6.8 - Distribuição de Cauchy

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A distribuição de Cauchy pode ser considerada uma distribuição patológica, pois ela não apresenta média e variância. Entretanto a distribuição de Cauchy tem sua importância em diversas áreas do conhecimento científico na física por exemplo essa distribuição é solução de um equação diferencial que descreve um determinado tipo de oscilador, em matemática é uma das soluções para a equação de Laplace, entre diversas outras finalidades. A distribuição de Cauchy, cujo o nome foi dado em homenagem ao famoso matemático Augustin-louis Cauchy apesar de suas particularidades tem diversas propriedades importantes que iremos analisar a seguir.

Definição 6.8.1:

Uma variável aleatória contínua $ X $ tem distribuição de Cauchy com parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $ se sua função densidade de probabilidades e sua função de distribuição forem definidas, respectivamente, por


\[f(x)=\frac{1}{\pi\beta\left[1+\left[\frac{x-\alpha}{\beta}\right]^2\right]}\qquad x\in(-\infty,\infty)\]


\[F(x)=\frac{1}{2}+\pi^{-1}\arctan\left(\frac{x-\alpha}{\beta}\right), \ -\infty \ \textless \ x \ \textless \ \infty\]

 

onde $ \alpha $ e $ \beta $ são parâmetros de locação e de escala, respectivamente.


Figura 6.8.1: Gráfico da função densidade da distribuição Cauchy.


Figura 6.8.2: Gráfico da função distribuição acumulada da distribuição Cauchy para diversos valores de α e β.

A distribuição de Cauchy satisfaz as seguintes propriedades:

  • A mediana da distribuição é $ \alpha^4 $ e o primeiro e o terceiro quartis são iguais $ \alpha-\beta $ e $ \alpha+\beta $, respectivamente;
  • A sua média não é definida, logo ela também não tem desvio padrão;
  • A distribuição de Cauchy pode ser simulada como a razão entre duas normais independentes;
  • A forma padrão da distribuição de Cauchy é obtida fazendo $ \alpha=0 $ e $ \beta = 1 $


\[f(x)=\frac{1}{\pi}~\cdot ~\left(\frac{1}{1+x^2}\right), \ -\infty \ \textless \ x \ \textless \ \infty;\]

 

  • Estabelecendo algumas comparações, podemos referir que ambas as distribuições Normal e Cauchy são simétricas. A principal diferença entre elas é que na distribuição de Cauchy as abas são mais alongadas e mais achatadas.

Exemplo 6.8.1:

Seja $ X $ uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo $ \left[\displaystyle \frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] $. Prove que $ Y=a \tan{(X)} $, $ a \ \textgreater \ 0 $ segue uma distribuição de Cauchy com parâmetros $ \alpha=0 $ e $ \beta=a $.

Primeiramente devemos encontrar a função densidade de probabilidade de $ X $Como $ X $ segue uma distribuição uniforme temos que:


\[f(x)=\frac{1}{b-a}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}-\frac{-\pi}{2}}=\frac{1}{\pi}\]

 

e então


\[\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(a\tan{(X)}\leq y)=\mathbb{P}\left(\tan{(X)}\leq \frac{y}{a}\right)=\mathbb{P}\left(X\leq \tan^{-1}{\left(\frac{y}{a}\right)}\right)=\int_{-\infty}^{\tan^{-1}{\left(\frac{y}{a}\right)}}\frac{1}{\pi}dx.\]

 

Assim fazendo uma mudança de variável $ t=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{a}\right)} $, teremos $ \displaystyle \frac{dt}{dy}=\frac{a}{y^2+a^2} $. E portanto pelo teorema da mudança de variável temos que:


\[\int_{0}^{\tan^{-1}{\left(\frac{y}{a}\right)}}\frac{1}{\pi}dx=\int_{-\infty}^{t}\frac{1}{\pi}\left(\frac{a}{y^2+a^2}\right)dy.\]

 

Portanto $ Y $ segue uma distribuição de Cauchy com $ \alpha=0 $ e $ \beta=a $.

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

A distribuição de Cauchy não apresenta função geradora de momentos, sua esperança também não está definida e como consequência sua variância também não.

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