6.16 - Distribuição Logística

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A função de crescimento logístico foi proposta inicialmente para estudos demográficos, isto é, para estudos de crescimento populacional humano. No livro de Balakrishnan, também cita aplicações como dados de produção agrícola e crescimento de mortalidades. A seguir apresentamos a definição.

Definição 6.16.1:

Seja X variável aleatória contínua, dizemos que X tem distribuição Logística com parâmetros de locação μ e de escala s, se a função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por:


$$f(x)=\frac{\exp\left\{\frac{x-\mu}{s}\right\}}{s\left(1+\exp\left\{\frac{x-\mu}{s}\right\}\right)^2},\quad x,\mu\in \mathbb{R},~~\sigma\textgreater 0.$$

 

e sua correspondente função distribuição acumulada (F.D.A.) é dada por:


$$F(x)=\frac{1}{1+\exp\left\{-\frac{\(x-\mu}{s}\right\}},\quad x,\mu\in \mathbb{R},~~\sigma\textgreater 0.$$

 

Notação:

$ X\sim L\left(\mu,s\right) $.

Algumas vezes, para facilitar os cálculos, trabalhamos  com a variável aleatória


$$Z=\frac{X-\mu}{s}$$

 

com f.d.p. dada por:


$$f(x)=\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2},\quad z\in \mathbb{R}.$$

 

e com F.D.A. dada por:


$$F(z)=\frac{1}{1+e^{-z}},\quad z\in\mathbb{R}.$$

Figura 6.16.1: Função densidade de probabilidade da distribuição L(0,1).

Figura 6.16.2: Função Distribuição Acumulada da distribuição L(0,1).

 

Função Geradora de Momentos, valor esperado, variância.

Agora, vamos estudar a função geradora de momentos da distribuição Logística, para isto, afim de facilitar os cálculos vamos estudar as bases características e suas propriedades da população logística através da variável aleatória Z.  Com isso, a função geradora de momentos de Z é:


$$M_Z(t)=\mathbb{E}(e^{tZ})=\int^\infty_{-\infty}\frac{e^{-(1-t)z}}{(1+e^{-z})^2}dz\quad (6.16.1)$$

 

Fazemos agora uma mudança de variável da seguinte maneira:


$$u=\frac{1}{1+e^{-z}}\quad \Rightarrow \quad dz=(1-u)^{-1}u^{-1}du$$

 

Voltando em (6.16.1) temos que


$$=\int^1_0 u^t(1-u)^t du= B(1+t,1-t)=\Gamma(1+t)\Gamma(1-t)$$

 

Agora, definimos função geradora acumulada de Z é obtida quando


$$K_Z(t)=\ln M_Z(t)=\ln \Gamma(1+t)+\ln \Gamma(1-t)$$

 

Derivando em relação a t e aplicando em t=0 temos que


$$\mathbb{E}[Z]=\frac{\Gamma^\prime(1)}{\Gamma(1)}-\frac{\Gamma^\prime(1)}{\Gamma(1)}=\psi^\prime(1)-\psi^\prime(1)=0$$

 

e


$$\text{Var}(Z)=2[\psi^{\prime\prime}(1)-(\psi^\prime(1))^2]=\frac{\pi^2}{3}$$

 

Aplicando o valor esperado e variância em ambos os lados em $ Z=\frac{\pi(X-\mu)}{\sigma \sqrt{3}} $ obtemos que


$$\mathbb{E}(X)=\mu+\frac{\sigma\sqrt{3}}{\pi}\mathbb{E}(Z)=\mu$$

 

e


$$\text{Var}(X)=\frac{3\sigma^2}{\pi^2}\text{Var}(Z)=\sigma^2.$$

 

Exemplo 6.16.1:

Seja X variável aleatória contínua com f.d.p. fX(x). Então a v.a. $ Y=-\ln\left(\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right) $ é v.a. com distribuição logística se, e somente se, X tem distribuição exponencial com parâmetro λ=1.

De fato, suponhamos que X tem distribuição exponencial, i.e., para λ=1 temos que


$$f_X(x)=e^{-x}, \quad x\in (0,\infty)$$

 

Desde que $ Y=-\ln\left(\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right) $ para $ y\in (0,\infty). $

Assim,


$$x=\ln\left(\frac{1+e^{-y}}{e^{-y}}\right)\quad \text{e}\quad |J|=\frac{1}{1+e^{-y}}$$

 

Com isso, temos que


$$f_Y(y)=|J|f_X(y)=\frac{e^{-y}}{(1+e^{-y})^2},\quad y\in\mathbb{R}$$

 

Por outro lado, suponhamos que Y é uma v.a. com distribuição logística, então a função distribuição de X é dada por:


$$F_X(x)=\mathbb{P}[X\leq x]=\mathbb{P}\left[\ln\left(\frac{1+e^{-y}}{e^{-y}}\right)\leq x\right]= \mathbb{P}[y\leq \ln(e^{x}-1)]=1-e^{-x}$$

 

que é a função distribuição da distribuição exponencial com parâmetro λ=1.

Exemplo 6.16.2:

Em um experimento realizado por um laboratório, determinou que a concentração de strotitium-90 presentas em uma amostra de leite não devem ultrapassar 9,22 micromicrocuries por litro. Supondo que a concentração de strotitium-90 tenha distribuição logística com parâmetro de locação μ=8,2 e de escala de σ=1, qual a probabilidade da amostra de leite atender a especificação?

A probabilidade é dada por:


$$\mathbb{P}[X\leq 9,22]=\frac{1}{1+\exp\left\{-\frac{\pi(x-8,2)}{1\sqrt{3}}\right\}}=0,8641$$

 

Portanto, a probabilidade da amostra de leite atender a especificação é de 86,4%.

Observação 6.16.1:

Vale lembrar que a parametrização do software Action é dada por:


$$f(x)=\frac{\exp\left\{-\frac{(x-\mu)}{\sigma}\right\}}{\left(1+\exp\left\{-\frac{(x-\mu)}{\sigma}\right\}\right)^2},\quad x,\mu\in \mathbb{R},~~\sigma\textgreater 0.$$

 

Com isso, a resolução do exercício anterior é dada por


$$\mathbb{P}[X\leq 9,22]=\dfrac{1}{1+\exp\left\{-\frac{(x-8,2)}{1}\right\}}=0,731.$$

Probabilidades

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