6.18 - Distribuições mistas

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Uma distribuição de probabilidade mista é uma mistura de duas ou mais distribuições de probabilidades, por exemplo, uma distribuição $ N(\mu, \sigma^2) $ e uma $ \exp(\lambda) $. Essas distribuições são chamadas de componentes mistas.

A distribuição mista é contínua quando todas as componentes mistas também são e sua função densidade de probabilidade pode ser chamada de Densidade Mista. A função de distribuição acumulada da distribuição mista (ou função densidade de probabilidade se existir) pode ser expressa como uma combinação linear de outras funções de distribuição (ou funções densidades), isto é, uma soma ponderada, com pesos não negativos que somam 1. Os pesos associados para cada componente são chamados de pesos mistos ou somente pesos. O número de componentes pode ser finito, infinito e enumerável ou infinito e não enumerável. As componentes mistas são chamadas de distribuições compostas quando são enumeráveis ou infinitas e não enumeráveis.

 

Conjunto Finito e Infinito Enumerável

Dado um conjunto finito de funções densidades de probabilidade $ p_1(x), p_2(x), \ldots, p_n(x) $, ou funções de distribuições $ P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x) $ e seus respectivos pesos $ w_1, w_2, \ldots, w_n $ com $ w_i \geq 0 $ e $ \displaystyle\sum_{i=1}^n w_i = 1, i=1, \ldots\ n $, a função densidade da distribuição mista, $ f $, ou sua função de distribuição, $ F $, são dadas, respectivamente, por,

 \[ f(x) = \sum_{i=1}^n w_i p_i(x) \] \[ F(x) = \sum_{i=1}^n w_i P_i(x).\]

O caso em que o conjunto das componentes é finito tem-se que $ n $ é finito e nos casos em que esse conjunto é infinito enumerável tem-se que $ n = \infty $.

 

Conjunto Infinito Não Enumerável

Chama-se de distribuição de probabilidade composta os casos em que o conjunto das componentes é infinito não enumerável. Considere a função densidade de probabilidade da componente $ a $ dada por $ p(x;a), a \in A $ e seu respectivo peso $ w(a) $ tal que $ \int_A w(a) da = 1, w(a) \geq 0 $. Assim,

A função densidade de probabilidade mista é dada por

 \[ f(x) = \int_A w(a) p(x;a) da \]

e a função de distribuição é dada por,

 \[ F(x) = \int_A w(a) P(x;a) da, \]

em que $P(x;a)$ é a função de distribuição da componente $a$.

 

Distribuição Mista de famílias de distribuições paramétrica

As componentes mistas fazem partes de uma mesma família de distribuição paramétrica, por exemplo a distribuição normal, com diferentes valores para os parâmetros. Nesse caso, a função densidade de probabilidade pode ser escrita por,

 \[f(x; a_1, \ldots, a_n) = \sum_{i=1}^n w_i p(x;a_i) \text{ no caso uniparamétrico,}\]

\[ f(x; a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n) = \sum_{i=1}^n w_i p(x;a_i,b_i) \text{ para dois parâmetros, e assim por diante.}\]

 

Momentos

Sejam $ X_1, \ldots, X_n $ variáveis aleatórias de $ n $ distribuições compostas e seja $ X $ a variável aleatória da distribuição mista. Assim, para qualquer função $ H(.) $, desde que $ E[H(X_i)] $ exista, e assumindo que as densidades da distribuições componentes $ p_i(x) $ existam,

\[E[H(X)] = \int_{-\infty}^\infty H(x) \sum_{i=1}^n w_i p_i(x) dx = \sum_{i=1}^n \int_{-\infty}^\infty p_i(x)H(x)dx = \sum_{i=1}^n w_i E[H(X_i)] \]

Para $ H(X) = X^j $, tem-se que o j-ésimo momento de $ X $ é simplesmente a média ponderada dos j-ésimos momentos das componentes, isto é,

\[ E[X^j] = \sum_{i=1}^n w_i E[X_i^j] \]

.

O momento central $ H(X) = (X - \mu)^j $ envolve uma expansão binomial,

 \[ E[(X-\mu)^j] = \sum_{i=1}^n w_i E[(X_i - \mu)^j] = \sum_{i=1}^n w_i E[(X_i - \mu_i + \mu_i - \mu)^j] = \sum_{i=1}^n \sum_{k=0}^j \binom{j}{k} (\mu_i - \mu)^{j-k} w_i E[ (X_i-\mu_i)^k ], \]

em que $\mu_i$ denota a média da i-ésima componente.

Probabilidades

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