6.1 - Distribuição uniforme

A distribuição uniforme é a mais simples distribuição contínua, entretanto uma das mais importantes e utilizadas dentro da teoria de probabilidade. A distribuição uniforme tem uma importante característica a qual a probabilidade de acontecer um fenômeno de mesmo comprimento é a mesma.

Definição 6.1.1:

Uma variável aleatória $X$ tem distribuição Uniforme no intervalo $[a,b]$ se sua função densidade de probabilidade for dada por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{b-a}, \ \hbox{se} \ a\leq x\leq b;\\ 0, \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.\]

 

O gráfico abaixo ilustra a função densidade da distribuição uniforme com parâmetros a=0 e b=1.

Exemplo 6.1.1:

A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de $7$ km foi modelada por uma distribuição Uniforme no intervalo $[0, 7]$. Qual é a probabilidade de que uma pane venha a ocorrer nos primeiros $800$ metros? E qual a probabilidade de que ocorra nos $3$ km centrais da rede?

A função densidade da distribuição Uniforme é dada por $f(x)=\frac{1}{7}$ se  $0\leq x\leq 7$ e zero, caso contrário. Assim, a probabilidade de ocorrer pane nos primeiros 800 metros é

\[\mathbb{P}\left(X\leq 0,8\right)=\int_0^{0,8} f(x)dx=\frac{0,8-0}{7}=0,1142.\]

 

e a probabilidade de ocorrer pane nos 3 km centrais da rede é

\[\mathbb{P}\left(2\leq X\leq 5\right)=\int_2^5f(x)dx=\mathbb{P}\left(X\leq 5\right)-\mathbb{P}\left(X\leq 2\right)=5/7-2/7\approx 0,4285.\]

 

Exemplo 6.1.2:

Suponha que $Y ~\sim ~U[0,5]$. Qual a probabilidade que a equação $4x^2+4Yx+4=0$, tenha ambas as raízes reais?

Primeiramente observemos que para que uma equação de segundo grau tenha raízes reais é necessário que o discriminante da equação de segundo grau seja maior ou igual a zero, ou seja, que a fórmula abaixo seja maior ou igual a zero.

\[\Delta = 16Y^2-64\geq 0 \Rightarrow Y^2 \geq 4.\]

 

Assim queremos encontrar $\mathbb{P}(Y^2\geq 4)$. Então vamos encontrar a função densidade de probabilidade para $Y^2$, usando o teorema 2.8.3, temos que

\[F(t)=\mathbb{P}(Y^2\leq t)=\mathbb{P}(-\sqrt{t}\leq Y \leq \sqrt{t})=\mathbb{P}(0\leq Y \sqrt{t})=\int_{0}^{\sqrt{t}}f_Y(x)dx=\int_{0}^{\sqrt{t}}\frac{1}{5}dx=\frac{\sqrt{t}}{5}.\]

 

Portanto a função densidade de probabilidade de $Y^2$ é dada por

\[\displaystyle F(t)=\left\{\begin{array}{c} \frac{\sqrt{t}}{5},~\mbox{se } t\in [0,25] \\ 0, \mbox{caso contrário. }\end{array}, \right.\]

 

Com isso em mãos agora basta encontramos $\mathbb{P}(Y^2 \geq 4)$, que é dada por

\[\mathbb{P}(Y^2\geq 4)=1-\mathbb{P}(Y^2< 4)=1-F(2)=1-\frac{\sqrt{4}}{5}=\frac{3}{5}.\]

 

Assim a probabilidade de que ambas as raízes sejam reais é de $3/5$.

 

Exemplo 6.1.3:

Suponha que um casal marque de se encontrar em uma pizzaria as 20:30h, e que o tempo de chegada seja uniformemente distribuído para ambos, mas que a distribuição do homem seja uniforme entre 20:15 e 20:45 e da mulher entre 20h e 21h. Assim sendo seja $X$ a distribuição de probabilidade do tempo de chegada do homem. Então $X \sim \ U(-15,15)$ e $Y$ a distribuição de probabilidade do tempo de chegada da mulher, ou seja, $Y \sim \ U(-30,30)$. Qual a probabilidade de que nenhum dos dois espere o outro por mais de $5$ minutos?

Para que nenhum dos dois espere por mais de $5$ minutos é necessário que $|X-Y|\leq 5$, sendo assim temos que

\[\mathbb{P}(|X-Y|\leq 5)=\mathbb{P}(-5\leq X-Y \leq 5)=\mathbb{P}(Y-5\leq X \leq Y+5).\]

 

Então

\[\mathbb{P}(|X-Y|\leq 5)=\int_{-15}^{15}\int_{y-5}^{y+5}f_Y(t)f_X(s)dsdt =\int_{-15}^{15}\int_{y-5}^{y+5} \frac{1}{1800}dsdt=\int_{-15}^{15}\frac{1}{180}dt=\frac{1}{6}.\]

 

Portanto a probabilidade de que nenhum dos dois espere por mais que $5$ minutos é de $1/6$.

Exemplo 6.1.4: 

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes com distribuição comum dada por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, \ \text{se} \ 0\leq x \leq 1 \\0, \ \text{caso contrário} \end{array}\right.\]

 

Encontre a função de distribuição acumulada de $Z=X+Y$ ?

\[F(z)=\mathbb{P}(X+Y\leq z)=\int \int_{B_z}f(x,y)dx dy.\]

 

Para $0\leq z \leq 1$

\[F(z)= \int_{0}^{z}\int_{0}^{z-x}1 dy dx=\frac{z^2}{2}.\]

 

Para $0 < z \leq 2$,

\[F(z)=\displaystyle \int_{0}^{z-1}\int_{0}^{1}1 dydx+\int_{z-1}{1}\int_{0}^{z-x}1dydx=z-1 + \frac{2z-z^2}{2}=\frac{4z-z^2-2}{2}.\]

 

Portanto a função de distribuição acumulada de $Z$ é dada por

\[F(z)=\left\{\begin{array}{l} 0,~\mbox{se } z\leq 0 \\ \frac{z^2}{2},~\mbox{se } 0< z\leq 1, \\ \frac{4z-z^2-2}{2}, \mbox{se } 1 < z \leq 2, \\ 1, \mbox{caso contrário. }\end{array}~, \right.\]

 

Exemplo 6.1.5: 

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias com distribuição uniforme em $[0,1]$ e independentes. Qual a densidade conjunta de $Z=X-Y$?

\[F(z)=\mathbb{P}(X-Y\leq z)=\int \int_{B_z}f(x,y)dx dy.\]

 

Para $-1\leq z \leq 0$

\[F(z)\displaystyle \int_{-z}^{1}\int_{0}^{x-z}1 dx dy=\frac{1-3z^2-2z}{2}\]

 

Para $0 < z \leq 1$

\[F(z)=1-\displaystyle \int_{0}^{1-z}\int_{x-z}^{1}1 dydx=1-\frac{(1-z^2)^2}{2}\]

 

Portanto a função de distribuição acumulada de $Z$ é dada por

\[F(z)=\left\{\begin{array}{l} 0,~\mbox{se } z\leq -1 \\ \frac{1-3z^2-2z}{2},~\mbox{se } -1< z\leq 0, \\ \displaystyle1-\frac{(1-z^2)^2}{2}, \mbox{se } 0 < z \leq 1, \\ 1, \mbox{caso contrário. }\end{array}~, \right.\]

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância.

Seja $X$ uma variável contínua com distribuição uniforme então sua função geradora de momentos é dada por:

\[M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]=\int_{a}^{b}\frac{e^{tx}}{b-a}dx=   \left.\frac{e^{tx}}{t(b-a)}\right|_{a}^{b}=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}\]

 

O valor esperado de uma variável aleatória $X$ com distribuição uniforme é dado por

\[\mathbb{E}(X)=\int_a^b x\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}\]

 

Outra forma de calcularmos é utilizando a função geradora de momentos.

\[M^\prime_X(t)=\frac{e^{at}(at-1)+e^{bt}(1-bt)}{t^2(a-b)}\]

 

de onde segue que

\[\mathbb{E}(X) = M^\prime_X(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{at}(at-1)+e^{bt}(1-bt)}{t^2(a-b)}.\]

 

Aplicando a regra de L'Hospital (uma vez que, no limite, tanto o numerador quanto o numerador vão para zero, temos que

\[M^\prime_X(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t(e^{at}a^2-e^{bt}b^2)}{2t(a-b)}=\frac{(a-b)(a+b)}{2(a-b)}=\frac{a+b}{2}\]

 

e, portanto,

\[\mathbb{E}(X) = \frac{a+b}{2}.\]

 

Calculemos agora $E[X^2]$ a partir da função geradora de momentos.

\[M^{\prime\prime}_X(t)=\frac{e^{at}(a^2t^2-2at+2)-e^{bt}(b^2 t^2-2bt+2)}{t^3(a-b)}.\]

 

E então,

\[\mathbb{E}(X^2)=M^{\prime\prime}_X(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{at}(a^2t^2-2at+2)-e^{bt}(b^2t^2-2bt+2)}{t^3(a-b)}\]

 

e aplicando a regra de L'Hospital, segue que

\[M^{\prime\prime}_X(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2(a^3 e^{at}-b^3e^{bt})}{3(a-b)}=\frac{a^3-b^3}{3(a-b)}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{3(a-b)}\]

 

Desta forma, temos que a variância $\text{Var}(X)$ é dada por

\[\text{Var}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=M^{\prime\prime}_X(0)-(M^\prime_X(0))^2=\frac{(a^2+ab+b^2)}{3}-\left(\frac{(a+b)}{2}\right)^2=\frac{b^2-2ab+a^2}{12}.\]

 

Assim

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}^2(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.\]