6.12 - Distribuição Exponencial

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Esta é uma distribuição que se caracteriza por ter uma função de taxa de falha constante. A distribuição exponencial é a única com esta propriedade. Ela é considerada uma das mais simples em termos matemáticos. Esta distribuição tem sido usada extensivamente como um modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais. Ela descreve adequadamente o tempo de vida de óleos isolantes e dielétricos, entre outros.

Definição 6.12.1:

A variável aleatória $ X $ tem distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda $, $ \lambda \ \textgreater \ 0 $, se tiver função densidade de probabilidade dada por:


\[f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x} \ \hbox{se} \ x\geq 0\\0 \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

 

em que $ \lambda $ é o parâmetro de taxa da distribuição e deve satisfazer $ \lambda \ \textgreater \ 0 $. Neste caso, $ \lambda $ é o tempo médio de vida e $ x $ é um tempo de falha. O parâmetro deve ter a mesma unidade do tempo da falha $ x $. Isto é, se $ x $ é medido em horas, $ \lambda $ também será medido em horas.

A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é dada por


\[F(x)=\int_0^xf(s)ds=\left\{\begin{array}{l}1-e^{-\lambda x} \ \hbox{se} \ x\geq 0\\0 \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

 

Utilizamos a notação $ X\sim \ \text{Exp}(\lambda) $.

Observação 6.12.1:

A distribuição Exponencial pode ser parametrizada de uma forma alternativa segundo a função densidade de probabilidade dada por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\beta}e^{-\frac{x}{\beta}} \ \text{se} \ x\geq 0\\0 \ \textless \ 0\end{array}\right..\]

 

Neste caso, dizemos que $ \beta \ \textgreater 0 $ é o parâmetro de escala da distribuição e é o inverso do parâmetro taxa na definição acima. Neste definição alternativa, a variável aleatória $ X $ pode ser interpretada como a duração de tempo em que um sistema mecânico ou biológico sobrevive. Para este caso, denotamos $ X\sim \ \text{Exp}(\beta) $ e, infelizmente, esta definição alternativa torna-se ambígua. Neste caso, devemos verificar qual das duas especificações está sendo utilizada quando escrevemos $ X\sim \ \text{Exp}(\lambda) $. Ou seja, devemos sempre verificar se $ \lambda $ está se referindo ao parâmetro taxa ou ao parâmetro escala da distribuição.

Deixamos claro aqui que, a menos que especifiquemos o contrário, sempre que escrevemos $ X\sim \ \text{Exp}(\lambda) $ estamos nos referindo à parametrização em que $ \lambda $ é o parâmetro taxa.

Observação 6.12.2:

Notem que a função exponencial, na verdade, é um caso particular da função Gama, pois se $ X\sim \ \text{Exp}(\lambda) $, então $ X\sim \ \text{Gama}(1,\lambda) $

O gráfico abaixo mostra a distribuição exponencial com parâmetros $ \lambda=1/2, 1 $ e $ 3/2 $.


Figura 6.12.1: Gráfico da função densidade para distribuição Exponencial.

 

Exemplo 6.12.1:

O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda = \frac{1}{28700} $ horas. Qual a probabilidade de um destes ventiladores falhar nas primeiras 24000 horas de funcionamento?


\[\mathbb{P}[0\leq X\leq 24000]=\int_0^{24000}f(x)dx=\int_0^{24000}\frac{1}{28700}\exp\left(-\frac{x}{28.700}\right)=0,567.\]

 

Ou seja, a probabilidade de um destes ventiladores falhar nas primeiras $ 24000 $ horas de funcionamento é de, aproximadamente, 56,7%.

Exemplo 6.12.2:

Suponha que o tempo de vida de uma determinada espécie de inseto tenha uma distribuição exponencial de parâmetro $ \lambda=1/12 $ dia. Suponha também que estes insetos atinjam a maturidade sexual após $ 3 $ dias de seu nascimento. Qual a função densidade de probabilidade, em dias, dos insetos que conseguem se reproduzir? E qual a probabilidade de que um inseto reprodutor viva mais de $ 24 $ dias?

Seja $ X $ a distribuição do tempo de vida dos insetos, e $ Y $ a distribuição do tempo de vida dos insetos que chegam a reprodução. Observem que $ Y=X+3 $, assim


\[F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(X+3\leq y)=\mathbb{P}(X\leq y-3)=F_X(y-3).\]

 

Portanto, a função densidade de probabilidade de $ Y $ é dada por


\[f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{12}e^{-\frac{(y-3)}{12}}, \ \text{se} \ y\in (3,\infty) \\ 0, \ \text{caso contrário.}\end{array}~, \right.\]

 

Agora falta encontramos qual a probabilidade de que o inseto reprodutor dure mais de 24 dias. Usando a densidade acima temos que 


\[\mathbb{P}(Y \ \textgreater \ 24)=1-\mathbb{P}(Y\leq 24)=1-F_Y(24)=1-\int_{-\infty}^{24}f_Y(y)dy=1-\int_{3}^{24}\frac{1}{12}e^{-\frac{(y-3)}{12}}\approx 0,1738.\]

Exemplo 6.12.3:

Uma fábrica utiliza dois métodos para a produção de lâmpadas. 70% das lâmpadas são produzidas pelo método $ A $ e as demais pelo método $ B $. A duração da lâmpada depende do método pelo qual ela foi produzida, sendo que as produzidas pelo método $ A $ seguem uma distribuição exponencial com parâmetro $ 1/80 $ e as do método $ B $ seguem uma exponencial de parâmetro $ 1/100 $. Qual a probabilidade de que, se escolhermos uma lâmpada ao acaso, ela dure mais de $ 100 $ horas?

Sejam $ X_A\sim \ \text{Exp}(1/80) $ e $ X_B\sim \text{Exp}(1/100) $ e considere os evento C={Uma lâmpada durar mais de 100 horas}, A={A lâmpada ter sido fabricada pelo método A} e B={A lâmpada ter sido fabricada pelo método B}. Assim usando o teorema 1.4.2 obtemos que


\[\mathbb{P}(C)=\mathbb{P}(C|A)\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(C|B)\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(X_A\geq 100)0,7+\mathbb{P}(X_B\geq 100)0,3\]

 

e, portanto,


\[\mathbb{P}(C)=0,7\int_{100}^{\infty}\frac{1}{80}e^{-\frac{x}{80}}dx+0,3\int_{100}^{\infty}\frac{1}{100}e^{-\frac{x}{100}}dx\approx 0,2+0,11=0,31.\]

 

Portanto a probabilidade de que uma lâmpada escolhida ao acaso dure mais de 100 horas é de 31%.

Exemplo 6.12.4:

Sabendo que $ X \ \sim \ \text{Exp}(1) $, qual a função densidade de probabilidade de $ Y=e^{-X} $.

Sabemos que a densidade de $ X $ é dada por


\[f(x)=\left\{\begin{array}{l} e^{-x} \ \hbox{se} \ x\geq 0\\0 \ \hbox{se} \ x \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

 

Assim


\[F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(e^{-X}\leq y)=P(X\geq -\ln{y})=1-P(X\leq -\ln{y})=1-F_X(-\ln{y})\]

 

e portanto concluímos que


\[f_Y(y)=\displaystyle \frac{d F_Y(y)}{dy}=\frac{d[1-F_X(-\ln{y})]}{dy}=-f_X(-\ln{y})\left(-\frac{1}{y}\right)=\frac{f_X(-\ln{y})}{y}=\frac{e^{-(-\ln{y})}}{y}=1.\]

 

Portanto $ Y $ segue uma distribuição uniforme em (0,1).

 

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

 

Seja $ X $ um variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda $. Então sua função geradora de momentos é dada por:


\[M_X(t)=\mathbb{E}\left(e^{tX}\right)=\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx=\int_{0}^{\infty}\lambda e^{(t-\lambda)x}=\left|^{\infty}_0\frac{\lambda}{t-\lambda}\right.=\frac{\lambda}{\lambda-t}.\]

 

Temos que o valor esperado e a variância de uma variável aleatória X com distribuição exponencial com parâmetro λ são dados, respectivamente, por


\[\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx=\int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda\int_{0}^{\infty}xe^{-\frac{1}{\lambda} x}dx\]

 

e, resolvendo esta integral por partes concluímos que


\[\mathbb{E}(X)= \frac{1}{\lambda}\]

 

Portanto, o valor esperado de $ X $ é $ \frac{1}{\lambda} $. Para encontrar a variância de $ X $, vamos primeiramente calcular o valor esperado de $ X^2 $.


\[\mathbb{E}(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx=\int_{0}^{\infty}x^2\lambda e^{-\lambda x}dx\]

 

e, resolvendo a integral por partes, obtemos que


\[\mathbb{E}(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}.\]

 

Portanto a variância de $ X $ é dada por


\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2 )-\mathbb{E}^2(X)=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}.\]

 

Assim, o valor esperado e a variância de $ X $ são dados, respectivamente por:


\[\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda} ~~~ Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}.\]

 

Podemos calcular também o valor esperado e a variância utilizando a função geradora de momentos


\[M^\prime_X(t)=\frac{\lambda}{(\lambda -t )^2}\]

 

e


\[M^{\prime\prime}_X(t)=\frac{2\lambda}{(\lambda-t)^3}.\]

 

Portanto, o valor esperado e a variância podem ser calculados por 


\[\mathbb{E}\left(X\right)=M^\prime_X(0)=\frac{1}\lambda}\]

 

e


\[\text{Var}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=M^{\prime\prime}_X(0)-(M^\prime_X(0))=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}.\]

Observação 6.12.3:

Quando estamos trabalhando com a distribuição exponencial parametrizada com o parâmetro escala $ \beta \ \textgreater \ 0 $ temos que

\[\mathbb{E}\left(X\right) = \beta \quad \text{e} \quad \text{Var}\left(X\right) = \beta^2.\]

 

Não demonstraremos estas propriedades, mas ressaltamos que elas são imediatas a partir do fato de que $ \beta = \frac{1}{\lambda} $ em que $ \lambda $ é parâmetro taxa.

Probabilidades

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