6.14 - Distribuição Gumbel (ou valor extremo)

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A distribuição Gumbel ou valor extremo surge quando se toma o logaritmo de uma variável com a distribuição Weibull. Isto é, se a variável $ X $ tem uma distribuição Weibull, então a variável $ Y = \log(X) $ tem uma distribuição Gumbel. Podemos encontrar mais detalhes sobre essa distribuição na apostila de confiabilidade.

Definição 6.14.1:

Uma variável $ Y $ tem distribuição Gumbel se tiver função densidade de probabilidade dada por


\[f(x)=\frac{1}{\sigma}\exp\left[\frac{x-\mu}{\sigma}-\exp\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\qquad x\in (-\infty,\infty)\]

 

em que $ \sigma=1/\delta $ e $ \mu=\log(\alpha) $.

O gráfico abaixo mostra a distribuição gumbel com parâmetros $ \mu=0.5 $ e $ \sigma=2 $.

Figura 6.14.1: Gráfico da função densidade da distribuição Gumbel.

Distribuições de valores extremos foram obtidos como limitantes das distribuições de maiores (ou menores) valores em amostras aleatórias de tamanho de amostra crescente. Para obter uma distribuição limitante não degenerada é necessário "reduzir" o maior valor real através da aplicação de uma transformação linear com coeficientes que dependem do tamanho da amostra. Este processo é análogo à normalização embora não limitado a esta sequência particular de transformações lineares.

Se $ X_1,\dots,X_n $ são variáveis aleatórias independentes com função densidade de probabilidade comum


$$p_{X_j}(x)=f(x),\quad j=1,\dots, n$$

 

então a função de distribuição acumulada de $ \widetilde{X}_n=\max\{X_1,\dots,X_n\} $ é dada por


$$F_{\widetilde{X}_n}(x)=[F(x)]^n=\left[\int^x_{-\infty}f(s)ds\right]^n$$

 

Quando n tende ao infinito, temos que para qualquer valor fixo de x


$$\lim_{n\rightarrow\infty}F_{\widetilde{X}_n}(x)=\left\{\begin{array}{l}1,\quad\text{se}~F(x)=1\\0,\quad\text{se}~F(x)\textless 1\end{array}\right.$$

 

que é uma distribuição degenerada.

Há uma distribuição limitante de interesse, que encontramos como a distribuição limitante de uma sequência de valores transformados "reduzidos", como por exemplo $ (a_n \widetilde{X}_n+b_n) $ em que $ a_n $ e $ b_n $ podem depender n, mas não de x.

Para distinguirmos a função distribuição acumulada limitante do "reduzido" maior valor de $ F(x), $ denotamos por $ G(x). $ Então, uma vez que o maior dos valores $ Nn $ de $ X_1,\dots, X_{Nm} $ é também a maior dos $ N $ valores


$$\max\{X_{(j-1)n+1},X_{(j-1)n+2},\dots, X_{(j)n}\},\quad j=1,\dots,N$$

 

Com isso, segue que $ G(x) $ satisfaz a seguinte equação


$$[G(x)]^N=G(a_N x+b_N)\quad(6.14.1)$$

 

A distribuição de Gumbel é obtida tomando $ a_N=1. $ Logo, temos que


$$[G(x)]^N=G(x+b_N)$$

 

desde que $ G(x+b_N) $ é satisfeita, temos que


$$[G(x)]^{NM}=[G(x+b_N)]^M=G(x+b_N+b_M)$$

 

Com isso, temos que $ b_N+b_M=b_{NM}. $ Assim,


$$b_n=\sigma\log N,\quad \text{com}~\sigma~\text{constante} $$

 

Tomando o logaritmo duas vezes em (6.14.1) e substituindo o valor de $ b_n $ obtemos


$$\log N+\log\{-\log G(x)\}=\log\{-\log G(x+\sigma \log N)\}\quad (6.14.2)$$

 

Agora, denotamos


$$h(x)=\log\{-\log G(x)\}$$

 

Logo, de (6.14.2) obtemos que


$$h(x)=h(0)-\frac{x}{\sigma}$$

 

Desde que $ h(x) $ decresce quando x cresce, para $ \sigma\textgreater 0. $ Da equação anterior obtemos que


$$-\log G(x)=\exp\left\{-\frac{x-\sigma h(0)}{\sigma}\right\}=\exp\left\{-\frac{x-\mu}{\sigma}\right\}$$

 

em que $ \mu=\sigma \log\{-\log G(0)\}. $ Portanto


$$G(x)=\exp\left\{-\exp\left\{-\frac{x-\mu}{\sigma}\right\}\right\}.$$

 

Para o mínimo temos que


$$H(x)=\mathbb{P}[\min\{X_1,\dots,X_n\}\textgreater x]=1-G(x)=1-\exp\left\{-\exp\left\{-\frac{x-\mu}{\sigma}\right\}\right\}.$$

 

Vale lembrar que existem 3 tipos de distribuições do tipo Valor Extremo. O tipo abordado nesta seção é a distribuição Valor Extremo do tipo 1 ou distribuição Gumbel. A seguir, vamos apresentar as formas padronizadas para a distribuição do máximo e do mínimo.

Para o máximo temos:

  • Gumbel (Tipo 1)


$$G_1(x)=\exp\{-\exp(-x)^k\},\quad x\in \mathbb{R}$$

 

  • Fréchet (Tipo 2)


$$G_2(x)=\left\{\begin{array}{l}\exp\{(-x)^{-k}\},\quad x\textgreater 0\\0,\quad\quad x\leq 0\end{array}\right.$$

 

  • Weibull (Tipo 3)


$$G_3(x)=\left\{\begin{array}{l}\exp\{(-x)^{-k}\}\quad x\textless 0\\1\quad\quad x\geq 0\end{array}\right.$$

 

Para o mínimo temos:

  • Gumbel (Tipo 1)


$$H_1(x)=1-\exp\{-\exp(-x)\},\quad x\in \mathbb{R}$$

 

  • Fréchet (Tipo 2)


$$H_2(x)=\left\{\begin{array}{l}1-\exp\{(-x)^{-k}\}\quad x\textgreater 0\\1\quad\quad x\geq 0\end{array}\right.$$

 

  • Weibull (Tipo 3)


$$H_3(x)=\left\{\begin{array}{l}1-\exp\{-x^{-k}\}\quad x\textless 0\\0\quad\quad x\leq 0\end{array}\right.$$

 

A seguir, resumimos as formas de distribuições limitantes para máximos e mínimos de sete distribuições contínuas mais utilizadas.

Distribuição Inicial Distribuição Limitante para Extremos
  Máximo Mínimo
Exponencial Gumbel Weibull
Gamma Gumbel Weibull
Normal Gumbel Gumbel
Log-normal Gumbel Gumbel
Uniforme Weibull Weibull
Pareto Fréchet Weibull
Cauchy Fréchet Fréchet

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

Seja $ X $ uma variável aleatória com distribuição Gumbel, observamos que se $ \mu=0 $ e $ \sigma=1, $ a distribuição de $ Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}, $ obtemos a forma padrão


$$f(y)=\exp\{-y-e^{-y}\}$$

 

Assim, a variável $ Z=\exp\{-(X-\mu)/\sigma\}=e^{-Y} $ tem distribuição exponencial


$$f(z)=e^{-z},\quad z\geq 0$$

 

Disto, segue que


$$\mathbb{E}[\exp\left\{\frac{t(X-\mu)}{\sigma}\right\}]=\mathbb{E}[Z^{-t}]=\Gamma(1-t),\quad \text{para}~t\textless 1.$$

 

Portanto, a função geradora de momentos de X é dada por


$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]=e^{t\mu}\Gamma(1-\sigma t), \quad \sigma|t|\textless 1$$

 

e a função geradora acumulada é dada por


$$\kappa(t)=\mu t-\log \Gamma(1-\sigma t)$$

 

Com isso, o valor esperado de X é dado por


$$\kappa_1(t)=\mathbb{E}[X]=\mu -\sigma\psi(1)=\mu-\gamma \sigma$$

 

em que $ \gamma\approx 0,5772 $ é conhecida constante de Euler.

As funções geradoras de ordem superior são dadas por:


$$\kappa_i(t)=(-\sigma)^i\psi^{(i-1)}(1),\quad i\geq 2$$

 

em que $ \psi(.) $ é a função digama.

Portanto, a variância é dada por


$$\text{Var}(X)=\dfrac{1}{6}\pi^2\sigma^2$$

Probabilidades

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