6.6 - Distribuição F de Snedecor

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A distribuição F de Snedecor também conhecida como distribuição de Fisher é frequentemente utilizada na inferência estatística para análise da variância, mais detalhes pode ser encontrado na apostila de inferência.

Definição 6.6.1:

Uma variável aleatória contínua $X$ tem distribuição $F$ de Snedecor com $n$ graus de liberdade no numerador e $m$ graus de liberdade no denominador se sua função densidade de probabilidade é definida por

\[f(x)=\frac{\Gamma\left[\frac{m+n}{2}\right]\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}}{\Gamma\left[\frac{m}{2}\right]\Gamma\left[\frac{n}{2}\right]\left[\left(\frac{m}{n}\right)x+1\right]^{\frac{m+n}{2}}}\qquad x\in [0,\infty)\]

 

Neste caso, utilizamos a notação $X\sim F(m,n)$.

O gráfico abaixo ilustra a função densidade da distribuição $F$ de Snedecor com parâmetros $m=3$ e $n=2$.

Exemplo 6.6.1:

Um importante exemplo da distribuição $F$ de Snedecor corresponde a estatística $F$. Suponha que temos duas populações independentes tendo distribuições normais com variâncias iguais a $\sigma^2$. Considere $Y_{11},\ldots,Y_{1n}$ uma amostra aleatória da primeira população com $n$ observações e $Y_{21},\ldots,Y_{2m}$ uma amostra aleatória da segunda população com $m$ observações. Então, a estatística

\[F=\frac{\frac{(n-1)s_1}{(n-1)\sigma^2}}{\frac{(m-1)s_2}{(m-1)\sigma^2}}\]

tem distribuição $F$ de Snedecor com $(n-1)$ graus de liberdade no numerador e $(m-1)$ graus de liberdade no denominador, onde $s_1$ e $s_2$ sãos os desvios padrão amostrais da primeira e da segunda amostra, respectivamente.

Teorema 6.6.1:

Considere $Q_n$ e $Q_m$ variáveis aleatórias com distribuição qui-quadrado com $n$ e $m$ graus de liberdade, respectivamente. Além disso, suponha que estas variáveis aleatórias são independentes. Então a variável aleatória

\[F=\frac{Q_m/m}{Q_n/n}\]

tem distribuição $F$ de Snedecor com $m$ graus de liberdade no numerador e $n$ graus de liberdade no denominador.

Demonstração:

Seja $X$ uma variável aleatória positiva com função densidade de probabilidade $f_X$ e $Y$ uma variável aleatória com função densidade $f_Y$. Suponha que as variáveis aleatórias $X$ e $Y$ sejam independentes. Neste caso, a função densidade de probabilidade conjunta é dada por $f_{XY} = f_X f_Y$. Considere a fração $Z=\frac{Y}{X}$. Neste caso, a função densidade conjunta do quociente $Z$ é dada por

\[\mathbb{P}\left(Z\leq z\right)=\mathbb{P}\left(\frac{Y}{X}\leq z\right)=\mathbb{P}\left((X,Y) \in B_z \right),\]

em que $B_z = \{(x,y) \in [0, \infty) \times \Bbb{R} : y \leq zx \}$. Assim temos que 

\[F_{Z}(z)= \mathbb{P}\left((X,Y) \in B_z\right) = \int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{zx}f_{XY}(x,y)dydx\]

Considerando a mudança de variável $y=xw$; temos que:

\[F_{Z}(z)=\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{z}xf_{XY}(x,xw)dwdx=\int_{-\infty}^{z}\int_{0}^{\infty}xf_{XY}(x,xw)dxdw.\]

Assim, a função densidade de probabilidade de $Z$ é dada por

\[f_{Z}(z)=\int_{0}^{\infty}xf_{XY}(x,xz)dx.\]

 Como $X$ e $Y$ são independentes, a distribuição conjunta do quociente é dada por

\[f_{Z}(z)=\int_{0}^{\infty}xf_{X}(x)f_{Y}(xz)\] 

Portanto a distribuição do quociente $Z=\frac{Y}{X}$, com $Y\sim \chi^2_m$ e $X\sim \chi^2_n$ é dada por:

\[f_Z(z)=\int_{0}^{\infty}x\frac{x^{(n/2)-1}e^{-x/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)2^{n/2}}\frac{(xz)^{(m/2)-1}e^{-xz/2}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)2^{m/2}}dx\]

de onde concluímos que

\[f_Z(z)=\frac{z^{(m/2)-1}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)2^{(m+n)/2}}\int_{0}^{\infty}x^{(m+n)/2-1}e^{-x(z+1)/2}dx\]

lembrando que $\displaystyle\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$. Fazendo a substituição $\displaystyle t=x\left(\frac{z+1}{2}\right)$ e reorganizando a integral acima temos que:

\[f_Z(z)=\frac{z^{(m/2)-1}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)2^{(m+n)/2}} \frac{1}{\left(\frac{z+1}{2}^{(m+n)/2}\right)}\int_{0}^{\infty}t^{(m+n)/2 - 1}e^{-t}dt=\frac{\Gamma{\left(\frac{m+n}{2}\right)}z^{(m/2)-1}}{\Gamma{\left(\frac{m}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{n}{2}\right)}(z+1)^{(m+n)/2}}.\]

Para finalizar, tomamos $W=\frac{Y/m}{X/n}$ e, neste caso, temos que 

\[\mathbb{P}\left(W \leq w\right)=\mathbb{P}\left(\frac{Y/m}{X/m} \leq w \right)=\mathbb{P}\left(\frac{Y}{X} \leq \frac{m}{n} w \right)= \int_{0}^{\frac{m}{n}w} f_{Z}(z)dz.\]

Ao realizarmos a transformação de variáveis $t=(n/m)z$, concluímos que

\[\mathbb{P}\left(W \leq w\right)= \int_{0}^w f_Z (tm/n) (m/n) dt\]

Ao substituirmos, concluímos que $W$ segue uma distribuição $F$ com $m$ graus de liberdade no numerador e $n$ graus de liberdade no denominador. 

Por construção, o quadrado da distribuição t-Student com $\nu$ graus de liberdade tem distribuição F com $1$ grau de liberdade no numerador e $\nu$ graus de liberdade no denominador. 

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

Não existe função geradora de momentos para a distribuição $F$ de Snedecor.

Assim vamos calcular o valor esperado de X com $X\sim F(m,n)$.

\[\mathbb{E}\left(X\right)=\int_{0}^{\infty}x\frac{\Gamma{\left(\frac{m+n}{2}\right)}\left(\frac{m}{n}\right)^{(m/2)-1}x^{(m/2)-1}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\left(1+\frac{m}{n}x\right)^{(m+n)/2}}=\frac{\Gamma{\left(\frac{m+n}{2}\right)}\left(\frac{m}{n}\right)^{(m/2)-1}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \int_{0}^{\infty}\displaystyle \frac{x^{(m/2)}}{\left(1+\frac{m}{n}x\right)^{(m+n)/2}}\]

e, portanto,

\[\mathbb{E}\left(X\right)=\frac{n}{(n-2)}, \ \text{se} \ n \ > \ 2.\]

A variância da distribuição $X\sim F(m,n)$ é dada por

\[\text{Var}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(m-4)}, \ \text{se} \ n \ > \ 4.\]

Probabilidades

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