6.19 - Distribuição de Rayleigh

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A distribuição de Rayleigh, homenagem ao Físico e matemático inglês John William Strutt conhecido como o terceiro barão de Rayleigh, é uma distribuição de probabilidade contínua para valores positivos. Geralmente, essa distribuição é observada quando a magnitude global de um vetor está relacionada com os seus componentes de direção. Por exemplo, quando a velocidade do vento é analisada em duas direções, ou seja, um vetor de componentes bidimensional. Assumindo que as componentes são independentes e normalmente distribuídas com média zero e variâncias iguais, então a velocidade geral do vento tem um a distribuição de Rayleigh. Veja Siddiqui, M. M. (1964) para mais detalhes.
 

Teorema

Sejam $ U \sim N(0, \sigma^2) $ e $ V \sim N(0, \sigma^2) $ variáveis aleatórias independentes. Então, $ X = \sqrt{ U^2 + V^2 } $ segue uma distribuição de Rayleigh.

Notação: $ R \sim \text{Rayleigh}(\sigma) $

Dessa maneira, a função densidade de probabilidade $ f $ e a função de distribuição $ F $ são dadas, respectivamente, por,

$$f(x;\sigma) = \dfrac{x}{\sigma^2} \exp \left\lbrace \dfrac{-x^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace$$

$$F(x) = 1 - \exp \left\lbrace \dfrac{-x^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace; x \geq 0; \sigma \textgreater 0$$

Os gráficos da função densidade de probabilidade e da função de distribuição para $ \sigma = 1, 2, 3, 4, 5 $ estão apresentados na Figura 1.

Figura 1: Curvas das funções densidades de probabilidade (gráfico da esquerda) e as curvas das funções de distribuições (gráfico a direita) para $ \sigma = 1, 2, 3, 4, 5 $

Demonstração:

Sejam $ U \sim N(0, \sigma^2) $ e $ V \sim N(0, \sigma^2) $. A função densidade de probabilidade conjunta de $ U $ e $ V $ é

$$f(u,v)=f(u)f(v)=\left[ \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left\lbrace \dfrac{-u^2}{2\sigma^2} \right\rbrace \right] \times \left[ \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left\lbrace \dfrac{-v^2}{2\sigma^2} \right\rbrace \right] =$$

$$=\dfrac{1}{2 \pi \sigma^2 } \exp\left\lbrace \dfrac{-(u^2 + v^2)}{ 2\sigma^2 } \right\rbrace =$$

$$=\dfrac{1}{2\pi\sigma^2} \exp \left\lbrace \frac{-1}{2} \left( \frac{u^2}{\sigma^2} + \frac{v^2}{\sigma^2} \right) \right\rbrace$$

$$= \dfrac{1}{2\pi\sigma^2} \exp \left\lbrace \frac{-1}{2} \left( \dfrac{u^2 + v^2}{ \sigma^2 } \right) \right\rbrace, (u,v) \in \Re^2$$

Agora, a função de distribuição é

$$F(x)=P(X \leq x)=\int_{A_x} f(u,v) d(u,v) = \int_{A_x} \dfrac{1}{2\pi\sigma^2} \exp \left\lbrace \frac{-1}{2} \left( \dfrac{u^2 + v^2}{ \sigma^2 } \right) \right\rbrace d(u,v)$$

em que  u^2 + v^2 \leq x^2 \} $

Mudando para coordenadas polares, temos

 $$u = r \cos(\theta)$$

$$v = r \text{sen}(\theta)$$

Assim,

$$u^2 + v^2 = r^2 \cos^2(\theta) + r^2 \text{sen}^2(\theta) = r^2 ( \cos^2(\theta) + \text{sen}^2(\theta)) = r^2.$$

Portanto,

\[F(x)=\int_0^{2\pi} \int_0^x \dfrac{1}{2 \pi \sigma^2} \exp \left\lbrace -\dfrac{r^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace r dr d\theta\]

 

\[=\dfrac{1}{2 \pi \sigma^2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^x \exp \left\lbrace -\dfrac{r^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace r dr\]

 

\[=\dfrac{1}{\sigma^2} \int_0^x \exp \left\lbrace -\dfrac{r^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace r dr\]

 

\[=\int_0^x \dfrac{r}{\sigma^2} \exp \left\lbrace -\dfrac{r^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace dr\]

 

\[=\int_0^x f(r) dr\]

 

Portanto, a função densidade de probabilidade de $ X $ é,

\[f(x)=\dfrac{x}{\sigma^2} \exp \left\lbrace -\dfrac{x^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace, x \geq 0\]

Para mostrar a função de distribuição, basta resolver,

\[F(x)=\int_0^x f(r)dr = \int_0^x \dfrac{r}{\sigma^2} \exp \left( -\dfrac{r^2}{2\sigma^2} \right) dr\]

Substituindo $ z=r^2 $ e $ dz = 2r dr $ em (2), temos,

\[F(x) = \int_0^{x^2} \dfrac{1}{2\sigma^2} e^{-z / 2\sigma^2} dz = -\exp \left( -\dfrac{z}{2\sigma^2} \right)_0^{x^2} = 1 - \exp \left( -\dfrac{x^2}{2\sigma^2} \right) \square\]

A esperança e a variância são dados, respectivamente, por,

\[E(X)=\sigma \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \approx 1,253 \sigma \qquad \qquad (3)\]

\[Var(X)=\dfrac{4-\pi}{2} \sigma^2 \approx 0,429 \sigma^2 \qquad \qquad (4)\]

Exemplo:

Sejam $ U $ e $ V $ variáveis aleatórias contínuas e independentes com $ U \sim N(0, 1) $ e $ V \sim N(0, 1) $. Seja $ X = \sqrt{U^2 + V^2} $

a) Calcule a esperança e a variância da distribuição de $ X $

Sabemos que $ X \sim \text{Rayleigh}(1) $. Portanto, pela equação 3, a esperança é dada por,

\[E(X) = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\sigma \approx 1,253 \sigma \approx 1,253\]

 
E pela equação 4 a variância de $ X $ é dada por, 

\[ Var(X) = \dfrac{4-\pi}{2} \sigma^2 = 0,429\]

 
Neste caso em que $ \sigma = 1 $ a distribuição de $ X $ é denominada \emph{Rayleigh Padrão}

b) Calcule a área sob a curva de $ X $ maior que $ 1 $.

A área sob a curva da distribuição de $ X $ maior que $ 1 $ é dada por

$$P( X \textgreater 1 ) = 1 - P( X \leq 1 ) = 1 - F(1) = 1 - \left[ 1 - \exp\left( -\dfrac{1}{2} \right) \right] = e^{-1/2} \approx 0,6065 \text{ ou } 60,65\%$$

Figura 2: Curva da distribuição de Rayleigh para $ \sigma =1 $. A área hachurada representa $ P(X \textgreater 1) $

Probabilidades

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