6.15 - Distribuição log-normal

Assim como a distribuição Weibull, a distribuição Log-Normal é muito usada para caracterizar tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui fadiga de metal, semicondutores, diodos e isolação elétrica. Podemos encontrar mais detalhes sobre essa distribuição na apostila de confiabilidade.

Definição 6.15.1:

Uma variável aleatória $X$ tem distribuição Log-Normal se sua função densidade de probabilidade for dada por:

\[f(x;\mu,\sigma)=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[\dfrac{-(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\right], \ \hbox{se} \ x \ > \ 0\\0 \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.\]

em que $\mu\in\mathbb{R}$ é a média do logaritmo do tempo de falha e $\sigma \ > \ 0$ é o desvio padrão.

Existe uma relação entre as distribuições Log-Normal e Normal similar à relação existente entre as distribuições Weibull e do Valor Extremo. Como o nome sugere o logaritmo de uma variável com distribuição Log-Normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma$ tem uma distribuição Normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$. Esta relação significância que dados provenientes de uma distribuição Log-Normal podem ser analisados segundo uma distribuição Normal se trabalharmos com o logaritmo dos dados ao invés dos valores originais.

Figura 6.15.1: Gráfico da função densidade da distribuição Log-normal.

Exemplo 6.15.1: 

Se $X$ segue uma distribuição normal padronizada então, $Y=e^X$ tem distribuição log-normal com parâmetros $\mu=0$ e $\sigma=1$.

De fato se $X$ segue uma distribuição normal padrão, então temos que 

\[F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(e^X\leq y)=\mathbb{P}(X\leq \ln{y})=\int_{-\infty}^{\ln{y}}f_X(x)dx=\int_{\infty}^{\ln{y}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx.\]

Fazendo uma mudança de variável temos que

\[\int_{\infty}^{\ln{y}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\int_{0}^{y}\frac{1}{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\ln{x}^2}{2}}dx\]

e, portanto, a função densidade de probabilidade de $Y$ é uma log-normal com os parâmetros ditos anteriormente.

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

A função geradora de momentos da log-normal não está definida nos números reais. O valor esperado e a variância da distribuição Log-Normal são dados respectivamente por:

\[\mathbb{E}(X)=\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right) \qquad \text{e} \qquad \text{Var}(X)=\exp(2\mu+\sigma^2)(\exp(\sigma^2)-1).\]