6.17 - Distribuições truncadas

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Uma distribuição de probabilidade truncada é uma distribuição condicional resultante da restrição do domínio de alguma outra distribuição de probabilidade. Por exemplo, ao examinar as datas de nascimentos de crianças de uma escola, é intuitivo esperar que as idades dessas crianças estejam dentro de um intervalo pois a escola matricula somente crianças dentro de alguma faixa etária especificada.

Definição:

Seja $ Y $ uma variável aleatória com função densidade de probabilidade $ g(y) $ e função de distribuição $ G(y), y \in \Re $. A distribuição de probabilidade da variável aleatória $ X $, que representa a distribuição de $ Y $ no intervalo $ [a, b] $, com $ -\infty \ \textless \ a \ \textless \ b \ \textless \ \infty $, é uma distribuição de probabilidade truncada

A função densidade de probabilidade é dada por: 

\[f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{g(x)}{G(b)-G(a)}, \ \hbox{se} \ a\leq x\leq b;\\ 0, \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.\]

(1)

Demonstração:

Temos que, 

\[P(X=x)=P(Y=y|\ a\leq x\leq b)=\dfrac{P(Y=y;\ a\leq x\leq b)}{P(\ a\leq x\leq b)}=\dfrac{P(Y=y)}{P(\ a\leq x\leq b)}=\dfrac{g(y)}{G(b)-G(a)}\]

A função de distribuição é dada por:

\[F(x)=\dfrac{G\{max[min(x,b),a]\}-G(a)}{G(b)-G(a)};\ a\leq x\leq b.\]

Nesse caso, o trucamento é chamado intervalar ou truncamento duplo, pois restringimos a distribuição em um intervalo fechado $ [a, b] $. Quando a restrição ocorre em apenas um lado, temos o truncamento simples, simples à direita para $ (-\infty, b] $ ou simples à esquerda para $ [a, \infty) $

Probabilidades

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