6.10 - Distribuição Beta

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A distribuição Beta é frequentemente usada para modelarmos a proporção, ou modelagem de objetos que pertenceção ao intervalo $ (0,1) $, pois essa distribuição está definida neste intervalo. Devido a grande versatilidade de uma variável aleatória $ X $ com distribuição beta para modelar funções densidade de probabilidade no intervalo $ (0,1) $ e pela possibilidade de generalizar essa versatilidade para qualquer variável aleatória $ Y $ restrita a um intervalo finito $ (m,n) $, bastando para isso utilizar a relação $ Y = (n - m)X + m $, o modelo beta tem inúmeras aplicações para representar quantidades físicas cujos valores estejam restritos a um intervalo identificável.

Definição 6.10.1:

A distribuição Beta é uma distribuição de probabilidade contínua, com dois parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $ cuja função de densidade para valores $ 0 \ \textless \ x \ \textless \ 1 $ é

\[f(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\quad x\in(0,1) \ \text{e} \ \alpha,\beta \ \textgreater \ 0\]

 

No modelo, os parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $ definem a forma da distribuição. Se $ \alpha = \beta $, a distribuição é simétrica, se $ \alpha \ \textgreater \ \beta $, a assimetria é negativa e, no caso de $ \alpha \ \textless \ \beta $, sua assimetria é positiva.

Observação 6.10.1:

A distribuição beta não apresenta forma fechada para sua função de distribuição acumulada.

  • Note que se $ \alpha = \beta = 1 $, a densidade de Beta se reduz à Uniforme no intervalo $ (0,1) $.
  • A densidade beta é apropriada para modelar proporções, por causa do seu domínio (o intervalo $ (0,1) $) e também pela variedade de formas que a densidade pode assumir, de acordo com os valores especificados de $ \alpha $ e $ \beta $.

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

A função geradora de momentos da distribuição beta é complicada e envolve a chamada função hipergeométrica confluente a qual é solução de uma equação diferencial chamada equação diferencial hipergeométrica confluente, também conhecida como função de Whittaker. Entretanto podemos encontrar a sua função de momentos, dada da seguinte forma:

\[\mathbb{E}\left(X^k\right)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha +k-1}(1-x)^{\beta-1}dx=\displaystyle \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+k)}{\Gamma(\alpha+\beta+k)\Gamma(\alpha)}.\]

 

Com a função de momentos em mãos podemos encontrar o valor esperado e a variância.

\[\mathbb{E}(X)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)\Gamma(\alpha)}=\displaystyle \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\alpha\Gamma(\alpha)}{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\]

 

Para o cálculo da variância necessitamos de $ \mathbb{E}\left(X^2\right) $, que é dado por

\[\mathbb{E}\left(X^2\right)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)\Gamma(\alpha)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)(\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha)}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}.\]

 

Portanto, temos que

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=\frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}-\frac{\alpha^2}{(\alpha+\beta)^2}\displaystyle =\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2}.\]

Probabilidades

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