6.17.1 - Distribuição normal truncada

A distribuição normal truncada é uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória normal delimitada inferiormente, superiormente ou ambos. Essa distribuição tem ampla aplicação em estatística e econometria, por exemplo, ela é usada para modelar saídas binárias no modelo probito e modelar dados com censura no modelo tobito. Para detalhes de exemplos em econometria veja Greene, William H. (2003).

Definição:

Seja $Y$ uma variável aleatória $N(\mu,\sigma^2)$ com função densidade de probabilidade

$$g(y)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left\lbrace-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\rbrace, y \in \Re$$

e função de distribuição 

$$G(y) = \int_{-\infty}^y g(z) dz.$$ 

A variável aleatória contínua $X$ tem distribuição normal truncada em $[a,b]$ com os parâmetros $\mu, \sigma^2$ se sua função densidade de probabilidade for dada por

$$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{G(b)-G(a)}, \ \hbox{se} \ a\leq x\leq b;\\ 0, \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.$$

ou em termos da função da distribuição acumulada da normal padrão, $\Phi(\cdot)$, temos

$$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)}{\Phi\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)}, \ \hbox{se} \ a\leq x\leq b;\\ 0, \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.$$

Notação:

$$X \sim NT(\mu,\sigma^2;a,b)$$

Demonstração:

A demonstração ocorre direto da equação (1).

Note que

$$g(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left\lbrace -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right\rbrace = \dfrac{1}{\sigma}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} } \exp \left\lbrace -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right\rbrace = \dfrac{1}{\sigma} \phi \left( \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right)$$

No caso em que o truncamento é simples à direita, temos

$$f(x) = P( X = x) = P( Y=y | y \leq b) = \dfrac { P( Y=y ; y \leq b ) }{ P( y \leq b) } = \dfrac{P(Y=y)}{ P( y \leq b) } = \dfrac{ g(y) }{G(b)}$$

No caso em que o truncamento é simples à esquerda, temos

$$f(x) = P( X = x) = P( Y=y | y \geq a) = \dfrac { P( Y=y ; y \geq a ) }{ P( y \geq a) } = \dfrac{P(Y=y)}{ P( y \geq a) } = \dfrac{ g(y) }{1-G(a)}$$

A função de distribuição é dada por:

$$F(x) = \dfrac{ G(x) - G(a) }{ G(b) - G(a) } = \dfrac{ \Phi( \frac{x-\mu}{\sigma} ) - \Phi( \frac{a-\mu}{\sigma} ) }{ \Phi( \frac{b-\mu}{\sigma} ) - \Phi( \frac{a-\mu}{\sigma} ) },$$

onde $\Phi(\cdot)$ é a função de distribuição da normal padrão.

Demonstração:

$$F(x) = \int_a^x f(x)dx = \int_a^x \dfrac{ g(x) }{ G(b) - G(a) } dx = \dfrac{1}{G(b) - G(a)} \int_a^x g(x) dx = \dfrac{ G(x) - G(a) }{ G(b) - G(a) }$$

A esperança é dada por:

$$E(X) = \mu + \dfrac{ \phi \left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right) - \phi \left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) }{ \Phi \left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right) } \sigma,$$

em que $\phi(\cdot)$ é a f.d.p. e $\Phi(\cdot)$ é a função de distribuição da distribuição normal padrão.

• Quando o truncamento é simples à direita, temos, 

$$E(X) = E(Y | Y \leq b) = \mu -\sigma \dfrac{\phi \left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) }{ G(b) }$$

• Quando o truncamento é simples à esquerda, temos, 

$$E(X) = E(Y | Y \geq a) = \mu +\sigma \lambda( \alpha ),$$

em que $\alpha = \dfrac{ a-\mu }{ \sigma }$ e $\lambda( \alpha ) = \dfrac{ \phi( \alpha )}{ 1 - G(a) }$ 

A variância é dada por:

$$Var(X) = \left[ 1 + \dfrac{ \left( \dfrac{a - \mu}{\sigma } \right) \phi \left( \dfrac{a - \mu}{\sigma } \right) - \left( \dfrac{b - \mu}{\sigma } \right) \phi \left( \dfrac{b - \mu}{\sigma } \right) }{ G(b) - G(a) } \right] \sigma^2 \] \[- \left[ \dfrac{ \phi \left( \dfrac{a - \mu}{\sigma } \right) - \phi \left( \dfrac{b - \mu}{\sigma } \right) } { G(b) - G(a) } \right]^2 \sigma^2,$$

em que $\phi(\cdot)$ é a função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão.

• Quando o truncamento é simples à direita, temos, 

$$Var(X) = Var( Y | Y \leq b) = \sigma^2 \left[ 1 - \beta \dfrac{ \phi(\beta) }{ G(b) } - \left( \dfrac{ \phi( \beta) }{ G(b) } \right)^2 \right],$$

em que $\beta = \dfrac{b - \mu}{ \sigma }$

• Quando o truncamento é simples à esquerda, temos, 

$$Var(X) = Var( Y | Y \geq a) = \sigma^2 [ 1 - \delta( \alpha ) ],$$

em que $\alpha = \dfrac{ a-\mu }{ \sigma }, \delta( \alpha ) = \lambda(\alpha) [ \lambda(\alpha) - \alpha ]$ e $\lambda( \alpha ) = \dfrac{ \phi( \alpha )}{ 1 - G(a) }$

Figura 1: Exemplos de curvas da distribuição normal truncada

Exemplo 6.17.1.1: