6.4 - Distribuição t de Student

A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística, com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses. 

Definição 6.4.1:

Uma variável aleatória contínua $X$ tem distribuição $t$ de Student com $\nu$ graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por

\[f(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}\qquad x \in(-\infty,\infty).\]

Utilizamos a notação $X\sim t_\nu$.

Propriedades da distribuição t de Student:

• A função densidade da distribuição t de Student tem a mesma forma em sino da distribuição Normal, mas reflete a maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de se esperar em amostras pequenas.
• Quanto maior o grau de liberdade, mais a distribuição t de Student se aproxima da distribuição Normal.

Abaixo temos um gráfico da função densidade de um t de Student com 10 graus de liberdade.

Exemplo 6.4.1:

Considere $X_1 , \ldots , X_n$ variáveis aleatórias independentes e com distribuição normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$. Então, a variável

\[t=\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\]

onde $s$ é o desvio padrão amostral, tem distribuição $t$ de Student com $n-1$ graus de liberdade. Este fato é decorrente do teorema a seguir.

Teorema 6.4.1:

Considere $Z$ e $V$ duas variáveis aleatórias independentes tal que $Z\sim N(0,1)$ e $V\sim\chi_k^2$. Defina $X$ como sendo uma variável aleatória de tal forma que

\[X=\frac{Z}{\sqrt{V/k}}.\]

Temos que a variável aleatória $X$ tem distribuição $t$ de Student com $k$ graus de liberdade.

Demonstração:

A função densidade de probabilidade conjunta de $Z$ e $V$ é dada por

\[f_{Z,V}(z,v) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\Gamma(k/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{k/2} u^{(k/2)-1}e^{-v/2}e^{-z^2/2}1\!\!1_{(0,\infty)}(v).\]

Considerando a transformação

\[X = \frac{Z}{\sqrt{V/k}} \quad \hbox{e} \quad Y = V\]

o jacobiano é $\sqrt{y/k}$ e então

\[f_{X,Y}(x,y) = \sqrt{\frac{y}{k}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\Gamma(k/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{k/2}y^{(k/2)-1}e^{-y/2}e^{-x^2y/2k}1\!\!1_{(0,\infty)}(y)\]

e

\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dy=\frac{1}{\sqrt{2k\pi}}\frac{1}{\Gamma(k/2)}\left( \frac{1}{2}\right)^{k/2}\int_0^\infty y^{k/2-1+1/2}e^{-1/2(1+x^2/k)y}dy.\]

Na sequência, ao fazermos a mudança de variável 

\[w = y \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{x^2}{k} \right),\]

obtemos que 

\[f_X(x) = \frac{\Gamma[(k+1)/2]}{\Gamma(k/2)}\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{1}{(1+x^2/k)^{(k+1)/2}}\]

que é a função densidade de probabilidade de uma distribuição $t$ com $k$ graus de liberdade.

Função geradora de momentos, Valor esperado e Variância

A função geradora de momentos da $t$ de Student não está definida para todos os graus de liberdade, entretanto podemos encontrar os momentos da função t de Student para alguns graus de liberdade.

Desta forma seja $X \sim t_{\nu}$, então

\[\mathbb{E}\left(X^k\right) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \text{se} \ 0\leq k \ < \ \nu \ \text{e k é ímpar}\\ \frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left[\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\nu-k}{2}\right)\nu^{k/2}\right], \ \text{se} \ 0\leq k \leq \nu \ \text{e k é par};\\ \text{indefinido}, \ \text{se} \ k \geq \nu \ \hbox{e k é ímpar} \\ \infty, \ \text{se} \ k \geq \nu \ \hbox{e k é par}.\end{array} \right.\]

O valor esperado da $t$ de student, é zero se $\nu \ > \ 1$ caso contrário não está definido. Basta observarmos que $\mathbb{E}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(X^1\right)$, ou seja, utilizando a formula dos momentos temos que $k$ é ímpar e assim, está definido apenas se $\nu \ > \k=1$.

Utilizando a fórmula dos momentos da distribuição $t$ de Student podemos calcular a variância de $X$.

\[\mathbb{E}\left(X^2\right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\nu}{\nu -2}, \ \text{se} \ \nu \ > \ 2 \\ \infty, \ \text{se} \ 0 \ < \ \nu\leq 2 .\end{array} \right.\]

Entretanto para que variância esteja definida necessitamos que $\nu \ > \ 1$, caso contrário, $\mathbb{E}^2\left(X\right)$ não estará definida. Assim 

\[\text{Var}\left(X\right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\nu}{\nu -2}, \ \hbox{ se } \ \nu \ > \ 2 \\ \infty, \ \text{se} \ 1 \ < \ \nu \leq 2 .\end{array} \right.\]