6.22 - Distribuição normal estendida

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 A distribuição normal estendida resulta da superposição de distribuições normais com o mesmo desvio padrão e que apresentam mudanças de locação sistemáticas (tendências e ciclos). A Figura abaixo exemplifica a distribuição normal estendida. A distribuição normal estendida definida aqui foi embasada no manual Volkswagen AG VW 101 31.

Figura 6.22.1

 

Definição: 

Seja $X$ uma variável aleatória contínua com distribuição normal estendida. Então, sua função densidade de probabilidade é:

$$ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma + \mu_2 - \mu_1 } \times \left\lbrace \begin{array}{l} \exp \left[ -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu_1}{ \sigma } \right)^2 \right]; \quad\quad x <\mu_1 \\ 1 ;\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\mu_1<\text{x}<\mu_2 \\ \exp{ \left[ -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu_2}{ \sigma } \right)^2 \right] }; \quad \quad x>\mu_2 \\ \end{array} \right. $$

Em que,

  • $\mu_1$ e $\mu_2$ são as médias das distribuições normais que limitam a distribuição normal estendida (como pode ser visto no gráfico da Figura 6.22.1)
  • $\sigma$ é o desvio padrão das distribuições normais que limitam a distribuição normal estendida.

Figura 6.22.2: Gráfico da função densidade da distribuição normal estendida

6.22.3: Gráfico da função de distribuição acumulada da normal estendida.

Notação: $X \sim NE(\mu_1, \mu_2, \sigma)$

A esperança de X é dada por:

$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$

$$E[X] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma+\mu_2 - \mu_1} \times \left\lbrace \int_{-\infty}^{\mu_1} x \exp{ \left[ -\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma}\right)^2 \right]}+\int_{\mu_1}^{\mu_2} x dx + \int_{\mu_2}^{\infty} x \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{\sigma}\right)^2\right]}\right\rbrace$$

A variância de X é dada por:

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$

em que,

$$E[X^2] = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) dx$$

Exemplo 6.22.1: 

Seja X uma variável aleatória contínua com distribuição normal estendida com $\mu_1=1, \mu_2=3$ e $\sigma=1$. Calcule:

  • A densidade de X no ponto X = 2

Seja $f(x)$ a função densidade de probabilidade de X no ponto X = 2. Utilizando a função densidade de probabilidade da distribuição normal estendida acima, note que $\mu_1 < 2 < \mu_2$. Assim, temos que

$$f(2)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\times 1 + 3 - 1}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} + 2} \approx 0,2219$$

Observação: 

Note que a densidade de $X$ sempre valerá $0,2219$ para qualquer valor de $x$ no intervalo $(1,3)$

  • A área sob a curva de X tal que $P(X <1)$

Sabemos que

$$P(X<1)=\int_{-\infty}^{1} f(x) dx = \dfrac{1}{\sigma*\sqrt{2\pi}+\mu_2 -\mu_1}\int_{-\infty}^{1}\exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma}\right)^2\right]}dx$$

Substituindo $z = \dfrac{x-\mu_1}{\sigma}$, temos que $dz=\dfrac{1}{\sigma}dx$.

Para $x=-\infty$ temos $z=-\infty$ e para $x=1$ temos $z=\dfrac{1-\mu_1}{\sigma}=\dfrac{1-1}{1}=0$. Assim,

$$P(X<1)=\dfrac{\sigma}{\sigma*\sqrt{2\pi}+\mu_2-\mu_1}\int_{-\infty}^0\exp\left( -\dfrac{z^2}{2}\right)dz$$

Agora, multiplicando a equação acima por $\dfrac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2\pi}}$, temos,

$$P(X<1)=\dfrac{\sigma\sqrt{2\pi}}{\sigma*\sqrt{2\pi}+\mu_2-\mu_1}\int_{-\infty}^0\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{z^2}{2}\right)dz$$

$$P(X<1)=\dfrac{\sigma\sqrt{2\pi}}{\sigma*\sqrt{2\pi}+\mu_2-\mu_1}\Phi(0),$$

em que $\Phi(\cdot)$ é a função de distribuição da normal padrão.

Olhando para a tabela da distribuição normal padrão ou calculando no Action, temos $\Phi(0) = 1/2$. Portanto,

$$P(X<1)=\dfrac{1*\sqrt{2\pi}}{1*\sqrt{2\pi}+3-1}*\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{2(\sqrt{2\pi}+2)}\approx 0,2781$$

Probabilidades

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