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A distribuição uniforme é a mais simples distribuição contínua, entretanto uma das mais importantes e utilizadas dentro da teoria de probabilidade. A distribuição uniforme tem uma importante característica a qual a probabilidade de acontecer um fenômeno de mesmo comprimento é a mesma.
Uma variável aleatória tem distribuição Uniforme no intervalo
se sua função densidade de probabilidade for dada por:
O gráfico abaixo ilustra a função densidade da distribuição uniforme com parâmetros a=0 e b=1.
A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de km foi modelada por uma distribuição Uniforme no intervalo
. Qual é a probabilidade de que uma pane venha a ocorrer nos primeiros
metros? E qual a probabilidade de que ocorra nos
km centrais da rede?
A função densidade da distribuição Uniforme é dada por se
e zero, caso contrário. Assim, a probabilidade de ocorrer pane nos primeiros 800 metros é
e a probabilidade de ocorrer pane nos 3 km centrais da rede é
Suponha que . Qual a probabilidade que a equação
, tenha ambas as raízes reais?
Primeiramente observemos que para que uma equação de segundo grau tenha raízes reais é necessário que o discriminante da equação de segundo grau seja maior ou igual a zero, ou seja, que a fórmula abaixo seja maior ou igual a zero.
Assim queremos encontrar . Então vamos encontrar a função densidade de probabilidade para
, usando o teorema 2.8.3, temos que
Portanto a função densidade de probabilidade de é dada por
Com isso em mãos agora basta encontramos , que é dada por
Assim a probabilidade de que ambas as raízes sejam reais é de .
Suponha que um casal marque de se encontrar em uma pizzaria as 20:30h, e que o tempo de chegada seja uniformemente distribuído para ambos, mas que a distribuição do homem seja uniforme entre 20:15 e 20:45 e da mulher entre 20h e 21h. Assim sendo seja a distribuição de probabilidade do tempo de chegada do homem. Então
e
a distribuição de probabilidade do tempo de chegada da mulher, ou seja,
. Qual a probabilidade de que nenhum dos dois espere o outro por mais de
minutos?
Para que nenhum dos dois espere por mais de minutos é necessário que
, sendo assim temos que
Então
Portanto a probabilidade de que nenhum dos dois espere por mais que minutos é de
.
Sejam e
variáveis aleatórias independentes com distribuição comum dada por
Encontre a função de distribuição acumulada de ?
Para
Para ,
Portanto a função de distribuição acumulada de é dada por
Sejam e
variáveis aleatórias com distribuição uniforme em
e independentes. Qual a densidade conjunta de
?
Para
Para
Portanto a função de distribuição acumulada de é dada por
Seja uma variável contínua com distribuição uniforme então sua função geradora de momentos é dada por:
O valor esperado de uma variável aleatória com distribuição uniforme é dado por
Outra forma de calcularmos é utilizando a função geradora de momentos.
de onde segue que
Aplicando a regra de L'Hospital (uma vez que, no limite, tanto o numerador quanto o numerador vão para zero, temos que
e, portanto,
Calculemos agora a partir da função geradora de momentos.
E então,
e aplicando a regra de L'Hospital, segue que
Desta forma, temos que a variância é dada por
Assim
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