- (16) 3376-2047
- [email protected]
- Portfólio de Serviços
- AT
A distribuição qui-quadrada pode ser interpretada de duas formas, como um caso particular da distribuição gamma, que será analisada mais adiante, ou como sendo a soma de normais padronizadas ao quadrado. Tome então
Esse fato será demonstrado no teorema 6.3.1.
Uma variável aleatória contínua tem distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade se sua função densidade for dada por:
sendo . Denotamos
.
O gráfico abaixo mostra a função qui-quadrado com 2 graus de liberdade.
Notemos pelo gráfico da distribuição qui-quadrado que ela é assimétrica e positiva, isto vale para qualquer grau de liberdade. Sua positividade é fácil de ser verificada, pois ela é soma de normais ao quadrado, portanto só pode ser positiva. A distribuição qui-quadrado possui diversas aplicações na inferência estatística.
Para entender a ideia de graus de liberdade, consideremos um conjunto de dados qualquer. Graus de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. Por exemplo, consideremos que estudantes obtiveram em um teste média
. Assim, a soma das
notas deve ser
(restrição). Portanto, neste caso, temos um grau de liberdade de
, pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente, contudo a
ª nota deve ser igual a [
- (soma das
primeiras)].
Se , então temos que
, ou seja a distribuição qui-quadrado é um caso particular da distribuição Gama. A distribuição Gama será apresentada no tópico 6.9.
Suponha que sejam variáveis aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas com média
e desvio padrão
. Então, temos que a estatística
tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade, onde
é o desvio padrão amostral.
O número de graus de liberdade de uma soma de quadrados corresponde ao número de elementos independentes na soma de quadrados. Considerando novamente variáveis aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas com média
e desvio padrão
, temos que os elementos da soma de quadrados
não são todos independentes. Na realidade, somente
destes elementos são independentes, implicando que
tem
graus de liberdade. Podemos encontrar mais detalhes sobre isso na apostila de inferência.
Suponha agora que segue uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade e queremos encontrar
e
tais que
. Para isto notemos que
o que implica que
Assim e
.
Observamos que poderíamos ter encontrado outros valores de e
para os quais
, porém, na prática, sempre buscamos por valores de forma que as probabilidade
.
Seja uma variável aleatória com distribuição normal padronizada. Vamos mostrar que
, segue uma distribuição
com um grau de liberdade.
Seja , então
Observe que na última igualdade foi usado o fato da função normal padronizada ser simétrica em torno de zero. Agora basta apenas fazermos uma mudança de variável tomando , então
, assim obtemos que:
Aqui vale uma observação, para mostramos que segue uma distribuição qui-quadrado, precisamos usar o fato de que
, e portanto a distribuição acima é uma
.
Sejam variáveis aleatórias independentes, com
e
. Então
segue uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade.
Vamos demonstrar este teorema via a função geradora de momentos. Como as variáveis aleatórias são independentes, temos que
Mas
e, portanto,
em que a última integral é igual a 1, pois se trata justamente de uma normal com média zero e variância . Portanto,
corresponde a função geradora de momentos da distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. E o resultado segue.
Como visto no Teorema 6.3.1, se é uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com
graus de liberdades, sua função geradora de momentos é dada por:
Desta forma, temos que
e
Portanto, podemos calcular o valor de esperado e a variância da variável . De fato, temos que
e
de onde concluímos que
O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.