6.13 - Distribuição Weibull

A distribuição Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull (1954) em estudos relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela é frequentemente usada para descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplicações práticas deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade básica: a sua função de taxa de falha é monótona. Isto é, ou ela é crescente ou decrescente ou constante. Ela descreve adequadamente a vida de mananciais, componentes eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos. Podemos encontrar mais detalhes sobre a distribuição weibull na apostila de confiabilidade.

Definição 6.13.1:

Uma variável aleatória $X$ tem distribuição Weibull se tiver função densidade de probabilidade dada por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\alpha}{\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}\exp\left[-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha}\right], \ \hbox{se} \ x\geq0\\ 0 \ \hbox{se} \ x \ < \ 0\end{array}\right.\]

Sua função de distribuição acumulada é dada por

\[\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}0 \ \hbox{se} \ x \ < \ 0\\1-\exp\left[-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha}\right]\end{array}\right.\]

O gráfico abaixo mostra a distribuição Weibull fixando o parâmetro $\alpha=2$ e variando o parâmetro β=0,5, 1,5 e 3.

Figura 6.13.1: Gráfico da função densidade da distribuição Weibull.

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

A função geradora de momentos da função Weibull não tem uma forma fechada, entretanto podemos encontrá-la.

\[\mathbb{E}\left(X^{k}\right)=\int_{0}^{\infty}x^k\frac{\alpha}{\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-(x/\beta)^{\alpha}}\]

Assim fazendo uma substituição $t=\displaystyle \left(\frac{x}{\beta}\right)^\alpha$, temos que

\[t=\left(\frac{x}{\beta}\right)^\alpha, \quad dt=\frac{\alpha}{\beta^\alpha}x^{\alpha-1}dx \quad \text{e} \quad x^{k}=(t\beta^\alpha)^{k/\alpha}=t^{k/\alpha}\beta^{k}\]

e, desta forma

\[\mathbb{E}\left(X^k\right)=\int_{0}^{\infty}t^{k/\alpha}\beta^{k}e^{-t}dt=\beta^{k}\Gamma\left(\frac{k}{\alpha}+1\right).\]

Assim, sendo $X$ uma variável aleatória com distribuição Weibull, o valor esperado de $X$ é dado por

\[\mathbb{E}(X)=\beta\Gamma\left[1+\left(\frac{1}{\alpha}\right)\right]\]

e a variância é dada por

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=\beta^{2}\Gamma\left(\frac{2}{\alpha}+1\right)-\left(\beta\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)\right)^2\]

de onde concluímos que

\[\text{Var}(X)=\beta^2\left\{\Gamma\left[1+\left(\frac{2}{\alpha}\right)\right]-\Gamma[1+(1+\alpha)]^2\right\}\]