6.21 Distribuição de Rice

A distribuição de Rice é uma distribuição de probabilidade contínua para valores positivos. Geralmente, essa distribuição é observada quando a magnitude global de um vetor está relacionada com os seus componentes de direção. Por exemplo, quando a velocidade do vento é analisada em duas direções, ou seja, um vetor de componentes bidimensional. Assumindo que as componentes são independentes e normalmente distribuídas com variâncias iguais, então a velocidade geral do vento tem uma distribuição de Rice. Veja Sijbers, Jan, et al. (1998) para mais detalhes.

Observação:

A distribuição de Rayleigh é um caso particular da distribuição de Rice quando as médias das componentes forem iguais a zero. (Ver exemplo 6.21.1)
 

Definição:

Seja $X$ uma variável aleatória contínua com distribuição de Rice com média $v$ e variância $\sigma^2$. A função densidade de probabilidade $f(\cdot)$ é dada por,

$$f( x | v, \sigma^2) = \dfrac{x}{\sigma^2} \exp \left( \dfrac{ -(x^2 + v^2) }{2\sigma^2} \right) I_0 \left( \dfrac{xv}{\sigma^2} \right); x,v \in \Re; \sigma^2 > 0$$

em que,

$$I_{\alpha}(z) = \sum_{m=0}^\infty \dfrac{1}{ m! \Gamma(m + \alpha + 1) } \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2m+\alpha}, \alpha \in \Re,$$

é a função modificada de Bessel do primeiro tipo de ordem $\alpha$.

$$\Gamma(y)=\left\{\begin{array}{l} (y-1)!, \ \hbox{se} \ y \in \mathbb{N}^*;\\ \displaystyle\int_0^\infty x^{y-1} e^{-x} dx, \ \hbox{se} \ y > 0 \end{array}\right.$$

é a função Gama.

Notação: $X \sim \text{Rice}(v, \sigma^2)$

A função de distribuição $F(\cdot)$ é dada por

$$F(x | v, \sigma) = 1- Q_1 \left( \dfrac{v}{\sigma}, \dfrac{x}{\sigma} \right),$$

em que,

$$Q_M(a,b) = \int_a^\infty x \left( \dfrac{x}{a} \right)^{M-1} \exp \left( - \dfrac{x^2 + a^2}{2} \right) I_{M-1}(ax) dx$$

 chamada Função-Q Marcum (Marcum Q-Function)

O gráfico da Figura 6.21.1 ilustra a forma da função densidade de probabilidade e da função de distribuição de Rice para alguns valores de $v$ e $\sigma$

Figura 6.21.1: Função densidade de probabilidade (à esquerda) e a função de distribuição (à direita) da distribuição de Rice

Momentos:

Os momentos de ordem 1, $m_1$, e de ordem 2, $m_2$, são dados por,

$$m_1 = \sigma \sqrt{ \dfrac{\pi}{2}} L_{1/2} \left( \dfrac{-v^2}{2 \sigma^2} \right)$$

$$m_2 = 2\sigma^2 + v^2$$

Em geral, o momento de ordem $k$ é dado por,
$$m_k = \sigma^ k 2^{k/2} \Gamma(1+ k/2) L_{k/2}( -v^2/2\sigma^2 )$$

Assim, a esperança de $X$ é dada por,

$$E(X) = m_1 = \sigma \sqrt{ \dfrac{\pi}{2}} L_{1/2} \left( \dfrac{-v^2}{2 \sigma^2} \right),$$

em que,
$$L_n(x) = \dfrac{e^x}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} x^n \right) = \dfrac{1}{n!} \left( \dfrac{d}{dx} -1 \right)^n x^n$$

ou pode ser escrito da forma reduzida como,

$$L_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{ (-1)^k }{k!} x^k$$

Vale lembrar que $L_n$ é o polinômio de Laguerre de ordem n.

A variância de $X$ é dada por,

$$Var(X) = m_2 - m_1^2 = 2\sigma^2 + v^2 - \dfrac{\pi \sigma^2}{2} L^2_{1/2} \left( \dfrac{-v^2}{2\sigma^2} \right)$$

Exemplo 6.21.1:

Seja $X \sim \text{Rice}(0,\sigma^2)$. Mostre que $X$ tem distribuição de Rayleigh com parâmetro $\sigma^2$.
Substituindo diretamente os parâmetros na função densidade de probabilidade da $Rice(v=0, \sigma^2)$, temos

$$f(x| 0, \sigma^2) = \dfrac{x}{\sigma^2} \exp{ \left[ \dfrac{-(x^2+0^2)}{2\sigma^2} \right] } I_0( \frac{x*0}{\sigma^2} ) = \dfrac{x}{\sigma^2} \exp{ \left[ \dfrac{-(x^2)}{2\sigma^2} \right] } I_0( 0 ),$$

Mas,

$$I_0(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \sum_{m=0}^\infty \dfrac{1}{m! \Gamma(m+1)} \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2m} = \sum_{m=0}^\infty \dfrac{1}{m! \Gamma(m+1)} \lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2m} = \] \[ 1* \lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{x}{2} \right)^0 + \sum_{m=1}^\infty \dfrac{1}{m! \Gamma(m+1)} \lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2m} = 1* \lim_{x \rightarrow 0} 1 + 0 = 1,$$

Assim,

$$f(x| 0, \sigma^2) = \dfrac{x}{\sigma^2} \exp{ \left[ \dfrac{-(x^2)}{2\sigma^2} \right] }, x \in \Re.$$