7.1.2 - Convergência em distribuição ou Convergência fraca. - Probabilidades

Nesta seção, vamos discutir algumas características da convergência em distribuição ou convergência fraca das medidas de probabilidades. A seguir, apresentamos a seguinte definição.

Definição 7.1.2.1:

Seja $X$ uma variável aleatória com função de distribuição acumulada $F$ e seja $\{X_n\}_{n\geq 1}$ uma sequência de variáveis aleatórias com respectivas funções de distribuição acumuladas $\{F_n\}_{n\geq 1}$ ( $F_n$ é a função de distribuição acumulada de $X_n$ ). Então, dizemos que $X_n$ converge em distribuição para $X$ se $F_n(x)\rightarrow F(x)$ para todo $x$ quando $n\rightarrow \infty$ , em que $x$ é um ponto de continuidade de $F$ .

Notação: $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}X$

Exemplo 7.1.2.1:

Seja $\{X_n\}_{n\geq 1}$ uma sequência de variáveis aleatórias com respectivas funções de distribuição acumuladas $\{F_{X_n}\}_{n\geq 1}.$ Definimos $X_n=\dfrac{1}{n},~n\geq 1$ e $X=0$ .

Observamos que

$F_{X_n}(x)=\mathbb{P}\left(X_n\leq x\right)=\left\{\begin{array}{l}0,\quad\text{se}~x \ \textless \ \frac{1}{n}\\ 1,\quad\text{caso contrário}\end{array}\right.$

e que

$F_X(x) = \mathbb{P}\left(X\leq x\right)=\left\{\begin{array}{l}0, \quad \text{se} \ x \ \textless \ 0\\1, \quad \text{se} \ x\geq 0\end{array}\right.$

Então $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}F_{X_n}(x)=F_X(x),$ para todo $x\neq0$ . Portanto, $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}X$ .

Teorema 7.1.2.1:

Sejam $F$ uma função de distribuição acumulada e $\{F_{n}\}_{n\geq 1}$ uma sequência de funções de distribuição acumulada. Se $F_{n}\rightarrow F$ então, para toda função $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ contínua e limitada temos que:

$\displaystyle\int{g(x)dF_n(x)}\rightarrow \int{g(x)dF(x)}.$

Este teorema é conhecido como teorema de Helly Bray.

Demonstração:

Queremos mostrar que $\displaystyle\int{g(x)dF_n(x)}\rightarrow \int{g(x)dF(x)}$ . Para isso, precisamos mostrar que

$\displaystyle\left|\displaystyle\int{g(x)dF_n(x)}-\int{g(x)dF(x)}\right| \ \textless \ \varepsilon,~~\forall \ \varepsilon \ \textgreater \ 0.$

Sejam $-\infty \ \textless \ a \ \textless \ b \ \textless \ \infty$ . Podemos dividir a diferença entre as integrais acima da seguinte forma:

$\int{g(x)dF_n(x)}-\int{g(x)dF(x)}= A - B$

em que

$A = \int_{-\infty}^{a}{g(x)dF_n(x)} +\int_{a}^{b}{g(x)dF_n(x)}+\int_{b}^{\infty}{g(x)dF_n(x)}$

$B = \int_{-\infty}^{a}{g(x)dF(x)}+\int_{a}^{b}{g(x)dF(x)}+\int_{b}^{\infty}g(x)dF(x).$

Por hipótese temos que $g$ é uma função limitada e, portanto, $c=\sup_{x\in \mathbb{R}}|g(x)| \ \textless \ \infty$ . Seja $\varepsilon \ \textgreater \ 0$ arbitrário. Usando a desigualdade triangular temos que

$\displaystyle\left|\displaystyle\int{g(x)dF_n(x)} - \int{g(x)dF(x)}\right|\leq \left|\int g(x)dF_n-\int_{a}^{b}g(x)dF_n(x)\right|+$

$+\left|\int_{a}^{b}g(x)dF_n(x)-\int_{a}^{b}g(x)dF(x)\right|+\left|\int_{a}^{b}g(x)dF(x)-\int g(x)dF(x)\right|.$

Notemos o seguinte fato:

$\displaystyle\left|\int_{-\infty}^{a}g(x)dF_n(x)-\int_{-\infty}^{a}g(x)dF(x)\right|\leq\int_{-\infty}^{a}cdF_n(x)+\int_{-\infty}^{a}cdF(x)=c[F_n(a)+F(a)].$

Se $a$ é suficientemente pequeno, como $F$ é não decrescente temos que para $F(a)$ também será pequeno, e o mesmo vale para $F_n(a)$ . Desta forma concluímos que para cada $\varepsilon_0 \ \textgreater \ 0$ existe um a tal que:

$c[F_n(a)-F(a)] \ \textless \ \varepsilon_0$

Analogamente temos:

$\displaystyle \left|\int_{b}^{\infty}g(x)dF_n(x)-\int_{b}^{\infty}g(x)dF(x)\right|\leq \int_{b}^{\infty}cdF_n(x)-\int_{b}^{\infty}cdF(x)=c[F_n(b)-F(b)].$

Para $b$ suficientemente grande temos que:

$c[F_n(b)-F(b)] \ \textless \ \varepsilon_2.$

Agora basta mostrarmos que:

$\displaystyle\left|\int_{a}^{b}g(x)dF_n(x)-\int_{a}^{b}g(x)dF(x)\right| \ \textless \ \varepsilon_3.$

Como por hipótese g é contínua e limitada, temos que no intervalo fechado $[a,b]$ a função g é uniformemente contínua, pois toda função contínua defina em um compacto é uniformemente contínua.

Lembrando que um compacto nos reais é um conjunto fechado e limitado.

Assim, vamos considerar a seguinte partição do intervalo [a,b]:

$x_0=a \ \textless \ x_1 \ \textless \ \cdots \ \textless \ x_m=b.$

Para $x\in\mathbb{R}$ , com $x_i \ \textless \ x \ \textless \ x_{i+1}$ temos que:

$g(x)-g(x_i) \ \textless \ \varepsilon_4,~~\forall i,$

Para $\varepsilon_4 \ \textgreater \ 0$ . Vamos definir uma função $g_j(x)=g(x_i)$ para todo $x\in(x_i,x_i+1)$ , observemos que $g_j$ é uma função constante, desta forma mostremos o seguinte fato:

$\displaystyle\int_{a}^{b}g(x_i)dF_n(x)=\sum_{i=0}^{m-1}g(x_i)[F_n(x_{i+1})-F_n(x_i)]\rightarrow\sum_{i=0}^{m-1}g(x_i)[F(x_{i+1})-F(x_i)]=\int_{a}^{b}g_j(x)dF(x).$

Esta convergência decorre do fato de que por hipótese $F_n$ converge para F.

Desta forma temos que para qualquer $\varepsilon \ \textgreater \ 0$ existe um n suficientemente grande tal que:

$\displaystyle \left|\int_{a}^{b}g_m(x)dF_n(x)-\int_{a}^{b}g_m(x)dF(x)\right|\leq\varepsilon_5.$

Mas

$\left|\int_{a}^{b}g(x)dF_n(x)-\int_{a}^{b}g(x)dF(x)\right|\leq$

$\left|\int_{a}^{b}g(x)dF_n-\int_{a}^{b}g_m(x)dF_n\right|+\left|\int_{a}^{b}g_m(x)dF_n(x)-\int_{a}^{b}g_m(x)dF(x)\right|+$

$+\left|\int_{a}^{b}g_m(x)dF(x)-\int_{a}^{b}g(x)dF(x)\right|\leq\left|\int_{a}^{b}\varepsilon_4dF_n+\varepsilon_5+\int_{a}^{b}\varepsilon_4dF_n\right|\leq\varepsilon_5+ 2\varepsilon_4.$

Portanto podemos concluir que:

$\left|\int g(x)dF_n(x)-\int g(x)dF(x)\right|\rightarrow 0,$

$\Box$

Com isso, podemos ter uma definição alternativa, dada por

Definição 7.1.2.2:

Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias $(X_n)_{n\geq 1}$ converge em distribuição para a variável aleatória $X$ , se

$\mathbb{E}[f(X_n)]\rightarrow \mathbb{E}[f(X)$

para toda função contínua e limitada $f$ .

Teorema 7.1.2.2:

Sejam $\{F_n\}_{n\geq 1}$ uma sequência de funções de distribuição acumulada e $\{\varphi_n\}$ uma sequência de funções características, com $\varphi_n$ sendo a função característica de $F_n$ . Se $\varphi_n$ converge pontualmente para $\varphi$ e $\varphi$ é contínua em zero, então existe uma função $F$ tal que $F_n \rightarrow F$ tal que $\varphi$ é a função característica de $F$ .

Demonstração:

Vamos omitir a prova deste teorema por ser uma prova muito técnica, entretanto ela pode ser encontrada no livro do Barry James e em alguns outros livros que aparecem nas referências.

$\Box$

Proposição 7.1.2.1:

Seja $\{X_n\}_{n\geq 1}$ uma sequência de variáveis aleatórias tal que $\varphi_{X_n}$ é a função característica associada à variável aleatória $X_n$ . Se $\varphi_{X_n}(t)\rightarrow e^{-t^2/2}$ , então $X_n$ converge em distribuição para uma variável aleatória com distribuição normal padronizada.

Demonstração:

Pelo Teorema 7.1.2.2 concluímos que uma função característica define a função de distribuição acumulada de forma única. Como a função característica da distribuição normal é $e^{-t^{2}/2}$ temos que decorre imediatamente do Teorema 7.1.2.2 que $X_n$ converge para a distribuição normal.

$\Box$

Teorema 7.1.2.3:

Sejam $\{X_n\}_{n\geq 1}$ uma sequência de variáveis aleatórias, $X$ uma variável aleatória e $g$ uma função contínua a valores reais. Se $X_n$ converge em distribuição para $X$ então $g(X_n)$ também converge em distribuição para $g(X)$ .

Demonstração:

Por hipótese temos que $X_n$ converge em distribuição para $X$ . Assim para mostrarmos que $g(X_n)$ converge em distribuição para $g(X)$ . Basta mostrarmos a convergência das funções características. Temos, por definição que

$\varphi_{g(X_n)}(t)=\mathbb{E}[e^{itg(X_n)}]=\mathbb{E}[\cos{(tg(X_n))}]+i~\mathbb{E}[\text{sen}{(tg(X_n))}].$

Mas $\cos$ e $\text{sen}$ são funções contínuas e limitadas e assim do Teorema 7.1.2.1 decorre que:

$\varphi_{g(X_n)}\rightarrow \varphi_{g(X)}.$

Portanto $g(X_n)$ converge em distribuição para $g(X)$ .

$\Box$

Teorema 7.1.2.4: (Slutsky)

Sejam $\{X_n\}_{n\geq 1}$ e $\{Y_n\}_{n\geq 1}$ duas sequências de variáveis aleatórias, tais que $X_n$ converge em distribuição para uma variável $X$ e $Y_n$ converge em probabilidade para uma variável $Y$ em que $Y$ é uma variável constante real. Então as seguintes afirmações são verdadeiras

i) $X_n+Y_n$ converge em distribuição para $X+Y.$

ii) $X_n-Y_n$ converge em distribuição para $X-Y.$

iii) $X_nY_n$ converge em distribuição para $YX.$

iv) se $Y\neq 0$ e $\mathbb{P}(Y_n\neq 0)=1$ , então $\displaystyle \frac{X_n}{Y_n}$ converge em distribuição para $\displaystyle \frac{X}{Y}$ .

Demonstração:

i) Basta mostrarmos que $\varphi_{X_n+Y_n}(t)\rightarrow \varphi_{X+Y}(t)$ , mas temos

$\varphi_{X_n+Y_n}=\mathbb{E}[e^{it(X_n+Y_n)}]=\mathbb{E}[e^{it(X_n+Y)}]+\mathbb{E}[e^{itX_n}(e^{itY_n}-e^{itY})].$

Como $\mathbb{E}[e^{itX_n}]=\varphi_{X_n}(t)\rightarrow \varphi_X(t)$ , e portanto

$\mathbb{E}[e^{it(X_n+Y)}]=e^{itY}\mathbb{E}[e^{itX_n}]\rightarrow e^{itY}\varphi_X=\varphi_{X+Y}(t).$

Desta forma, precisamos mostrar apenas que $\mathbb{E}[e^{itX_n}(e^{itY_n}-e^{itY})]\rightarrow 0$ .

$|\mathbb{E}[e^{itX_n}(e^{itY_n}-e^{itY})]|\leq \mathbb{E}[|e^{itX_n}(e^{it Y_n}e^{itY})|]=\mathbb{E}[e^{itY_n}-e^{itY}],$

pois $|e^{itX_n}|=1$ , assim precisamos apenas mostrar que $\mathbb{E}[|e^{it(Y_n-Y)}|]\rightarrow 0$ . Mas esse fato é consequência do teorema da convergência dominada.

ii) Esta convergência é imediata de i), pois $-Y_n\rightarrow -Y$ .

iii) Vamos supor primeiramente que $Y=0.$ Assim queremos mostrar que $Y_nX_n$ converge em probabilidade para 0, pois convergência em probabilidade implica em convergência distribuição.

Portanto sejam $\varepsilon,~\delta \ \textgreater \ 0$ e $x \ \textless \ 0 \ \textless \ y$ pontos de continuidade de $F_X$ , tais que $F_X(y)-F_X(x)=\mathbb{P}[x \ \textless \ X \leq y] \ \textgreater \ 1-\delta$ . Como por hipótese $X_n$ converge em distribuição para $X$ , temos que

$\mathbb{P}[x \ \textless \ X_n \leq y]=F_{X_n}(y)-F_{X_n}(x) \ \textgreater \ 1-\delta$

para um $n$ suficientemente grande. Além disso, definimos $M=\max(y,-x).$ Então a convergência em probabilidade de $Y_n$ para zero implica que $\mathbb{P}[|Y_n| \ \textless \ \varepsilon/M] \ \textgreater \ 1-\delta$ para $n$ suficientemente grande.

$\mathbb{P}[x \ \textless \ X_n \ \textless \ y, |Y| \ \textless \ \varepsilon/M] \ \textgreater1-2\delta.$

isto decorre da P10.

Além disso, temos que $x \ \textless \ X_n \ \textless \ y$ e $|Y_n| \ \textless \ \frac{\varepsilon}{M}$ o que implica que $|X_nY_n| \ \textless \ \varepsilon$ .

Logo $\mathbb{P}[|X_nY_n| \ \textless \ \varepsilon] \ \textgreater \ 1-2\delta$ para $n$ suficientemente grande.

Portanto temos que para todo $\varepsilon \ \textgreater \ 0$ temos que $\mathbb{P}[|X_nY_n| \ \textless \ \varepsilon]\rightarrow 1$ , ou seja $X_nY_n$ converge em probabilidade para zero.

Para demonstrarmos o caso geral em que $Y=c$ , basta analisarmos o seguinte fato

$Y_nX_n=YX_n+(Yn-Y)X_n$

e $Y_n-Y$ converge em probabilidade para zero, assim segue do caso em que $Y=0$ que $(Y_n-Y)X_n$ converge em probabilidade para zero.

Além disso, temos que

$\varphi_{cX_n}(t)=\varphi_{X_n}(ct)\rightarrow \varphi_{X}(ct)=\varphi_{cX}(t)=\varphi_{YX}(t),$

Assim do Teorema 7.1.2.5 decorre que $YX_n$ converge $YX$ . Agora o resultado segue imediatamente do item i), pois temos a soma de dois termos em que um que converge em probabilidade para zero e outro converge em distribuição para $YX$ .

iv) Notemos que do Teorema 7.1.2.4 que $\frac{1}{Y_n}$ converge em probabilidade para $\frac{1}{Y}$ e em seguida basta aplicarmos o item iii) que o resultado segue.

$\Box$

Teorema 7.1.2.4:(Cramér-Wold)

Sejam $\widetilde{X}_n=(X_{n1},\cdots, X_{nk})$ e $\widetilde{X}=(X_1,\cdots,X_k)$ , vetores aleatórias k-dimensionais. $\widetilde{X_n}$ converge em distribuição para $\widetilde{X}$ se, e somente se, $\displaystyle \sum_{j=1}^{k}t_j X_{nj}$ converge em distribuição para $\displaystyle\sum_{j=1}^{k}t_jX_j$ , quando $n\rightarrow \infty$ , para todo $(t_1,\cdots,t_k)\in \mathbb{R}^k$ .

Demonstração:

Para iniciarmos essa demonstração vamos definir a função característica de um vetor aleatório.

Assim, consideramos um vetor j-dimensional $\widetilde{X}=(X_1,\cdots,X_j)$ a função característica de $\widetilde{X}$ é a função $\mathbb{R}^j\rightarrow C $$ a qual é definida por:

$\displaystyle\varphi_{\widetilde{X}}(t_1,\cdots,t_j)=\mathbb{E}\left[\exp\left(i\sum_{k=1}^{j}t_jX_j\right)\right]=E\left[e^{i\widetilde{t} \widetilde{X}}\right].$

Agora com a definição da função característica para um vetor aleatório em mãos podemos finalmente partir para a demonstração do teorema de Cramér-Wold.

Suponhamos que $\sum_{j=1}^{k}t_jX_{nj}$ converge em distribuição para

$\sum_{j=1}^{k}t_jX_{j}$

Neste caso temos que:

$\varphi_{X_n}(t_1,\cdots,t_k)=\mathbb{E}[e^{i\sum_{j=1}^{k}t_jX_{nj}}]$

$\varphi_{\sum_{j=1}^{k}t_jX_{nj}}(1)\rightarrow\varphi_{\sum_{j=1}^{k}tjXj}(1)=\varphi_{\widetilde{X}}(t_1,\cdots,t_k)$

Assim decorre imediatamente que como $\varphi_{\widetilde{X_n}}\rightarrow\varphi_{\widetilde{X}}$ que $\widetilde{X_n}$ converge em distribuição para $X$ .

Agora vamos supor o caso contrário, suponha que $X_n$ converge em distribuição para $X$ .

Assim notemos que:

$\varphi_{\sum_{j=1}^{k}tjX_{nj}}=E\left[e^{it\sum_{j=1}^{k}t_jX_{nj}}\right]=E\left[e^{i \sum_{j=1}^{k}tt_jX_{nj}}\right]=$

$=\varphi_{\widetilde{X_n}}(tt_1,\cdots,tt_k)\rightarrow\varphi_{\widetilde{X}}(tt_1,\cdots,tt_k)=\varphi_{\sum_{j=1}^{k}t_jX_j}(t).$

Portanto

$\sum_{j=1}^{k}t_jX_{nj}$

converge em distribuição para

$\sum_{j=1}^{k}t_jX_{j}$

$\Box$

Proposição 7.1.2.2:

$X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}c$ se, e somente se, $X_n\xrightarrow{P}c$

Demonstração:

Primeiramente suponhamos que

$\lim_{n\rightarrow\infty}F_{X_n}(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\quad\text{se}~x\textless c\\ 1,\quad\text{se}~x\geq c\end{array}\right.$

Dado $\varepsilon\textgreater 0$

$0\leq\mathbb{P}\{|X_n-c|\geq \varepsilon\}=\mathbb{P}\{X_n\geq c+\varepsilon\}+\mathbb{P}\{X_n\leq c-\varepsilon\}=1-\mathbb{P}\{X_n\textless c+\varepsilon\}+\mathbb{P}\{X_n\leq c-\varepsilon\}\leq$

$\leq 1-\mathbb{P}\left\{X_n\leq c+\frac{\varepsilon}{2}\right\}+\mathbb{P}\{X_n\leq c-\varepsilon\}\xrightarrow{n\rightarrow\infty}1-1+0=0$

Portanto, $X_n\xrightarrow{P}c$

Reciprocamente, seja $F_n$ a função distribuição acumulada de $X_n,~n\geq 1.$ Fixamos $x\in\mathbb{R}$ para todo $x$ ponto de continuidade de $F$ . Então para todo $\varepsilon\textgreater0$

$\mathbb{P}\{X_n\leq x\}\leq\mathbb{P}\{X\leq x+\varepsilon\}+\mathbb{P}\{X_n\leq x~;~X\textgreater x+\varepsilon\}\leq \mathbb{P}\{X\leq x+\varepsilon\}+\mathbb{P}\{|X_n-c|\textgreater\varepsilon\}~~(7.1.2.1)$

e similarmente

$\mathbb{P}\{X_n\leq x\}\geq\mathbb{P}\{X\leq x-\varepsilon\}-\mathbb{P}\{|X_n-c|\textgreater\varepsilon\}~~(7.1.2.2)$

Logo, de (7.1.2.1) e (7.1.2.2) obtemos que

$F(x-\varepsilon)-\mathbb{P}\{|X_n-c|\textgreater \varepsilon\}\leq F_n(x)\leq F(x+\varepsilon)+\mathbb{P}\{|X_n-c|\textgreater\varepsilon\}$

Como por hipótese temos que $X_n\xrightarrow{P}c$ quando $n\rightarrow\infty$ temos que

$F(x-\varepsilon)\leq \liminf_{n\rightarrow\infty}F_n(x)\leq \limsup_{n\rightarrow\infty}F_n(x)\leq F(x+\varepsilon), \quad \forall~\varepsilon\textgreater 0~~(7.1.2.3).$

Note que, para todo $x\in\mathbb{R}$ ponto de continuidade de $F$ , temos que $F(x^-)=F(x)$

Portanto, quando $\varepsilon\downarrow 0$ em (7.1.2.3) obtemos que

$\lim_{n\rightarrow\infty}F_n(x)=F(x)$

ou seja, $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}c$

$\Box$

Teorema 7.1.2.5:

$X_n\xrightarrow{P}X,$ então $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}X$

Demonstração:

Basta, usar a volta da proposição 7.1.2.2 trocando c por $X.$

$\Box$

Proposição 7.1.2.3: (Caso discreto)

Seja $\{X_n\}_{n\geq 1}$ sequência de variáveis aleatórias que assumem valores em $\mathbb{Z}^+$ (inteiros positivos). Se $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\{X_n=k\}=\mathbb{P}\{X=k\},$ então $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}X.$

Demonstração:

No caso $x\textless 0$ temos que

$F_{X_n}(x)=0\rightarrow 0=F_X(x)$

Agora, suponhamos que $x\in (k,k+1),~k=0,1,\dots$ Disto obtemos que

$F_{X_n}(x)=\sum^k_{i=0}\mathbb{P}\{X_n=i\}\xrightarrow{n\rightarrow\infty} \sum^k_{i=0}\mathbb{P}\{X=i\}=F_X(x)$

Portanto, $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}X.$

$\Box$

Exemplo 7.1.2.2:

Seja $X_n\sim Binom(n,p_n)$ , $X\sim Poisson(\lambda)$ e $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda.$ Mostre que $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}X.$

De fato,

$\mathbb{P}\{X_n=k\}=\left(n\chosse k\right)p^k_n(1-p_n)^{n-k}=\frac{n.(n-1)\dots(n-(k-1))}{k!}p^k_n(1-p_n)^{n-k}=$

$=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)(n p_n)^k\left(1-\frac{n p_n}{n}\right)^n\left(1-\frac{n p_n}{n}\right)^{-k}\xrightarrow{n\rightarrow\infty}\frac{1}{k!}e^{-\lambda}\lambda^k$

pois $(n p_n)^k\xrightarrow{n\rightarrow\infty}\lambda^k$ e $\left(1-\dfrac{n p_n}{n}\right)^n\xrightarrow{n\rightarrow\infty}e^{-\lambda}$

Em particular, obtemos que $X\sim$ Poisson $(\lambda).$

Portanto, $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}X.$

Exemplo 7.1.2.3:

Suponha que $X\sim$ Uniforme $\left(\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots,1\right).$ Mostre que $X_n\xrightarrow{\mathcal{D}}X$ com $X\sim U(0,1)$ e mostre se ocorre convergência em probabilidade.

De fato, observe que

$F_{X_n}(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\quad \text{se}~x\textless \frac{1}{n}\\ \dfrac{k}{n},\quad \text{se}~\frac{k}{n}\leq x\textless \frac{k+1}{n}\\1,\quad \text{se}~x\geq1\end{array}\right.$

$F_{X}(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\quad \text{se}~x\textless 0\\ x,\quad \text{se}~0\leq x\textless 1\\1,\quad \text{se}~x\geq1\end{array}\right.$

Para $x\leq 0$ ou $x\geq 1$ temos que $F_{X_n}(x)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}F_X(x).$
Para $0\textless x \textless 1$ temos que existe $n\textgreater \frac{1}{x}$ para $k=1,\dots, n-1$ tal que $\frac{k}{n}\leq x\textless \frac{k+1}{n}$

Logo,

$0\leq |F_{X_n}(x)-F_X(x)|=\left|\frac{k}{n}-x\right|\leq \frac{k}{n}-\frac{k+1}{n}=\frac{1}{n}\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$

Portanto segue o resultado.

Agora, apresentamos um exemplo de uma sequência de variáveis aleatórias a qual converge em probabilidade e em média p para X $\forall p\geq 1$ , mas não converge quase certamente.

Exemplo 7.1.2.4:

Seja $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de variáveis aleatórias com $X_n\stackrel{P}{\rightarrow}X$ e $X_n\stackrel{L^p}{\rightarrow}X$ mas $X_n\stackrel{q.c}{\nrightarrow}X$ .