6.19 - Distribuição de Rayleigh

Você está aqui

A distribuição de Rayleigh, homenagem ao Físico e matemático inglês John William Strutt conhecido como o terceiro barão de Rayleigh, é uma distribuição de probabilidade contínua para valores positivos. Geralmente, essa distribuição é observada quando a magnitude global de um vetor está relacionada com os seus componentes de direção. Por exemplo, quando a velocidade do vento é analisada em duas direções, ou seja, um vetor de componentes bidimensional. Assumindo que as componentes são independentes e normalmente distribuídas com média zero e variâncias iguais, então a velocidade geral do vento tem um a distribuição de Rayleigh. Veja Siddiqui, M. M. (1964) para mais detalhes.
 

Teorema

Sejam $U \sim N(0, \sigma^2)$ e $V \sim N(0, \sigma^2)$ variáveis aleatórias independentes. Então, $X = \sqrt{ U^2 + V^2 }$ segue uma distribuição de Rayleigh.

Notação: $R \sim \text{Rayleigh}(\sigma)$

Dessa maneira, a função densidade de probabilidade $f$ e a função de distribuição $F$ são dadas, respectivamente, por,

$$f(x;\sigma) = \dfrac{x}{\sigma^2} \exp \left\lbrace \dfrac{-x^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace$$
$$F(x) = 1 - \exp \left\lbrace \dfrac{-x^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace; x \geq 0; \sigma > 0$$

Os gráficos da função densidade de probabilidade e da função de distribuição para $\sigma = 1, 2, 3, 4, 5$ estão apresentados na Figura 1.

Figura 1: Curvas das funções densidades de probabilidade (gráfico da esquerda) e as curvas das funções de distribuições (gráfico a direita) para $\sigma = 1, 2, 3, 4, 5$

Demonstração:

Sejam $U \sim N(0, \sigma^2)$ e $V \sim N(0, \sigma^2)$. A função densidade de probabilidade conjunta de $U$ e $V$ é

$$f(u,v)=f(u)f(v)=\left[ \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left\lbrace \dfrac{-u^2}{2\sigma^2} \right\rbrace \right] \times \left[ \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left\lbrace \dfrac{-v^2}{2\sigma^2} \right\rbrace \right] =$$
$$=\dfrac{1}{2 \pi \sigma^2 } \exp\left\lbrace \dfrac{-(u^2 + v^2)}{ 2\sigma^2 } \right\rbrace =$$
$$=\dfrac{1}{2\pi\sigma^2} \exp \left\lbrace \frac{-1}{2} \left( \frac{u^2}{\sigma^2} + \frac{v^2}{\sigma^2} \right) \right\rbrace$$
$$= \dfrac{1}{2\pi\sigma^2} \exp \left\lbrace \frac{-1}{2} \left( \dfrac{u^2 + v^2}{ \sigma^2 } \right) \right\rbrace, (u,v) \in \Re^2$$

Agora, a função de distribuição é

$$F(x)=P(X \leq x)=\int_{A_x} f(u,v) d(u,v) = \int_{A_x} \dfrac{1}{2\pi\sigma^2} \exp \left\lbrace \frac{-1}{2} \left( \dfrac{u^2 + v^2}{ \sigma^2 } \right) \right\rbrace d(u,v)$$
em que $A_x = \{ (u,v) \in \Re^2 : u^2 + v^2 \leq x^2 \}$

Mudando para coordenadas polares, temos

$$u = r \cos(\theta)$$

$$v = r \text{sen}(\theta)$$

Assim,

$$u^2 + v^2 = r^2 \cos^2(\theta) + r^2 \text{sen}^2(\theta) = r^2 ( \cos^2(\theta) + \text{sen}^2(\theta)) = r^2.$$

Portanto,

\[F(x)=\int_0^{2\pi} \int_0^x \dfrac{1}{2 \pi \sigma^2} \exp \left\lbrace -\dfrac{r^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace r dr d\theta\] 
\[=\dfrac{1}{2 \pi \sigma^2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^x \exp \left\lbrace -\dfrac{r^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace r dr\] 
\[=\dfrac{1}{\sigma^2} \int_0^x \exp \left\lbrace -\dfrac{r^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace r dr\]  
\[=\int_0^x \dfrac{r}{\sigma^2} \exp \left\lbrace -\dfrac{r^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace dr\] 
\[=\int_0^x f(r) dr\] 

Portanto, a função densidade de probabilidade de $X$ é,

\[f(x)=\dfrac{x}{\sigma^2} \exp \left\lbrace -\dfrac{x^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace, x \geq 0\]

Para mostrar a função de distribuição, basta resolver,

\[F(x)=\int_0^x f(r)dr = \int_0^x \dfrac{r}{\sigma^2} \exp \left( -\dfrac{r^2}{2\sigma^2} \right) dr\]

Substituindo $z=r^2$ e $dz = 2r dr$ em (2), temos,

\[F(x) = \int_0^{x^2} \dfrac{1}{2\sigma^2} e^{-z / 2\sigma^2} dz = -\exp \left( -\dfrac{z}{2\sigma^2} \right)_0^{x^2} = 1 - \exp \left( -\dfrac{x^2}{2\sigma^2} \right) \square\]

A esperança e a variância são dados, respectivamente, por,

\[E(X)=\sigma \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \approx 1,253 \sigma \qquad \qquad (3)\]
\[Var(X)=\dfrac{4-\pi}{2} \sigma^2 \approx 0,429 \sigma^2 \qquad \qquad (4)\]

Exemplo:

Sejam $U$ e $V$ variáveis aleatórias contínuas e independentes com $U \sim N(0, 1)$ e $V \sim N(0, 1)$. Seja $X = \sqrt{U^2 + V^2}$

a) Calcule a esperança e a variância da distribuição de $X$

Sabemos que $X \sim \text{Rayleigh}(1)$. Portanto, pela equação 3, a esperança é dada por,

\[E(X) = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\sigma \approx 1,253 \sigma \approx 1,253\] 
E pela equação 4 a variância de $X$ é dada por, 

\[ Var(X) = \dfrac{4-\pi}{2} \sigma^2 = 0,429\] 
Neste caso em que $\sigma = 1$ a distribuição de $X$ é denominada \emph{Rayleigh Padrão}

b) Calcule a área sob a curva de $X$ maior que $1$.

A área sob a curva da distribuição de $X$ maior que $1$ é dada por

$$P( X > 1 ) = 1 - P( X \leq 1 ) = 1 - F(1) = 1 - \left[ 1 - \exp\left( -\dfrac{1}{2} \right) \right] = e^{-1/2} \approx 0,6065 \text{ ou } 60,65\%$$

Figura 2: Curva da distribuição de Rayleigh para $\sigma =1$. A área hachurada representa $P(X > 1)$

Probabilidades

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]