6.2.1 - Propriedades da distribuição normal

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Vamos calcular a função geradora de momentos para uma variável aleatória com distribuição normal. Inicialmente, trataremos do caso em que a variável $ X $ possui uma distribuição padronizada para tratar do caso geral posteriormente. Portanto, considere inicialmente que $ X\sim N(0,1) $. Então sua função geradora de momentos é dada por


\[M_{X}(t)=\mathbb{E}\left(e^{tX}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}e^{-x^2/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{(x^2-2tx)/2}=\frac{e^{t^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-t)^2/2}dx\]

 

de onde concluímos que


\[M_X(t) = e^{t^2/2}.\]

 

Agora vamos calcular a função geradora de momentos para uma variável aleatória Z, tal que $ Z\sim N(\mu,\sigma) $. Lembremo-nos de que $ Z=\sigma X +\mu $ com $ X\sim N(0,1) $. Assim


\[M_Z(t)=\mathbb{E}\left(e^{tZ}\right)=\mathbb{E}\left(e^{t(\sigma X+ \mu)}\right)=e^{t\mu}\mathbb{E}\left(e^{t\sigma X}\right)=e^{t\mu}e^{\frac{(t\sigma)^2}{2}}=\exp\left\{\frac{\sigma^2 t^2}{2}+ \mu t\right\}.\]

 

Se $ X $ tem distribuição Normal, podemos calcular o valor esperado de $ X $ a partir da função geradora de momentos.


\[M^\prime_X(t)=\frac{d}{dt}\exp\left\{\frac{\sigma^2t^2}{2}+ \mu t\right\}=(\mu+t\sigma^2)\exp\left\{\frac{\sigma^2t^2}{2}+ \mu t\right\}\]

 

e assim 


\[\mathbb{E}\left(X\right)=M^\prime_X(0)=(\mu+0\sigma^2)e^{\frac{\sigma^20}{2}+\mu 0}=\mu\]

 

Agora iremos calcular a variância de $ X $ utilizando a função geradora de momentos.


\[M^{\prime\prime}_X(t)=\frac{d^2}{dt^2}\exp\left\{\frac{\sigma^2t^2}{2}+ \mu t\right\}=(\mu+ t\sigma^2)^2 \exp\left\{\frac{\sigma^2t^2}{2}+ \mu t\right\}+ \sigma^2 \exp\left\{\frac{\sigma^2t^2}{2}+ \mu t\right\}\]

 

Desta forma temos que


\[\mathbb{E}\left(X^2\right)=M^\{\prime\prime}_X(0)=(\mu+ 0\sigma^2)^2 \exp\left\{\frac{\sigma^20^2}{2}+ \mu 0\right\}+ \sigma^2 \exp\left\{\frac{\sigma^20^2}{2}+\mu 0\right\}=\mu^2+\sigma^2\]

 

e, portanto


\[\text{Var}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=\mu^2+\sigma^2-\mu_2=\sigma^2.\]

Probabilidades

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