_{x=k}^{\infty}\left(\begin{array}{c}x-1\\k-1\end{array}\right)(e^t(1-p))^{x}\]

de onde segue que

\[M_X(t) = \left(\frac{p}{1-p}\right)^{k}(e^t(1-p))^k\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(k+x)!}{x!k!}((1-p)e^t)^{x}=\frac{(pe^t)^k}{[1-(1-p)e^t]^k}=\frac{p^k}{[e^{-t}+p-1]^k}.\]

Portanto a função geradora de momentos da Binomial negativa é dada por:

\[M_X(t) = \frac{p^k}{[e^{-t}+p-1]^k}\]

Utilizando a função geradora de momentos vamos calcular o valor esperado, temos que

\[M^\prime_X(t)=\frac{kp^k}{e^{t}(p+e^{-t}-1)^{k+1}}\]

de onde concluímos que

\[\mathbb{E}(X) = M^\prime_X(0)=\frac{kp^{k}}{(p+e^{0}-1)^{k+1}e^{0}}=\frac{kp^k}{(p)^{k+1}}=\frac{k}{p}.\]

Vamos calcular agora $\mathbb{E}\left(X^2\right)$ utilizando a função geradora de momentos.

\[M"_X(t)=\frac{kp^k (k-(p-1)e^t)(p+e^{-t}-1)^{-k}}{((p-1)e^{t}+1)^2}.\]

E então,

\[\mathbb{E}\left(X^2\right)=M"_X(0)=\frac{k(k-p+1)}{p^2}.\]

Agora estamos em posição de calcular o valor da variância de $X$ que é dada por 

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=\frac{k(k-p+1)}{p^2}-\frac{k^2}{p^2}=\frac{k(1-p)}{p^2}.\]