6.20 - Distribuição normal dobrada

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A distribuição normal dobrada é a distribuição dos valores absolutos de uma variável aleatória com distribuição normal. O nome vem do fato dos valores da distribuição normal no intervalo $ \mathbf{(-\infty, 0]} $ "sobreporem" os valores no intervalo $ \mathbf{ [0, \infty) } $, ou seja, os valores negativos da distribuição normal dobram na parte positiva (ver Figura 1). Um dos primeiros exemplos, segundo \emph{Tsagris, 2014}, nos anos 60, foi o uso da distribuição normal dobrada para estudar a magnitude do desvio do alinhamento de um automóvel (magnitude of deviation of an automobile strut alignment). Veja TSAGRIS, Michail; at al. (2014) para maiores detalhes.

Figura 6.20.1: Distribuição normal vs Distribuição Normal Dobrada

Definição:

Sejam $ Y \sim N( \mu, \sigma^2 ) $ com função densidade de probabilidade dada por

$$f(y) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(y-\mu)^2}{ 2 \sigma^2 } }, -\infty \textless y \textless \infty$$

Assim, $ X = |Y| $ tem distribuição normal dobrada com os parâmetros $ (\mu, \sigma^2) $ e sua função densidade de probabilidade é dada por

$$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \left[ e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{ 2 \sigma^2 } } + e^{ -\frac{(x+\mu)^2}{ 2 \sigma^2 } } \right], x \geq 0$$

Notação:$ X \sim ND( \mu, \sigma^2 ) $

Propriedade:

Seja $ Z \sim N(0,1) $. Assim, $ X = |\mu + \sigma Z| \sim ND( \mu, \sigma^2 ) $.

A função de distribuição de $ X $ é dada por

$$F_X(x)=\Phi \left( \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{-x - \mu}{\sigma} \right)=\Phi \left( \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right) + \left[ \Phi \left( \frac{x + \mu}{\sigma} \right) -1 \right]$$

$$=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \left\lbrace \exp \left[ -\dfrac{(y+\mu)^2}{2\sigma^2} \right] + \exp \left[ -\dfrac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2} \right] \right\rbrace dy \qquad \qquad (1)$$

Demonstração:

$$F_X(x) = P(X \leq x) = P (|Y| \leq x ) = P(|\mu + Z\sigma| \leq x) = P(-x \leq \mu + Z\sigma \leq x) \] \[ = P \left( \dfrac{-x-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right) = \Phi \left( \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{-x - \mu}{\sigma} \right) \square$$

Também podemos escrever a função de distribuição de $ X $ em termos da função erro (erf),

$$F_X(x; \mu, \sigma) = \dfrac{1}{2} \left[ erf \left( \dfrac{x + \mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) + erf \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) \right],$$

em que a função erro (erf) é definida por,

$$erf(x) = \dfrac{2}{ \sqrt{\pi} } \int_0^x e^{-t^2} dt$$

A esperança é dada por,

$$E(X) = \mu \left[ 1 - 2\Phi \left( \dfrac{-\mu}{\sigma} \right) \right] + \sigma \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } \exp \left( -\dfrac{ \mu^2 }{ 2\sigma^2} \right)$$

Demonstração:

 $$E(X) = E( |\mu + \sigma Z| )$$

Note que $ |\mu + \sigma Z| \geq 0 \Leftrightarrow Z < -\dfrac{\mu}{\sigma} $ ou $ Z \geq -\dfrac{\mu}{\sigma} $.
Assim,

$$E( |\mu + \sigma Z| )=E( \mu + \sigma Z | Z \geq -\frac{\mu}{\sigma} ) + E( -\mu - \sigma Z | Z <-\frac{\mu}{\sigma} )$$

$$=E( \mu + \sigma Z | Z \geq -\frac{\mu}{\sigma} ) - E( \mu + \sigma Z | Z <-\frac{\mu}{\sigma} )$$

$$=E( \mu + \sigma Z ) - E( \mu + \sigma Z | Z <-\frac{\mu}{\sigma} )- E( \mu + \sigma Z | Z <-\frac{\mu}{\sigma} )$$

$$=E( \mu + \sigma Z ) - 2E( \mu + \sigma Z | Z <-\frac{\mu}{\sigma} )$$

$$=\mu -2\mu \Phi(-\mu/\sigma) - 2\sigma E(Z | Z \leq - \dfrac{\mu}{\sigma})$$

$$=\mu \left[ 1 -2\Phi(-\mu/\sigma) \right] - 2\sigma E(Z | Z \leq - \dfrac{\mu}{\sigma}) \qquad (1)$$

Mas,

 $$E(Z | Z \leq - \dfrac{\mu}{\sigma}) = \int_{-\infty}^{\mu/\sigma} z \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi} } e^{-z^2/2} dz$$

Fazendo a mudança de variável $ u = z^2/2 $, temos

 $$E(Z | Z \leq - \dfrac{\mu}{\sigma}) = \int_{\infty}^{\mu^2/2\sigma^2} \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi} } e^{-u} du = - \int_{\mu^2/2\sigma^2}^{\infty} \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi} } e^{-u} du = - \dfrac{1}{ \sqrt{2\pi} } e^{-\mu^2/2\sigma^2} \qquad (2)$$

Substituindo (2) em (1), temos

 $$\mu \left[ 1 -2\Phi(-\mu/\sigma) \right] + 2\sigma \dfrac{1}{ \sqrt{2\pi} } e^{-\mu^2/2\sigma^2} = \mu \left[ 1 - 2\Phi(-\mu/\sigma) \right] + \sigma \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } e^{-\mu^2/2\sigma^2} \square$$

A variância é dada por,

 $$Var(X) = \mu^2 + \sigma^2 - \left\lbrace \mu \left[ 1 - 2\Phi \left( \dfrac{-\mu}{\sigma} \right) \right] + \sigma \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } \exp \left( -\dfrac{ \mu^2 }{ 2\sigma^2} \right) \right\rbrace^2$$

Demonstração:

Note que,

 E(X^2) = E(Y^2) = Var(Y) + [E(Y)]^2 = \sigma^2 + \mu^2\]

Assim,

 \[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \] \[ Var(X) = \mu^2 + \sigma^2 - \left\lbrace \mu \left[ 1 - 2\Phi \left( \dfrac{-\mu}{\sigma} \right) \right] + \sigma \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } \exp \left( -\dfrac{ \mu^2 }{ 2\sigma^2} \right) \right\rbrace^2 \]

Propriedade:

Seja $ W = |\sigma Z| = \sigma |Z| $, em que $ Z \sim N(0,1) $, a distribuição de $ W $ é uma \textbf{distribuição seminormal} com o parâmetro de escala $ \sigma $. A função de distribuição, $ F(w) $, e a função densidade de probabilidade $ f(w) $, são dadas, respectivamente, por,

 \[F(w) = 2 \Phi \left( \dfrac{y}{\sigma} \right) - 1, y \in [0, \infty),\]

em que $\Phi(\cdot)$ é a função de distribuição da distribuição normal padrão.

\[ f(w) = \dfrac{2}{\sigma} \phi \left( \dfrac{y}{\sigma} \right), y \in [0, \infty),\]

em que $\phi(\cdot)$ é a função densidade da distribuição normal padrão. 

Exemplo 1:

Para exemplificar o cálculo da esperança e variância da distribuição normal dobrada considere $ Y \sim N(0,1) $. Sabemos que $ X = |Y| \sim ND(0,1) $. Assim, a esperança e a variância de $ X $ são dadas por,TeX Embedding failed!

\[ E(X) = \mu \left[ 1 - 2\Phi \left( \dfrac{-\mu}{\sigma} \right) \right] + \sigma \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } \exp \left( -\dfrac{ \mu^2 }{ 2\sigma^2} \right) = 0 \left[ 1 - 2\Phi \left( \dfrac{-0}{1} \right) \right] + 1 \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } \exp \left( -\dfrac{ 0^2 }{ 2*1^2} \right) \] \[=0 + \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} e^0 = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} * 1 = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} = 0, 798 \]

\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \mu^2 + \sigma^2 - [E(X)]^2 = 0 + 1 - 0,798^2 = 1 - 0,637 = 0,363 \]

Portanto, $ E(X) = 0,798 $ e $ Var(X)= 0,363 $.
Podemos notar que os parâmetros $ \mu $ e $ \sigma^2 $ representam, respectivamente, a esperança e a variância somente da v.a. $ Y $ e não da v.a. $ X $.

Exemplo 2:

Seja $ X $ uma variável aleatória contínua com distribuição normal dobrada com $ \mu=0 $ e $ \sigma^2 = 4 $, ou seja, $ X \sim ND(0,4) $. Calcule a probabilidade de $ X \leq 2 $.

Sabemos que $ X = |Y| $, em que $ Y \sim N(0,4) $. Assim, a probabilidade de $ X \leq 2 $ é dada por,

\[ P( X \leq 2 ) = P( -2 \leq Y \leq 2 ) = P( \frac{-2 - 0}{ 2 } \leq \frac{Y- 0}{2} \leq \frac{2 - 0}{2} ) = P( -1 \leq Z \leq 1 ), \]

em que $ Z \sim N(0,1) $.

Assim,

\[ P( X \leq 2 ) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826, \]

Ou seja, $ 68,26\% $

Exemplo 3:

Suponha que uma fábrica produz uma peça cilíndrica cuja medida do diâmetro tem distribuição normal dobrada com os parâmetros $ \mu=0,04 $cm e $ \sigma^2 = 0,02^2 = 0,0004 $cm. Seja $ X $ a variável aleatória que representa essa medida. Assim, $ X \sim ND(0,04 ; 0,0004) $. Suponha também que os limites de engenharia são $ LIE = 0,01 $cm e $ LSE = 0,07 $cm. Qual é a probabilidade da fábrica produzir uma peça fora dos limites especificados?

Queremos saber,

\[ P[ (X \textless 0,01) \cup (X \textgreater 0,07)] \]

Temos,

\[ P[ (X \textless 0,01) \cup (X \textgreater 0,07)] = P(X \textless 0,01) + P(X \textgreater 0,07) - P[ (X \textless 0,01) \cap (X \textgreater 0,07)] = \]
\[ = P(X \textless 0,01) + P(X \textgreater 0,07), \]

pois $ P[ (X \textless 0,01) \cap (X \textgreater 0,07)] = 0 $

Dessa maneira,

\[ P(X \textless 0,01) + P(X \textgreater 0,07) = P(X \textless 0,01) + 1 - P(X \leq 0,07) \]
\[ = 1 + F_X(0,01) - F_X(0,07), \]

em que $ F_X(\cdot) $ é a f.d.a. de $ X. $

Pela equação 1, temos

\[F_X(0,01)=\Phi \left( \dfrac{ x - \mu }{ \sigma } \right) - \Phi \left( \dfrac{ -x - \mu }{ \sigma } \right) = \Phi \left( \dfrac{ 0,01 - 0,04 }{ 0,02 } \right) - \Phi \left( \dfrac{ -0,01 - 0,04 }{ 0,02 } \right)=\]
\[=\Phi \left( -1,5 \right) - \Phi \left( -2,5 \right) = 0,0668 - 0 = 0,0606\]

\[F_X(0,07)=\Phi \left( \dfrac{ x - \mu }{ \sigma } \right) - \Phi \left( \dfrac{ -x - \mu }{ \sigma } \right) = \Phi \left( \dfrac{0,07 - 0,04 }{ 0,02 } \right) - \Phi \left( \dfrac{ -0,07 - 0,04 }{ 0,02 } \right)=\]
\[= \Phi \left( 1 \right) - \Phi \left( -5 \right) = 0,8413 - 0 = 0,8413\]

 

Finalmente,

\[ P[ (X \textless 0,01) \cup (X \textgreater 0,07)] = 1 + F_X(0,01) - F_X(0,07) = 1 + 0,0606 - 0,8413 = 0,2193 \]

Portanto, a probabilidade da fábrica produzir uma peça fora dos limites especificados é de $ 21,93\% $.

Figura 6.20.2: Curva da distribuição normal dobrada com $ \mu=0,04 $ e $ \sigma^2=0,02^2 $. A área hachurada do lado esquerdo é a probabilidade de produzir uma peça abaixo do limite inferior de engenharia e a área hachurada do lado direito é a probabilidade de produzir uma peça acima do limite superior de engenharia

Probabilidades

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