6.4 - Distribuição t de Student

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A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística, com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses. 

Definição 6.4.1:

Uma variável aleatória contínua $ X $ tem distribuição $ t $ de Student com $ \nu $ graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por

\[f(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}\qquad x \in(-\infty,\infty).\]

 

Utilizamos a notação $ X\sim t_\nu $.

Propriedades da distribuição t de Student:

  • A função densidade da distribuição t de Student tem a mesma forma em sino da distribuição Normal, mas reflete a maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de se esperar em amostras pequenas.
  • Quanto maior o grau de liberdade, mais a distribuição t de Student se aproxima da distribuição Normal.

Abaixo temos um gráfico da função densidade de um t de Student com 10 graus de liberdade.

Exemplo 6.4.1:

Considere $ X_1 , \ldots , X_n $ variáveis aleatórias independentes e com distribuição normal com média $ \mu $ e desvio padrão $ \sigma $. Então, a variável

\[t=\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\]

 

onde $ s $ é o desvio padrão amostral, tem distribuição $ t $ de Student com $ n-1 $ graus de liberdade. Este fato é decorrente do teorema a seguir.

Teorema 6.4.1:

Considere $ Z $ e $ V $ duas variáveis aleatórias independentes tal que $ Z\sim N(0,1) $ e $ V\sim\chi_k^2 $. Defina $ X $ como sendo uma variável aleatória de tal forma que

\[X=\frac{Z}{\sqrt{V/k}}.\]

 

Temos que a variável aleatória $ X $ tem distribuição $ t $ de Student com $ k $ graus de liberdade.

Demonstração:

A função densidade de probabilidade conjunta de $ Z $ e $ V $ é dada por

\[f_{Z,V}(z,v) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\Gamma(k/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{k/2} u^{(k/2)-1}e^{-v/2}e^{-z^2/2}1\!\!1_{(0,\infty)}(v).\]

 

Considerando a transformação

\[X = \frac{Z}{\sqrt{V/k}} \quad \hbox{e} \quad Y = V\]

 

o jacobiano é $ \sqrt{y/k} $ e então

\[f_{X,Y}(x,y) = \sqrt{\frac{y}{k}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\Gamma(k/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{k/2}y^{(k/2)-1}e^{-y/2}e^{-x^2y/2k}1\!\!1_{(0,\infty)}(y)\]

 

e

\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dy=\frac{1}{\sqrt{2k\pi}}\frac{1}{\Gamma(k/2)}\left( \frac{1}{2}\right)^{k/2}\int_0^\infty y^{k/2-1+1/2}e^{-1/2(1+x^2/k)y}dy.\]

 

Na sequência, ao fazermos a mudança de variável 

\[w = y \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{x^2}{k} \right),\]

 

obtemos que 

\[f_X(x) = \frac{\Gamma[(k+1)/2]}{\Gamma(k/2)}\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{1}{(1+x^2/k)^{(k+1)/2}}\]

 

que é a função densidade de probabilidade de uma distribuição $ t $ com $ k $ graus de liberdade.

Função geradora de momentos, Valor esperado e Variância

A função geradora de momentos da $ t $ de Student não está definida para todos os graus de liberdade, entretanto podemos encontrar os momentos da função t de Student para alguns graus de liberdade.

Desta forma seja $ X \sim t_{\nu} $, então

\[\mathbb{E}\left(X^k\right) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \text{se} \ 0\leq k \ \textless \ \nu \ \text{e k é ímpar}\\ \frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left[\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\nu-k}{2}\right)\nu^{k/2}\right], \ \text{se} \ 0\leq k \leq \nu \ \text{e k é par};\\ \text{indefinido}, \ \text{se} \ k \geq \nu \ \hbox{e k é ímpar} \\ \infty, \ \text{se} \ k \geq \nu \ \hbox{e k é par}.\end{array} \right.\]

 

O valor esperado da $ t $ de student, é zero se $ \nu \ \textgreater \ 1 $ caso contrário não está definido. Basta observarmos que $ \mathbb{E}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(X^1\right) $, ou seja, utilizando a formula dos momentos temos que $ k $ é ímpar e assim, está definido apenas se $ \nu \ \textgreater \k=1 $.

Utilizando a fórmula dos momentos da distribuição $ t $ de Student podemos calcular a variância de $ X $.

\[\mathbb{E}\left(X^2\right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\nu}{\nu -2}, \ \text{se} \ \nu \ \textgreater \ 2 \\ \infty, \ \text{se} \ 0 \ \textless \ \nu\leq 2 .\end{array} \right.\]

 

Entretanto para que variância esteja definida necessitamos que $ \nu \ \textgreater \ 1 $, caso contrário, $ \mathbb{E}^2\left(X\right) $ não estará definida. Assim 

\[\text{Var}\left(X\right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\nu}{\nu -2}, \ \hbox{ se } \ \nu \ \textgreater \ 2 \\ \infty, \ \text{se} \ 1 \ \textless \ \nu \leq 2 .\end{array} \right.\]

Probabilidades

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