6.10 - Distribuição Beta

A distribuição Beta é frequentemente usada para modelarmos a proporção, ou modelagem de objetos que pertenceção ao intervalo $(0,1)$, pois essa distribuição está definida neste intervalo. Devido a grande versatilidade de uma variável aleatória $X$ com distribuição beta para modelar funções densidade de probabilidade no intervalo $(0,1)$ e pela possibilidade de generalizar essa versatilidade para qualquer variável aleatória $Y$ restrita a um intervalo finito $(m,n)$, bastando para isso utilizar a relação $Y = (n - m)X + m$, o modelo beta tem inúmeras aplicações para representar quantidades físicas cujos valores estejam restritos a um intervalo identificável.

Definição 6.10.1:

A distribuição Beta é uma distribuição de probabilidade contínua, com dois parâmetros $\alpha$ e $\beta$ cuja função de densidade para valores $0 \ < \ x \ < \ 1$ é

\[f(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\quad x\in(0,1) \ \text{e} \ \alpha,\beta \ > \ 0\]

No modelo, os parâmetros $\alpha$ e $\beta$ definem a forma da distribuição. Se $\alpha = \beta$, a distribuição é simétrica, se $\alpha \ > \ \beta$, a assimetria é negativa e, no caso de $\alpha \ < \ \beta$, sua assimetria é positiva.

Observação 6.10.1:

A distribuição beta não apresenta forma fechada para sua função de distribuição acumulada.

• Note que se $\alpha = \beta = 1$, a densidade de Beta se reduz à Uniforme no intervalo $(0,1)$.
• A densidade beta é apropriada para modelar proporções, por causa do seu domínio (o intervalo $(0,1)$) e também pela variedade de formas que a densidade pode assumir, de acordo com os valores especificados de $\alpha$ e $\beta$.

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

A função geradora de momentos da distribuição beta é complicada e envolve a chamada função hipergeométrica confluente a qual é solução de uma equação diferencial chamada equação diferencial hipergeométrica confluente, também conhecida como função de Whittaker. Entretanto podemos encontrar a sua função de momentos, dada da seguinte forma:

\[\mathbb{E}\left(X^k\right)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha +k-1}(1-x)^{\beta-1}dx=\displaystyle \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+k)}{\Gamma(\alpha+\beta+k)\Gamma(\alpha)}.\]

Com a função de momentos em mãos podemos encontrar o valor esperado e a variância.

\[\mathbb{E}(X)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)\Gamma(\alpha)}=\displaystyle \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\alpha\Gamma(\alpha)}{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\]

Para o cálculo da variância necessitamos de $\mathbb{E}\left(X^2\right)$, que é dado por

\[\mathbb{E}\left(X^2\right)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)\Gamma(\alpha)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)(\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha)}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}.\]

Portanto, temos que

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=\frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}-\frac{\alpha^2}{(\alpha+\beta)^2}\displaystyle =\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2}.\]